3986.net
小网站 大容量 大智慧
赞助商链接
当前位置:首页 >> >>

湖北省黄冈市名校2010年高三年级数学模拟试题(4)


华中师范大学

史为林(①⑧⑨⑧⑥②③⑤⑨②⑤)整理

年高三年级数学模拟试题( 湖北省黄冈市名校 2010 年高三年级数学模拟试题(4)
黄梅一中黄冈骨干高级教师命制 黄梅一中黄冈骨干高级教师命制
参考公式: 参考公式:锥体的体积公式 V =

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3 柱体的体积公式 V=Sh , 其中 S 是柱体的底面积, h 是柱体的高

如果事件 A 、 B 互斥,那么 P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) . 如果事件 A 、 B 相互独立,那么 P ( A ? B ) = P ( A ) ? P ( B ) . 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的 概率 Pn ( k ) = C n p (1 ? p )
k k n?k



小题, 在每小题给出的四个选项中, 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 选择题: 在每小题给出的四个选项中 项是符合题目要求的 1.已知α、β都是第二象限角,且 cosα>cosβ,则( A.α<β C.tanα>tanβ B.sinα>sinβ D.cotα<cotβ )

2.定义在 R 上的奇函数 f(x)为减函数,设 a+b≤0,给出下列不等式:①f(a)·f(-a)≤0; ②f(b)·f(-b)≥0;③f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b);④f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)。其中正确的不等式序 号是( ) B.①④ C.②④
2 2

A.①②④ 3.已知 E =

D.①③

{( x, y ) y ≥ x } , F = {( x, y ) x
2

+ ( y ? a ) ≤ 1 ,那么使 E ∩ F = F 成立的充要条件

}

是 ( ) ( A) a ≥

5 4

( B) a =

5 4

(C ) a ≥ 1

( D) a > 0

4.若 x∈A 则

1 1 1 ∈A,就称 A 是伙伴关系集合,集合 M={-1,0, , ,1,2,3, x 3 2


4}的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为( A.15 B.16 C.28 D.25 5. 0 < a < 1, 下列不等式一定成立的是( )

A. log (1+ a ) (1 ? a ) + log (1? a ) (1 + a ) > 2 ;B. log (1+ a ) (1 ? a ) < log (1? a ) (1 + a ) ; C. log (1+ a ) (1 ? a ) + log (1? a ) (1 + a ) < log (1+ a ) (1 ? a ) + log (1? a ) (1 + a ) ; D. log (1+ a ) (1 ? a ) ? log (1? a ) (1 + a ) > log (1+ a ) (1 ? a ) ? log (1? a ) (1 + a )
愿各位同学学习进步!金榜题名!

华中师范大学

史为林(①⑧⑨⑧⑥②③⑤⑨②⑤)整理

6. 若函数 f ( x ) = log a ( x ? ax + 3)( a > 0且a ≠ 1) , 满足对任意的 x1 、x2 , x1 < x 2 ≤ 当
2

时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) > 0 ,则实数 a 的取值范围为( A、 (0, 1) ∪ (1, 3) C、 (0, 1) ∪ (1, 2 3 ) B、 (1, 3) D、 (1, 2 3 )

a 2



7 . 设 a = ( m + 1)i ? 3i, b = i + ( m ? 1) j , 其 中 i , j 为 互 相 垂 直 的 单 位 向 量 , 又

(a + b) ⊥ (a ? b) ,则实数 m =(
A. 3 B. 2 C.-3

) D.-2

8.设函数 f (x ) 在 x = 1 处连续,且 lim
x →1

f ( x) = 2 ,则 f (1) 等于 x ?1
D. 2





A. ? 1

B. 0

C. 1

9. 若一系列函数的解析式相同, 值域相同, 但定义域不同, 则称这些函数为 “同族函数” ,
2 1 那么函数解析式为 y = x ,值域为 { , 4} 的“同族函数”共有(



A.7 个

B.8 个

C.9 个
0

D.10 个

10.如图,在 ?ABC 中, ∠CAB = ∠CBA = 30 ,AC、BC 边上的高分别为 BD、AE, 则以 A、B 为焦点,且过 D、E 的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为 A. 3 C. 2 3 B. 1 D. 2 A B E D C ( )

