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高中数学教学案例的反思


高中数学《圆锥曲线定义的运用》教学案例的反思
李代友
一、教学内容分析 圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质属性,它是无数次实践后的高度抽象.恰当地利用定义解题, 许多时候能以简驭繁.因此,在学习了椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程、几何性质后,再一次强 调定义,学会利用圆锥曲线定义来熟练的解题”。 二、学生学习情况分析 我所任教班级的学生参与课堂教学活动的积极性强,思维活跃,但计算能力较差,推理能力较弱, 使用数学语言的表达能力也略显不足。 三、设计思想 由于这部分知识较为抽象,如果离开感性认识,容易使学生陷入困境,降低学习热情.在教学时,借助 多媒体动画,引导学生主动发现问题、解决问题,主动参与教学,在轻松愉快的环境中发现、获取新知, 提高教学效率. 四、教学目标 1.深刻理解并熟练掌握圆锥曲线的定义,能灵活应用定义解决问题;熟练掌握焦点坐标、顶点坐 标、焦距、离心率、准线方程、渐近线、焦半径等概念和求法;能结合平面几何的基本知识求解圆锥 曲线的方程。 2.通过对练习,强化对圆锥曲线定义的理解, 提高分析、 解决问题的能力; 通过对问题的不断引申, 精心设问,引导学生学习解题的一般方法。 3.借助多媒体辅助教学,激发学习数学的兴趣. 五、教学重点与难点: 教学重点 1.对圆锥曲线定义的理解 2.利用圆锥曲线的定义求“最值” 3.“定义法”求轨迹方程 教学难点: 巧用圆锥曲线定义解题 六、教学过程设计 【设计思路】 (一)开门见山,提出问题 一上课,我就直截了当地给出—— 例题 1:(1) 已知 A(-2,0) B(2,0)动点 M 满足|MA|+|MB|=2,则点 M 的轨迹是( , (A)椭圆 (B)双曲线 (C)线段 (D)不存在 (2)已知动点 M(x,y)满足 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ?| 3x ? 4 y | ,则点 M 的轨迹是( (A)椭圆 (B)双曲线 (C)抛物线 (D)两条相交直线 【设计意图】 定义是揭示概念内涵的逻辑方法,熟悉不同概念的不同定义方式,是学习和研究数学的一个必备 条件,而通过一个阶段的学习之后,学生们对圆锥曲线的定义已有了一定的认识,他们是否能真正掌 握它们的本质,是我本节课首先要弄清楚的问题。 为了加深学生对圆锥曲线定义理解,我以圆锥曲线的定义的运用为主线,精心准备了两道练习题。 【学情预设】 ) 。

) 。



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估计多数学生能够很快回答出正确答案,但是部分学生对于圆锥曲线的定义可能并未真正理解,因 此,在学生们回答后,我将要求学生接着说出:若想答案是其他选项的话,条件要怎么改?这对于已 学完圆锥曲线这部分知识的学生来说,并不是什么难事。但问题(2)就可能让学生们费一番周折—— 如果有学生提出:可以利用变形来解决问题,那么我就可以循着他的思路,先对原等式做变形:

( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5 这样,很快就能得出正确结果。如若不然,我将启发他们从等式两端的式子 | 3x ? 4 y | 5
入手,考虑通过适当的变形,转化为学生们熟知的两个距离公式。 在对学生们的解答做出判断后,我将把问题引申为:该双曲线的中心坐标是 长为 ,焦距为 。以深化对概念的理解。 (二)理解定义、解决问题
2 2

,实轴

例 2 (1)已知动圆 A 过定圆 B:x 2 ? y 2 ? 6 x ? 7 ? 0 的圆心,且与定圆 C:x ? y ? 6 x ? 91 ? 0 相 内切,求△ABC 面积的最大值。 (2)在(1)的条件下,给定点 P(-2,2), 求 | PA | ? 【设计意图】 运用圆锥曲线定义中的数量关系进行转化,使问题化归为几何中求最大(小)值的模式,是解析几 何问题中的一种常见题型,也是学生们比较容易混淆的一类问题。例 2 的设置就是为了方便学生的辨 析。 【学情预设】 根据以往的经验, 多数学生看上去都能顺利解答本题,但真正能完整解答的可能并不多?。 事实上, 解决本题的关键在于能准确写出点 A 的轨迹,有了练习题 1 的铺垫,这个问题对学生们来讲就显得颇 为简单,因此面对例 2(1) ,多数学生应该能准确给出解答,但是对于例 2(2)这样相对比较陌生的 问题,学生就无从下手。我提醒学生把 3/5 和离心率联系起来,这样就容易和第二定义联系起来,从 而找到解决本题的突破口。 (三)自主探究、深化认识 如果时间允许,练习题将为学生们提供一次数学猜想、试验的机会—— 练习:设点 Q 是圆 C: ( x ? 1)
2

