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信号与系统知识点总结


ε(k)*ε(k) = (k+1)ε(k) f(k)*δ(k) = f(k) , f(k)*δ(k– k0) = f(k – k0) f(k)*ε(k) =
f1(k – k1)* f2(k – k2) = f(k – k1 – k2) ?[f1(k)* f2(k)] = ?f1(k)* f2(k) = f1(k)* ?f2(k) f1(t)*f2(t) = f(t) 时域分析: 以冲激函数为基本信号,任意输入信号可分解为一系列冲激函数之和,即 时域分析 以冲激函数为基本信号,任意输入信号可分解为一系列冲激函数之和 即 而任意信号作用下的零状态响应 yzs(t) yzs(t) = h(t)*f(t) 用于系统分析的独立变量是频率,故称为频域分析。 用于系统分析的独立变量是频率,故称为频域分析。 种变换域:频域、复频域、 学习 3 种变换域:频域、复频域、z 变换 频域:傅里叶表变换, → ⑴ 频域:傅里叶表变换,t→ω;对象连续信号 复频域:拉普拉斯变换, → ; ⑵ 复频域:拉普拉斯变换,t→s;对象连续信号 变换, → ; ⑶ z 域:z 变换,k→z;对象离散序列 周期信号、 条件, 设 f(t)=f(t+mT)----周期信号、m、T、 ?=2π/T 满足狄里赫利 Dirichlet 条件,可分解为如下 周期信号 、 π 三角级数—— 称为 f(t)的傅里叶级数 三角级数 的傅里叶级数

f ( t ) = ∫? ∞ f (τ )δ ( t ? τ ) dτ



f (t ) =
f (t ) =

注意: 的偶函数, 注意: an 是 n 的偶函数, bn 是 n 的奇函数

∞ a0 ∞ + ∑ an cos( n?t ) + ∑ bn sin( n?t ) 2 n=1 n =1

2 An = a n + bn2 式中, 式中,A0 = a0 ?n = ? arctan n 的奇函数。 Ancos?n, bn = –Ansin ?n,n=1,2,… 可见: 的偶函数, , , 可见:An 是 n 的偶函数, ?n 是 n 的奇函数。an = an 傅里叶级数的指数形式 虚指数函数集{ejnΩt,n=0,±1,±2,…} 虚指数函数集 Ω, , , ,

A0 ∞ + ∑ A cos(n?t + ? n ) 2 n=1 n

b

f (t) = ∑F ejn?t n
n=?∞



系数 Fn 称为复傅里叶系数 1 T ? jn? t Fn = d t ∫ 2 f ( t )e T ?T
2

欧拉公式 cosx=(ejx + e–jx)/2 sinx=(ejx - e–jx)/2j 傅里叶系数之间关系 1 1 F n = F n e j? n = A n e j? n = ( a n ? j b n ) 2 2 ?? b ? 1 1 2 2 Fn = a n + b n = A n ? n = arctan ? a n ? ? n ? 2 2

an = An cos ? n

bn = ? An sin ? n

n 的偶函数:an , An , |Fn | 的偶函数: n 的奇函数 的奇函数: bn ,?n 常用函数的傅里叶变换 常用函数的傅里叶变换 1.矩形脉冲 (门函数) 门函数) 矩形脉冲 门函数 记为 gτ(t) τ

F (jω ) = ∫

τ / 2 ? jωt e dt ?τ / 2

=

e

? jω

τ
2?e



τ
2

=

2 sin(

ωτ
2

? jω

)

ω

= τ Sa(

ωτ
2

)

F(jω)一般是复函数: F(jω) = | F(jω)|e j ?(ω) ω 一般是复函数 一般是复函数: ω ω ω

幅度频谱
τ
F ( jω )

F ( jω ) =

2 sin(

ωτ
2

)

ω

= τ Sa(

ωτ
2

)

? 2π τ O 2π τ
τ
F ( jω )

4π τ

ω

频宽: 频宽:
Bω ≈ 2π

τ

或B f ≈

1

τ

? 2π τ

O

2π τ

4π τ

ω

相位频谱
π

? (ω )
? 2π τ

0

2.单边指数函数 . f(t) = e–αtε(t), α >0 , α
F (jω ) = ∫0 e
∞ ?α t ? j ω t

2π τ 4π τ

ω

f (t )
1
1 e ? (α + jω ) t 1

e

dt = ?

