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江苏省淮安中学2011-2012学年高一数学上学期期末考试试题


高一上学期期末考试数学试题
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。请把答案填在答题卡相应位置上。 ) 1.已知集合 A ? x 0 ? x ? 2 ,则集合 A 的元素中有 2.已知向量 a ? (2,1), b ? ( ?3, 4), 则 a ? b ? 3.已知向量 a ? (cos x,sin x) ,则 | a |? 4. sin

?

?

个整数。

?

?

?

?

。 。

?

?

?
3

的值是

。 。 。

5.已知函数 f ( x) ? sin x cos x ,则 f (?1) ? f (1) ?

6.在平面直角坐标系中,若角 ? 的终边落在射线 y ? x( x ? 0) 上,则 tan ? ? 7.函数 f ( x) ? tan x 的定义域为
2 m

。 。 。 。 。 A

8.函数 f ( x) ? (m ? m ? 1) x 是幂函数,则实数 m 的值为 9.函数 f ( x) ? 2 cos x(0 ? x ? 10.若 sin(

?
2

) 的值域是

?

1 ? ? ? ) ? ,则 sin( ? ? ) ? 2 3 2
x 2

11.已知函数 f ( x) ? 2 ? 1 ,且 f (a ) ? f (1) ,则实数 a 的取值范围为 12.函数 f ( x) ? ln x 的单调递增区间为
2



13.如图,在 ?ABC 中, AB ? 2 , AC ? 3 , D 是边 BC 的中点,则 AD ? BC ? ____________。 14.给出下列命题: (1)函数 f ( x) ? tan x 有无数个零点;

???? ??? ?

B

D

C

(2)若关于 x 的方程 ( )| x| ? m ? 0 有解,则实数 m 的取值范围是 (0,1] ; (3)把函数 f ( x) ? 2sin 2 x 的图象沿 x 轴方向向左平移 得到的函数解析式可以表示成 f ( x) ? 2sin 2( x ? (4)函数 f ( x) ?

1 2

?
6

个单位后,

?
6

);

1 1 sin x ? sin x 的值域是 [?1,1] ; 2 2 (5)已知函数 f ? x ? ? 2 cos x ,若存在实数 x1 , x2 ,使得对任意的实数 x 都有
f ? x1 ? ? f ? x ? ? f ? x2 ? 成立,则 x1 ? x2 的最小值为 2? 。
个。 其中正确的命题有

用心

爱心

专心

-1-

二、解答题(本大题共六小题,共计 90 分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤。 ) 15. (本题满分14分) 已知函数 f ( x) ? 2sin 2 x 。 (Ⅰ)求函数 f ( x) 最小正周期; (Ⅱ)若 f ( x) ? 2 ,求 x 的值; (Ⅲ)写出函数 f ( x) 的单调递减区间。

16. (本题满分 14 分) 已知向量 | a |? 1,| b |?

?

?

2。

(Ⅰ)若向量 a, b 的夹角为 60? ,求 a ? b 的值;

? ? ?

? ?

? ? 5 ,求 a ? b 的值; ? ? ? ? ? (Ⅲ)若 a ? (a ? b) ? 0 ,求 a, b 的夹角。
(Ⅱ)若 | a ? b |?

?

17. (本题满分 14 分) 已知向量 a ? ?1, cos x ? , b ? ? , sin x ? , x ? ? 0, ? ? 。 (Ⅰ)若 a // b ,分别求 tan x 和

?

?

?1 ?3

? ?

? ?

sin x ? cos x 的值; sin x ? cos x

(Ⅱ)若 a ? b ,求 sin x ? cos x 的值。

?

?

