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广东省汕头市届高三数学上学期期末教学质量监测试题理(含解析)-精


2016 年广东省汕头市高考数学模拟试卷(理科)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.已知集合 P={x|1<2x<2},Q={x|log A.(0, ) B.( ) x>1},则 P∩Q=( D.(0,1) )

C.(﹣1, )

2.i 是虚数单位,复数 A.2i B.﹣2 C.i D.1

的虚部为(



3.将函数 y=sin(x+

)(x∈R)的图象上所有点的纵坐标不变横坐标缩小到原来的 , 个单位长度,则所得的图象的解析式为( )

再把图象上各点向左平移 A.y=sin(2x+

) B.y=sin( x+ π ) π)

C.y=sin(2x+ π ) D.y=sin( x+

4.已知 α ,β 是两个不同的平面,m,n 是两条不同的直线,给出下列命题: ①若 m⊥α ,m? β ,则 α ⊥β ; ②若 m⊥n,m⊥α ,则 n∥α ; ③若 α ∩β =m,n∥m,且 n?α ,n?β ,则 n∥α 且 n∥β . ④若 m∥α ,α ⊥β ,则 m⊥β . 其中真命题的个数是( A.0 B.1 C.2 ) D.3 )

5.设 , 是两个非零向量,则下列哪个描述是正确的( A.若| + |=| |﹣| |,则 B.若 ⊥ ,则| + |=| |﹣| | C.若| + |=| |﹣| |,则存在实数 λ 使得 = D.若存在实数 λ 使得 = ,则| + |=| |﹣| |

6.用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)???(n+n)=2n?1?3???(2n﹣1)”,当“n 从 k 到 k+1”左端需增乘的代数式为( )

1

A.2k+1 B.2(2k+1)

C.

D. )

7.如果执行程序框图,且输入 n=6,m=4,则输出的 p=(

A.240 B.120 C.720 D.360 8.已知 sin(a+ A. B. )= ,则 cos(2a﹣ C.﹣ D.﹣ )的值是( )

9. 某校选定甲、 乙、 丙、 丁、 戊共 5 名教师去 3 个边远地区支教当实数 x, y 满足

时,1≤ax+y≤4 恒成立,则实数 a 的取值范围( A.[1, ] B.[﹣1,2] C.[﹣2,3] D.[1, )



11. 已知函数 f1 (x) =

; f2 (x) = (x﹣1) ?

; f3 (x) =loga (x+

) ,

(a>0,a≠1);f4(x)=x?( 断正确的是( A.都是偶函数 )

),(x≠0),下面关于这四个函数奇偶性的判

B.一个奇函数,一个偶函数,两个非奇非偶函数 C.一个奇函数,两个偶函数,一个非奇非偶函数 D.一个奇函数,三个偶函数 12.若过点 A(2,m)可作函数 f(x)=x3﹣3x 对应曲线的三条切线,则实数 m 的取值范围 ( )

2

A.[﹣2,6] B.(﹣6,1)

C.(﹣6,2)

D.(﹣4,2)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13.在某项测量中,测量结果 ξ 服从正态分布 N(1,σ 2)(σ >0),若 ξ 在(0,2)内 取值的概率为 0.8,则 ξ 在(﹣∞,2]内取值的概率为 14.(1+x)(1﹣x) 展开式中 x 的系数是
5 4

. (用数字作答).

15.在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A、B、C 的对边,且 2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b) sinC,则 A 的大小是 . ,则球

16.如图,已知球 O 的面上四点 A、B、C、D,DA⊥平面 ABC,AB⊥BC,DA=AB=BC= O 的体积等于 .

三、解答题:共 6 个小题,70 分.解答须写出文字说明、证明过程、演算步骤 17.已知公差不为 0 的等差数列{an}的首项 a1=a(a>0),该数列的前 n 项和为 Sn,且 , 成等比数列. ,

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式及 Sn; (Ⅱ)设 bn= ,cn= ,且 Bn,Cn 分别为数列{bn},{cn}的前 n 项和,当 n≥2 时,试比

较 Bn 与 Cn 的大小. 18.如图,在 Rt△ACD 中,AH⊥CD,H 为垂足,CD=4,AD=2 将△ACD 按逆时针方向旋转 90°到△BCD 位置,E 为 AD 中点; (Ⅰ)证明:AB⊥CD. (Ⅱ)求二面角 B﹣CE﹣D 的平面角的余弦值. ,∠CAD=90°,以 CD 为轴,

3

19.一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球.已知从袋中任意摸出 1 个球,得到黑 球的概率是 ;从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球的概率是 . (Ⅰ)若袋中共有 10 个球, (i)求白球的个数; (ii)从袋中任意摸出 3 个球,记得到白球的个数为 ξ ,求随机变量 ξ 的数学期望 Eξ . (Ⅱ)求证:从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个黑球的概率不大于 种颜色的球个数最少. 20.在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 C1:(x+3) +(y﹣1) =4 和圆 C2:(x﹣4) +(y ﹣5) =4 (1)若直线 l 过点 A(4,0),且被圆 C1 截得的弦长为 2 ,求直线 l 的方程
2 2 2 2

