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第一章集合与常用逻辑用语


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2016 年 7 月 17 日星期日

§ 1.1

集合的概念及其基本运算

1.集合与元素(1)集合元素的三个特征:____________、______________、____________. (2)元素与集合的关系是________或__________关系,用符号______或______表示. (3)集合的表示法:____________、__________、__________、__________. (4)常用数集:自然数集 N;正整数集 N*(或 N+);整数集 Z;有理数集 Q;实数集 R. (5)集合的分类: 按集合中元素个数划分, 集合可以分为_________、 _________、 __________. 2.集合间的基本关系 (1)子集、真子集及其性质:对任意的 x∈A,都有 x∈B,则 A?B(或 B?A). 若 A?B,且在 B 中至少有一个元素 x∈B,但 x?A,则_________(或________). ?_______A;A______A;A?B,B?C?A______C. 若 A 含有 n 个元素,则 A 的子集有___个,A 的非空子集有___个,A 的非空真子集有__个 (2)集合相等:若 A?B 且 B?A,则 A=B. 3.集合的运算及其性质(1)集合的并、交、补运算 并集: A∪B={x|x∈A, 或 x∈B}; 交集: A∩B=_____________; 补集: ?UA=_____________. U 为全集,?UA 表示 A 相对于全集 U 的补集. (2)集合的运算性质:并集的性质:A∪?=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A?B?A. 交集的性质:A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A?B. 补集的性质:A∪(?UA)=U;A∩(?UA)=?;?U(?UA)=A. 基础自测 1. 已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7}, A={2,4,5}, B={1,3,5,7}, 则 A∩(?UB)=________. 2.若全集 U=R,集合 A={x|x≥1}∪{x|x≤0},则?UA=________. 3.已知集合 A={x|a-1≤x≤1+a},B={x|x2-5x+4≥0},若 A∩B=?,则实数 a 的取值 范围是________. 4. 已知集合 A={-1,2}, B={x|mx+1=0}, 若 A∪B=A, 则 m 的可能取值组成____ 2 5. 已知 R 是实数集, M={x| <1}, N={y|y= x-1}, 则 N∩(?RM)等于 x A.(1,2) B.[0,2] C.? D.[1,2] ( ____. )

题型一 集合的基本概念 例 1

(1)已知 A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},且 1∈A,求实

数 2 013a 的值;(2)x,x2-x,x3-3x 能表示一个有三个元素的集合吗?如果能表示一个集 合, 说明理由; 如果不能表示, 则需要添加什么条件才能使它表示一个有三个元素的集合.

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若集合 A={x|ax2-3x+2=0}的子集只有两个,则实数 a=________. 题型二 集合间的基本关系 例 2 1 ? ? 已知集合 A={x|0<ax+1≤5},集合 B=?x|-2<x≤2?.
? ?

(1)若 A?B, 求实数 a 的取值范围; (2)若 B?A, 求实数 a 的取值范围; (3)A、 B 能否相等? 若能,求出 a 的值;若不能,试说明理由.

已知集合 A={x|log2x≤2}, B=(-∞, a), 若 A?B, 则实数 a 的取值范围是(c, +∞),其中 c=________. 题型三 集合的基本运算 例 3 设 U=R,集合 A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x

+m=0}.若(?UA)∩B=?,则 m 的值是________.

设全集是实数集 R,A={x|2x2-7x+3≤0},B={x|x2+a<0}. (1)当 a=-4 时,求 A∩B 和 A∪B;(2)若(?RA)∩B=B,求实数 a 的取值范围. 题型四 集合中的新定义问题 例4 在集合{a,b,c,d}上定义两种运算⊕和?如下:

那么 a⊕c 等于 A.a B.b

(

) C.c D.d

已知集合 S={0,1,2,3,4,5},A 是 S 的一个子集,当 x∈A 时,若有 x-1?A, 且 x+1?A, 则称 x 为 A 的一个“孤立元素”, 那么 S 中无“孤立元素”的 4 个元素的子集 共有________个,其中的一个是____________.
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2016 年 7 月 17 日星期日