11.给出下列命题中 ① 向量 a、 满足 a = b = a ? b ,则 a与a + b 的夹角为 30 ; b
0

② a ? b >0,是 a、 的夹角为锐角的充要条件; b ③ 将函数 y = x ? 1 的图象按向量 a =(-1,0)平移,得到的图象对应的函数表达式为 y = x ;④ 若 ( AB+ AC) ? ?( AB ? AC ) = 0 ,则 ?ABC 为等腰三角形; 以上命题正确的个数是( A.4 个 B.1 个 ) C.3 个 D.2 个
?→ ?→
?→ ?→

12.如图,在正三棱锥 S—ABC 中,M、N 分别为棱 SC、BC 的中点,并且 AM ⊥ MN,若

愿各位同学学习进步!金榜题名!

华中师范大学

史为林(①⑧⑨⑧⑥②③⑤⑨②⑤)整理

侧棱长 SA= 3 ,则正三棱锥 S—ABC 的外接球的表面积为 A.9 π B.12 π C.16 π D.32 π

( )

小题, 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 填空题: 13.一个几何的三视图如图所示:其中,正视图中△ABC 的边长是 2 的正三角形,俯视图 为正六边形,那么该几何体几的体积为 .

14.下表给出一个“直角三角形数阵”:满足每一列成等
差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,且每一行 的 公 比 相 等 , 记 第 i 行 第 j 列 的 数 为 aij i ≥ j , i, j ∈ N * 为 .

(

)

1 4 1 1 , 2 4 3 3 3 , , 4 8 16 ?

15.如右图,E、F 分别是正方体的面 ADD1A1、面 BCC1B1 的中心,则四边形 BFD1E 在该正方 体的面上的射影可能是 .(要求:把可能的图的序号都填上) D1 A1 F D
1 ○ 2 ○ 3 ○ 4 ○

C1

C B

A

16. 如下图, 给出了一个程序框图,其作用是输入 x 的值,输出相应的 y 的值,若要使输入的 x 的 值与输出的 y 的值相等,则这样的 x 的值的集合为 .

愿各位同学学习进步!金榜题名!

华中师范大学

史为林(①⑧⑨⑧⑥②③⑤⑨②⑤)整理

开始
输入 x

x ≤ 2? 是
y=x
2



x ≤ 5?
是 y = 2x ? 3



y=

1 x

输出 y
图1

结束

小题, 三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 解答题: 17. (本小题满分 12 分)已知复数

z1 = 3 sin 2 x + λ i , z2 = m + (m ? cos 2 x)i (λ , m, x ∈ R, ) ,且 z1 = z2 . (Ⅰ)若 λ = 0 且
0< x <π
,求 x 的值; (Ⅱ)设 λ = f ( x ) ,求 f ( x ) 的最小正周期和单调增区间.

18.(本小题满分 12 分)已知 S 是数列{ 1 }的前 n 项和, n n (1)分别计算 S ? S , S ? S , S ? S 的值; 2 1 4 2 8 4 1 (2)证明:当 n ≥1 时, ≥ ,并指出等号成立条件; S n ? S 2n ?1 2
2

(3)利用(2)的结论,找出一个适当的 T ∈N,使得 S >2008;
T

使得 S + S + ? ? ? + S = f (n)( S ? 1) 对于大 (4)是否存在关于正整数 n 的函数 f (n) , 1 2 n ?1 n 于 1 的正整数 n 都成立?证明你的结论。
19. (本小题满分 12 分)在四棱锥 P ? ABCD 中, AD ⊥ AB , CD // AB ,

PD ⊥ 底面 ABCD ,

AB = 2 ,直线 PA 与底面 AD

ABCD 成 60 0 角,点 M , N 分别是 PA, PB 的中点.
(1)求二面角 P ? MN ? D 的大小; (2)当

CD AB

的值为多少时, ?CDN 为直角三角形.

20. (本小题满分 12 分)一种电脑屏幕保护画面,只有符 号“○”和“×”随机地反复出现,每秒钟变化一次,每次变化只出现“○”和“×”之一,
愿各位同学学习进步!金榜题名!

