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2014届广州市高三年级调研测试数学试题(理科)及参考标准答案


试卷类型:A

广州市 2014 届高三年级调研测试

数 学(理 科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟.

2014.1

注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答 题卡上.用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应 位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求 作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂 的,答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 锥体体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高. 3

一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知 i 为虚数单位, 则复数

i 的模等于 2?i
C.

A. 5

B. 3

3 3

D.

5 5

2 2.设集合 A ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 , B ? x x ? 1 ,则 A ? B 等于 2

?

?

?

?

A. ??1?

B. ?1, 3?

C. ??1,1,3?

D. R

3.已知向量 a ? (3,1) , b ? ( x, ?2) , c ? (0, 2) ,若 a ? ? b ? c ? ,则实数 x 的值为 A.

4 3

B.

3 4

C. ?

3 4
x ? 0, x ? 0,

D. ? 则 f ? 3 ? 的值为

4 3

4.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ? ? A. ?4

?log 2 (16 ? x), ? f ( x ? 1),

B.2

C. log 2 13

D.4

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5.函数 f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ?( A ? 0 , ? 对应的解析式为 A. y ? sin ? 2 x ?

?0, ? ?

?
2

) 的部分图象如图 1 所示,则函数 y ? f ? x ?

? ?

??
? 6?

B. y ? sin ? 2 x ?

? ?

??
? 6?

y 1 O

11? 12

?? ? C. y ? cos ? 2 x ? ? 6? ?

?? ? D. y ? cos ? 2 x ? ? 6? ?

?
6 图1

x

6.执行如图 2 的程序框图,如果输入的 N 的值是 6,那么输出的 p 的值是 A.15 开始 输入 N B.105 C.120 D.720 否 输出 p 结束

k ? 1, p ? 1

p ? p?k

k ? N?


k ? k ?2
7.若点 A(1,0) 和点 B(4,0) 到直线 l 的距离依次为 1 和 2,则这样的直线有 A.1 条 B.2 条 C.3 条

图2

D.4 条

8.对于实数 a 和 b,定义运算“*” a * b ? ? :

? ? a 2 ? 2ab ? 1, a ? b, ? 设 f ( x) ? ? 2 x ? 1? * ? x ? 1? ,且 2 a ? b. ?b ? ab, ?

关于 x 的方程为 f ( x) ? m(m ? R) 恰有三个互不相等的实数根 x1 , x 2 , x 3 ,则 x1 ? x2 ? x3 的取值 范围是 A. ? ?

? 1 ? ,0? ? 32 ?

B. ? ?

? 1 ? ,0? ? 16 ?

C. ? 0,

? ?

1 ? ? 32 ?

D. ? 0,

? 1 ? ? ? 16 ?

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.在等比数列 {an } 中,若 a 2 ? a 3 ? 3a1 ,则 a4 ? .

? x ? 0, ? y ? 0, ? 10.若 x , y 满足约束条件 ? 则 x ? y 的最大值为_______. ? x ? y ? ?1, ?3 x ? 4 y ? 12, ?
11.如图 3,设 D 是图中边长为 4 的正方形区域, E 是 D 内函数 y ? x 图象下
2

y 4

方的点构成的区域. D 内随机取一点, 在 则该点落在 E 中的概率为

. -2 O 图3 2 x

4 12.已知点 P 在曲线 y ? x (其中 e 为自然对数的底数)上,? 为曲线在点 e ?1 . P 处的切线的倾斜角,则 tan? 的取值范围是
13.有 4 名优秀学生 A , B , C , D 全部被保送到甲,乙,丙 3 所学校,每所
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学校至少去一名,则不同的保送方案共有

种.

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题) 如图 4, AC 为⊙ O 的 直径, OB ? AC ,弦 BN 交 AC 于点 M . 若 OC ? 3 , OM ? 1 ,则 MN 的长为 15. (坐标系与参数方程选讲选做题)
C

B

M O N

A



图4 .

y ? x ? ?2 ? cos ? 若点 P( x, y ) 在曲线 ? ( ? 为参数, ? ?R )上,则 的取值范围是 x ? y ? sin ?
三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,且 cos (1)求 cos B 的值; (2)若 a ? 3 , b ? 2 2 ,求 c 的值.

