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湖北省恩施巴东县第一高级中学高中数学 §2.2.2 对数函数及其性质(第一、二课时)教案 新人教A版必修1


§2.2.2
一.教学目标 1.知识技能

对数函数及其性质(第一、二课时)

①对数函数的概念,熟悉对数函数的图象与性质规律. ②掌握对数函数的性质,能初步运用性质解决问题. 2.过程与方法 让学生通过观察对数函数的图象,发现并归纳对数函数的性质. 3.情感、态度与价值观 ①培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力; ②培养学生严谨的科学态度. 二.学法与教学用具 1.学法:通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现函数的性质; 2.教学手段:多媒体计算机辅助教学. 三.教学重点、难点 1、重点:理解对数函数的定义,掌握对数函数的图象和性质. 2、难点:底数 a 对图象的影响及对数函数性质的作用. 四.教学过程 1.设置情境 在 2.2.1 的例 6 中,考古学家利用 log
5730 1 2

P 估算出土文物或古遗址的年代,对于

每一个 C14 含量 P,通过关系式,都有唯一确定的年代 t 与之对应.同理,对于每一个对数式
x x 中的 x ,任取一个正的实数值, y 均有唯一的值与之对应, 所以 y ? log a y ? loga 关于x 的

函数. 2.探索新知 一般地,我们把函数 y ? loga x ( a >0 且 a ≠1)叫做对数函数,其中 x 是自变量,函 数的定义域是(0,+∞) . 提问: (1) .在函数的定义中,为什么要限定 a >0 且 a ≠1. (2) .为什么对数函数 y ? loga x ( a >0 且 a ≠1)的定义域是(0,+∞) .组织学生 充分讨论、交流,使学生更加理解对数函数的含义,从而加深对对数函数的理解. 答:①根据对数与指数式的关系,知 y ? loga x 可化为 a ? x ,由指数的概念,要使
y

a y ? x 有意义,必须规定 a >0 且 a ≠1.
②因为 y ? loga x 可化为 x ? a ,不管 y 取什么值,由指数函数的性质, a >0,所以
y y

x ? (0, ??) .
例题 1:求下列函数的定义域 (1) y ? log a x
2

(2) y ? loga (4 ? x)

( a >0 且 a ≠1)
1

分析:由对数函数的定义知: x >0; 4 ? x >0,解出不等式就可求出定义域.
2

解: (1)因为 x >0,即 x ≠0,所以函数 y ? log a x 的定义域为 ?x | x ? 0? .
2
2

(2)因为 4 ? x >0,即 x <4,所以函数 y ? loga (4? x ) 的定义域为 ? x | x < 4? . 下面我们来研究函数的图象,并通过图象来研究函数的性质: 先完成 P81 表 2-3,并根据此表用描点法或用电脑画出函数 y ? log2 x 的图象, 再利用 电脑软件画出 y ? log0.5 x 的图象.

x
y

1 2
-1

1 0

2 1

4 2

6 2.58

8 3

12 3.58

16 4

y

y ? log0.5 x



x

y ? log2 x
注 意 到 : y ? log 1 x ? ? log 2 x , 若 点 ( x, y)在y ? log2 x 的 图 象 上 , 则 点
2

( x, ? y ) 与 ( x, ? y ) 关于 x 轴对称, 因此,y ? log 1 x ( x, ? y)在y ? log 1 x 的图象上. 由于
2
2

的图象与 y ? log 2 x 的图象关于 x 轴对称 . 所以,由此我们可以画出 y ? log 1 x 的图象 .
2

先由学生自己画出 y ? log 1 x 的图象,再由电脑软件画出 y ? log 2 x 与 y ? log 1 x 的图
2 2

象. 探究:选取底数 a (a >0,且 a ≠1)的若干不同的值,在同一平面直角坐标系内作出相应的 对数函数的图象.观察图象,你能发现它们有哪些特征吗? .作法:用多媒体再画出 y ? log 4 x , y ? log3 x , y ? log 1 x 和 y ? log 1 x
3 4