18. (本题满分 16 分) 某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水量不超过 4 吨时,按每吨 1.8 元收费; 当每户每月用水量超过 4 吨时, 其中 4 吨按每吨为 1.8 元收费, 超过 4 吨的部分按每吨 3.00 元收费。设每户每月用水量为 x 吨,应交水费 y 元。 (Ⅰ)求 y 关于 x 的函数关系; (Ⅱ)某用户 1 月份用水量为 5 吨,则 1 月份应交水费多少元? (Ⅲ)若甲、乙两用户 1 月用水量之比为 5 : 3 ,共交水费 26.4 元,分别求出甲、乙两用 户该月的用水量和水费。

用心

爱心

专心

-2-

19.(本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x ? lg x 。 (Ⅰ)利用函数单调性的定义证明函数 f ( x) 在 (0, ??) 上是单调增函数; (Ⅱ)证明方程 f ( x) ? 3 在区间 (1,10) 上有实数解; (Ⅲ)若 x0 是方程 f ( x) ? 3 的一个实数解,且 x0 ? (k , k ? 1) ,求整数 k 的值。

用心

爱心

专心

-3-

期末考试高一数学参考答案 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。请把答案填在答题卡相应位置上。 )

1. 2

2. (?1,5)

3. 1

4.

3 2

5. 0

6. 1 11. (?1,1)

7.

?

8. ?1 或 2 13.

9. [0, 2] 14.3

10.

1 3

12. (1, ??)

5 2

二、解答题(本大题共六小题,共计 90 分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤。 )

17. (本题满分 14 分)

1 1 cos x ? tan x ? 2 3 1 ?1 sin x ? cos x tan x ? 1 3 ? ? ? ? ?2 sin x ? cos x tan x ? 1 1 ?1 3 1 1 (Ⅱ)? a ? b ? ? sin x cos x ? 0 ? sin x cos x ? ? 3 3 5 ? (sin x ? cos x) 2 ? 1 ? 2sin x cos x ? 3
(Ⅰ)? a / / b ? sin x ?

4分

8分

用心

爱心

专心

-4-

又? x ? (0, ? )且 sin x cos x ? 0 ? x ? (

?
2

, ? ) ? sin x ? cos x ? 0
14 分

? sin x ? cos x ?

15 3

18. (本题满分 16 分) (Ⅰ) y ? ?

?1.8 x(0 ? x ? 4) ?7.2 ? 3( x ? 4)( x ? 4)

5分 10 分

(Ⅱ)10.2 元

4 ,则甲、乙两用户共应交费 14.4 ? 3(8m ? 8) ? 26.4 , m ? 1.5 , 3 甲用户用水量为 7.5 吨,交费 17.7 元,乙用户用水量为 4.5 吨,交费 8.7 元。 答:甲用户用水量为 7.5 吨,交费 17.7 元,乙用户用水量为 4.5 吨,交费 8.7 元。 16 分
(3)若 m ?

19.(本题满分 16 分) (Ⅰ)利用单调性的定义证明 (Ⅱ)令 g ( x) ? f ( x) ? 3 ? x ? lg x ? 3 , 由 g (1) g (10) ? (?2) ? 7 ? 0 ,且 y ? g ( x) 的图象在 (1,10) 是不间断的, 方程 f ( x) ? 3 在 (0, ??) 有实数解。

6分

11 分

20.(本题满分 16 分) (Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ? cos x ? 2sin x ? ? sin x ? 2sin x ? 1
2 2

? ?(sin x ? 1) 2 ? 2
用心 爱心 专心 -5-

由 ?1 ? sin x ? 1 , ?2 ? f ( x) ? 2 ,即函数 f ( x) 的值域为 [?2, 2] (Ⅱ) f ( x) ? ? sin x ? a sin x ? 1 ? ?(sin x ?
2

6分

a 2 a2 ) ? ?1, 2 4
11 分

?a (a ? 0) , f ( x) 的最小值为 ?6 ,则 a ? ?6 。 f ( x) min ? ? ??a (a ? 0)

a 2 a2 (Ⅲ) f ( x) ? ? sin x ? a sin x ? 1 ? ?(sin x ? ) ? ?1, 2 4
2

f ( x) max

??a (a ? ?2) ? 2 ?a ? ? ? 1(?2 ? a ? 2) ?4 ?a (a ? 2) ?

16 分

用心

爱心

专心

-6-


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