A?C 3 . ? 2 3

17. (本小题满分 12 分) 空气质量指数 PM2.5 (单位:μg / m )表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个值越高, 代表空气污染越严重. PM2.5 的浓度与空气质量类别的关系如下表所示:
3

PM2.5 日均浓度 0~35 35~75
空气质量类别 优 良

75~115 轻度污染

115~150 中度污染

150~250 重度污染

>250 严重污染

从甲城市 2013 年 9 月份的 30 天中随机抽取 15 天的 PM2.5 日均浓度指数数据茎叶图如图 5 所示. (1)试估计甲城市在 2013 年 9 月份 30 天的空气质量类别为优或良的天数; (2)在甲城市这 15 个监测数据中任取 2 个,设 X 为空气质量类别为优或良 的天数,求 X 的分布列及数学期望. 3 5 6 7 8 9 204 5 4 697 807 1809 图5 18. (本小题满分 14 分) 在如图 6 的几何体中, 平面 CDEF 为正方形, 平面 ABCD 为等腰梯形,AB ∥ CD , AB ? 2BC ,
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F

?ABC ? 60? , AC ? FB .
(1)求证: AC ? 平面 FBC ; (2)求直线 BF 与平面 ADE 所成角的正弦值.

19. (本小题满分 14 分)
已知数列{an}满足 a1

?

3an 3 * , an ?1 ? , n ?N . 2an ? 1 5

(1)求证:数列 ?

?1 ? ? 1 ? 为等比数列; ? an ?

(2)是否存在互不相等的正整数 m , s , t ,使 m , s , t 成等差数列,且 am ? 1 , as ? 1 , at ? 1 成等比数列?如果存在,求出所有符合条件的 m , s , t ;如果不存在,请说明理由.

20. (本小题满分 14 分) 设函数 f ? x ? ?

1 3 x ? ax ? a ? 0 ? , g ? x ? ? bx 2 ? 2b ? 1 . 3

(1)若曲线 y ? f ? x ? 与 y ? g ? x ? 在它们的交点 ?1, c ? 处有相同的切线,求实数 a , b 的值; (2)当 b ?

1? a 时,若函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 在区间 ?? 2,0 ? 内恰有两个零点,求实数 a 的取 2

值范围; (3)当 a ? 1 , b ? 0 时,求函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 在区间 ?t , t ? 3? 上的最小值.

21. (本小题满分 14 分)

x2 y 2 x2 y2 如图 7,已知椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,双曲线 2 ? 2 ? 1 的两条渐近线为 l1 , l 2 . a b a b
过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l ,使 l ? l1 ,又 l 与 l 2 交于点 P ,设 l 与椭圆 C 的两个交点由上至下 依次为 A , B . (1)若 l1 与 l 2 的夹角为 60° ,且双曲线的焦距为 4, 求椭圆 C 的方程;

l1

y

P A

O l2 图7 l B

F

x

(2)求

| FA | 的最大值. | AP |

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广州市 2014 届高三年级调研测试 数学(理科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案及评分标准给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根 据比照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题 的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答 应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 题号 答案 1 D 2 C 3 A 4 D 5 A 6 B 7 C 8 A

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分, 满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 题号 答案 9 3 10 4 11 12 13 36 14 1 15

1 3

?? 1,0?

? 3 3? , ?? ? ? 3 3 ?

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 解: (1)在△ ABC 中, A ? B ? C ? ? .????????????????????????1 分 所以 cos

A?C ? ?B ????????????????????????????2 分 ? cos 2 2
? sin B 3 ? .???????????????????????????3 分 2 3
2

所以 cos B ? 1 ? 2sin

B ?????????????????????????????5 分 2

1 ? .?????????????????????????????????7 分 3 1 (2)因为 a ? 3 , b ? 2 2 , cos B ? , 3
由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B ,????????????????????????9 分
2 2 2

得 c ? 2c ? 1 ? 0 . ????????????????????????????????11 分
2

解得 c ? 1 .???????????????????????????????????12 分

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17. (本小题满分 12 分) 解: (1)由茎叶图可知,甲城市在 2013 年 9 月份随机抽取的 15 天中的空气质量类别为优或良的天数 为 5 天. ?????????????????????????????????????1 分 所以可估计甲城市在 2013 年 9 月份 30 天的空气质量类别为优或良的天数为 10 天.????2 分 (2) X 的取值为 0,1,2,??????????????????????????????3 分
0 2 C5 C10 3 ? ,???????????????????????????5 分 因为 P ? X ? 0 ? ? 2 C15 7 1 C1 C10 10 5 ? ,?????????????????????????????7 分 2 C15 21 2 0 C5 C10 2 ? .????????????????????????????9 分 2 C15 21

P ? X ? 1? ? P ? X ? 2? ?

