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2016-2017学年湖北省荆州中学高三1月质量检测数学(文)(详细答案版)


2016-2017 学年湖北省荆州中学高三 1 月质量检测数学(文)

一、选择题:共 12 题
1.设集合 = {| = lg(3 ? 2)},集合 = { | = 1 ? },则 ∩ =

A.[1, 2) 【答案】B

3

B.(?∞, 1]

C.(?∞, 2]

3

D.(2 , +∞)

3

【解析】本题主要考查集合的运算与函数的定义域. = {|3 ? 2 > 0} = {| < }, = 1 ? ≥ 0 = {| ≤ 1},则 ∩ ={| ≤ 1}. 2 故选 B.
3

2.若复数的实部为-1,且|| = 2,则复数的虚部是

A.? 3 【答案】B

B.± 3

C.± 3i

D. 3i

【解析】本题主要考查复数的概念与复数的模. 设 = ?1 + i, ∈ ,由|| = 故选 B. (?1)2 + 2 = 2得 = ± 3.

3.已知向量 = (1,2), = (1,0), = (4, ?3),若为实数,( + ) ⊥ ,则 =

A.4 【答案】B

1

B.2

1

C.1

D.2

【解析】本题主要考查向量的数量积及坐标运算. + = (1,2)+ 1,0 = 1 + , 2 , ∵ + ⊥ ,∴ + ? = 0,即4 1 + ? 3 × 2 = 0,解得 = 2. 故选 B.
1

4.下列说法正确的是

A.“ ∨ 为真”是“ ∧ 为真”的充分不必要条件; B.样本10,6,8,5,6的标准差是3.3; C. 2 是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量,当 2 的值很小时可以推定两个分类 变量不相关;

D.设有一个回归直线方程为 = 2 ? 1.5,则变量每增加一个单位,平均减少1.5个单位. 【答案】D 【解析】本题主要考查命题的真假与统计问题. 对于 A,“ ∨ 为真”,则、至少一个为真,“ ∧ 为真”,则、均为真,故“ ∨ 为真”是 “ ∧ 为真”的必要不充分条件,故 A 错误; 对于 B,样本10,6,8,5,6的平均数为 7,方差为,5 9 + 1 + 1 + 4 + 1 = 错误; 对于 C,当 2 的值很小时,只能说两个分类变量的相关相关程度低,不能推定两个分类变 量不相关,故 C 错误; 对于 D,设有一个回归直线方程为 = 2 ? 1.5,则变量每增加一个单位,平均减少1.5个 单位,正确. 故选 D.
1 16 5

,标准差是5 5,故 B

4

5. 等差数列{ }中的1, 4033 是函数() = 3 ? 4 2 + 6 + 7的极值点,则log 2 2017 =
3

1

A.2 【答案】A

B.3

C.4

D.5

【解析】本题主要考查导数的应用、函数与方程、对数运算、等差数列的性质. ′ = 2 ? 8 + 6,由题意得1 , 4033 是方程 ′ = 0 的两根, ∴ 1 + 4033 = 8, 由等差数列的性质得2017 = 故选 A.
1 + 4033 2

= 4,则log2 2017 = log2 4 = 2.

6.如图,给出的是计算 + + + ? +
2 4 6

1

1

1

1 2016

的值的程序框图,其中判断框内应填入的是

A. ≤ 2021?

B. ≤ 2019?

C. ≤ 2017?

D. ≤ 2015?

【答案】C 【解析】本题主要考查程序框图. 模拟程序运行,可得: i = 2, = 0, 满足循环条件,执行循环体 = 2 , i = 4; 满足循环条件,执行循环体 = 2 + 4 , i = 6; ? 满足循环条件,执行循环体 = 2 + 4 + ? + 2014 , i = 2016; 满足循环条件,执行循环体 = 2 + 4 + ? + 2016 , i = 2018; 不满足循环条件,结束循环,输出 = 2 + 4 + ? + 2016 . 结合备选答案,判断框内应填入的是: ≤ 2017? 故选 C.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

7. 高为 4 的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体,它的直观图和三视图中的侧视图、

俯视图如图所示,则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的

A.4 【答案】C

3

B.4

1

C.2

1

D.8

3

【解析】本题主要考查空间几何体的三视图、直观图和体积. 由三视图、直观图可知该直三棱柱的底面为俯视图中的等腰直角三角形,其体积为 = 2 × 2 × 2 × 4 = 8; 被削去一部分后得到的是一个四棱锥,底面是侧视图中的直角梯形,高为2,则其体积为 1 = 3 ×
1 2+4 2 1

× 2 × 2 = 4,

1 = 2. 则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的



1

故选 C.