5 | AB | 的最小值。 3

? y 2 ? 25 上动点,点 A(1,0)是圆内一点,AQ 的垂直平分线与

CQ 交于点 M,求点 M 的轨迹方程。
6 5

Q

y

4

3

M

2

1

A
-8 -6 -4 -2

C
-1 -2

2

4

6

8

x

-3

-4

引申:若将点 A 移到圆 C 外,点 M 的轨迹会是什么? 【设计意图】 练习题设置的目的是为学生课外自主探究学习提供平台, 当然, 如果课堂上时间允许的话, 可借助“多媒体课件” ,引导学生对自己的结论进行验证。 【知识链接】 (一)圆锥曲线的定义
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1. 圆锥曲线的第一定义 2. 圆锥曲线的统一定义 (二)圆锥曲线定义的应用举例

x 2 y2 ? ? 1 的两焦点为 F1、F2,P 为曲线上一点,若 P 到左焦点 F1 的距离为 12,求 P 16 9 到右准线的距离。 | PF1 | ? | PF2 | 2.P 为等轴双曲线 x 2 ? y 2 ? a 2 上一点, F1、F2 为两焦点,O 为双曲线的中心,求 的 | PO |
1.双曲线 取值范围。 3.在抛物线 y 2 ? 2 px 上有一点 A(4,m) 点到抛物线的焦点 F 的距离为 5,求抛物线的方程和 ,A 点 A 的坐标。 4. (1)已知点 F 是椭圆 |MA|+|MF|的最小值。 (2)已知 A(

x 2 y2 ? ? 1 的右焦点,M 是这椭圆上的动点,A(2,2)是一个定点,求 25 9

x 2 y2 11 ? ? 1 的右焦点,M 在双曲线右支上移动,当 , 3 )为一定点,F 为双曲线 9 27 2

| AM | ?

1 | MF | 最小时,求 M 点的坐标。 2

(3)已知点 P(-2,3)及焦点为 F 的抛物线 y ? 5.已知 A(4,0) ,B(2,2)是椭圆 小值与最大值。 七、教学反思

x2 ,在抛物线上求一点 M,使|PM|+|FM|最小。 8

x 2 y2 ? ? 1 内的点,M 是椭圆上的动点,求|MA|+|MB|的最 25 9

1.本课将借助于“POWERPOINT 课件” ,将使全体学生参与活动成为可能,使原来令人难以理解的 抽象的数学理论变得形象,生动且通俗易懂,同时,运用“多媒体课件”辅助教学,节省了板演的时 间,从而给学生留出更多的时间自悟、自练、自查,充分发挥学生的主体作用,这充分显示出“多媒 体课件”与探究合作式教学理念的有机结合的教学优势。 2.利用两个例题及其引申,通过一题多变,层层深入的探索,以及对猜测结果的检测研究,培养学生 思维能力,使学生从学会一个问题的求解到掌握一类问题的解决方法. 循序渐进的让学生把握这类问 题的解法;将学生容易混淆的两类求“最值问题”并为一道题,方便学生进行比较、分析。虽然从表 面上看,我这一堂课的教学容量不大,但事实上,学生们的思维运动量并不会小。 总之,如何更好地选择符合学生具体情况,满足教学目标的例题与练习、灵活把握课堂教学节奏仍 是我今后工作中的一个重要研究课题.而要能真正进行素质教育,培养学生的创新意识,自己首先必须 更新观念——在教学中适度使用多媒体技术,让学生有参与教学实践的机会,能够使学生在学习新知 识的同时,激发起求知的欲望,在寻求解决问题的办法的过程中获得自信和成功的体验,于不知不觉 中改善了他们的思维品质,提高了数学思维能力。



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