华中师范大学

史为林(①⑧⑨⑧⑥②③⑤⑨②⑤)整理

其中出现“○”的概率为 p,出现“×”的概率为 q,若第 k 次出现“○” ,则记 a k = 1 ;出 现“×” ,则记 a k = ?1 ,令 S n = a1 + a 2 + ? + a n . (I)当 p = q = 的分布列及数学期望; (II)当 p =

1 时,记 ξ =| S 3 | ,求 ξ 2

1 2 , q = 时,求 S 8 = 2且S i ≥ 0(i = 1,2,3,4) 的概率. 3 3

21. (本小题满分 13 分)一束光线从点 F1 ( ?1, 0) 出发,经直线 l : 2 x ? y + 3 = 0 上一点

P 反射后, 恰好穿过点 F2 (1 , 0) . (Ⅰ) 求点 F1 关于直线 l 的对称点 F1′ 的坐标; (Ⅱ) 求以 F1 、

F2 为焦点且过点 P 的椭圆 C 的方程; (Ⅲ)设直线 l 与椭圆 C 的两条准线分别交于 A 、 B 两
点,点 Q 为线段 AB 上的动点,求点 Q 到 F2 的距离与到椭圆 C 右准线的距离之比的最小值, 并求取得最小值时点 Q 的坐标. 22. (本小题满分 13 分)设 f ( k ) 是满足不等式 x 2 ? 3 ? g ( k ) ? x + 2 g 2 ( k ) ≤ 0 的自然数 x 的个数,其中 g ( k ) = 2 k ?1 ( k ∈ N * ) . (Ⅰ)求 f (1) 的值;(Ⅱ) 求 f ( k ) 的解析式; (Ⅲ)记

S n = ∑ f (i ) ,令 Pn = n 2 + n ? 1(n ∈ N ? ) ,试比较 S n 与 Pn 的大小.
n i =1

备选题:已知函数 f ( x ) =

1 2 x + ln x ? 1 . 2

(1)求函数 f ( x ) 在区间 [1, e] ( e 为自然对数的底)上的最大值和最小值; (2)求证:在区间 (1, +∞) 上,函数 f ( x ) 的图象在函数 g ( x ) = (3)求证: [ f '( x )]n ? f '( x n ) ≥ 2n ? 2 ( n ∈ N ? ) .

2 3 x 的图象的下方; 3

愿各位同学学习进步!金榜题名!

华中师范大学

史为林(①⑧⑨⑧⑥②③⑤⑨②⑤)整理

参考答案: 参考答案:
B B A AAD D DC A DA 1. 在第二象限角内通过余弦函数线 cosα>cosβ找出α、 β的终边位置关系, 再作出判断, 得 B。 2.取 f(x)= -x,逐项检查可知①④正确。故选 B。
2 2 , 3.∵ E 为抛物线 y = x 的内部(包括周界) F 为动圆 x + ( y ? a ) = 1 的内部(包括周界).

2

该题的几何意义是 a 为何值时,动圆进入区域 E ,并被 E 所覆盖.
∵ a 是动圆圆心的纵坐标,显然结论应是 a ≥ c ( c ∈ R + ) ,故可排除 ( B ) , ( D ) ,而当 a = 1 时,
E ∩ F ≠ F . (可验证点 ( 0,1) 到抛物线上点的最小距离为

3 ).故选 ( A ) . 2

4.具有伙伴关系的元素组有-1,1,

1 1 、2, 、3 共四组,它们中任一组、二组、三组、 2 3

四组均可组成非空伙伴关系集合,个数为 C 1 + C 2 + C 3 + C 4 =15, 选 A. 4 4 4 4 5.取满足题设的特殊数值 a= , log (1+ a ) (1 ? a ) = log 3 < log 3 = ?1 , .......... 2 2 3 2 2

1

1

2

0> log (1? a ) (1 + a ) = log 1
2

3 > log 1 2 = ?1 ,检验不等式(B),(C),(D)均不成立,选 (A). 2 2

a 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) > 0 ”实质上就是“函数单调递 2 a 减”的“伪装” ,同时还隐含了“ f (x ) 有意义” 。事实上由于 g ( x) = x 2 ? ax + 3 在 x ≤ 时递 2
6. “对任意的 x1、x2,当 x1 < x 2 ≤