8.如果圆 2 + 2 = 2 至少覆盖曲线 = 3sin

π

( ∈ )的一个最高点和一个最低

点,则正整数的最小值为 A.1 【答案】B 【解析】本题主要考查正弦函数的图像和性质、圆的性质. = 3sin
π

B.2

C.3

D.4

的周期为 =


π

= 2,则其最高点为


2

, 3 ,

根据图形的对称性,可得2 ≥ 3 + ( 2 )2 ,解得 ≥ 2. 故选 B.

9. 已知等差数列{ }的公差 ≠ 0,且1 , 3 , 13 成等比数列,若1 = 1, 为数列{ }的前

项和,则 A.4

2 +16 +3

的最小值为 B.3 D.2
9

C.2 3 ? 2 【答案】A

【解析】本题主要考查等差数列、等比数列的性质和基本不等式. ∵ 1 , 3 , 13 成等比数列,∴ 3 2 = 1 13 ,即(1 + 2)2 = 1 + 12, 又 ≠ 0, ∴ = 2, ∴ = 2 ? 1, = 则
2 +16 +3 ( 1 + ) 2 2 +8 +1

= 2 , = + 1 + +1 ? 2 ≥ 2 9 ? 2 = 4,当且仅当
9

=
9

2 2 +16 2 +2

=

=

+1 2 ?2 +1 +9 +1

+ 1 = +1 , 即 = 2 时等号成立. 故选 A.

10.若

0 ≤ ≤ 2 , 则 = + 2的取值范围是 sin ≤ ≤ cos, B.[0, 3] C.[0, 3 ? 6 ]
π

π

A.(0, 6 ] 【答案】D

π

D.(0, 6 + 3]

π

【解析】本题主要考查线性规划的应用和导数的几何意义.. 画出不等式组表示的平面区域,如图所示: 由 = + 2得 = ? 2 + 2,平移直线 = ? 2 + 2,当直线平移到过点时,直线 = ? + 的截距最小, 取得最小值0;
2 2 1 1 1

当直线 = ? 2 + 2与 = cos相切时,直线 = ? 2 + 2 的截距最大, 最大. 由 = cos得 ′ = ?sin,令?sin = ? 2,得 = 6 , 此时切点为 故选 D.
π 6 1 π

1



1



,

3 2

, = π + 2 × 6

3 2

π = 6 + 3.

11.如图,用一边长为 2的正方形硬纸,按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个

蛋巢,将表面积为4π的鸡蛋(视为球体)放入其中,蛋巢形状保持不变, 则鸡蛋中心(球心) 与蛋巢底面的距离为

A.

2 2

+2

1

B.

6 2

+2

1

C.2

3

D.

3 2

+2

1

【答案】D 【解析】本题主要考查了球的体积与表面积. 蛋槽的边长是原来硬纸板的对角线长度的一半,为 1cm,蛋槽立起来的小三角形部分高 度是

1 ,鸡蛋的半径根据已知的表面积 4? ? 4? r 2 得到 r=1cm,直径 D=2cm,大于折 2

好的蛋巢边长 1cm, 四个三角形的顶点所在的平面在鸡蛋表面所截取的小圆直径就是蛋

槽的边长 1cm,根据图示,AB 段由三角形 AB 得:

AB ?
故选 D.

3 3 1 3 1 ∴鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为 + . ,AE ? AB ? BE ? ? , 2 2 2 2 2

12.在Δ中,为中线上的一个动点,若 = 6,则 ? ( + )的最小值是

A.0 【答案】C

B.-9

C.-18

D.-24

【解析】本题主要考查向量加法的平行四边形法则,数量积公式、基本不等式. 当O与或重合时, ? + = 0; 当O在, 之间时, ? + = 2 ? = ?2 ? , 又 OB + = = 6,∴ ? ≤
+ 2 2

= 9,

∴ ? + ≥ ?18,当且仅当 = 时等号成立, 综上, ? ( + )的最小值是?18. 故选 C.

二、填空题:共 4 题
13.已知tan(5π ? ) = 2,则
2cos 2 ?sin ?1 sin +cos
2

=



【答案】?3 【解析】本题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系、倍角公式. 由tan(5π ? ) = 2得?tan = 2, 即 cos = ?2, ∴ sin = ?2cos,
sin



2cos 2 ?sin ?1 sin +cos

2

=

cos ?sin sin +cos

=

3cos ?cos

= ?3.

故答案为?3.

