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空间直角坐标系中点的坐标求法


点的坐标的设元与求解策略

高中数学人教版选修2-1第三章

引例
如图,四棱柱 PABCD 中,PA⊥平面 ABCD,

PB 与底面成的角为 45°,底面 ABCD 为直角梯形,
1 ∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC= AD=1,问在棱 2

PD 上是否存在一点 E,使 CE∥平面 PAB?若存在,
求出 E 点的位置;若不存在,说明理由.

探究一:空间内与坐标轴平行(坐标轴上) 的线段上的动点坐标的设元
例 1.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, P 是侧棱 CC1 上一点,若直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角为 60° . 求 P 点的坐标。

探究一:空间内与坐标轴平行(坐标轴上) 的线段上的动点坐标的设元
例 1.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, P 是侧棱 CC1 上一点,若直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角为 60° .
z

求 P 点的坐标。

r n ? (1, ?1,0)

AP ? ( ?1,1, t )

(0,0,1) (0,1,1) (1,1,1)

uuu r r AP gn 3 6 sin 60? ? uuu , 解得t ? r r ? 2 3 AP gn
x

(0,1,t)

(0,1,0)

y

(1,0,0)
(1,10)

探究二:空间内不与坐标轴平行的线段上的 动点坐标的设元与求解
例 2 在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, 侧棱 PD 垂直于底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的 中点,F 在 PB 上,若 EF⊥PB 于点 F。 试求点 F 的坐标
P

E
D F

C

A

B

探究二:空间内不与坐标轴平行的线段上的 动点坐标的设元与求解
例 2 在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, 侧棱 PD 垂直于底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的
z

中点,F 在 PB 上,若 EF⊥PB 于点 F。 试求点 F 的坐标
(0,0,2) P

E (0,1,1)
D (0,0,0) F

C (0,2,0) y

A
x

(2,0,0)

B (2,2,0)

探究二:空间内不与坐标轴平行的线段上的 动点坐标的设元与求解 三点共线(有坐标) ? 两向量共线 P(0,0,2)
? PF ? ? PB

? ( x, y, z ? 2) ? ? (2,2, ?2) ? (2? ,2? , ?2? )
? x ? 2? ? ? ? y ? 2? ? z ? 2 ? 2? ?

F(?,?,?)

B(2,2,0)

? F (2? , 2? , 2 ? 2? )

探究二:空间内不与坐标轴平行的线段上的 动点坐标的设元与求解
例 2 在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, 侧棱 PD 垂直于底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的
z

中点,F 在 PB 上,若 EF⊥PB 于点 F。 试求点 F 的坐标
(0,0,2) P

uu u r PB ? (2,2, ?2)

E (0,1,1)
D (0,0,0) F (2λ,2λ,2-2λ)

uuu r EF ? (2? ,2? ? 1,1 ? 2? ) uuu r uuu r 由 EF⊥PB ? EF gPB ? 0
解得 ? ?

C (0,2,0) y

1 3

故 F?

? 2 2 4? , , ? ? 3 3 3?
x

A

(2,0,0)

B (2,2,0)

探究三:空间内既不在坐标轴上,也不满足 三点共线的点的设元与求解
侧面 SAB 为等边三角形,AB=BC=2,CD=SD=1, 试求 S 点的坐标。
S

探究三:如图,四棱锥 S-ABCD 中,AB∥CD,BC⊥CD,

C D

A

B

探究三:空间内既不在坐标轴上,也不满足 三点共线的点的设元与求解
侧面 SAB 为等边三角形,AB=BC=2,CD=SD=1, 试求 S 点的坐标。
z S

探究三:如图,四棱锥 S-ABCD 中,AB∥CD,BC⊥CD,

x (1,0,0) D C (0,0,0)

A (2,2,0)

B (0,2,0)

y

探究三:空间内既不在坐标轴上,也不满足 三点共线的点的设元与求解
由两点的距离公式可得

? ( x ? 1)2 ? y 2 ? z 2 ? 1 ? 2 2 2 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? z ?4 ? ? x 2 ? ( y ? 2)2 ? z 2 ? 4 ?

S(?,?,?)

? x2 ? 2 x ? 1 ? y2 ? z2 ? 1 ? 2 ? ? x ? 4 x ? 4 ? y2 ? 4 y ? 4 ? z2 ? 4 2 2 2 ? x ? y ? 4 y ? 4 ? z ?4 ?
解得 x ? 1, y ?

2

1 D(1,0,0)

2

A(2,2,0)

B(0,2,0)

1 3 1 3 ,z ? 故 S (1, , ) 2 2 2 2

学以致用
如图,四棱柱 PABCD 中,PA⊥平面 ABCD,

PB 与底面成的角为 45°,底面 ABCD 为直角梯形,
1 ∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC= AD=1,问在棱 2

PD 上是否存在一点 E,使 CE∥平面 PAB?若存在,
求出 E 点的位置;若不存在,说明理由.

跟踪演练
1.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为棱 CC1 上的动点. 若平面 A1BD⊥平面 EBD,试确定 E 点的位置.

2 如图,四棱柱 PABCD 中,PA⊥平面 ABCD,PB 与底面成的角为 45°, 1 底面 ABCD 为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC= AD=1,若 2

CE∥平面 PAB,求 E 点坐标

1.四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形,每条侧棱 都是底面边长的 2 倍,P 是侧棱上的点 (1)证 AC⊥SC (2)若 SD⊥面 PAC,则侧棱 SC 上是否存在 点 E,使 BE∥面PAC
S

A

D

B

C

3.四棱棱的底面ABCD 是梯形,AD∥BC, AB⊥BC,AD=2,AB=3,BC=BE=7,△DCE 是边长为 6 的正三角形, (1)证面 DEC⊥面 BDE (2)求点 A 到面 BDE 的距离 E

D

A

C

B

4.在锥体 P-ABC 右,底面是边长为 1 的菱形,且 ∠DAB=60°,PA=PD= 2 ,PB=2,E,F 分别 是 BC、PC 的中点, (1)证 AD⊥面 DEF (2)求二面角 P-AD-B 的余弦值。
P F

C
D E A B

5.在四棱锥 P-ABC 右,侧面 PCD⊥底面 ABCD, PD⊥CD,底面 ABCD 是直角梯形,AB∥CD, ∠ADC=90°,AB=AD=PD=1,CD=2 (1)证 BC⊥面 PBD(2)Q 是棱 PC 上一点, 满足二面角 Q-BD-P 为 45°,求 Q 点坐标
P

D

C

A

B

6.四棱锥 P-ABCD 中底面是正方形,SA⊥CD,BD⊥SC (1)证 SA⊥平面 ABCD (2)点 P 在 SC 上,SC⊥平面 PBD,设 SA=AB,求直线 BP 与平面 SBD 所成角的大小。
S

P A D

B

C



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