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用样本的数字特征 估计总体的数字特征
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知识回顾

如何根据样本频率分布直方图,分别 估计总体的众数、中位数和平均数? (1)众数:最高矩形下端中点的横坐标.

(2)中位数:直方图面积平分线与横轴 交点的横坐标. (3)平均数:每个小矩形的面积与小矩 形底边中点的横坐标的乘积之和.

知识探究

x甲 ? 7, x乙 ? 7

在一次射击选拔赛中,甲、乙两 名运动员各射击10次,每次命中的环数 如下: 甲:7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙:9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 甲、乙两人本次射击的平均成绩分 别为多少环?哪一个运动员成绩比较稳 定?

x甲 ? 7,

x乙 ? 7

知识探究

甲、乙两人射击的平均成绩相等,画出两人 成绩的频率分布条形图如下:
频率 0.4 0.3 0.2 0.1 O

(甲)
0.4 0.3 0.2 0.1 O

频率

(乙)

环数

4 5 6 7 8 9 10

4 5 6 7 8 9 10 环数

甲的成绩比较分散,极差较大,乙的 成绩相对集中,比较稳定.

知识探究

对于样本数据x1,x2,…,xn, 设想通过各数据到其平均数的平均距 离来反映样本数据的分散程度,那么 这个平均距离如何计算?

| x1 - x | + | x 2 - x | + L + | xn - x | n

知识探究

最常用的统计量是标准差,一般用s表示. 假设样本数据x1,x2,…,xn的平均数为 则标准差的计算公式是:

x



1 2 2 2 s ? [( x1 ? x) ? ( x2 ? x) ? ... ? ( xn ? x) ] n

计算甲、乙两名运动员的射击成绩的 标准差,比较其射击水平的稳定性. 甲:7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙:9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 s甲=2,s乙=1.095.

知识探究

注意: (1)标准差越大离散程度越大,数据较分 散;标准差越小离散程度越小,数据 较集中在平均数周围. (2)标准差为0的样本数据都相等.

知识补充

方差: 标准差的平方就是方差

1 2 2 2 s ? [( x1 ? x) ? ( x2 ? x) ? ... ? ( xn ? x) ] n
2

其中样本数据x1,x2,…,xn的平均数为 x

知识补充

方差与标准差都是用来描述一组数据 波动情况的特征数.在实际应用中一般多 采用标准差.

例题分析

例1 画出下列四组样本数据的条形图,

说明他们的异同点.

(1) 5,5,5,5,5,5,5,5,5; (2) 4,4,4,5,5,5,6,6,6;
频率 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
O

x = 5 s= 0
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

频率

x= 5 s = 0.82

1 2 3 4 5 6 7 8
(1)

O 1 2 3 4 5 6 7 8 (2)

(3) 3,3,4,4,5,6,6,7,7; (4) 2,2,2,2,5,8,8,8,8.
频率 频率

x = 5
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

x= 5
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

s = 1.49

s = 2.83

O

1 2 3 4 5 6 7 8
(3)

O

1 2 3 4 5 6 7 8
(4)

例2 甲、乙两人同时生产内径为25.40mm的一种
零件,为了对两人的生产质量进行评比,从他们 生产的零件中各随机抽取20件,量得其内径尺寸 如下(单位:mm):
甲 : 25.46 25.45 25.44 乙: 25.40 25.49 25.47 25.32 25.38 25.40 25.43 26.36 25.31 25.45 25.42 25.42 25.44 25.34 25.32 25.39 25.39 25.35 25.48 25.33 25.32 25.36 25.43 25.41 25.48 25.43 25.32 25.34 25.39 25.39 25.47 25.43 25.48 25.42 25.40

25.49 25.32

从生产零件内径的尺寸看,谁生产的零件质量 较高?

典例分析

生产质量可以从总体的平均数与标准 差两个角度来衡量. 用样本的平均数与标 准差估计总体的平均数与标准差.

x甲 ? 25.401

x乙 ? 25.406

甲生产的零件内径更接近内径标准,且 稳定程度较高,故甲生产的零件质量较高.

s甲 ? 0.037

s乙 ? 0.068

例3 以往招生统计显示,某所大学录取

的新生高考总分的中位数基本稳定在 550分,若某同学今年高考得了520分, 他想报考这所大学还需收集哪些信息?
要点:(1)查往年录取的新生的平均分数. 若平均数小于中位数很多,说明最低录取 线较低,可以报考; (2)查往年录取的新生高考总分的标准差. 若标准差较大,说明新生的录取分数较分 散,最低录取线可能较低,可以考虑报考.

例4 有20种不同的零食,它们的热量含

量如下: 110 120 123 165 432 190 174 235 428 318 249 280 162 146 210 120 123 120 150 140 (1)以上20个数据组成总体,求总体平 均数与总体标准差; (2)设计一个适当的随机抽样方法,从 总体中抽取一个容量为7的样本,计算样 本的平均数和标准差.

(1)以上20个数据组成总体,求总体平均 数与总体标准差; (2)设计一个适当的随机抽样方法,从总 体中抽取一个容量为7的样本,计算样本的 平均数和标准差.

(1)总体平均数为199.75,总体标准 差为95.26.

(2)可以用抽签法抽取样本,样本的 平均数和标准差与抽取的样本有关.

小结作业

1.对同一个总体,可以抽取不同的样本, 相应的平均数与标准差都会发生改变.如 果样本的代表性差,则对总体所作的估 计就会产生偏差;如果样本没有代表性, 则对总体作出错误估计的可能性就非常 大,由此可见抽样方法的重要性.

2.在抽样过程中,抽取的样本是具有随 机性的,如从一个包含6个个体的总体 中抽取一个容量为3的样本就有20中可 能抽样,因此样本的数字特征也有随 机性. 用样本的数字特征估计总体的数字特 征,是一种统计思想,没有惟一答案.

3.在实际应用中,调查统计是一个探 究性学习过程,需要做一系列工作, 我们可以把学到的知识应用到自主研 究性课题中去.


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