.并指出袋中哪

(2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2,它们分别 与圆 C1 和 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,求所有满 足条件的点 P 的坐标. 21.已知函数 f(x)= ax ﹣(a +1)x+alnx. (Ⅰ)若函数 f(x)在[ ,e]上单调递减,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)当 a 时,求 f(x)在[1,2]上的最大值和最小值.(注意:ln2<0.7)
2 2

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分,答题时请 写清题号.选修 4-1:集合证明选讲 22.几何证明选讲如图,已知 AD 为圆 O 的直径,直线 BA 与圆 O 相切于点 A,直线 OB 与弦 AC 垂直并相交于点 G,与弧 AC 相交于 M,连接 DC,AB=10,AC=12. (1)求证:BA?DC=GC?AD; (2)求 BM.

4

选修 4-4:坐标系与参数方程 23.已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ =1,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角

坐标系,直线 l 的参数方程为

为参数).

(1)写出直线 l 与曲线 C 的直角坐标方程; (2)设曲线 C 经过伸缩变换 的最小值. 得到曲线 C′,设曲线 C′上任一点为 M(x,y),求

选修 4-5:不等式选讲 24.已知 a+b=1,对? a,b∈(0,+∞), + ≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立, (Ⅰ)求 + 的最小值; (Ⅱ)求 x 的取值范围.

5

2016 年广东省汕头市高考数学模拟试卷(理科) 参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.已知集合 P={x|1<2x<2},Q={x|log A.(0, ) B.( 【考点】交集及其运算. 【专题】计算题;转化思想;定义法;集合. 【分析】先分别求出集合 P 和 Q,由此利用交集定义能求出 P∩Q. 【解答】解:∵集合 P={x|1<2 <2}={x|0<x<1}, Q={x|log x>1}={x|0<x< },
x

x>1},则 P∩Q=( D.(0,1)





C.(﹣1, )

∴P∩Q=(0, ). 故选为:A. 【点评】本题考查交集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意指数函数、对数函数的 性质的合理运用.

2.i 是虚数单位,复数 A.2i B.﹣2 C.i D.1

的虚部为(



【考点】复数代数形式的乘除运算. 【专题】转化思想;数系的扩充和复数. 【分析】利用复数的运算法则即可得出. 【解答】解:复数 ﹣2. 故选:B. = = = =﹣2﹣2i 的虚部为

6

【点评】本题考查了复数的运算法则,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.

3.将函数 y=sin(x+

)(x∈R)的图象上所有点的纵坐标不变横坐标缩小到原来的 , 个单位长度,则所得的图象的解析式为( )

再把图象上各点向左平移 A.y=sin(2x+

) B.y=sin( x+ π ) π)

C.y=sin(2x+ π ) D.y=sin( x+

【考点】函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换. 【专题】转化思想;综合法;三角函数的图像与性质. 【分析】由条件利用函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换规律,得出结论. 【解答】解:将函数 y=sin(x+ 来的 , 可得 y=sin(2x+ )的图象, 个单位长度, )+ ]=sin(2x+ + )=sin(2x+ ), )(x∈R)的图象上所有点的纵坐标不变横坐标缩小到原

再把图象上各点向左平移

则所得的图象的解析式为 y=sin[2(x+ 故选:C.

【点评】本题主要考查函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换规律,属于基础题.

4.已知 α ,β 是两个不同的平面,m,n 是两条不同的直线,给出下列命题: ①若 m⊥α ,m? β ,则 α ⊥β ; ②若 m⊥n,m⊥α ,则 n∥α ; ③若 α ∩β =m,n∥m,且 n?α ,n?β ,则 n∥α 且 n∥β . ④若 m∥α ,α ⊥β ,则 m⊥β . 其中真命题的个数是( A.0 B.1 C.2 ) D.3

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系. 【专题】计算题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离.

7

【分析】在①中,由面面垂直的判定理定理得 α ⊥β ;在②中,n∥α 或 n? α ;在③中, 由线面平行判定定理得 n∥α 且 n∥β ;在④中,m 与 β 相交、平行或 m? β . 【解答】解:α ,β 是两个不同的平面,m,n 是两条不同的直线,知: 在①中:若 m⊥α ,m? β ,则由面面垂直的判定理定理得 α ⊥β ,故①正确; 在②中:若 m⊥n,m⊥α ,则 n∥α 或 n? α ,故②错误; 在③中,若 α ∩β =m,n∥m,且 n?α ,n?β , 则由线面平行判定定理得 n∥α 且 n∥β ,故③正确. ④若 m∥α ,α ⊥β ,则 m 与 β 相交、平行或 m? β ,故④错误. 故选:C. 【点评】本题考查命题真假的判断, 是中档题, 解题时要认真审题, 注意空间中线线、线面、 面面间的位置关系的合理运用.