?a > 1, ? 减,从而 ? a 由此得 a 的取值范围为 (1, 2 3 ) 。故选 D。 ? g ( 2 ) > 0. ?
7. a + b = ( m + 2)i + ( m ? 4) j , a ? b = mi ? ( m + 2) j. ∵ ( a + b) ⊥ ( a ? b) , ∴ ( a + b) ? ( a ? b) = 0 ∴ m(m + 2) j 2 + [ ?( m + 2) 2 + m( m ? 4)]i ? j ? ( m + 2)( m ? 4) j 2 = 0 , 而 i,j 为互相垂直的单位向量,故可得 m( m + 2) ? ( m + 2)(m ? 4) = 0, ∴ m = ?2 。故选 ( D ) 8.特殊值法, 令 f ( x ) = ( x ? 1)( x + 1) , 得 f (1) = 2 . 9.由题意知同族函数的定义域非空, 且由 ? 1, ? 2, 1, 2 中的两个(这里 ? 1, 1 和 ? 2, 2 中

愿各位同学学习进步!金榜题名!

华中师范大学

史为林(①⑧⑨⑧⑥②③⑤⑨②⑤)整理

各有一个), 或三个, 或全部元素组成, 故定义域的个数为 C 2 C 2 + C 2 C 2 + 1 = 9 。
1 1 1 1

11.对于 ① 取特值零向量错误,若前提为非零向量由向量加减法的平行四边形法则与 夹角的概念正确; 对②取特值夹角为直角错,认识数量积和夹角的关系,命题应为 a ? b >0,是 a、 的夹 b 角为锐角的必要条件; 对于③,注意按向量平移的意义,就是图象向左移 1 个单位,结论正确; 对于④;向量的数量积满足分配率运算,结论正确;

1 a 1+ 3 = = , 而在双曲线中, e 1 a 3 ?1 1 1 1 +1 3 c 3 ?2 1 = = , ∴ + = + = 3 有 3c ? c = 2a , e2 c 2 e1 e2 2 2
10.设 | AB |= 2c , 则在椭圆中, 有 c + 3c = 2a ,

故选 D.
12.∵ 三棱锥 S—ABC 正棱锥,∴ SB ⊥ AC(对棱互相垂直)∴ MN ⊥ AC 又∵ MN ⊥ AM 而 AM ∩ AC=A,∴ MN ⊥ 平面 SAC 即 SB ⊥ 平面 SAC

∴ ∠ ASB= ∠ BSC= ∠ ASC= 90 ,将此三棱锥补成正方体,则它们有相同的外接球

3 3 ∴ 2R= 3 ? 3 ,∴ R= ,∴ S= 4πR 2 = 4π ? ( ) 2 =9 π ,故选 A. 2 2
13. h = 3, a = 1, V =

1 3 1 3 × ×1 × 6 × 3 = 3 4 2
4

1 1 7 1 1 ?1? 14. a81 = a11 + ( 8 ? 1) × = + = 2, a85 = a81 × ? ? = 2 × = ; 4 4 4 16 8 ?2?

ai1 = a11 + ( i ? 1) ×

1 i ?1? = , aij = ai1 × ? ? 4 4 ?2?

j ?1

=

i ?1? ×? ? 4 ?2?

j ?1

?1? = i×? ? ?2?

j +1

15.因为正方体是对称的几何体,所以四边形 BFD1E 在该正方体的面上的射影可分为:上 下、左右、前后三个方向的射影,也就是在面 ABCD、面 ABB1A1、面 ADD1A1 上的射影. 2 四边形 BFD1E 在面 ABCD 和面 ABB1A1 上的射影相同,如图○所示; 四边形 BFD1E 在该正方体对角面的 ABC1D1 内,它在面 ADD1A1 上的射影显然是一条线段, 3 2 3 如图○所示. 故应填○○. 16.解:依题意得 ?

?x ≤ 2 ?x = x
2

,或 ?

?x > 5 ?2 < x ≤ 5 ,或 ? 1 ,解得 x = 0 ,或 x = 1 , x = 3 . ?2 x ? 3 = x ?x = x

17.解: (Ⅰ)∵ z1 = z2 ∴ ?