易错题 试题:(1)(5 分)若集合 P={x|x2+x-6=0},S={x|ax+1=0},且 S?P,则由 a 的可取值 组成的集合为__________. (2)(5 分)若集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},且 B?A,则由 m 的可取值 组成的集合为____________. A 组 专项基础训练题组 一、选择题 1.(2011· 广东)已知集合 A={(x,y)|x,y 为实数,且 x2+y2=1},B={(x,y)|x,y 为实数, 且 y=x},则 A∩B 的元素个数为 A.0 B.1 C.2 ( ) D.3 )

x 2.已知集合 M={x| ≥0,x∈R},N={y|y=3x2+1,x∈R},则 M∩N 等于( x-1 A.? B.{x|x≥1} C.{x|x>1} D.{x|x≥1 或 x<0} 3.如果全集 U=R,A={x|2<x≤4},B={3,4},则 A∩(?UB)等于 A.(2,3)∪(3,4) B.(2,4) C.(2,3)∪(3,4] D.(2,4] ( )

二、填空题 4.已知集合 A={1,3,a},B={1,a2-a+1},且 B?A,则 a=__________. 5.已知集合 A={(0,1),(1,1),(-1,2)},B={(x,y)|x+y-1=0,x,y∈Z},则 A∩B= 6.定义集合运算:A⊙B={z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B},设集合 A={0,1},B={2,3},则 集合 A⊙B 的所有元素之和为________. 三、解答题 7.已知集合 A={x|x2-2x-3≤0},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}. (1)若 A∩B=[0,3],求实数 m 的值; (2)若 A??RB,求实数 m 的取值范围. 8.对任意两个集合 M、N,定义:M-N={x|x∈M 且 x?N},M*N=(M-N)∪(N-M),设 M={y|y=x2,x∈R},N={y|y=3sin x,x∈R},求 M*N. B 组 专项能力提升题组 一、选择题 1.设集合 A={1,2,3,5,7},B={x∈Z|1<x≤6},全集 U=A∪B,则 A∩(?UB) 等于( ) C.{1,7} D.{1}

A.{1,4,6,7} B.{2,3,7}

2.(2011· 安徽)设集合 A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7,8},则满足 S?A 且 S∩B≠?的集合 S 的个数是 A.57 B.56 C.49 D.8 ( )

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1 3.(2011· 湖北)已知 U={y|y=log2x,x>1},P={y|y= ,x>2},则?UP 等于 x 1 ? ? 1? A.? ?2,+∞? B.?0,2? 1 ? C.(0,+∞) D.(-∞,0]∪? ?2,+∞?

(

)

4.已知集合 A={x|log2x+1>0},B={y|y= 3-2x-x2},则(?RA)∩B 等于 1? A.? ?0,2? 二、填空题 1? B.? ?0,2? C.(-3,2] 1? D.? ?-3,2?

(

)

5.已知集合 A=(-∞,0],B={1,3,a},若 A∩B≠?,则实数 a 的取值范围是________. 6.(2010· 重庆)设 U={0,1,2,3},A={x∈U|x2+mx=0},若?UA={1,2},则实数 m=_____. 7.设 A={x||x|≤3},B={y|y=-x2+t},若 A∩B=?,则实数 t 的取值范围是__________. x-5 三、解答题 8.已知集合 A={x| ≤0},B={x|x2-2x-m<0},(1)当 m=3 时,求 A∩(? x+1
RB);(2)若

A∩B={x|-1<x<4},求实数 m 的值.