5.设 , 是两个非零向量,则下列哪个描述是正确的( A.若| + |=| |﹣| |,则 B.若 ⊥ ,则| + |=| |﹣| | C.若| + |=| |﹣| |,则存在实数 λ 使得 = D.若存在实数 λ 使得 = ,则| + |=| |﹣| |



【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】应用题;转化思想;向量法;平面向量及应用. 【分析】利用向量的垂直判断矩形的对角线长度相等,判断 B 错误;通过特例直接判断 A、 D 不正确;| + |=| |﹣| |,则 , 是方向相反的向量,故这 2 个向量共线,故存在实数 λ 使得 = ,故 C 正确.从而得出结论.

【解答】解:不妨令 =(﹣3,0), =(1,0),尽管满足| + |=| |﹣| |,但不满足 则 若 ,故 A 不正确, ,则 =0,则有| + |=| |﹣| |,即以 , 为邻边的矩形的对角线长相等,故

| + |=| |﹣| |不正确,即 B 不正确, 若| + |=| |﹣| |,则 , 是方向相反的向量,故这 2 个向量共线,故存在实数 λ 使得 = ,故 C 正确, ,但不满足| +

不妨令 =(﹣3,0), =(1,0),尽管满足存在实数 λ ,使得得 = |=| |﹣| |,故 D 不正确.

8

故选:C. 【点评】 本题考查向量的关系的综合应用, 特例法的具体应用, 考查计算能力, 属于基础题.

6.用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)???(n+n)=2n?1?3???(2n﹣1)”,当“n 从 k 到 k+1”左端需增乘的代数式为( A.2k+1 B.2(2k+1) 【考点】数学归纳法. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】 分别求出 n=k 时左端的表达式, 和 n=k+1 时左端的表达式, 比较可得“n 从 k 到 k+1” 左端需增乘的代数式. 【解答】解:当 n=k 时,左端=(k+1)(k+2)(k+3)?(2k), 当 n=k+1 时,左端=(k+2)(k+3)?(2k)(2k+1)(2k+2), 故当“n 从 k 到 k+1”左端需增乘的代数式为 =2(2k+1),故选 B. C. ) D.

【点评】本题考查用数学归纳法证明等式,体现了换元的思想,分别求出 n=k 时左端的表达 式和 n=k+1 时左端的表达式,是解题的关键.

7.如果执行程序框图,且输入 n=6,m=4,则输出的 p=(



A.240 B.120 C.720 D.360 【考点】程序框图. 【专题】图表型. 【分析】根据题中的程序框图,模拟运行,依次计算 k 和 p 的值,利用条件 k<m 进行判断 是否继续运行,直到 k≥m 则结束运行,输出 p 的值即为答案.
9

【解答】解:根据题中的程序框图,模拟运行如下: 输入 n=6,m=4,k=1,p=1, ∴p=1×(6﹣4+1)=3,k=1<4,符合条件, ∴k=1+1=2,p=3×(6﹣4+2)=12,k=2<4,符合条件, ∴k=2+1=3,p=12×(6﹣4+3)=60,k=3<4,符合条件, ∴k=3+1=4,p=60×(6﹣4+4)=360,k=4=4,不符合条件, 故结束运行, 输出 p=360. 故选:D. 【点评】本题考查了程序框图,主要考查了循环语句和条件语句的应用.其中正确理解各变 量的含义并根据程序功能的需要合理的分析是解答的关键.属于基础题.

8.已知 sin(a+ A. B.

)= ,则 cos(2a﹣ C.﹣ D.﹣

)的值是(



【考点】运用诱导公式化简求值. 【专题】计算题. 【分析】 把已知条件根据诱导公式化简, 然后把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简 后代入即可求出值. 【解答】解:sin(a+ 则 cos(2α ﹣ 故选 D 【点评】考查学生灵活运用诱导公式及二倍角的余弦函数公式化简求值. )=2 )=sin[ ﹣( ﹣α )]=cos( ﹣1=2× ﹣α )=cos(α ﹣ ﹣1=﹣ )= ,

9. 某校选定甲、 乙、 丙、 丁、 戊共 5 名教师去 3 个边远地区支教当实数 x, y 满足

时,1≤ax+y≤4 恒成立,则实数 a 的取值范围( A.[1, ] B.[﹣1,2] C.[﹣2,3] D.[1, )



10

【考点】简单线性规划. 【专题】数形结合;综合法;不等式. 【分析】由约束条件作出可行域,再由 1≤ax+y≤4 恒成立,结合可行域内特殊点 A,B,C 的坐标满足不等式列不等式组,求解不等式组得实数 a 的取值范围. 【解答】解:由约束条件作可行域如图, 联立 ,解得 C(1, ).

