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2018版高中数学第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义学案


2.2.1

向量加法运算及其几何意义

1.理解并掌握向量加法的概念,了解向量加法的几何意义及其运算律.(难点) 2.掌握向量加法运算法则,能熟练地进行加法运算.(重点) 3.数的加法与向量的加法的联系与区别.(易混点)

[基础·初探] 教材整理 1 向量加法的定义及其运算法则 阅读教材 P80~P81“例 1”以上内容,完成下列问题. 1.向量加法的定义 定义:求两个向量和的运算,叫做向量的加法. 对于零向量与任一向量 a,规定0+a=a+0=a. 2.向量求和的法则 已知非零向量 a,b,在平面内任取一点 A,作 A B =a,B C =b,则向量 三角形法则





→ → → → A C 叫做 a 与 b 的和,记作 a+b,即 a+b=A B +B C =A C

已知两个不共线向量 a,b,作 A B =a,A D =b,以 A B ,A D 为邻边作 ?ABCD, 平行四边形法则









则对角线上的向量 A C =a+b.



→ 对于任意一个四边形 ABCD,下列式子不能化简为BC的是________. → → → → → → (1)BA+AD+DC;(2)BD+DA+AC; → → → (3)AB+BD+DC.

1

→ → → → → → → → → → → → 【解析】 在(1)中,BA+AD+DC=BD+DC=BC;在(2)中,BD+DA+AC=BA+AC=BC; → → → → → → 在(3)中,AB+BD+DC=AD+DC=AC. 【答案】 (3) 教材整理 2 向量加法的运算律 阅读教材 P82~P83 例 2 以上内容,完成下列问题. 交换律 结合律 (a+b)+c=a+(b+c)

a+b=b+a

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)a+0=a.( (2)a+b=b+a.( ) ) )

(3)a+(b+c)=(a+b)+c.( → → → (4)AB+BA=2AB.( )

→ → 【解析】 根据运算律知,(1)(2)(3)显然正确,对于(4),应为AB+BA=0.故(4)错误. 【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×

[小组合作型]

向量加法运算法则的应用 (1)如图 2?2?1,在△ABC 中,D,E 分别是 AB,AC 上的点,F 为线段 DE 延长线 上一点,DE∥BC,AB∥CF,连接 CD,那么(在横线上只填上一个向量):

图 2?2?1 → → ①AB+DF=________; → → ②AD+FC=________; → → → ③AD+BC+FC=________.

2

→ → → (2)若正方形 ABCD 的边长为 1,AB=a,AD=b,AC=c.试作出向量 a+b+c,并求出其 模的大小. 【精彩点拨】 利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则求和及作图. 【自主解答】 (1)如题图,由已知得四边形 DFCB 为平行四边形,由向量加法的运算法 则可知: → → → → → ①AB+DF=AB+BC=AC. → → → → → ②AD+FC=AD+DB=AB. → → → → → → → ③AD+BC+FC=AD+DF+FC=AC. → 【答案】 (1)①AC → → ②AB ③AC

→ → → (2)根据平行四边形法则可知,a+b=AB+AD=AC. → → → → → → 根据三角形法则,延长 AC,在 AC 的延长线上作CE=AC,则 a+b+c=AC+AC=AC+CE= →

AE(如图所示).
→ 2 2 所以|a+b+c|=|AE|=2 1 +1 =2 2.

1.向量求和的注意点: (1)三角形法则对于两个向量共线时也适用. (2)两个向量的和向量仍是一个向量. (3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用. 2.利用三角形法则时,要注意两向量“首尾顺次相连”,其和向量为“起点指向终点” 的向量;利用平行四边形法则要注意两向量“共起点”,其和向量为共起点的“对角线”向 量.

[再练一题] 1.如图 2?2?2 所示,设 O 为正六边形 ABCDEF 的中心,求下列向量:

3

图 2?2?2 → → (1)OA+OC; → → (2)BC+FE. → 【解】 (1)由图可知,四边形 OABC 为平行四边形.由向量加法的平行四边形法则,得OA → → +OC=OB. → → → → (2)由图可知,BC=FE=OD=AO, → → → → → ∴BC+FE=AO+OD=AD.