? 3 sin 2 x = m ? ?λ = m ? cos 2 x ?



λ= 3 sin 2 x ? cos 2 x -----------------2 分

愿各位同学学习进步!金榜题名!

华中师范大学

史为林(①⑧⑨⑧⑥②③⑤⑨②⑤)整理

若 λ = 0 则 3 sin 2 x ? cos 2 x = 0 得 tan 2 x = ∵0 < x <π, ∴ 2x = ∴x=

3 ----------------------------4 分 3

∴ 0 < 2 x < 2π

π
6

, 或 2x =

, -------------------------------------6 分 12 12 3 sin 2 x ? cos 2 x = 2( 3 1 sin 2 x ? cos 2 x) 2 2

π 7π

7π , 6

(Ⅱ)∵ λ = f ( x ) =

= 2(sin 2 x cos

π

= 2 sin(2 x ? ) ----------------------------------9 分 6
∴函数的最小正周期为 T=π-----------------------------------------10 分 由 2 kπ ?

π

? cos 2 x sin ) 6 6

π

π
2

≤ 2x ?

π
6

≤ 2 kπ +

π
2

, k ∈ Z 得 kπ ?

π
6

≤ x ≤ kπ +

π
3

,k ∈Z

∴ f ( x ) 的单调增区间 [ kπ ?

π

, kπ + ], k ∈ Z .----------------12 分 6 3

π

1 1 1 7 18.(1) S 2 ? S1 = , S 4 ? S 2 = + = , 2 3 4 12

S8 ? S 4 = + + + =

1 1 1 1 168+140+120+105 533 = 。 5 6 7 8 840 840

…………2 分

1 1 1 n-1 (2)当 n ≥1 时, S 2 n ? S 2 n?1 = n-1 + n-1 +…+ n(共 2 项) 2 +1 2 +2 2 ≥ 1 1 n-1 ×2 = ,当且仅当 n =1 时,等号成立。 n 2 2
2
n

…………4 分

(3)由于 S1 =1,当 n ≥1 时, S 于是,要使得 ST>2008,只需
2

? S 2n ?1 ≥ ,

1 2

1 1 1 1 1 1 + + ? ? ? + >2007。将 + + ? ? ? + 按照第一组 21 2 3 n 2 3 n

项,第二组 2 项,……,第 n 组 2 n 项的方式分组,……6 分 1 1 由(2)可知,每一组的和不小于 ,且只有 n =1 时等于 ,将这样的分组连续取 2×2007 2 2 组,加上 a1,共有 2 能使得 ST >2008; (注:只要取出的 T 不小于 2 (4)设这样的 f ( n) 存在,
4015 4015

项,这 2

4015

项之和一定大于 1+2007=2008,故只需取 T =2 …………8 分

4015

,就

,并说出相应理由,都给满分)

愿各位同学学习进步!金榜题名!

华中师范大学

史为林(①⑧⑨⑧⑥②③⑤⑨②⑤)整理

1 ? 1) ? f (2) = 2 , 2 5 1 1 n =3 时,有 = f (3)(1 + + ? 1) ? f (3) = 3 , 2 2 3

n =2 时,有 1= f (2)(1 +

猜测 f (n) = n ( n ≥2).下面用数学归纳法证明: ① n =2,3 时,上面已证,猜测正确; ②设 n = k ( k ≥2)时, f ( n) = k 即 S1 + S 2 + ? ? ? + S n ?1 = k ( S k ? 1) 成立 则 S1 + S 2 + ? ? ? + S n ?1 + S k = k ( S k ? 1) + S k

= (k + 1) S k ? k 1 ? 1) k +1 = (k + 1)( S k +1 ? 1)。 = (k + 1)( S k +
即 n = ( k + 1) 时,猜测也正确。综上所述,存在 f (n) = n ,使得

S1 + S 2 + ? ? ? + S n ?1 = f (n)( S n ? 1) 对 于 大 于
立。 19. (1)由已知 AB ⊥ AD, PD ⊥ AB , 又 MN // AB , ∴ MN ⊥ 平面 PAD ,
0 0