联立

,解得 B(2,1).

在 x﹣y﹣1=0 中取 y=0 得 A(1,0). 要使 1≤ax+y≤4 恒成立,



,解得:1≤a≤ .

∴实数 a 的取值范围是[1, ]. 故选:A.

【点评】本题考查线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,考查了数学转化思想方法, 训练了不等式组得解法,是中档题.

11

11. 已知函数 f1 (x) =

; f2 (x) = (x﹣1) ?

; f3 (x) =loga (x+

) ,

(a>0,a≠1);f4(x)=x?( 断正确的是( A.都是偶函数 )

),(x≠0),下面关于这四个函数奇偶性的判

B.一个奇函数,一个偶函数,两个非奇非偶函数 C.一个奇函数,两个偶函数,一个非奇非偶函数 D.一个奇函数,三个偶函数 【考点】函数奇偶性的判断. 【专题】转化思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】先看各个函数的定义域是否关于原点对称,再根据函数的奇偶性的定义进行判断, 从而得出结论. 【解答】解:对于函数 f1(x)= ∪(0,1),f1(﹣x)=f1(x), 故 f1(x)为偶函数. 对于函数 f2(x)=(x﹣1)? 的定义域为(﹣∞,﹣1]∪(1,+∞), = ,它的定义域为(﹣1,0)

它的定义域不关于原点对称,故此函数 f2(x)没有奇偶性. 对于函数 f3(x)=loga(x+ )(a>0,a≠1),它的定义域为 R,

f3(﹣x)=loga(﹣x+ 故函数 f3(x)为奇函数. 对于函数 f4(x)=x?(

)=loga(

)=﹣loga(x+

)=﹣f3(x),

),(x≠0),它的定义域为{x|x≠0},

∵f4(﹣x)=﹣x?(

+ )=﹣x?(

+ )=x?(

﹣ )

=x?(

﹣ )=x?( 1+

﹣ )=x?(

+ )=f4(x),

12

故 f4(x)为偶函数, 故选:C. 【点评】 本题主要考查函数的奇偶性的判断和证明, 注意考查函数的定义域是否关于原点对 称,式子的变形是解题的关键,属于中档题.

12.若过点 A(2,m)可作函数 f(x)=x ﹣3x 对应曲线的三条切线,则实数 m 的取值范围 ( ) C.(﹣6,2) D.(﹣4,2)

3

A.[﹣2,6] B.(﹣6,1)

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】综合题;方程思想;综合法;导数的概念及应用. 【分析】设切点为(a,a ﹣3a),利用导数的几何意义,求得切线的斜率 k=f′(a),利 用点斜式写出切线方程,将点 A 代入切线方程,可得关于 a 的方程有三个不同的解,利用参 变量分离可得 2a ﹣6a =﹣6﹣m,令 g(x)=2x ﹣6x ,利用导数求出 g(x)的单调性和极值, 则根据 y=g(x)与 y=﹣6﹣m 有三个不同的交点,即可得到 m 的取值范围. 【解答】解:设切点为(a,a ﹣3a), ∵f(x)=x ﹣3x, ∴f'(x)=3x ﹣3, ∴切线的斜率 k=f′(a)=3a ﹣3, 由点斜式可得切线方程为 y﹣(a3﹣3a)=(3a2﹣3)(x﹣a), ∵切线过点 A(2,m), ∴m﹣(a3﹣3a)=(3a2﹣3)(2﹣a),即 2a3﹣6a2=﹣6﹣m, ∵过点 A(2,m)可作曲线 y=f(x)的三条切线, ∴关于 a 的方程 2a3﹣6a2=﹣6﹣m 有三个不同的根, 令 g(x)=2x ﹣6x
3 2 2 2 3 3 3 2 3 2 3

∴g′(x)=6x2﹣12x=0,解得 x=0 或 x=2, 当 x<0 时,g′(x)>0,当 0<x<2 时,g′(x)<0,当 x>2 时,g′(x)>0, ∴g(x)在(﹣∞,0)上单调递增,在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增, ∴当 x=0 时,g(x)取得极大值 g(0)=0, 当 x=2 时,g(x)取得极小值 g(2)=﹣8,

13

关于 a 的方程 2a ﹣6a =﹣6﹣m 有三个不同的根,等价于 y=g(x)与 y=﹣6﹣m 的图象有三 个不同的交点, ∴﹣8<﹣6﹣m<0, ∴﹣6<m<2, ∴实数 m 的取值范围为(﹣6,2). 故选:C. 【点评】 本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程. 导数的几何意义即在某点处的导数 即该点处切线的斜率, 解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上. 运用了转化的数学 思想方法,对能力要求较高.属于中档题.