y ? log3 x

2

4

2

y ? log4 x

-5

0

5

y ? log 1 x
-2

y ? log 1 x
3

4

提问:通过函数的图象,你能说出底数与函数图象的关系吗?函数的图象有何特征, -4 性质又如何? 先由学生讨论、交流,教师引导总结出函数的性质. (投影) 图象的特征 (1)图象都在 y 轴的右边 (2)函数图象都经过(1,0)点 (3)从左往右看,当 a >1 时,图象逐渐 上升,当 0< a <1 时,图象逐渐下降 . 函数的性质 (1)定义域是(0,+∞) (2)1 的对数是 0
x (3)当 a >1 时, y ? loga 是增函数,当

0< a <1 时, y ? loga x 是减函数. (4)当 a >1 时

x >1,则 loga x >0
(4)当 a >1 时,函数图象在(1,0)点 右边的纵坐标都大于 0,在(1,0)点左 边的纵坐标都小于 0. 当 0< a <1 时,图 象正好相反,在(1,0)点右边的纵坐标 都小于 0,在(1,0)点左边的纵坐标都 大于 0 . 0< x <1, loga x <0 当 0< a <1 时

x >1,则 loga x <0
0< x <1, loga x <0

由上述表格可知,对数函数的性质如下(先由学生仿造指数函数性质完成,教师适当 启发、引导) :

a >1
图 象

0< a <1

性 质

(1)定义域(0,+∞) ; (2)值域 R; (3)过点(1,0) ,即当 x =1, y =0;

3

(4)在(0,+∞)上是增函数 例题训练: 1. 比较下列各组数中的两个值大小 (1) log2 3.4 , (2) log0.3 1.8 , (3) loga 5.1,

在(0,+∞)是上减函数

log2 8.5
log0.3 2.7 loga 5.9
( a >0,且 a ≠1)

分析:由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成: (1)解法 1:用图形计算器或多媒体画出对数函数 y ? log 2 x 的图象.在图象上,横坐 标为 3、4 的点在横坐标为 8.5 的点的下方: 所以, log2 3.4 ? log2 8.5 解法 2: 由函数 y ? log 2 x在R 上是单调增函数, 且 3.4<8.5, 所以 log2 3.4 ? log2 8.5 .
+

解法 3:直接用计算器计算得: log2 3.4 ? 1.8 , log2 8.5 ? 3.1 (2)第(2)小题类似 (3)注:底数是常数,但要分类讨论 a 的范围,再由函数单调性判断大小. 解法 1:当 a >1 时, y ? log a x 在(0,+∞)上是增函数,且 5.1<5.9. 所以, loga 5.1 ? loga 5.9 当 a ? 1 时, y ? log a x 在(0,+∞)上是减函数,且 5.1<5.9. 所以, loga 5.1 ? loga 5.9 解法 2:转化为指数函数,再由指数函数的单调判断大小不一, 令 b1 ? loga 5.1, 则a 1 ? 5.1,
b
x

令 b2 ? loga 5.9, 则a 2 ? 5.9, 则 则a 2 ? 5.9
b
b

当 a >1 时, y ? a 在 R 上是增函数,且 5.1<5.9 所以, b1 < b2 ,即 loga 5.1 < loga 5.9 当 0< a <1 时, y ? a 在 R 上是减函数,且 5.1>5.9
x

所以, b1 < b2 ,即 loga 5.1 > loga 5.9 说明:先画图象,由数形结合方法解答 课堂练习:P73 练习 第2,3题 补充练习

4

1.已知函数 y ? f (2x ) 的定义域为[-1,1],则函数 y ? f (log2 x) 的定义域为 2.求函数 y ? 2 ? log2 x( x ? 1) 的值域. 3.已知 log m 7 < log n 7 <0,按大小顺序排列 m, n, 0, 1 4.已知 0< a <1,

b>1, ab>1.

比较 log a

1 1 , log a b, log b 的大小 b b

归纳小结: ② 对数函数的概念必要性与重要性; ②对数函数的性质,列表展现.

5


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