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吉林省东北师范大学附属中学2015-2016学年高中数学 2.2第02课时 椭圆及其标准方程教案 理 新人教A版选修2-1


课题:椭圆及其标准方程
课时:02 课型:新授课 教学目标: 1.知识与技能目标 理解椭圆的概念,掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题;理解椭圆标准方程 的推导过程及化简无理方程的常用的方法; 了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方 法. . 2.过程与方法目标:培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力。 3.情感、态度与价值观目标 通过作图展示与操作,必须让学生认同:圆、椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线。 4.能力目标 (1).培养想象与归纳能力,培养学生的辩证思维能力,培养学生实际动手能力,综合利用 已有的知识能力. (2).数学活动能力:培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力. (3).创新意识能力:培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力,探究解决问题的 一般的思想、方法和途径. 教学过程: (1)预习与引入过程 当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时, 观察平面截圆锥的截口曲线 (截面与圆锥侧 面的交线) 是什么图形?又是怎么样变化的?特别是当截面不与圆锥的轴线或圆锥的母线平 行时,截口曲线是椭圆,再观察或操作了课件后,提出两个问题:第一、你能理解为什么把 圆、椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线;第二、你能举出现实生活中圆锥曲线的例子.当 学生把上述两个问题回答清楚后,要引导学生一起探究 P41 页上的问题(同桌的两位同学准 备无弹性的细绳子一条(约 10cm 长,两端各结一个套) ,教师准备无弹性细绳子一条(约 60cm,一端结个套,另一端是活动的) ,图钉两个) .当套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画 出的图形是椭圆.启发性提问:在这一过程中,你能说出移动的笔小(动点)满足的几何条 件是什么? 〖板书〗2.1.1 椭圆及其标准方程. (2)新课讲授过程 (i)由上述探究过程容易得到椭圆的定义. 把平面内与两个定点 F1 , F2 的距离之和等于常数(大于 F1 F2 )的点的轨迹叫做椭 圆(ellipse) .其中这两个定点叫做椭圆的焦点,两定点间的距离叫做椭圆的焦距.即当动 点设为 M 时,椭圆即为点集 P ? M | MF1 ? MF2 ? 2a . (ii)椭圆标准方程的推导过程 提问: 已知图形, 建立直角坐标系的一般性要求是什么?第一、 充分利用图形的对称性; 第二、注意图形的特殊性和一般性关系. 无理方程的化简过程是教学的难点,注意无理方程的两次移项、平方整理. 设参量 b 的意义: 第一、 便于写出椭圆的标准方程; 第二、a, b, c 的关系有明显的几何意义.

?

?

1

y 2 x2 类比:写出焦点在 y 轴上,中心在原点的椭圆的标准方程 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? . a b
(iii)例题讲解与引申 例1 : 已知椭圆两个焦点的坐标分别是 ? ?2,0 ? , ? 2, 0 ? ,并且经过点 ? 方程. 分析:由椭圆的标准方程的定义及给出的条件,容易求出 a, b, c .引导学生用其他方 法来解.

?5 3? , ? ? ,求它的标准 ?2 2?

另解:设椭圆的标准方程为

x2 y 2 ?5 3? ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,因点 ? , ? ? 在椭圆上, 2 a b ?2 2?

9 ? 25 ?a ? 10 ? 2 ? 2 ?1 ? 则 ? 4a . ?? 4b 2 2 b ? 6 ? ?a ? b ? 4 ? ?
例 2:如图,在圆 x ? y ? 4 上任取一点 P ,过点 P 作 x 轴的垂线段 PD , D 为垂足.当
2 2

点 P 在圆上运动时,线段 PD 的中点 M 的轨迹是什么?
y

P M x D

分析: 点 P 在圆 x ? y ? 4 上运动, 由点 P 移动引起点 M 的运动, 则称点 M 是点 P
2 2

的伴随点,因点 M 为线段 PD 的中点,则点 M 的坐标可由点 P 来表示,从而能求点 M 的 轨迹方程. 引申:设定点 A? 6,2? , P 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 上动点,求线段 25 9

AP 中点 M 的轨迹方程.
解法剖析:①(代入法求伴随轨迹)设 M ? x, y ? , P ? x1 , y1 ? ; ②(点与伴随点的关系)∵ M 为线段 AP 的中点,∴ ?

? x1 ? 2 x ? 6 ;③(代入已知轨迹求 ? y1 ? 2 y ? 2
2

x2 y2 ? x ? 3? ? y ? 1? 1 出伴随轨迹) ,∵ 1 ? 1 ? 1 ,∴点 M 的轨迹方程为 ? ? ;④伴随轨 25 9 25 9 4
2 2

迹表示的范围. 例 3:

BM 如图, 设 A, 直线 AM , B 的坐标分别为 ? ?5,0? , ? 5,0? .
相交于点 M ,且它们的斜率之积为 ?

4 ,求点 M 的轨迹方程. 9

分析:若设点 M ? x, y ? ,则直线 AM , BM 的斜率就可以用 含 x , y 的式子表示,由于直线 AM , BM 的斜率之积是 ?

4 ,因 9

此,可以求出 x , y 之间的关系式,即得到点 M 的轨迹方程. 解法剖析:设点 M ? x, y ? ,则 k AM ? 代入点 M 的集合有

y y ? x ? ?5 ? , k BM ? ? x ? 5? ; x?5 x?5

y y 4 ? ? ? ,化简即可得点 M 的轨迹方程. x?5 x?5 9

引申:如图,设△ ABC 的两个顶点 A ? ?a,0 ? , B ? a,0? , 顶点 C 在移动,且 k AC ? kBC ? k ,且 k ? 0 ,试求动点 C 的轨迹 方程. 引申目的有两点: ①让学生明白题目涉及问题的一般情形; ②当 k 值在变化时, 线段 AB 的角色也是从椭圆的长轴→圆的直径→椭圆的短轴.

练习:第 48 页 1、2、3、4

作业:第 49 页 2、3

教学反思:轨迹问题中的去除点问题,注重几何条件的应用。

3


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