3

2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13.在某项测量中,测量结果 ξ 服从正态分布 N(1,σ )(σ >0),若 ξ 在(0,2)内 取值的概率为 0.8,则 ξ 在(﹣∞,2]内取值的概率为 0.9 . 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 【专题】计算题. 【分析】根据 ξ 服从正态分布 N(1,σ ),得到曲线的对称轴是直线 x=1,利用 ξ 在(0, 2)内取值的概率为 0.8,即可求得结论. 【解答】解:∵ξ 服从正态分布 N(1,σ ) ∴曲线的对称轴是直线 x=1, ∵ξ 在(0,2)内取值的概率为 0.8, ∴ξ 在(1,2)内取值的概率为 0.4, ∴ξ 在(﹣∞,2]内取值的概率为 0.5+0.4=0.9 故答案为:0.9. 【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,主要考查正态曲线的对称性, 是一个基础题.
2 2 2

14.(1+x)(1﹣x) 展开式中 x 的系数是 ﹣5 (用数字作答). 【考点】二项式系数的性质. 【专题】计算题;二项式定理.

5

4

14

【分析】依题意,所求的(1+x) (1﹣x) 展开式中 x 的系数由两部分组成,一部分是(1+x) 中的 1 与(1﹣x)5 展开式中 x4 的系数之积,第二部分是(1+x)中的 x 的系数 1 与(1﹣x)
5

5

4

展开式中 x3 的系数之积.

【解答】解:∵(1+x)(1﹣x)5 展开式中 x4 的系数为: 1× ?(﹣1)4+1× ?(﹣1)3=5﹣10=﹣5,

故答案为:﹣5. 【点评】本题考查二项式系数的性质,考查理解与运算能力,属于中档题.

15.在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A、B、C 的对边,且 2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b) sinC,则 A 的大小是 120° . 【考点】正弦定理;余弦定理. 【专题】计算题;转化思想;分析法;解三角形. 【分析】根据正弦定理,设 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,把 sinA,sinB,sinC 代入 2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC 求出 a =b +c +bc 再与余弦定理联立方程,可求出 cosA 的值,进而求出 A 的值. 【解答】解:由正弦定理可得:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC, ∵2asinA=(2a+c)sinB+(2C+b)sinC, 方程两边同乘以 2R, ∴2a =(2b+c)b+(2c+b)c, 整理得 a =b +c +bc, ∵由余弦定理得 a2=b2+c2﹣2bccosA, 故 cosA=﹣ ,A=120°. 故答案为:120°. 【点评】本题主要考查了正弦定理与余弦函数的应用.主要用于解决三角形中边、角问题, 故应熟练掌握,考查计算能力.
2 2 2 2 2 2 2

16.如图,已知球 O 的面上四点 A、B、C、D,DA⊥平面 ABC,AB⊥BC,DA=AB=BC= O 的体积等于 π .

,则球

15

【考点】球的体积和表面积;球内接多面体. 【专题】计算题. 【分析】说明△CDB 是直角三角形,△ACD 是直角三角形,球的直径就是 CD,求出 CD,即可 求出球的体积. 【解答】解:AB⊥BC,△ABC 的外接圆的直径为 AC,AC= ,

由 DA⊥面 ABC 得 DA⊥AC,DA⊥BC,△CDB 是直角三角形,△ACD 是直角三角形, ∴CD 为球的直径,CD= 故答案为: π . 【点评】本题是基础题,考查球的内接多面体,说明三角形是直角三角形,推出 CD 是球的 直径,是本题的突破口,解题的重点所在,考查分析问题解决问题的能力. =3,∴球的半径 R= ,∴V 球= π R3= π .

三、解答题:共 6 个小题,70 分.解答须写出文字说明、证明过程、演算步骤 17.已知公差不为 0 的等差数列{an}的首项 a1=a(a>0),该数列的前 n 项和为 Sn,且 , 成等比数列. ,

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式及 Sn; (Ⅱ)设 bn= ,cn= ,且 Bn,Cn 分别为数列{bn},{cn}的前 n 项和,当 n≥2 时,试比

较 Bn 与 Cn 的大小. 【考点】数列的求和;等比数列的通项公式. 【专题】计算题;转化思想;综合法;等差数列与等比数列. 【分析】(Ⅰ)由等差数列通项公式和等比数列性质求出 d=a,由此能求出数列{an}的通项 公式及 Sn.

16

(Ⅱ)由

,利用裂项求和法能求出 Bn,由 cn=

=

,能求

出 Cn,由此能比较 Bn 与 Cn 的大小. 【解答】解:(Ⅰ)设等差数列的公差为 d, ∵公差不为 0 的等差数列{an}的首项 a1=a (a>0) , 该数列的前 n 项和为 Sn, 且 成等比数列, ∴( )2= ,∴ , , ,

解得 d=a 或 d=0(舍), ∴an=a+(n﹣1)a=na. Sn= = .