14.在区间[?3,5]上随机取一个数,则使函数 () = 2 + 2 + 4无零点的概率是



【答案】2 【解析】本题主要考查与长度有关几何概型. 若使函数() = 2 + 2 + 4无零点,则?= 42 ? 16 < 0,解得?2 < < 2, 则使函数() = 2 + 2 + 4无零点的概率是 = 5?(?3) = 2. 故答案为2.
1 2?(?2) 1

1

15.用火柴棒摆“金鱼”,如图所示:按照上面的规律,第个“金鱼”图需要火柴棒的根数





【答案】6 + 2 【解析】本题主要考查归纳推理. 由图形可知,第1个金鱼的火柴棒为6 + 2 = 8根,第2个金鱼的火柴棒比第1个多6根;第3 个金鱼的火柴棒比第2个多6根; ∴第个“金鱼”图需要火柴棒的根数是6 + 2. 故答案为6 + 2.



16.若函数 () =

?2

+ 2 , ≤ 0 有且只有2个不同零点,则实数的取值范围是 lg , > 0



【答案】 ≥ 0 【解析】本题主要考查分段函数与函数的零点的综合应用. 当 > 0时, 为增函数, (1) = 0,故1是函数()的零点; ∴当 ≤ 0时, 有且只有一个零点,又 0 = 0, ∴ = ?2 + 没有零点, 若?2 + = 0, ( < 0),则 = ? (?2) < 0, ∴ = ?2 + 没有零点时, ≥ 0.
1 1 1 1

故答案为 ≥ 0.

三、解答题:共 7 题
17.Δ中,内角, , 对边分别为, , ,且满足(2 ? ) ? cos = ? cos.

(1)求角 的大小; (2)设 = ?4 3sin2 + 2sin( ? ),求的最大值并判断取最大值时Δ的形状. 2 【答案】(1)由正弦定理(2sin ? sin)cos = sincos, 即得,2sincos = sincos + sincos = sin( + ) = sin, 1 π ∵ sin ≠ 0, ∴ cos = , ∵ ∈ (0, π), ∴ = 2 3 (2)=?4 3sin2 + 2sin( ? )=?2 3(1 ? cos) + 2sin( ? 3 )=?2 3(1 ? cos) + 2 sin ? 3cos=sin + 3cos ? 2 3=2sin + 3 ? 2 3, 由 ∈ (0,
2π 3

)得,当 = 6 时,取得最大值2 ? 2 3,此时 = 2 . Δ为直角三角形.

π

π

【解析】本题主要考查正弦定理、倍角公式、两角和与差的正弦公式、正弦函数的性质. (1)利用正弦定理将已知条件中的边化为角,利用两角和的正弦公式及诱导公式化简整理 得cos ,得角 的大小; (2)利用倍角公式、两角和与差的正弦公式化简函数解析式,根据正弦函数的性质可以求 得函数的最大值及此时三角形的形状.

18. 某学校的篮球兴趣小组为调查该校男女学生对篮球的喜好情况,用简单随机抽样方法

调查了该校100名学生,调查结果如下:

(1)该校共有500名学生,估计有多少学生喜好篮球? (2)能否有99%的把握认为该校的学生是否喜欢篮球与性别有关?说明原因; (3)已知在喜欢篮球的12名女生中,6名女生(分别记为1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 同时喜欢乒乓 球,2名女生(分别记为1 , 2 )同时喜欢羽毛球,4名女生(分别记为1 , 2 , 3 , 4 同时喜欢排 球, 现从喜欢乒乓球、羽毛球、排球的女生中各取1人,求1 , 2 不全被选中的概率. 附: 2 = ( + )( + )( + )( + ) , = + + + .
( ? )2

参考数据: 【答案】(1)喜好篮球的学生有500 ×
35+12 100

= 235(名)

(2)0 假设喜欢篮球与性别无关,且两者相互独立 2 =
100(35×28 ?25×12)2 (35+12)(25+28)(35+25)(12+28)

≈ 7.735 > 6.635.