向量加法运算律的应用 (1)下列等式不正确的是( )

→ → → → → → ①a+(b+c)=(a+c)+b;②AB+BA=0;③AC=DC+AB+BD. A.②③ C.① B.② D.③

(2)设 A,B,C,D 是平面上任意四点,试化简: → → → ①AB+CD+BC; → → → → ②DB+AC+BD+CA. 【精彩点拨】 可利用向量加法的交换律使求和的各向量首尾相接,然后再利用加法法 则求和. → → 【自主解答】 (1)由向量的加法满足结合律知①正确;因为AB+BA=0,故②不正确; → → → → → → → DC+AB+BD=AB+BD+DC=AC成立,故③正确. 【答案】 B → → → → → → → → → (2)①AB+CD+BC=(AB+BC)+CD=AC+CD=AD. → → → → → → → → ②DB+AC+BD+CA=(DB+BD)+(AC+CA)=0+0=0.

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向量加法运算律的意义和应用原则: (1)意义: 向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据,实现恰当利用向量加法法则运算的目 的. 实际上,由于向量的加法满足交换律和结合律,故多个向量的加法运算可以按照任意的 次序、任意的组合来进行. (2)应用原则: 利用代数方法通过向量加法的交换律,使各向量“首尾相连”,通过向量加法的结合律 调整向量相加的顺序.

[再练一题] → → → → 2.化简:(1)(MA+BN)+(AC+CB); → → → → (2)AB+(BD+CA)+DC. → → → → 【解】 (1)(MA+BN)+(AC+CB) → → → → =(MA+AC)+(CB+BN) → → → =MC+CN=MN. → → → → (2)AB+(BD+CA)+DC → → → → =AB+BD+DC+CA=0.

向量加法的实际应用 如图 2?2?3 所示, 一架飞机从 A 地按北偏东 35°的方向飞行 800 km 到达 B 地接 到受伤人员,然后又从 B 地按南偏东 55°的方向飞行 800 km 送往 C 地医院,求这架飞机飞 行的路程及两次位移的和. 【导学号:00680036】

图 2?2?3 → 【精彩点拨】 解答本题先明确飞行路程与两次位移和的含义,再解 Rt△ABC,求出|AC |和∠BAC,最后结合图形作答.

5

→ → 【自主解答】 设AB,BC分别表示飞机从 A 地按北偏东 35°的方向飞行 800 km,从 B → → 地按南偏东 55°的方向飞行 800 km,则飞机飞行的路程指的是|AB|+|BC|; → → → 两次飞行的位移的和指的是AB+BC=AC. → → 依题意,有|AB|+|BC|=800+800=1 600(km), 又 α =35°,β =55°,∠ABC=35°+55°=90°, → 所以|AC|=
2 2 → 2 → 2 |AB| +|BC| = 800 +800 =800 2(km).

其中∠BAC=45°,所以方向为北偏东 35°+45°=80°. 从而飞机飞行的路程是 1 600 km,两次飞行的位移和的大小为 800 2 km,方向为北偏 东 80°.

向量加法的实际问题的解题步骤如下: ?1?用向量表示相应问题中既有大小又有方向的量; ?2?利用平行四边形法则或三角形法则求向量的和; ?3?利用直角三角形知识解决问题.

[再练一题] 3.为了调运急需物资,如图 2?2?4 所示,一艘船从江南岸 A 点出发,以 5 3 km/h 的速 度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东 5 km/h.

图 2?2?4 (1)试用向量表示江水的速度、船速以及船实际航行的速度; (2)求船实际航行的速度的大小与方向.(用与江水的速度方向间的夹角表示) → → 【解】 (1)如图所示,AD表示船速,AB表示水速.

易知 AD⊥AB,以 AD,AB 为邻边作矩形 ABCD, → 则AC表示船实际航行的速度.
6

→ → (2)在 Rt△ABC 中,|AB|=5,|BC|=5 3, → 所以|AC|=
2

→ 2 → 2 |AB| +|BC| =
2

5 +?5 3? = 100=10. → |BC| 因为 tan∠CAB= = 3,所以∠CAB=60°. → |AB| 因此,船实际航行的速度大小为 10 km/h,方向与江水的速度方向间的夹角为 60°. [探究共研型]