(Ⅱ)∵bn=

,cn=

,且 Bn,Cn 分别为数列{bn},{cn}的前 n 项和,

, ∴Bn= = ,

∵cn=

=



∴Cn=

+?+

=

=



当 n≥2 时, ∴1﹣ <1﹣ ,

>n+1,

∴当 a>0 时,Bn<Cn. 【点评】本题考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识,同时考查分类讨论 思想、考查分析问题、解决问题的能力.

18.如图,在 Rt△ACD 中,AH⊥CD,H 为垂足,CD=4,AD=2 将△ACD 按逆时针方向旋转 90°到△BCD 位置,E 为 AD 中点; (Ⅰ)证明:AB⊥CD.

,∠CAD=90°,以 CD 为轴,

17

(Ⅱ)求二面角 B﹣CE﹣D 的平面角的余弦值.

【考点】二面角的平面角及求法;空间中直线与直线之间的位置关系. 【专题】综合题;转化思想;数形结合法;空间位置关系与距离. 【分析】(1)利用线面垂直得到线线垂直, (2)分别以 HA,HB,HD 为 x,y,z 轴,建立如图所示的空间坐标系 H﹣xyz,分别求出平 面的 BCE 的一个法向量为 =( , ,﹣ ), =(0, ,0)为平面 DEC 的一个法向

量,根据向量的夹角公式即可求出. 【解答】证明:(1)∵DC⊥AH,DC⊥BH,AH∩BH=H, ∴DC⊥平面 ABH, 又 AB? 平面 ABH, ∴AB⊥CD. (Ⅱ)分别以 HA,HB,HD 为 x,y,z 轴,建立如图所示的空间坐标系 H﹣xyz, 由已知条件不难求得,AH=BH= ∴A( ,0,0),B(0, ,HD=3,BC=1, ,0),C(0,0,﹣1),D(0,0,3),

又点 E 为中点, ∴E( ∴ =( ,0, ), ,0, ), =( ,﹣ , ),HB=(0, ,0),

设平面的 BCE 的一个法向量为 =(x,y,z),





令 x=

,解得 y=

,z=﹣ , , ,﹣ ),

∴平面的 BCE 的一个法向量为 =( 又 HB⊥平面 DCE,

18



=(0,

,0)为平面 DEC 的一个法向量,

设所求的二面角是 θ ,

∴cosθ =

=

=

【点评】本题主要考查了直线与直线垂直的判定,以及与二面角有关的立体几何综合题,考 查学生空间想象能力,逻辑思维能力,是中档题.

19.一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球.已知从袋中任意摸出 1 个球,得到黑 球的概率是 ;从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球的概率是 . (Ⅰ)若袋中共有 10 个球, (i)求白球的个数; (ii)从袋中任意摸出 3 个球,记得到白球的个数为 ξ ,求随机变量 ξ 的数学期望 Eξ . (Ⅱ)求证:从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个黑球的概率不大于 种颜色的球个数最少. 【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 【专题】证明题;转化思想;综合法;概率与统计. 【分析】(Ⅰ)设袋中白球个数为 x,由对立事件概率计算公式得:1﹣ 求出白球个数. (ii)随机变量 ξ 的取值为 0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出随机变量 ξ 的数学期望 Eξ = ,由此能 .并指出袋中哪

19

(Ⅱ)设袋中有 n 个球,其中 y 个黑球,由题意,得 y= n,从而 2y<n,2y≤n﹣1,进而 ,由此能证明从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个黑球的概率不大于 到袋中哪种颜色的球个数最少. 【解答】解:(Ⅰ)(i)记“从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球”为事件 A, 设袋中白球个数为 x,则 P(A)=1﹣ 解得 x=5,∴白球个数是 5 个. (ii)随机变量 ξ 的取值为 0,1,2,3, P(ξ =0)= = = , = , .并得

P(ξ =1)=

=



P(ξ =2)=



P(ξ =3)=

=



∴ξ 的分布列为: ξ P Eξ = = . 0 1 2 3

证明:(Ⅱ)设袋中有 n 个球,其中 y 个黑球, 由题意,得 y= n, ∴2y<n,2y≤n﹣1, ∴ ,

记“从袋中任意取出两个球,至少有 1 个黑球”为事件 B, 则 P(B)= ∴白球的个数比黑球多,白球个数多于 , ,黑球个数少于 ,

20

故袋中红球个数最少. 【点评】本题考查排列组合、对立事件、相互独立事件的概率和随机变量分布列和数学期望 等概念,同时考查学生的逻辑思维能力和分析问题及解决问题的能力.