1

的 正 整 数

n 都 成

…………12 分 得 AB ⊥ 平面 PAD ,

MN ⊥ PM , MN ⊥ DM ,
----------3 分

∴ ∠PMD 为二面角 P ? MN ? D 的平面角. 由已知 ∠PAD = 60 , 得 ∠MPD = 30 , ∵ DM 是 Rt?PDA 斜边 PA 上的中线, ∴ ?PMD 为等腰三角形,

MD = MP
0

∠PMD = 120 , 0 -------------7 分 即二面角 P ? MN ? D 的大小为 120 . 0 0 (2)显然 ∠DCN ≠ 90 . 若 ∠CDN = 90 , 则 CD ⊥ 平面 PAN , 而 CD ⊥ 平面 PAD ,故平面 PAN 与平面 PAD 重合,与题意不符. 由 ?CDN 是 Rt? ,则必有 CN ⊥ DN , 连 BD,设 AD = a ,由已知得 AB = 2a ,从而 BD = 3a , 0 又 PD = AD tan 60 = 3a ,∴ PD = BD ,得 DN ⊥ PB , 故 DN ⊥ 平面 PBC , -----------9 分 ∴ DN ⊥ BC ,又 PD ⊥ BC ,∴ BC ⊥ 平面 PBD , ∴ BD ⊥ BC ,反之亦然. ∵ AB // CD ∴ ∠ABD = ∠CDB , ∴ Rt?ABD ∽ Rt?CDB -------11 分


CD BD = , BD AB

CD =

BD 2 , AB

CD BD 2 3 = = . AB AB 2 2
1 , 2

--------12 分

20.解: (I)∵ ξ =| S 3 | 的取值为 1, 3,又 p = q =
愿各位同学学习进步!金榜题名!

华中师范大学

史为林(①⑧⑨⑧⑥②③⑤⑨②⑤)整理

1 3 1 1 1 1 1 ∴ P (ξ = 1) = C 3 ( ) ? ( ) 2 ? 2 = , P (ξ = 3) = ( ) 3 + ( ) 3 ? = . ………………4 分 2 2 4 2 3 4
ξ ∴ξ的分布列为 P ∴Eξ=1× 1 3

3 4

1 4

…………………………5 分

3 1 3 +3× = . 4 4 2

………………………………6 分

(II)当 S8=2 时,即前八秒出现“○”5 次和“×”3 次,又已知 S i ≥ 0(i = 1,2,3,4), 若第一、三秒出现“○” ,则其余六秒可任意出现“○”3 次; 若第一、二秒出现“○” ,第三秒出现“×” ,则后五秒可任出现“○”3 次. 故此时的概率为 P = (C 6 + C 5 ) ? ( ) ? ( ) =
3 3 5 3

30 × 8 80 80 = 7 (或 ). …………12 分 8 2187 3 3 n 1 m ?1 n = ? 且2? ? +3= 0. 21.解: (Ⅰ)设 F1′ 的坐标为 (m, n) ,则 m +1 2 2 2 9 2 9 2 解得 m = ? , n = , 因此,点 F1′ 的坐标为 ( ? , ) . 5 5 5 5 1 3 2 3

(Ⅱ)∵ PF1′ = PF1 ,根据椭圆定义, 得 2a =| PF1′ | + | PF2 |=| F1′F2 | =

9 2 (? ? 1) 2 + ( ? 0) 2 = 2 2 , 5 5
∴所求椭圆方程为

∴ a = 2 , b = 2 ?1 = 1.

x2 + y2 = 1. 2

(Ⅲ)∵

a2 = 2 ,∴ 椭圆的准线方程为 x = ±2 . c

设点 Q 的坐标为 (t , 2t + 3) ( ?2 < t < 2) , d 1 表示点 Q 到 F2 的距离, d 2 表示点 Q 到椭圆 的右准线的距离. 则 d1 =

(t ? 1) 2 + (2t + 3) 2 = 5t 2 + 10t + 10 , d 2 = t ? 2 . 5t 2 + 10t + 10 t 2 + 2t + 2 t 2 + 2t + 2 , 令 f (t ) = = 5? (?2 < t < 2) , 则 t ?2 (t ? 2) 2 (t ? 2) 2

d1 = d2 f ′(t ) =

(2t + 2) ? (t ? 2) 2 ? (t 2 + 2t + 2) ? 2(t ? 2) ? (6t + 8) = , (t ? 2) 4 (t ? 2) 3 4 f ′(t ) > 0 , t = ? , f ′(t ) = 0 . 3

4 4 ∵ 当 ? 2 < t < ? , f ′(t ) < 0 , ? < t < 2, 3 3 4 ∴ f (t ) 在 t = ? 时取得最小值. 3

愿各位同学学习进步!金榜题名!