所以 X 的分布列为: 1 0 2 ????????10 分 3 10 2 P 21 7 21 3 10 2 2 所以数学期望 EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? .???????????????????12 分 7 21 21 3

X

18. (本小题满分 14 分) (1)证明 1:因为 AB ? 2BC , ?ABC ? 60 , 在△ ABC 中,由余弦定理可得 AC ? 3BC .????????????????????2 分 所以 AC ? BC ? AB .
2 2 2 ?

所以 AC ? BC .?????????????????????????????????3 分 因为 AC ? FB , BF ? BC ? B , BF 、 BC ? 平面 FBC , 所以 AC ? 平面 FBC .??????????????????????????????4 分
? ? 证明 2:因为 ?ABC ? 60 ,设 ?BAC ? ? 0 ? ? ? 120 ,则 ?ACB ? 120 ? ? .
? ?

?

?

在△ ABC 中,由正弦定理,得

BC AB ? .????????????????1 分 sin ? sin ?120? ? ? ?
?

因为 AB ? 2BC ,所以 sin 120 ? ? ? 2sin ? . 整理得 tan ? ?

?

?

3 ? ,所以 ? ? 30 .?????????????????????????2 分 3

所以 AC ? BC .?????????????????????????????????3 分 因为 AC ? FB , BF ? BC ? B , BF 、 BC ? 平面 FBC , 所以 AC ? 平面 FBC .??????????????????????????????4 分
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(2)解法 1:由(1)知, AC ? 平面 FBC , FC ? 平面 FBC , 所以 AC ? FC . 因为平面 CDEF 为正方形,所以 CD ? FC . 因为 AC ? CD ? C ,所以 FC ? 平面 ABCD .????????????????????6 分 取 AB 的中点 M ,连结 MD , ME , 因为 ABCD 是等腰梯形,且 AB ? 2BC , ?DAM ? 60? , 所以 MD ? MA ? AD .所以△ MAD 是等边三角形,且 ME ? BF .??????????7 分 E F 取 AD 的中点 N ,连结 MN , NE ,则 MN ? AD .???8 分 因为 MN ? 平面 ABCD , ED ? FC ,所以 ED ? MN . 因为 AD ? ED ? D ,所以 MN ? 平面 ADE . ?????9 分 所以 ?MEN 为直线 BF 与平面 ADE 所成角. ?????10 分 因为 NE ? 平面 ADE ,所以 MN ? NE .???????11 分 因为 MN ? N A M D C B

3 AD , ME ? MD 2 ? DE 2 ? 2 AD ,????????????????12 分 2
MN 6 ? .????????????????????13 分 ME 4

在 Rt △ MNE 中,sin ?MEN ?

所以直线 BF 与平面 ADE 所成角的正弦值为

6 . ??????????????????14 分 4

解法 2:由(1)知, AC ? 平面 FBC , FC ? 平面 FBC , 所以 AC ? FC . 因为平面 CDEF 为正方形,所以 CD ? FC . 因为 AC ? CD ? C ,所以 FC ? 平面 ABCD .????????????????????6 分 所以 CA , CB , CF 两两互相垂直, 建立如图的空间直角坐标系 C ? xyz .?????????7 分 因为 ABCD 是等腰梯形,且 AB ? 2BC , ?ABC ? 60 所以 CB ? CD ? CF . 不妨设 BC ? 1 ,则 B ? 0,1, 0 ? , F ? 0, 0,1? , A
?

E

z F

?

3, 0, 0 ,
x A B y

?

D C

? 3 1 ? ? 3 1 ? D? ,? ,0? , E ? ? 2 ? 2 , ? 2 ,1 ? , ? 2 ? ? ? ? ?
所以 BF ? ? 0, ?1,1? , DA ? ?

??? ?

??? ?

? 3 1 ? ???? ? 2 , 2 , 0 ? , DE ? ? 0, 0,1? .???????????????9 分 ? ? ?

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??? ? ? ?n ? DA ? 0, ? 3 x ? y ? 0, ? 设平面 ADE 的法向量为 n = ( x, y,z ) ,则有 ? ???? 即? 2 2 ?n ? DE ? 0. ? z ? 0. ? ?
取 x ? 1 ,得 n ? 1, ? 3, 0 是平面 ADE 的一个法向量.???????????????11 分 设直线 BF 与平面 ADE 所成的角为 ? ,

?