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§ 1.2
1.命题的概念

命题及其关系、 充分条件与必要条件

在数学中把用语言、符号或式子表达的,可以 ____________ 的陈述句叫做命题.其中 ______________的语句叫真命题,____________的语句叫假命题. 2.四种命题及其关系 (1)四种命题 命题 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 (2)四种命题间的逆否关系 表述形式 若 p,则 q

(3)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题,它们有________的真假性; ②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性______________关系. 3.充分条件与必要条件 (1)如果 p?q,则 p 是 q 的____________,q 是 p 的____________; (2)如果 p?q,q?p,则 p 是 q 的____________. 1.给出命题:“若 x2+y2=0,则 x=y=0”,在它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命 题的个数是______. 2.下列命题中所有真命题的序号是________. ①“a>b”是“a2>b2”的充分条件; ②“|a|>|b|”是“a2>b2”的必要条件; ③“a>b”是“a +c>b+c”的充要条件.
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1 1 3. “x>2”是“ < ”的________条件. x 2 4.设集合 A={x∈R|x-2>0},B={x∈R|x<0},C={x∈R|x(x-2)>0},则“x∈A∪B”是 “x∈C”的 ( )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条 D.既不充分也不必要条件 5.已知 α,β 的终边在第一象限,则“α>β”是“sin α>sin β”的 ( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 例 1 以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号). ①“若 log2a>0,则函数 f(x)=logax (a>0,a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题; ②命题“若 a=0,则 ab=0”的否命题是“若 a≠0,则 ab≠0”; ③命题“若 x,y 都是偶数,则 x+y 也是偶数”的逆命题为真命题; ④命题“若 a∈M,则 b?M”与命题“若 b∈M,则 a?M”等价. 有下列四个命题: ①“若 x+y=0, 则 x, y 互为相反数”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题; ③“若 q≤1, 则 x2+2x+q=0 有实根”的逆否命题; ④“不等边三角形的三个内角相等” 的逆命题. 其中真命题的序号为________. 例 2 指出下列命题中, p 是 q 的什么条件(在“充分不必要条件”、 “必要不充分条件”、 “充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答). (1)在△ABC 中,p:∠A=∠B,q:sin A=sin B; (2)对于实数 x、y,p:x+y≠8,q:x≠2 或 y≠6; (3)非空集合 A、B 中,p:x∈A∪B,q:x∈B; (4)已知 x、y∈R,p:(x-1)2+(y-2)2=0,q:(x-1)(y-2)=0. 给出下列命题: ①“数列{an}为等比数列”是“数列{anan+1}为等比数列”的充分不必要条件; ②“a=2”是“函数 f(x)=|x-a|在区间[2,+∞)上为增函数”的充要条件; ③“m=3”是“直线(m+3)x+my-2=0 与直线 mx-6y+5=0 互相垂直”的充要条件; ④设 a,b,c 分别是△ABC 三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b= 3,则 A=30° 是 B=60° 的必要不充分条件. 其中真 命题的序号是________. .
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例 3 求证:关于 x 的方程 ax +2x+1=0 至少有一个负根的充要条件是 a≤1. 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=pn+q(p≠0,且 p≠1),求证:数列{an}为等比数 列的充要条件为 q=-1. x-1? 试题:(12 分)已知 p:?1- ≤2,q:x2-2x+1-m2≤0 (m>0),且非 p 是非 q 的必要 3 ? ? 而不充分条件,求实数 m 的取值范围.

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§ 1.2

命题及其关系、充分条件与必要条件
)

A 组 专项基础训练题组 一、 选择题 1.(2011· 陕西)设 a,b 是向量,命题“若 a=-b, 则|a|=|b|”的逆命题是 ( A.若 a≠-b,则|a|≠|b| B.若 a=-b,则|a|≠|b| C.若|a|≠|b|,则 a≠-b D.若|a|=|b|,则 a=-b 2.已知集合 M={x|0<x<1},集合 N={x|-2<x<1},那么“a∈N”是“a∈M”的 ( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.下列命题中为真命题的是 ` ( ) )