20.在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 C1:(x+3) +(y﹣1) =4 和圆 C2:(x﹣4) +(y ﹣5) =4 (1)若直线 l 过点 A(4,0),且被圆 C1 截得的弦长为 2 ,求直线 l 的方程
2

2

2

2

(2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2,它们分别 与圆 C1 和 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,求所有满 足条件的点 P 的坐标. 【考点】直线和圆的方程的应用;直线的一般式方程. 【专题】综合题. 【分析】(1)因为直线 l 过点 A(4,0),故可以设出直线 l 的点斜式方程,又由直线被 圆 C1 截得的弦长为 2 ,根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理,我们可以求出弦心距,

即圆心到直线的距离,得到一个关于直线斜率 k 的方程,解方程求出 k 值,代入即得直线 l 的方程. (2) 与 (1)相同, 我们可以设出过 P 点的直线 l1 与 l2 的点斜式方程,由于两直线斜率为 1, 且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,故我们可以得到一个关于直 线斜率 k 的方程,解方程求出 k 值,代入即得直线 l1 与 l2 的方程. 【解答】解:(1)由于直线 x=4 与圆 C1 不相交; ∴直线 l 的斜率存在,设 l 方程为:y=k(x﹣4) 圆 C1 的圆心到直线 l 的距离为 d,∵l 被⊙C1 截得的弦长为 2 ∴d= =1

d=

从而 k(24k+7)=0 即 k=0 或 k=﹣

∴直线 l 的方程为:y=0 或 7x+24y﹣28=0 (2)设点 P(a,b)满足条件, 由题意分析可得直线 l1、l2 的斜率均存在且不为 0, 不妨设直线 l1 的方程为 y﹣b=k(x﹣a),k≠0

21

则直线 l2 方程为:y﹣b=﹣ (x﹣a) ∵⊙C1 和⊙C2 的半径相等,及直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等, ∴⊙C1 的圆心到直线 l1 的距离和圆 C2 的圆心到直线 l2 的距离相等



=

整理得|1+3k+ak﹣b|=|5k+4﹣a﹣bk| ∴1+3k+ak﹣b=±(5k+4﹣a﹣bk)即(a+b﹣2)k=b﹣a+3 或(a﹣b+8)k=a+b﹣5 因 k 的取值有无穷多个,所以 或

解得



这样的点只可能是点 P1( ,﹣ )或点 P2(﹣ ,



【点评】在解决与圆相关的弦长问题时,我们有三种方法:一是直接求出直线与圆的交点坐 标,再利用两点间的距离公式得出;二是不求交点坐标,用一元二次方程根与系数的关系得 出,即设直线的斜率为 k,直线与圆联立消去 y 后得到一个关于 x 的一元二次方程再利用弦 长公式求解,三是利用圆中半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求.对于圆中的弦长 问题,一般利用第三种方法比较简捷.本题所用方法就是第三种方法.

21.已知函数 f(x)= ax ﹣(a +1)x+alnx. (Ⅰ)若函数 f(x)在[ ,e]上单调递减,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)当 a 时,求 f(x)在[1,2]上的最大值和最小值.(注意:ln2<0.7)

2

2

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【专题】转化思想;构造法;转化法;导数的综合应用. 【分析】(Ⅰ)若函数 f(x)在[ ,e]上单调递减,等价为 f′(x)≤0 在[ ,e]上恒成 立,利用参数分离法进行求最值恒成立即可,求实数 a 的取值范围;

22

(Ⅱ)当 a

时,求函数的导数 f′(x),研究函数的单调性与最值之间的关系

即可求 f(x)在[1,2]上的最大值和最小值.( 【解答】(Ⅰ)∵f(x)在[ ,e]上单调递减,∴f′(x)=ax﹣(a2+1)+ ≤0 在[ ,e] 上恒成立, 即 ax+ ≤a2+1, ①当 a≤0 时,结论成立, ②当 a>0 时,不等式等价为 x+ ≤a+ 在[ ,e]上恒成立, 当 x>0 时,h(x)=x+ 在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数, ∴要使函数 h(x)<h(a)在[ ,e]上恒成立, 则 0<x≤ 或 x≥e, 综上 a≤ 或 a≥e.

(Ⅱ)f′(x)=ax﹣(a +1)+ =

2

=

,=

由 f′(x)=0 得 x=a 或 , ①当 0<a≤ 时,即 f′(x)≤0 时,f(x)在[1,2]上递减, ∴f(x)min=f(2)=2a﹣2(a +1)+aln2,f(x)max=f(1)= a﹣(a +1), ②当 <a≤ 时, 当 1≤x< 时,f′(x)<0,当 <x≤2,f′(x)>0, ∴f(x)min=f( )=﹣a﹣
2 2 2

﹣alna,

f(2)﹣f(1)= a﹣(a +1)+aln2, 设 h(x)= x﹣(x2+1)+xln2, <x≤ , h′(x)= ﹣2x+ln2, ∵ <x≤ , ∴h′(x)>0,
23

则 h(x)在 <x≤ 上单调递增, ∴h(x)max= × ﹣[( )2+1]+ ln2= + ln2 <0,

∴f(2)<f(1),∴f(x)max=f(1)= a﹣(a2+1), 综上当 0<a≤ 时,f(x)min=2a﹣2(a2+1)+aln2,f(x)max=f(1)= a﹣(a2+1), 当 <a≤ 时,f(x)min=﹣a﹣ ﹣alna,f(x)max=f(1)= a﹣(a2+1).