?

??? ? ??? ? ? 0, ?1,1?? 1, ? 3, 0 BF ? n 6 则 sin ? ? cos? BF , n? ? ??? .???????????13 分 ? ? ? 4 2 ?2 BF ?n

?

?

所以直线 BF 与平面 ADE 所成角的正弦值为

6 . ??????????????????14 分 4

19. (本小题满分 14 分) 解: (1)因为 an ?1 ?

3an 1 1 2 ,所以 ? ? .???????????????????1 分 an ?1 3an 3 2an ? 1

所以

? 1 1? 1 ? 1 ? ? ? 1? .????????????????????????????3 分 an ?1 3 ? an ?

因为 a1 ?

1 2 3 ,则 ? 1 ? .????????????????????????????4 分 a1 3 5
?1 ? 2 1 ? 1? 是首项为 ,公比为 的等比数列.????????????????5 分 3 3 ? an ? 1 2 ?1? ?1 ? ? ? ? an 3 ?3?
n ?1

所以数列 ?

(2)由(1)知,

?

2 3n ,所以 an ? n .??????????????7 分 3n 3 ?2

假设存在互不相等的正整数 m , s , t 满足条件, 则有 ?

? m ? t ? 2 s, ? ??????????????????????????9 分 2 ?? as ? 1? ? ? am ? 1?? at ? 1? . ?

3n 2 由 an ? n 与 ? as ? 1? ? ? am ? 1?? at ? 1? , 3 ?2
? 3s ? ? 3m ? ? 3t ? ? 1? ? ? m ? 1? ? t ? 1? .????????????????????10 分 得? s ? 3 ? 2 ? ? 3 ? 2 ?? 3 ? 2 ?
即3
m ?t
2

? 2 ? 3m ? 2 ? 3t ? 32s ? 4 ? 3s .???????????????????????11 分
m t s

因为 m ? t ? 2s ,所以 3 ? 3 ? 2 ? 3 .???????????????????????12 分
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因为 3 ? 3 ? 2 3
m t

m ?t

? 2 ? 3s ,当且仅当 m ? t 时等号成立,

这与 m , s , t 互不相等矛盾.??????????????????????????13 分 所以不存在互不相等的正整数 m , s , t 满足条件.?????????????????14 分 20. (本小题满分 14 分) 解: (1)因为 f ? x ? ?
2

1 3 x ? ax , g ? x ? ? bx 2 ? 2b ? 1 , 3

所以 f ? ? x ? ? x ? a ,g ? ? x ? ? 2bx .?????????????????????????1 分 因为曲线 y ? f ? x ? 与 y ? g ? x ? 在它们的交点 ?1, c ? 处有相同切线, 所以 f ?1? ? g ?1? ,且 f ??1? ? g ??1? 。

1 ? a ? b ? 2b ? 1 ,且 1 ? a ? 2b , ????????????????????????2 分 3 1 1 解得 a ? , b ? .????????????????????????????????3 分 3 3 1 3 1? a 2 (2)当 a ? 1 ? 2b 时, h ? x ? ? x ? x ? ax ? a ? a ? 0 ? , 3 2
即 所以 h? ? x ? ? x ? ?1 ? a ? x ? a ? ? x ? 1?? x ? a ? .???????????????????4 分
2

令 h? ? x ? ? 0 ,解得 x1 ? ?1, x 2 ? a ? 0 . 当 x 变化时, h ?? x ?, h? x ? 的变化情况如下表:

x
h ?? x ?

?? ?,?1?
?


?1
0 极大值

?? 1, a ?
?


a
0 极小值

?a,?? ?
?


h? x ?

所以函数 h ? x ? 的单调递增区间为 ?? ?,?1?, ?a,?? ? ,单调递减区间为 ?? 1, a ? .??????5 分 故 h ? x ? 在区间 ?? 2,?1? 内单调递增,在区间 ?? 1,0 ? 内单调递减.????????????6 分

?h ? ?2 ? ? 0, ? 从而函数 h ? x ? 在区间 ?? 2,0 ? 内恰有两个零点,当且仅当 ? h ? ?1? ? 0, ?????????7 分 ? ?h ? 0 ? ? 0.

