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2015级高二(下)期中测试数学试题(文科)


2015 级高二(下)期中测试

10、 y ?

数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1、 sin 3300 等于( )

cos x 的导数是( x x sin x ? cos x A、 ? x2 sin x C、 ? 2 x

) B、 ? sin x D、 ?

x cos x ? cos x x2

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中横线上。 11、双曲线 4 x2 ? y 2 ? 64 ? 0 上一点 P 到它的一个焦点的距离等于 1,那么点 P 到另一个焦点的 ) 距离等于 。 12、若中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆的长轴长为 18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭 圆的方程是 。 13、函数 y ? x3 ? log2 x ? 2ex 的导数为 14、函数 f ( x) ? ax4 ? bx2 ? c满足f ' (1) ? 2, 则f ' (?1) = C、 2 ? i D、 2 ? i 15、若焦点在 x 轴上的椭圆
2 2

1 1 3 3 A. ? B、 ? C、 D、 2 2 2 2 2、已知全集 U ? ?1,2,3,4,5?, 集合A ? ?1,3?, B ? ?3,4,5?, 则集合CU ( A B) ? (
A、 ?3? B、 ?4,5? C、?3,4,5? D、?1,2,4,5?

。 。 。

3、复数

? 4、将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 个单位,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式 4
是( )
2

3?i 等于( 1? i A、 1 ? 2i

) B、 1 ? 2i

x y 1 ? ? 1 的离心率为 ,则 m 等于 2 2 m

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2sin 2 x (1) 求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2) 求函数 f ( x ) 的最大值及 f ( x ) 取最大值时 x 的集合。

A、 y ? 2cos x C、 y ? 1 ? sin(2 x ?

B、 y ? 2sin x
2

) D、 y ? cos 2 x 4 5、 ?an ? 为等差数列,且 a7 ? 2a4 ? ?1, a3 ? 0, 则公差d ? ( 1 1 C、 D、2 2 2 6、平面向量 a与b 的夹角为600 , a ? (2,0),| b |? 1, 则 | a ? 2b |? (
A、 ?2 B、 ? A、

?





3
2 2

B、 2 3

C、4

D、12 ) 17、 (本小题满分 12 分) 等比数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 2, a4 ? 16

7、已知椭圆

x y ? ? 1 的一个焦点为(2,0) ,则椭圆的方程是( 2 a 2 x2 y 2 x2 y 2 ? ?1 ? ?1 A、 B、 4 2 3 2 y2 x2 y 2 2 ?1 ? ?1 C、 x ? D、 2 6 2
A、 x ? ?3 y
2

(1) 求数列 ?an ? 的通项公式。 ) (2) 若 a3 , a5 分别为等差数列 ?bn ? 的第 3 项和第 5 项,试求数列 ?bn ? 的通项公式及前 n 项和 Sn 。

8、顶点在原点,对称轴是 y 轴,并且顶点与焦点的距离为 3 的抛物线的标准方程为( B、 y ? ?6x
2

C、 x ? ?12 y
2

D、 x ? ?6 y
2

9、曲线 f ( x) ? x ln x在点x ? 1 处的切线方程为( ) A、 y ? 2 x ? 2 B、 y ? 2 x ? 2 C、 y ? x ? 1 D、 y ? x ? 1

18、 (本小题满分 12 分) (1)求椭圆 25x ? 16 y ? 400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点坐标和顶点坐标。 (2)现有 6 道题,其中 4 道甲类题, 2 道乙类题,张乐同学从中任取 2 道题解答。试求:所取 的 2 道题都是甲类题的概率。
2 2

20、 (本小题满分 14 分) 已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 P、Q 两点。 (1) 若直线 l 的斜率为 1,且 PM ? ? QM ,求椭圆的标准方程; (2) 若(1)中椭圆的右顶点为 A,直线 l 的倾斜角为 ? ,问 ? 为何值时, AP AQ 取得 最大值,并求出这个最大值。

3 ,过点 M (?1, 0) 的直线 l 与椭圆交于 2

3 5

21、 (本小题满分 13 分) 19、 (本小题满分 12 分)

sin x 在点M (? , 0) 处的切线方程。 (1)求曲线 y ? x (2)求函数 f ( x) ? 48x ? x3在区间x ?[?3,5] 上的最大值与最小值。

已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c在x ? ?
3 2

2 与x ? 1 时都取得极值。 3

(1) 求 a , b 的值及函数 f ( x ) 的单调区间; (2) 若对 x ?[?1, 2], 不等式f ( x) ? c2 恒成立,求 c 的取值范围。

2015 级高二(下)期中测试数学试题(文科)

参考答案
一、选择题: (5 分×10=50 分) BDCAB BDCCA 二、填空题 11、17 12、

c 3 ? a 5 焦点坐标为 (0, ?3) 顶点坐标为 (0, ?5), (?4, 0)
离心率: e ?