∴ 2 ≥ 6.635 = 0.01 ∴ 1 ? 0.01 = 0.99 = 99%. ∴有99%的把握认为该校的学生是否喜欢篮球与性别有关 (3)从喜欢乒乓球、羽毛球、排球的女生中各取 1 人共有6 × 2 × 4 = 48种, 而1 , 2 全被选中的情况有 1 , 2 , 1 , 1 , 2 , 2 , 1 , 2 , 3 , (1 , 2 , 4 )共有 4 种, ∴ 1 , 2 全被选中 = 48 = 12 . ∴ 1 , 2 不全被选中 = 1 ? 12 = 12 答:1 , 2 不全被选中的概率为12. 【解析】本题主要考查简单随机抽样、独立性检验,考查随机事件及对立事件概率的求 法. (1)由简单随机抽样中,每个个体被抽到的几率相等估计喜好篮球的学生数; (2)计算 2 的观测值 ,对照临界值表可得结论. (3)求出从喜欢乒乓球、 羽毛球、 排球的女生中各取 1 人的一切可能的结果组成的基本事 件数,列出1 , 2 全被选中的事件数,由对立事件的概率公式可得结论.
11 4 1 1 11

19.如图,四边形是梯形,四边形是矩形,且平面 ⊥平面, ∠ =

, = = = = 2, 是线段上的动点. ∠ = 90° 2

1

(1)试确定点的位置,使∥平面 ,并说明理由; (2)在(1)的条件下,求平面 将几何体 ? 分成的上下两部分的体积之比. 【答案】(1)当是线段的中点时,∥平面 . 证明如下:

连结,交于,连结, 由于, 分别是、的中点,所以∥, 由于 ?平面 ,又 ?平面 , 所以∥平面 . (2)如图,将几何体 ? 补成三棱柱 ? 1 ,

三棱柱 ? 1 的体积为 = Δ ? = 2 × 2 × 2 × 4 = 8, 则几何体 ? 的体积? = ?1 ? ?1 =8 ? 3 × (2 × 2 × 2) × 2= 3 三棱锥 ? 的体积? = ? = 3, 故两部分的体积之比为3 : ( 3 ? 3) = 4 【解析】本题主要考查线面平行的判定、柱体和椎体的体积公式. (1)根据图形,得到是线段的中点时,∥平面 ;由三角形中位线定理及线面平行 的判定可得结论; (2)利用割补法,将几何体补成三棱柱,利用柱体和椎体的体积公式可得结论.
4 20 4 1 4 1 1 20

1

20. 已知各项均为正数的数列{ }满足:3 = 2 + 1,其中 为数列{ }的前项和.等差

数列{ }满足:4 = 5, 8 = 17. (1)求数列{ }和{ }的通项公式; (2)对于任意的 ∈ ? , ( + 2) ? ≥ + 1恒成立,试求实数的取值范围. 【答案】(1)由题可得,1 = 1,当 ≥ 2时,3 = 2 + 1,3?1 = 2?1 + 1, ∴ 3 ? 3?1 = 2 ? ?1 = 2 , ∴ = 3?1 . ∴ = 3?1 . 又4 = 5, 8 = 17,∴ 8 ? 4 = 4 = 17 ? 5 = 12,∴ = 3. ∴ = 4 + ? 4 = 3 ? 7. ∴ = 3?1 , = 3 ? 7. (2) = 令 =
3 ?1 2 1

,原不等式整理得 ≥ ,则 ? ?1 =

2(3?6) 3

对 ∈ 成立.

2(3?6) 3

?12 +42 3

( ≥ 2),

当 ≤ 3时, > ?1 ,当 ≥ 4时, < ?1 , 3 = 9 , 4 = 27 , ∴ ≥ 9. 【解析】本题主要考查等差数列的通项公式和前项和公式,考查数列的单调性和最值. (1)利用递推式求出首项,令 = ? 1得另一递推式,二式相减,可得{ }是等比数列,利用 等比、等差数列的通项公式即可求出; (2)利用等比数列的前项公式求出 ,将不等式转化为 ≥ =
2(3?6) 3 2(3?6) 3

2

4

2

对 ∈ 恒成立,令

,求出数列 的单调性和最值即得结论.

21.设函数 () = 2 ? ln, () = 2 ? + .

(1)当 = 0时,() ≥ ()在(1, +∞)上恒成立,求实数的取值范围; (2)当 = 2时,若函数() = () ? ()在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数的取值范 围; (3)是否存在实数,使函数()和函数()在公共定义域上具有相同的单调性?若存在, 求出的值,若不存在,说明理由. 【答案】(1)当 = 0,由() ≥ ()可得?ln ≥ ?,即 ≤ ln , 记 = ln ,则 ≥ 在 1, +∞ 上恒成立等价于 ≤ ′ =
ln ?1 ln 2 min ,

, 当 ∈ (1, e)时,′ < 0;当 ∈ (e, +∞)时,′ > 0,

故 在 = e处取得极小值,也是最小值, 即
min

= e = e,故 ≤ e.