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? 8 ?? 3 ? 2 ?1 ? a ? ? 2a ? a ? 0, ? 1 ? 1 1? a ? a ? a ? 0, 即 ?? ? 解得 0 ? a ? . 2 3 ? 3 ??a ? 0. ? ?
所以实数 a 的取值范围是 ? 0,

? ?

1? ??????????????????????????8 分 ?. 3?

(3)当 a ? 1 , b ? 0 时, h ? x ? ?

1 3 x ? x ?1. 3

所以函数 h ? x ? 的单调递增区间为 ?? ?,?1?, ?1,?? ? ,单调递减区间为 ?? 1,1? .

5 5 , h ?1? ? ? ,所以 h ? ?2 ? ? h ?1? .?????????????????9 分 3 3 ①当 t ? 3 ? 1 ,即 t ? ?2 时,???????????????????????????10 分 1 ? h ? x ? ? min ? h ? t ? ? t 3 ? t ? 1 . ??????????????????????????11 分 ? ? 3 ②当 ?2 ? t ? 1 时, 5 ? h ? x ? ? min ? h ?1? ? ? . ?????????????????????????????12 分 ? ? 3
由于 h ? ?2 ? ? ? ③当 t ? 1 时, h ? x ? 在区间 ?t , t ? 3? 上单调递增,

1 ? h ? x ? ? min ? h ? t ? ? t 3 ? t ? 1 . ??????????????????????????13 分 ? ? 3
综上可知,函数 h ? x ? 在区间 ?t , t ? 3? 上的最小值为

? h ? x ? ? min ? ?

?1 3 ? 3 t ? t ? 1, ? ?? ?? 5 , ? 3 ?

t ? ? ??, ?2 ? ? ?1, ?? ? , t ? ? ?2,1? .
?????????????????14 分

21. (本小题满分 14 分)

x2 y2 解: (1)因为双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 , a b
所以双曲线的渐近线方程为 y ? ? 因为两渐近线的夹角为 60 且
?

b x .???????????????????????1 分 a

b ? 1 ,所以 ?POF ? 30? . a

所以

3 b ? tan 30? ? .?????????????????????????????2 分 3 a
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所以 a ?

3b .

l1

y

P A

因为 c ? 2 ,所以 a 2 ? b 2 ? 2 2 , 所以 a ? 3 , b ? 1. l2

O l B

F

x

x2 所以椭圆 C 的方程为 ? y 2 ? 1.?????????????????????????4 分 3
(2)因为 l ? l1 ,所以直线 l 与的方程为 y ? 因为直线 l 2 的方程为 y ?

a ( x ? c) ,其中 c ? a 2 ? b 2 .?????????5 分 b

b x, a

? a 2 ab ? P ? , ? .?????????????????????6 分 联立直线 l 与 l 2 的方程解得点 ? c c ?


??? ? ??? ? | FA | ? ? ,则 FA ? ? AP .???????????????????????????7 分 | AP |

因为点 F ? c, 0 ? ,设点 A ? x0 , y0 ? ,

? a2 ? ab ? x0 , ? y0 ? . 则有 ? x0 ? c, y0 ? ? ? ? c ? c ?
解得 x0 ?

? ab c2 ? ?a2 , y0 ? .????????????????????????8 分 c ?1 ? ? ? c ?1 ? ? ?
x2 y 2 ? ? 1上, a 2 b2
2

因为点 A ? x0 , y0 ? 在椭圆

?c 所以
?

? ? ab ? ? 2 2 2 2 a 2c 2 ?1 ? ? ? b c ?1 ? ? ?
2

? ?a2 ?

2

? 1.

2 2 即 c ? ?a

?

2

? ? 2 a 4 ? ?1 ? ? ? a 2 c 2 .
2

等式两边同除以 a 得 (e ? ? ) ? ? ? e (1 ? ? ) , e ? (0,1). ??????????????10 分
4
2 2 2 2 2

所以 ? ?
2

e2 ? e4 2 ? ? ? ? ? 2 ? e2 ? ? ? 3 ?????????????????????11 分 2 2?e 2 ? e2 ? ? 2 ?2 ? e ?? 2 ? e
2 2

? ?2
2

? 3 ? 3? 2 2 ?

?

2 ? 1 .??????????????12 分

?

2

所以当 2 ? e ?

2 ,即 e ? 2 ? 2 时, ? 取得最大值 2 ? 1 .??????????13 分 2 ? e2
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| FA | 的最大值为 2 ? 1 .???????????????????????????14 分 | AP |

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