??????????4 分

??????????6 分

(2)解: (1)将 4 道甲类题依次编号为 1,2,3,4;2 道乙类题依次编号为 5,6。任取 2 道题, 基本事件为: ?1,2? , ?1,3?, ?1,4?, ?1,5?, ?1,6?, ?2,3?, ?2,4?, ?2,5?, ?2,6?, ?3,4?, ?3,5? , ?3,6? ,

x2 y 2 ? ?1 81 72

13、 y ' ? 3x 2 ?

1 ? 2e x x ln 2

14、 ?2

15、

3 2

?4,5?,?4,6?,?5,6? ,共 15 个,而且这些基本事件的出现是等可能的。 用 A 表示“都是甲类题”这一事件,则 A 包含的基本事件有?1,2?,?1,3?, ?1,4?, ?2,3? ,?2,4?, ?3, 4? , 共 6 个,所以
P( A) ? 6 2 ? 15 5 y' ? 1
????????????6 分

三、解答题 16、解: (1)因为 f ( x) ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) = 2 sin(2 x ?

?
4

) ?1 ,

??????????4 分 ??????????6 分

2? ?? 所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 T ? 2
(2)由( 1)知,当 2 x ?

19、 (1)解:

x(cos x ? sin x) x2

????????2 分

?

4

? 2 k? ?

?

2

, 即x ? k? ?

?
8

? y '/ x ? ? ? ?

(k ? Z ) 时, f ( x)取最大值 2 ?1 ,因
????????12 分

?



????????????3 分

此函数 f ( x ) 取最大值时 x 的集合为 ? x | x ? k? ?

? ?

?

∴过点 M 的切线的斜率 k ? ?

1

? ,k ?Z? 8 ?

?
1

????????4 分

则由点斜式得切线方程为 y ? ?

17、 本小题主要考查等差数列、 等比数列等基础知识, 考查运算求解能力, 考查化归与转化思想。 解: (1)设 ?an ? 的公比为 q 由已知得 16 ? 2q3 , 解得q ? 2

? 2 (2)解:由 f '( x) ? 48 ? 3x ? 3(16 ? x2 )(4 ? x)(4 ? x) 令 f '( x) ? 0即3(4-x)(4+x)=0? x1 ? ?4, x2 ? 4
又 x ? [?3,5] ,列表

x ?1

??????6 分 ????????1 分

?an ? a1qn?1 ? 2n

????????????5 分

x
f '( x) f ( x)

?3
+ -117

(?3, 4)
0

4 - 128

(4,5)

5 -27

(2)由(1)得 a3 ? 8, a5 ? 32, 则b3 ? 8, b5 ? 32

?b1 ? 2d ? 8 ?b ? ?16 , 解得 ? 1 设 ?bn ? 的公差为 d,则有 ? ?d ? 12 ?b1 ? 4d ? 32
从而 bn ? ?16 ? 12(n ?1) ? 12n ? 28 所以数列 ?bn ? 的前 n 项和 ??????????9 分

由上表得,当 x ? [?3,5] 时,此函数的递增区间为 (?3, 4) ,减区间为(4,5) ,当 x ? 4 时,此函 数的极大值为 128,又 f (?3) ? ?117, f (5) ? ?27 ? f ( x) 的最大值为 f (4) ? 128

Sn ?

n(?16 ? 12n ? 28) ? 6n 2 ? 22n 2

f ( x)的最小值为f(-3)=-117
????????12 分

????????6 分

x2 y 2 ? ?1 18、 (1)解:椭圆方程化简为 16 25 2 2 2 2 2 则 a ? 25, b ? 16, c ? a ? b ? 9 ??????????1 分 长轴长: 2a ? 10, 短轴长 : 2b ? 8 ??????????3 分

20、 (本小题满分 14 分)

21、 (本小题满分 13 分)


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