A.命题“若 x>y,则 x>|y|”的逆命题 B.命题“x>1,则 x2>1”的否命题 C.命题“若 x=1,则 x2+x-2=0”的否命题 D.命题“若 x2>0,则 x>1”的逆否命题 1 二、填空题 4. “m< ”是“一元二次方程 x2+x+m=0 有实数解”的____________条件. 4 5.下列命题:①若 ac2>bc2,则 a>b;②若 sin α=sin β,则 α=β; ③“实数 a=0”是“直线 x-2ay=1 和直线 2x-2ay=1 平行”的充要条件; ④若 f(x)=log2x,则 f(|x|)是偶函数. 其中正确命题的序号是________. 6.已知 p(x):x2+2x-m>0,如果 p(1)是假命题,p(2)是真命题,则实数 m 的取值范围为 ________. 三、解答题 7.已知 p:|x-3|≤2,q:(x-m+1)(x-m-1)≤0,若非 p 是非 q 的充分而不必要条件,求 实数 m 的取值范围. 8.设 p:实数 x 满足 x2-4ax+3a2<0,其中 a<0;q:实数 x 满足 x2-x-6≤0,或 x2+2x- 8>0,且非 p 是非 q 的必要不充分条件,求 a 的取值范围. B 组 专项能力提升题组 一、选择题 1.(2011· 福建)若 a∈R,则“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的 ( )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

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1 2.已知 p: ≥1, q: |x-a|<1, 若 p 是 q 的充分不必要条件, 则实数 a 的取值范围为( x-2 A.(-∞,3] B.[2,3] C.(2,3] D.(2,3) 3.集合 A={x||x|≤4,x∈R},B={x|x<a},则“A?B”是“a>5”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

)

二、填空题 4.设有两个命题 p、q.其中 p:对于任意的 x∈R,不等式 ax2+2x+1>0 恒成立; 命题 q:f(x)=(4a-3)x 在 R 上为减函数.如果两个命题中有且只有一个是真命题,那么实数 a 的取值范围是____________. 5.若“x∈[2,5]或 x∈{x|x<1 或 x>4}”是假命题,则 x 的取值范围是________. 6.在“a,b 是实数”的大前提之下,已知原命题是“若不等式 x2+ax+b≤0 的解集是非空 数集,则 a2-4b≥0”,给出下列命题: ①若 a2-4b≥0,则不等式 x2+ax+b≤0 的解集是非空数集; ②若 a2-4b<0,则不等式 x2+ax+b≤0 的解集是空集; ③若不等式 x2+ax+b≤0 的解集是空集,则 a2-4b<0; ④若不等式 x2+ax+b≤0 的解集是非空数集,则 a2-4b<0; ⑤若 a2-4b<0,则不等式 x2+ax+b≤0 的解集是非空数集; ⑥若不等式 x2+ax+b≤0 的解集是空集,则 a2-4b≥0. 其中是原命题的逆命题、 否命题、 逆否命题和命题的否定的命题的序号依次是________(按 要求的顺序填写). 7.(2011· 陕西)设 n∈N+,一元二次方程 x2-4x+n=0 有整数 根的充要条件是 n=________. .. 三、解答题
? ? ? x-a2-2 ? x-2 1 ? ? <0 ,B=?x| <0?.(1)当 a= 时,求(? 8.已知全集 U=R,非空集合 A= x| 2 x - ? 3 a + 1 ? x - a ? ? ? ?
UB)∩A;(2)命题

p:x∈A,命题 q:x∈B,若 q 是 p 的必要条件,求实数 a 的取值范围.