【点评】本题主要考查导数的综合应用,考查函数单调性最值和导数之间的关系,考查分类 讨论和参数分离法的应用,综合性较强,有一定的难度.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分,答题时请 写清题号.选修 4-1:集合证明选讲 22.几何证明选讲如图,已知 AD 为圆 O 的直径,直线 BA 与圆 O 相切于点 A,直线 OB 与弦 AC 垂直并相交于点 G,与弧 AC 相交于 M,连接 DC,AB=10,AC=12. (1)求证:BA?DC=GC?AD; (2)求 BM.

【考点】与圆有关的比例线段. 【专题】计算题;证明题. 【分析】(1)根据 AC⊥OB,及 AD 是圆 O 的直径,得到 Rt△AGB 和 Rt△DCA 相似,从而得 到 ,又 GC=AG,所以 ,从而得到证明;

(2)根据直角三角形中的边角关系求得 BG,再根据直角三角形的相似及切割线定理求解即 可. 【解答】(1)证明:因为 AC⊥OB,所以∠AGB=90° 又 AD 是圆 O 的直径,所以∠DCA=90°
24

又因为∠BAG=∠ADC(弦切角等于同弧所对圆周角) 所以 Rt△AGB 和 Rt△DCA 相似 所以 又因为 OG⊥AC,所以 GC=AG 所以 ,即 BA?DC=GC?AD

(2)解:因为 AC=12,所以 AG=6, 因为 AB=10,所以 由(1)知:Rt△AGB~Rt△DCA,.所以 所以 AD=15,即圆的直径 2r=15 又因为 AB2=BM?(BM+2r),即 BM2+15BM﹣100=0 解得 BM=5. 【点评】本题考查的与圆有关的比例线段、圆周角及相似三角形的判定和性质,切割线定理 的运用的综合运用.

选修 4-4:坐标系与参数方程 23.已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ =1,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角

坐标系,直线 l 的参数方程为

为参数).

(1)写出直线 l 与曲线 C 的直角坐标方程; (2)设曲线 C 经过伸缩变换 的最小值. 【考点】参数方程化成普通方程;伸缩变换;简单曲线的极坐标方程;点的极坐标和直角坐 标的互化. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】(1)利用 ρ 2=x2+y2,将 ρ =1 转化成直角坐标方程,然后将直线的参数方程的上式 化简成 t=2(x﹣1)代入下式消去参数 t 即可; 得到曲线 C′,设曲线 C′上任一点为 M(x,y),求

25

(2) 根据伸缩变换公式求出变换后的曲线方程, 然后利用参数方程表示出曲线上任意一点, 代入 ,根据三角函数的辅助角公式求出最小值.

【解答】解:(1)直线 l 的参数方程为

为参数).

由上式化简成 t=2(x﹣1)代入下式得 根据 ρ =x +y ,进行化简得 C:x +y =1 (2)∵ 代入 C 得∴
2 2 2 2 2

设椭圆的参数方程 则 则 的最小值为﹣4.

为参数)

【点评】 本题主要考查了圆的极坐标方程与直线的参数方程转化成直角坐标方程, 以及利用 椭圆的参数方程求最值问题,属于基础题.

选修 4-5:不等式选讲 24.已知 a+b=1,对? a,b∈(0,+∞), + ≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立, (Ⅰ)求 + 的最小值; (Ⅱ)求 x 的取值范围. 【考点】基本不等式在最值问题中的应用;函数恒成立问题. 【专题】函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 【分析】(Ⅰ)利用“1”的代换,化简 + ,结合基本不等式求解表达式的最小值; (Ⅱ)利用第一问的结果.通过绝对值不等式的解法,即可求 x 的取值范围. 【解答】解:(Ⅰ)∵a>0,b>0 且 a+b=1 ∴ = , 时,等号成立,

当且仅当 b=2a 时等号成立,又 a+b=1,即 故 的最小值为 9.

26

(Ⅱ)因为对 a,b∈(0,+∞),使 所以|2x﹣1|﹣|x+1|≤9, 当 x≤﹣1 时,2﹣x≤9,∴﹣7≤x≤﹣1, 当 当 时,﹣3x≤9,∴ 时,x﹣2≤9,∴ , ,∴﹣7≤x≤11.

恒成立,

【点评】本题考查函数的最值基本不等式的应用,考查分析问题解决问题的能力.

27



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