向量加法的多边形法则 → → → 探究 1 在△ABC 中,若AB=a,BC=b,CA=c,那么 a+b+c=0 一定成立吗? → → → → 【提示】 一定成立.因为在△ABC 中,由向量加法的三角形法则AB+BC=AC,所以AB+ → → BC+CA=0,那么 a+b+c=0. 探究 2 如果任意三个向量 a,b,c 满足条件 a+b+c=0,那么表示它们的有向线段是 否一定构成三角形? 【提示】 若任意三个向量 a,b,c 满足 a+b+c=0,则表示它们的有向线段不一定构 成三角形,因为当这三个向量为共线向量时,同样有可能满足 a+b+c=0,此时,表示它们 的有向线段肯定不能构成三角形,所以任意三个向量 a,b,c 满足 a+b+c=0时,表示它们 的有向线段不一定构成三角形. → → 探究 3 设 A1,A2,A3,?,An(n∈N,且 n≥3)是平面内的点,则一般情况下,A1An=A1A2 → → → → → → → +A2A3+A3A4+?+An-1An.当 A1 与 An 重合时,A1A2+A2A3+A3A4+?+An-1An满足什么关系? → → → → 【提示】 当 A1 与 An 重合时,有A1A2+A2A3+A3A4+?+An-1An=0. → → → 如图 2?2?5,正六边形 ABCDEF 中,BA+CD+EF=( ) 【导学号:70512024】

图 2?2?5 A.0 → C.AD → B.BE → D.CF

7

→ → → → 【精彩点拨】 用向量加法的运算律可以实现简化运算的目的, 将BA+CD+EF变形为CD+ → → DE+EF就可以利用向量加法的多边形法则求和向量. → → → 【自主解答】 因为 ABCDEF 是正六边形,所以 BA∥DE,BA=DE,所以BA=DE,所以BA+ → → → → → → → → → CD+EF=DE+CD+EF=CD+DE+EF=CF. 【答案】 D

三个关键:一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系;二是熟练找出图形中的相等向 量;三是能根据多边形法则作出向量的和向量.

[再练一题] 4.如图 2?2?6,E,F,G,H 分别是梯形 ABCD 的边 AB,BC,CD,DA 的中点,化简下列各 式:

图 2?2?6 → → → (1)DG+EA+CB; → → → → (2)EG+CG+DA+EB. → → → → → → → → → → → → 【解】 (1)DG+EA+CB=GC+BE+CB=GC+CB+BE=GB+BE=GE. → → → → → → → → → → → → → (2)EG+CG+DA+EB=EG+GD+DA+AE=ED+DA+AE=EA+AE=0.

→ → → → 1.化简OP+PQ+PS+SP的结果等于( → A.QP → C.SP

) → B.OQ → D.SQ

→ → → → → → 【解析】 OP+PQ+PS+SP=OQ+0=OQ. 【答案】 B 2.下列命题中正确的个数为( )【导学号:00680037】

(1)如果非零向量 a 与 b 的方向相同或相反,那么(a+b)∥a;
8

→ → (2)在平行四边形 ABCD 中,必有BC=AD; → → (3)若BC=AD,则 A,B,C,D 为平行四边形的四个顶点; (4)若 a,b 均为非零向量,则|a+b|≤|a|+|b|. A.0 C.2 B.1 D.3

→ → 【解析】 (1)正确;(2)在平行四边形 ABCD 中,BC∥AD,且 BC=AD,所以BC=AD,正 确;(3)A,B,C,D 可能共线,所以错误;(4)为向量的三角不等式,所以正确. 【答案】 D → → → 3.在四边形 ABCD 中,AC=AB+AD,则一定有( A.四边形 ABCD 是矩形 B.四边形 ABCD 是菱形 C.四边形 ABCD 是正方形 D.四边形 ABCD 是平行四边形 → → → → → 【解析】 由AC=AB+AD得AD=BC,即 AD=BC,且 AD∥BC,所以四边形 ABCD 一组对边 平行且相等,故为平行四边形. 【答案】 D 4.若 a 表示“向东走 8 km”,b 表示“向北走 8 km”,则|a+b|=________,a+b 的 方向是________. → → 【解析】 如图所示,作OA=a,AB=b, )

→ → → 则 a+b=OA+AB=OB. → 所以|a+b|=|OB| = 8 +8 =8 2(km), 因为∠AOB=45°, 所以 a+b 的方向是东北方向. 【答案】 8 2 km 东北方向
2 2

5.已知向量 a,b,c,如图 2?2?7,求作 a+b+c.

9

图 2?2?7 → → → 【解】 在平面内任取一点 O,作OA=a,AB=b,BC=c,如图,

→ → 则由向量加法的三角形法则,得OB=a+b,OC=a+b+c, →

OC即为所作向量.

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