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§ 1.3

简单的逻辑联结词、 全称量词与存在 量词

1.简单的逻辑联结词 (1)命题中的“______”、“______”、“______”叫做逻辑联结词. (2)用来判断复合命题真假的真值表: p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 非p 假 假 真 真 非q 假 真 假 真 假 假 真 真 真 p∨q P∧q 真 非(p∨q) 非(p∧q) 假 真 非 p∨非 q 非 p∧非 q 假 假 假

2.全称量词与存在量词 (1)常见的全称量词有:“任意一个”、“一切”、“每一个”、“所有的”等. (2)常见的存在量词有: “存在一个”、 “至少有一个”、 “有些”、 “有一个”、 “某个”、 “有的”等. (3)全称量词用符号“____”表示;存在量词用符号“______”表示. (4)全称命题与特称命题 ①__________________的命题叫全称命题.②__________________的命题叫特称命题. 3.命题的否定 (1)全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题. (2)“p 或 q”的否定为:“非 p 且非 q”; “p 且 q”的否定为:“非 p 或非 q”. 1.命题 p:有的三角形是等边三角形.命题非 p:______________________________. 2.若命题“?x∈R,有 x2-mx-m<0”是假命题,则实数 m 的取值范围是________. 3.下列命题中,所有真命题的序号是________. ①5>2 且 7>4;②3>4 或 4>3;③ 2不是无理数. 4.(2011· 辽宁)已知命题 p:?n∈N,2n>1 000,则非 p 为
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(

)

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n n n

2016 年 7 月 17 日星期日

A.?n∈N,2 ≤1 000 B.?n∈N,2 >1 000 C.?n∈N,2 ≤1 000 D.?n∈N,2n<1 000 5.下列命题中的真命题是 A.?x∈R,使得 sin xcos x= C.?x∈R,x2≥x-1 例 1 已知命题 p1:函数 y=2x-2 x 在 R 上为增函数,p2:函数 y=2x+2 x 在 R 上为减函数,
- -

( 3 5 B.?x∈(-∞,0),2x>1 D.?x∈(0,π),sin x>cos x

)

则在命题 q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:(非 p1)∨p2 和 q4:p1∧(非 p2)中,真命题是________. 写出由下列各组命题构成的“p∨q”、“p∧q”、“非 p”形式的复合命题, 并判断真假. (1)p:1 是素数;q:1 是方程 x2+2x-3=0 的根; (2)p:平行四边形的对角线相等;q:平行四边形的对角线互相垂直; (3)p:方程 x2+x-1=0 的两实根的符号相同;q:方程 x2+x-1=0 的两实根的绝对值相 等. 例 2 写出下列命题的否定,并判断其真假. 1 (1)p:?x∈R,x2-x+ ≥0;(2)q:所有的正方形都是矩形; 4
3 (3)r:?x0∈R,x2 0+2x0+2≤0;(4)s:至少有一个实数 x0,使 x0+1=0.

写出下列命题的否定,并判断真假. (1)p:?x>0,都有 x2-x≤0;(2)q:?x∈R,2x+x2≤1. 1?|x-1| 例 3 设 a 为实数,给出命题 p:关于 x 的不等式? ?2? ≥a 的解集为?,命题 q:函数 f(x) 9? 2 =lg? ?ax +?a-2?x+8?的定义域为 R,若命题“p∨q”为真,“p∧q”为假,求 a 的取值 范围. 已知 a>0,设命题 p:函数 y=ax 在 R 上单调递增;命题 q:不等式 ax2-ax +1>0 对?x∈R 恒成立.若 p 且 q 为假,p 或 q 为真,求 a 的取值范围. 试题:(12 分)已知 c>0,且 c≠1,设 p:函数 y=cx 在 R 上单调递减;q:函数 f(x)=x2-2cx 1 ? +1 在? ?2,+∞?上为增函数,若“p 且 q”为假,“p 或 q”为真,求实数 c 的取值范围.