华中师范大学

史为林(①⑧⑨⑧⑥②③⑤⑨②⑤)整理

因此,

d1 4 2 4 1 最小值= 5 ? f ( ? ) = ,此时点 Q 的坐标为 (? , ) -----------------13 分 d2 3 2 3 3
2

22.解: (Ⅰ)当 k = 1 时,原不等式即 x ? 3 x + 2 ≤ 0 ,解得 1 ≤ x ≤ 2 ,

∵ x ∈ N+

∴ x = 1, 2 即 f (1) = 2 ------------------------------2 分

(Ⅱ)原不等式等价于

( x ? 2k )( x ? 2k ?1 ) ≤ 0 ? 2k ?1 ≤ x ≤ 2 k ……………………………………………..4 分 f (k ) = 2 k ? 2 k ?1 + 1 = 2 k ?1 + 1 ………………………………………………………..6 分
∴ Sn =

∑ f (i) = f (1) + f (2) + ? + f (n) = 2
i =1

n

0

+ 21 + ? + 2n ?1 + n = 2n + n ? 1 ……8 分

(Ⅲ)∵ S n ? Pn = 2 n ? n 2 n=1 时, 21 ? 12 > 0; ;n=2 时, 2 2 ? 2 2 = 0; n=3 时, 2 3 ? 3 2 < 0; ;n=4 时, 2 4 ? 4 2 = 0; n=5 时, 2 5 ? 5 2 > 0; ;n=6 时, 2 6 ? 6 2 > 0; …………………………………………9 分 猜想: n ≥ 5 时 S n > Pn 下面用数学归纳法给出证明 ①当 n=5 时, S 5 > P5 ,已证…………………………………………………….10 分 ②假设 n = k (k ≥ 5) 时结论成立即 S k > Pk ,2 k > k 2 那么 n=k+1 时, 2k +1 ? ( k + 1) 2 = 2 ? 2k ? k 2 ? 2k ? 1 > 2 ? k 2 ? k 2 ? 2k ? 1

= k 2 ? 2k ? 1 = (k ? 1)2 ? 2
在 k ≥ 5 范围内, (k ? 1) ? 2 > 0 恒成立,则 2k +1 > ( k + 1) 2 ,即 S K +1 > Pk +1
2

由①②可得,猜想正确,即 n ≥ 5 时, S n > Pn ………………………………….. 12 分 综上所述:当 n=2,4 时, S n = Pn ;当 n=3 时, S n < Pn ;当 n=1 或 n ≥ 5 时 S n > Pn ;---13 分 备选题:解:(1)∵

f '( x) = x +

1 -------------------------------------------1 分 x

当 x ∈ [1, e] 时, f '( x ) > 0 ,∴函数 f ( x ) 在 [1, e] 上为增函数----------------3 分

愿各位同学学习进步!金榜题名!

华中师范大学

史为林(①⑧⑨⑧⑥②③⑤⑨②⑤)整理

∴ f ( x ) max = f (e) =

1 2 1 e , f ( x) min = f (1) = ? --------------------------4 分 2 2 1 2 2 3 (2)证明:令 F ( x ) = f ( x ) ? g ( x ) = x + ln x ? 1 ? x 2 3
则 F '( x) = x +

1 x 2 + 1 ? 2 x3 (1 ? x)(1 + x + x 2 ) ? 2x2 = = x x x

∵当 x > 1 时 F '( x ) < 0 ,∴函数 F ( x ) 在区间 (1, +∞) 上为减函数

1 2 ? 1 ? < 0 ,即在 (1, +∞) 上, f ( x) < g ( x) 2 3 2 3 ∴在区间 (1, +∞) 上,函数 f ( x ) 的图象在函数 g ( x ) = x 的图象的下方-----8 分 3 1 (3)证明:∵ f '( x ) = x + ,当 n = 1 时,不等式显然成立 x
∴ F ( x ) < F (1) = 当n ≥ 2时 ∵ [ f '( x )]n ? f '( x n ) = ( x + ) n ? ( x n +
n [ f '( x )]n ? f '( x n ) = Cn ?1

