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江苏省宿迁市沭阳县银河学校2015届高三上学期开学数学试卷


江苏省宿迁市沭阳县银河学校 2015 届高三上学期开学数学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. (5 分)函数 f(x)=sin(ωx﹣
2

)的最小正周期为

,其中 ω>0,则 ω=.

2. (5 分)若复数 z=a ﹣1+(a+1)i(a∈R)为纯虚数,则 a=. 3. (5 分)若 A={x∈Z|2≤2 ≤16},B=(3,4,5},则 A∩B=.
x

4. (5 分)已知双曲线



=1(a>0,b>0)中,若以其焦点为圆心,半实轴长为半径的

圆与渐近线相切,则其渐近线方程为. 5. (5 分)如果数据 x1,x2,x3,…,xn 的方差是 a,若数据 3x1﹣2,3x2﹣2,3x3﹣2,…,3xn ﹣2 的方差为 9,则 a=. 6. (5 分)执行如图所示程序框图,若 p=80,则输出的 n 的值为.

7. (5 分)如果投掷两颗骰子,得到其向上的点数分别为 x 和 y,则 logx(y﹣1)=1 的概率为. 8. (5 分)若 f(x)是 R 上的增函数,且 f(﹣1)=﹣4,f(2)=2,设 P={x|f(x+t)<2}, Q={x|f(x)<﹣4},若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件,则实数 t 的取值范围是. 9. (5 分)正方形铁片的边长为 8cm,以它的一个顶点为圆心,一边长为半径画弧剪下一个顶 角为 的扇形,用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器,则这个圆锥形容器的容积等于 cm .
3

10. (5 分)若方程

+

=1,a∈[1,5],b∈[2,4]表示焦点在 x 轴上且离心率小于

的椭圆,

则 z=a+b 的最小值为. 11. (5 分)已知 f(x)=|x ﹣9|+x +kx,若关于 x 的方程 f(x)=0 在(0,4)上有两个实数 解,则 k 的取值范围是. 12. (5 分) 已知圆 C 过点 P (1, 1) , 且与圆 M: (x+2) + (y+2) =r (r>0) 关于直线 x+y+2=0 对称.若 Q 为圆 C 上的一个动点,则 ? 的最小值为.
2 2 2 2 2

13. (5 分)已知函数 f(x)= x +x +(2a﹣1)x+a ﹣a+1 若函数 f(x)在(1,3]上存在唯 一的极值点.则实数 a 的取值范围为.

3

2

2

14. (5 分) 已知函数 f (n) =

, 且 an=f (n) +f (n+1) , 则 a1+a2+a3+…+a2014=.

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15. (14 分)已知△ ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,向量 =(1,2) , = (cos2A,cos
2

) ,且

=1.

(1)求角 A 的大小; (2)若 b+c=2a=2 ,求证:△ ABC 为等边三角形. 16. (14 分)在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC=4,CB=2,AA1=2,∠ACB=60°,E、F 分别 是 A1C1BC 的中点. (1)证明:平面 AEB⊥平面 B1CF; (2)设 P 为线段 BE 上一点,且 EP=2PB,求三棱锥 P﹣B1C1F 的体积.

17. (14 分)设椭圆方程

+

=1(a>b>0) ,椭圆上一点到两焦点的距离和为 4,过焦点且

垂直于 x 轴的直线交椭圆于 A,B 两点,AB=2. (1)求椭圆方程; (2)若 M,N 是椭圆 C 上的点,且直线 OM 与 ON 的斜率之积为﹣ ,是否存在动点 P(x1, y1) ,若 = +2 ,有 x1 +2y1 为定值.
2 2

18. (16 分)某固定在墙上的广告金属支架如图所示,根据要求,AB 至少长 3 米,C 为 AB 的中点,B 到 D 的距离比 CD 的长小 0.5 米,∠BCD=60° (1)若 CD=x,BC=y,将支架的总长度表示为 y 的函数,并写出函数的定义域. (注:支架 的总长度为图中线段 AB、BD 和 CD 长度之和) (2)如何设计 AB,CD 的长,可使支架总长度最短.

