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极坐标与参数方程常见题型及09~15年全国高考题


极坐标与参数方程常见题型
一、极坐标方程与直角坐标方程的互化

2016.5.13

1(2007 海南宁夏)⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程分别为 ? ? 4 cos? , ? ? ?4 sin ? . (I)把⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (II)求经过⊙O1,⊙O2 交点的直线的直角坐标方程. y=-x. 二、已知曲线的极坐标方程,判断曲线类型 2 以直角坐标系的原点为极点, 轴非负半轴为极轴, 在两种坐标系中取相同单位的长度. 已 知直线 的方程为 ,曲线 的参数方程为

,点

是曲线

上的一动点.

(Ⅰ)求线段

的中点

的轨迹方程; (Ⅱ) 求曲线

上的点到直线 的距离的最小值.

.(Ⅱ) 三、求曲线的交点坐标

上的点到直线 的距离的最小值为

.

3 在极坐标系下, 已知圆 O : ? ? cos? ? sin ? 和直线 l :

? 2 。 (1)求圆 O ? sin(? ? ) ?
4 2

和直线 l 的直角坐标方程;当 ? ? (0, ? ) 时,求直线 l 于圆 O 公共点的极坐标。 四、根据条件求直线和圆的极坐标方程 4(2009 辽宁)在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? cos( ? ?

?
3

)=1,M,N 分别为 C 与 x 轴,y 轴的交点。

(1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M,N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程。 五、参数方程的问题

5 在直角坐标系

中,曲线

的参数方程为

( 的极坐标方程为

为参数) ,以原点

为极

点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线

(1)求曲线

的普通方程与曲线

的直角坐标方程;

(2)设

为曲线

上的动点,求点



上点的距离的最小值,并求此时点

的坐标.

第 1 页 共 5 页

(2)

的最小值为

,此时点

的坐标为

1. 在平面直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为 C1 上的点 M(2 , )对应的参数 . 且以 O 为极点,

,且曲线 轴的正半轴为极轴建立

极坐标系,曲线 C2 是圆心在极轴上且经过极点的圆,射线

与曲线 C2 交于点

. (I)求曲线 C1 的普通方程,C2 的极坐标方程; (Ⅱ)若
[

是曲线 C1 上的两点,求

的值.

2. 在直角坐标系中,曲线 C 的参数方程为

( 为参数). 以原点为极点, 轴的

正半轴为极轴建立极坐标系,点 点 与直线 的位置关系,说明理由;

,直线 的极坐标方程为

.(Ⅰ)判断

(Ⅱ) 设直线 与直线 的两个交点为 、 ,求 极坐标与参数方程全国高考卷 1.(2009) 已知曲线 C1: ?

的值.

? x ? ?4 ? cos t , ? x ? 8cos ? , (t 为参数) , C2: ? ( ? 为参数) . ? y ? 3 ? sin t , ? y ? 3sin ? ,

(Ⅰ)化 C1,C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (Ⅱ)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t ?

? ,Q 为 C2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 2

? x ? 3 ? 2t, C3 : ? ? y ? ?2 ? t

(t 为参数)距离的最小值.

2.. (2010 年高考 (全国新课标理) ) 直线 C1 : ? ( ? 为参数), (Ⅰ)当 ? =

? x ? 1 ? t cos ? . ? x ? cos ? , (t 为参数),圆 C2 : ? ? y ? t sin ? , ? y ? sin ? ,

垂足为 A,P 为 OA 的中点,当 ? 变化时 ,求 P 点轨迹的参数方程,并指出它 是什么曲线; (1,0), ( ,?

? 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; (Ⅱ)过坐标原点 O 作 C1 的垂线, 3

1 2

3 ). 2

第 2 页 共 5 页

1 1 1 1 ( x ? ) 2 ? y 2 ? , 故 P 点轨迹是圆心为 ( ,0), 半径为 的圆. 4 16 4 4
3.. (2011 年高考(新课标理) )直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 2cos ? (? ? y ? 2 ? 2sin ?

为参数), M 是 C1 上的动点, P 点满足 OP = 2OM , P 点的轨迹为 C2 . (Ⅰ)求 C2 的方 程; (Ⅱ)在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 点的交点为 A ,与 C2 的异于极点的交点为 B ,求 | AB | .

??? ?

???? ?

?
3

与 C1 的异于极

| AB | = | ?2 ? ?1 | = 2 3 .
?x=2cosφ ? 4.(2012)已知曲线 C1 的参数方程是? (φ 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正 ?y=3sinφ ?

半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=2.正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上, π 且 A、B、C、D 以逆时针次序排列,点 A 的极坐标为(2, ) 3 (Ⅰ)求点 A、B、C、D 的直角坐标; (Ⅱ)设 P 为 C1 上任意一点,求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2 的取值范围。 4.(2013 课标 1)已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 4 ? 5cos t , ( t 为参数) ,以坐标原点为极 ? y ? 5 ? 5sin t

点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2sin ? 。 (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标( ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 。 6.(2013 课标 2)已知动点 P、Q 都在曲线 C : ?

? x ? 2cos t , ( t 为参数)上,对应参数分别 ? y ? 2sin t

为 t =? 与 t =2? ( 0 ? ? ? 2? ) , M 为 PQ 的中点。 (Ⅰ)求 M 的轨迹的参数方程; (Ⅱ)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 ? 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点。 7.(2014 课标 1)已知曲线 C :

?x ? 2 ? t x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l : ? ( t 为参数) 4 9 ? y ? 2 ? 2t

(1)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于点 A ,求 PA 的最大值与最 小值.
第 3 页 共 5 页

8.(2014 课标 2)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标 系,半圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos ? , ? ? [0, (1)求 C 得参数方程; (2)设点 D 在 C 上, C 在 D 处的切线与直线 l : y ? 3x ? 2 垂直,根据(1)中你得到 的参数方程,确定 D 的坐标. 9.(2015 课标 1)在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 : x ? ?2 ,圆 C2 : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 ,
2 2

?
2

].

以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (I)求 C1 , C2 的极坐标方程. (II)若直线 C3 的极坐标方程为 ? ? 面积.

π ? ? ? R ? ,设 C2 , C3 的交点为 M , N ,求 ?C2MN 4



x ?t cos α { 10.(2015 课标 2)在直线坐标系 xOy 中,曲线 C : y ?t sin α (t 为参数,t ? 0)其中
1

0 ? α ? ? .在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:p=2 sin ? ,C3: p=2 3 cos? 。 (I) (II) 求 C1 与 C3 交点的直角坐标; 若 C1 与 C2 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求|AB|的最大值.

11.(2014 辽宁,23,10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 2 2 将圆 x +y =1 上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C. (1)写出 C 的参数方程; (2)设直线 l:2x+y-2=0 与 C 的交点为 P1,P2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标 系,求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程.

1 ? x ? 3? t ? 2 ? (t 为参 12..【2015 高考陕西】在直角坐标版权法 xOy 吕,直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 3 t ? ? 2
数) ,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, ? C 的极坐标方程为

? ? 2 3 sin ? .
(I)写出 ? C 的直角坐标方程; (II) P 为直线 l 上一动点,当 P 到圆心 C 的距离最小时,求点 P 的坐标.

第 4 页 共 5 页

【答案】(I) x ? y ? 3
2

?

?

2

? 3 ; (II) (3,0) .

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