1 x

1 1 1 2 n ) = Cn x n ? 2 + Cn x n ?3 + ? + Cn ?1 n ? 2 -----① n x x
1 + ? + Cn x n ? 2 -------------②-----10 分

1 x
n?2

n + Cn ? 2

1 x
n ?3

①+②得

1 1 1 1 1 2 n [ f '( x )]n ? f '( x n ) = [( x n ? 2 + n ? 2 )Cn + ( x n ?3 + n ?3 )Cn + ? + ( x n ? 2 + n ? 2 )Cn ?1 ] 2 x x x
≥ Cn + Cn + ? + Cn
1 2 n ?1

= 2 n ? 2 (当且仅当 x = 1 时“=”成立)---------------13 分

∴当 n ≥ 2 时,不等式成立 综上所述得 [ f '( x )]n ? f '( x n ) ≥ 2n ? 2 ( n ∈ N ? ) .--------------------------14 分

愿各位同学学习进步!金榜题名!



推荐相关:

湖北省黄冈市名校2010年高三年级数学(理)模拟试题(7)

4页 10财富值 江苏省扬州中学2010年高三... 14页 2财富值如要投诉违规内容,...年高三年级数学模拟试题( 湖北省黄冈市名校 2010 年高三年级数学模拟试题(7)...


湖北省黄冈市名校2010年高三年级数学模拟试题(2)

年高三年级数学模拟试题( 湖北省黄冈市名校 2010 年高三年级数学模拟试题(2)麻城...( A. ) 2 3 B. D. C. 2 4 3 8 3 -2- ( 小题, 把答案填在...


湖北省黄冈市名校2010年高三年级数学模拟试题(7)

( 湖北省黄冈市名校 2010 年高三年级数学模拟试题(7)浠水一中特级教师命制 ...4 ,R =1,S=4πr =4π; 2 2 7.答案:B 解析: ( a 3 + b 3 ) ...


湖北省黄冈市名校2010年高三年级数学(理)模拟试题(8)

年高三年级数学模拟试题( 湖北省黄冈市名校 2010 年高三年级数学模拟试题(8) ...本小题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题所给的四个 有一项...


2010届湖北省黄冈市名校高三数学最新模拟试题(七)

湖北省黄冈市名校 2010 年高三年级数学模拟试题(七)浠水一中特级教师命制一、选择...(本小题满分 12 分) 某汽车驾驶学校在学员结业前,对学员的驾驶技术进行 4 ...


湖北省黄冈市名校2010年高三年级数学模拟试题(2)

湖北省黄冈市名校2010年高三年级数学模拟试题(2)湖北省黄冈市名校2010年高三年级...( A. ) 2 3 B. D. C. 2 4 3 8 3 -2- 二、填空题: (本大题共...


湖北省黄冈市名校2010年高三年级数学(理)模拟试题(7)

湖北省黄冈市名校2010年高三年级数学(理)模拟试题(7)湖北省黄冈市名校2010年高三...4 ,R =1,S=4π r =4π ; 2 2 7.答案:B 解析: (a 3 ? b 3 )...


湖北省黄冈市名校2010年高三年级数学(理)模拟试题(9)1-...

湖北省黄冈市名校 2010 年高三年级数学模拟试题(9)数学试题(理科)一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 ...


湖北省黄冈市名校2010年高三年级数学(文)模拟试题(10)

湖北省黄冈市名校 2010 年高三年级数学模拟试题(10)数学试题( 数学试题(文科)一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选...


人教版 四年级上学期数学 期末模拟试题 10 (湖北黄冈名...

人教版 四年级上学期数学 期末模拟试题 10 (湖北黄冈名校 优质试卷)_数学_小学教育_教育专区。人教版 四年级上学期数学 期末模拟试题 10 (湖北黄冈名校 优质试卷...

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com