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§ 1.3

简单的逻辑联结词、 全称量词与存在 量词

A 组 专项基础训练题组 一、选择题 1.已知命题 p: ?x∈R, x2+1<2x; 命题 q: 若 mx2-mx-1<0 恒成立, 则-4<m<0, 那么( A.“非 p”是假命题 B.q 是真命题 C.“p 或 q”为假命题 D.“p 且 q”为真命题 2.已知命题 p:“?x∈[1,2],x2-a≥0”,命题 q:“?x∈R,使 x2+2ax+2-a=0”, 若命题“p 且 q”是真命题,则实数 a 的取值范围是 A.{a|a≤-2 或 a=1} B.{a|a≥1} C.{a|a≤-2 或 1≤a≤2}D.{a|-2≤a≤1} 3.已知 p:|x-a|<4;q:(x-2)(3-x)>0,若非 p 是非 q 的充分不必要条件,则 a 的取值范 围为 A.a<-1 或 a>6 二、填空题 4.若命题“?x∈R,2x2-3ax+9<0”为假命题,则实数 a 的取值范围是______________. 5.令 p(x):ax2+2x+1>0,若对?x∈R,p(x)是真命题,则实数 a 的取值范围是________. b 6.若命题 p: 关于 x 的不等式 ax+b>0 的解集是{x|x>- }, 命题 q: 关于 x 的不等式(x-a)(x a -b)<0 的解集是{x|a<x<b},则在命题“p∧q”、“p∨q”、“非 p”、“非 q”中,是真 命题的有________. 三、解答题 1 ? 1 1 7.已知 c>0,设命题 p:函数 y=cx 为减函数.命题 q:当 x∈? ?2,2?时,函数 f(x)=x+x>c恒 成立.如果 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,求 c 的取值范围. 8.命题 p:关于 x 的不等式 x2+2ax+4>0 对一切 x∈R 恒成立,q:函数 f(x)=(3-2a)x 是增 函数,若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 a 的取值范围. B 组 专项能力提升题组 一、选择题 1.若函数 f(x)=x2+ a (a∈R),则下列结论正确的是 x ( ) ( ) D.-1<a<6 ( ) )

B.a≤-1 或 a≥6 C.-1≤a≤6

A.?a∈R,f(x)在(0,+∞)上是增函数 B.?a∈R,f(x)在(0,+∞)上是减函数
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2016 年 7 月 17 日星期日

C?a∈R,f(x)是偶函数 D.?a∈R,f(x)是奇函数 2.(2011· 安徽)命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定 是 .. A.所有不能被 2 整除的整数都是偶数 B.所有能被 2 整除的整数都不偶数 C.存在一个不能被 2 整除的整数是偶数 D.存在一个能被整除的整数不是偶数 1 3.已知命题 p:?x∈R,2x2+2x+ <0;命题 q:?x∈R,sin x-cos x= 2.则下列判断正确 2 的是 A.p 是真命题 B.q 是假命题 C.非 p 是假命题 D.非 q 是假命题 二、填空题 1 4.已知 p: ≤x≤1,q:(x-a)(x-a-1)>0,若 p 是非 q 的充分不必要条件,则实数 a 的取 2 值范围是________. 5.已知命题 p:“?x∈R,?m∈R,4x-2x 1+m=0”,若命题非 p 是假命题,则实数 m 的


(

)

(

)

取值范围是__________. 6.设 p:方程 x2+2mx+1=0 有两个不相等的正根,q:方程 x2+2(m-2)x-3m+10=0 无 实根.则使 p∨q 为真,p∧q 为假的实数 m 的取值范围是____________. 7.下列结论:①若命题 p:?x∈R,tan x=1;命题 q:?x∈R,x2-x+1>0.则命题“p∧ 非 q”是假命题; a ②已知直线 l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则 l1⊥l2 的充要条件是 =-3; b ③命题“若 x2-3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为:“若 x≠1,则 x2-3x+2≠0”.其中 正确结论的序号为________. 三、解答题 8.已知命题 p:方程 2x2+ax-a2=0 在[-1,1]上有解;命题 q:只有一个实数 x0 满足不等 式 x2 0+2ax0+2a≤0,若命题“p 或 q”是假命题,求 a 的取值范围.

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