(2)函数() = () ? ()在[1,3]上恰有两个不同的零点等价于方程 ? 2ln = ,在 [1,3]上恰有两个相异实根. 令() = ? 2ln,则′ = 1 ? , 当 ∈ [1,2)时,′ < 0, 当 ∈ (2,3]时,′ > 0, ()在[1,2]上是单调递减函数,在(2,3]上是单调递增函数. 故
min 2

= 2 = 2 ? ln2,又(1) = 1, (3) = 3 ? 2ln3,

∵(1) > (3),∴只需(2) < ≤ (3), 故的取值范围是(2 ? 2ln2,3 ? 2ln3]. (3)存在 = 2,使得函数()和函数()在公共定义域上具有相同的单调性,′ 2 ?
1 min

=

=

2 2 ?

,

函数()的定义域为(0, +∞), 若 ≤ 0,则′ ≥ 0,函数()在(0, +∞)上单调递增,不合题意;

若 > 0,由′ > 0可得2 2 ? > 0,解得 > 故 > 0时,函数的单调递增区间为(
2

2

或 < ?

2

(舍去),
2

, +∞),单调递减区间为(0,
1 1 2

),

而()在(0, +∞)上的单调递减区间是(0, 2),单调递增区间是 故只需
2 1

, +∞ ,

= ,解得 = 2,
2

1

1

即当 = 2时,函数()和函数()在其公共定义域上具有相同的单调性. 【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值、不等式恒成立,函数与方程. (1)分离参数,恒成立可转化为 ≤ ln ,利用导数求出ln 的最小值即可得实数的取值范 围; (2)问题转化为方程 ? 2ln = ,在[1,3]上恰有两个相异实根,构造函数,利用导数求出其 最值,即得的取值范围; (3)确定 的单调区间,利用导数,讨论()的单调区间,根据它们在公共定义域上具有 相同的单调性,即可确定的值.


22. 直角坐标系的原点和极坐标系的极点重合,轴正半轴与极轴重合,单位长度相

同.在直角坐标系下,曲线 的参数方程为


= 4cos (为参数). = 2sin


(1)在极坐标系下,曲线 与射线 = 4 和射线 = ? 4 分别交于, 两点,求Δ的面积; (2)在直角坐标系下,直线的参数方程为 坐标. 【答案】(1)曲线 在直角坐标系下的普通方程为 将其化为极坐标方程为
2 cos 2 16 2 16

= 6 2 ? 2 (为参数),求曲线 与直线的交点 = ? 2

+

2 4

= 1,

+

2 sin 2 4

= 1,
32 5

分别代入 = 4 和 = ? 4 ,得||2 = ||2 =
1

,
16 5

因为∠ = 2 ,故Δ的面积 = 2 || ? || =

(2)将的参数方程代入曲线 的普通方程,得( ? 2 2)2 = 0, 即 = 2 2,代入的参数方程,得 = 2 2, = 2, 所以曲线 与直线的交点坐标为(2 2, 2). 【解析】本题主要考查把参数方程化为普通方程,普通方程化为极坐标方程,考查极坐标 方程的几何意义和直线参数方程中参数的几何意义.

(1)消去参数可得 的普通方程;把 = cos, = sin代入可得 的极坐标方程,将射线 的方程代入可得||2 、||2 ,利用直角三角形面积公式可得结论; (2)将的参数方程代入曲线 的普通方程求出,代入的参数方程可得曲线 与直线的交 点坐标.

23.已知函数() = |2 + 3| + |2 ? 1|.

(1)求不等式() ≤ 8的解集; (2)若关于的不等式() ≤ | + 1|的解集非空,求实数的取值范围. 【答案】法一:(1)原不等式为:|2 + 3| + |2 ? 1| ≤ 8 当 ≤ ? 2时,原不等式可化为?4 ? 2 ≤ 8,即? 2 ≤ ≤ ? 2; 当? 2 < < 2时,原不等式可化为4 ≤ 8,恒成立,即? 2 < < 2; 当 ≥ 2时,原不等式可化为4 + 2 ≤ 8,即2 ≤ ≤ 2, ∴原不等式的解集为{| ? 2 ≤ ≤ 2}. ?4 ? 2, ≤ ? 2 (2)由函数() = 4, ? < <
2 3 1 3 5 3 1 1 3 3 1 3 1 3 5 3

4 + 2, ≥ 2

2 1

,可得函数 = ()的最小值为4

∴| + 1| ≥ 4,解得: ≤ ?5或 ≥ 3 【解析】本题主要考查绝对值不等式的求解. (1)利用绝对值的意义,分段讨论,化简函数解析式,求出每个不等式组的解集,再取并集,即 得所求; (2)利用(1)的结论求得函数()的最小值,问题转化为不等式有解,易得结论.



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