α + jω

∞ 0 =

α + jω

频谱图

F (jω ) =
1

1 α + jω

O

t

幅度频谱
F ( jω ) =
1
2

F ( jω )

α +ω
2

α

?ω 0, ? = ? ?ω → ±∞ , ?

F ( jω ) =

1

F ( jω ) → 0

α

O

ω

相位频谱: 相位频谱:? (ω ) = ? arctan
? ?ω → 0, ? ? ?ω → +∞ , ? ? ?ω → ?∞ , ?

ω α

? (ω )
π 2

? (ω ) = 0 ? (ω ) → ? ? (ω ) →
π 2 π 2
O

ω

?π 2

3.双边指数函数 f(t) = e–α|t| , α >0 α
F (jω ) =

f (t )
1
∞ ?α t ? jω t

∫?∞e

0 αt ? jω t

e

dt +

∫0 e

e

dt =

1

α ? jω

+

1

α + jω

=



α +ω 2
2

O
F ( jω )

t

2

α

F(jω) = | F(jω)|e j ?(ω)

O

ω

4.冲激函数 δ(t)、δ?(t) 冲激函数 、 ∞ δ ( t ) ←→ ∫? ∞ δ ( t ) e ? jω t d t
∞ δ ' ( t ) ←→ ∫ ? ∞ δ ' ( t ) e ? j t d t = ? ∞

= ∫? ∞ δ ( t ) dt = 1
t=0



d ? jω t e dt

= jω





?∞

δ ' (t ) f (t ) d t = ? f ' (0)

6. 符号函数
α f(t) = e–αtε(t), α >0 ,

?

1 α + jω

?? 1, ? sgn(t ) = ? ? ?

t ?0 0, 1, t =0 t?0
1 O

sgn(t )

sgn(

t ) = lim

α → 0

fα ( t )

t ?1

fα ( t ) ←→ Fα (j ω ) =

1 1 j 2ω ? =? 2 α + jω α ? jω α +ω2

? j2ω ? 2 sgn() ←→ F (jω) = lim ? 2 2 ? = t lim α ? α→0 α→0 ? α +ω ? jω
7. 阶跃函数

e (t)
1 0 t

ε (t ) = + sgn(t ) ←→ πδ (ω ) +

1 2

1 2

1 jω

?? 1, ? sgn(t ) = ? ? ?

t ?0 0, 1, t =0 t?0

1←→2πδ(ω) ←→2
sgn (t ) ? 2 jω

1.

Y 变换对

2. 常用函数 Y 变换对: 变换对:
? jω t

F (jω ) =

∫ ?∞ f (t ) e



dt

f (t ) =

1 2π

∫ ?∞ F (jω ) e



jω t

dt

常用拉普拉斯变换 常用拉普拉斯变换总结 拉斯变
1、 δ(t) ←→ ,σ> -∞ 、 ←→1, ∞ ∞ ? st δ(t) ←→ δ (t )e dt = 1



0?

F ( s ) = ∫0? f ( t ) e ? st d t
1 s + s0

def



2、指数函数 e-s0t ε(t)←→ 、 ←→
∞ ∞

σ> -Re[s0]
1 s + s0

e ? s0t ε (t ) ? ∫ e ? s0 t e ? st dt = ∫ e ?( s + s0 ) t dt =
0? 0?

3、指数函数 es0t ←→ 、

1 s ? s0

σ> Re[s0]

4、ε(t)或 1 ←→ 、 或 ←→1/s ,σ> 0 5、若 s0 为实数,且 s0 =±a(a>0) , 则 为实数, 、 ±
eatε(t) ? 1 s ?a

σ?a

e?atε (t) ?

1 s+a

σ? ? a

6、若 s0 为虚数,且 s0 、 为虚数,
e
jβ t

=±jβ, 则 ±β
σ ?0

ε (t ) ?

1 s ? jβ

e ? jβt ε (t ) ?

1 s + jβ

σ ?0

cosω0t = (ejω0t+ e-jω0t )/2 ←→ ω ω ω sinω0t = (ejω0t– e-jω0t )/2j ←→ ω ω ω

s 2 s + ω0
2

ω0 2 s + ω0
2

拉普拉斯变换性质


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