19. (16 分)若数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足等式 an+2Sn=3. (1)能否在数列中找到按原来顺序成等差数列的任意三项,说明理由; (2)能否从数列中依次抽取一个无限多项的等比数列,且使它的所有项和 S 满足 ,如果这样的数列存在,这样的等比数列有多少个?

20. (16 分)已知函数 f(x)=(x ﹣6x +3x+t)e ,t∈R. (1)若函数 y=f(x)有三个极值点,求 t 的取值范围; 2 (2)若 f(x)依次在 x=a,x=b,x=c(a<b<c)处取到极值,且 a+c=2b ,求 f(x)的零点; (3)若存在实数 t∈[0,2],使对任意的 x∈[1,m],不等式 f(x)≤x 恒成立,试求正整数 m 的最大值.

3

2

x

三、[选做题]本题包括 21、22、23、24 四小题,每小题 10 分;请选定其中两题作答(选修 4-1:几何证明选讲) 21. (10 分)在△ ABC 中,AB=AC,过点 A 的直线与其外接圆交于点 P,交 BC 延长线于点 D.求证:AP?AD=AB?AC

四、 (选修 4-2:矩阵与变换) 22. (10 分)△ ABC 的顶点 A(1,2) ,B(3,3) ,C(2,1) ,求在矩阵 下所得图形的面积. 对应的变换

五、 (选修 4-4:坐标系与参数方程) 23.已知直线 l1: (t 为参数)和直线 l2:x﹣y﹣2 =0 的交于点 P.

(1)求 P 点的坐标; (2)求点 P 与 Q(1,﹣5)的距离.

六、 (选修 4-5:不等式选讲) 24.设 a,b 是正数,证明: ≥ ? .

七、 【必做题】第 25 题、第 26 题,每题 10 分,共计 20 分. 25. (10 分) 在如图所示的几何体中, 四边形 ABCD 为矩形, 平面 ABEF⊥平面 ABCD, EF∥AB, ∠BAF=90°,AD=2,AB=AF=2EF=1,点 P 在棱 DF 上. (Ⅰ)求证:AD⊥BF: (Ⅱ)若 P 是 DF 的中点,求异面直线 BE 与 CP 所成角的余弦值; (Ⅲ)若二面角 D﹣AP﹣C 的余弦值为 ,求 PF 的长度.

26. (10 分)数列{an}满足 an+1=2an ﹣1,aN=1 且 aN﹣1≠1,其中 N∈{2,3,4,…} (1)求证:|a1|≤1; (2)求证:a1=cos (k∈Z) .

2

江苏省宿迁市沭阳县银河学校 2015 届高三上学期开学数 学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. (5 分)函数 f(x)=sin(ωx﹣ )的最小正周期为 ,其中 ω>0,则 ω=6.

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由已知及周期公式有 T= = 从而可解得 ?=6. = ??=6.

解答: 解:由已知及周期公式有 T=

故答案为:6. 点评: 本题主要考察了正弦函数的周期公式的应用,属于基础题. 2. (5 分)若复数 z=a ﹣1+(a+1)i(a∈R)为纯虚数,则 a=1. 考点: 复数的基本概念. 专题: 计算题. 分析: 根据纯虚数的定义,得到实部为 0,虚部不为 0 列出不等式和方程,解不等式组求出 a 的值. 2 解答: 解:∵复数 z=a ﹣1+(a+1)i(a∈R)为纯虚数 ∴ 解得
2

∴a=1 故答案为:1 点评: 本题考查纯虚数的定义,本题解题的关键是根据复数的基本概念列出不等式组,这 种类似的题目还有复数是一个实数,是一个虚数等,本题是一个基础题. 3. (5 分)若 A={x∈Z|2≤2 ≤16},B=(3,4,5},则 A∩B={3,4}. 考点: 指数函数单调性的应用;交集及其运算.
x

专题: 集合. 分析: 解指数不等式求出集合 A,结合集合 B=(3,4,5}和交集的定义,可得 A∩B. 解答: 解:∵A={x∈Z|2≤2 ≤16}={x∈Z|1≤x≤4}={1,2,3,4}, B=(3,4,5}, ∴A∩B={3,4}, 故答案为:{3,4}. 点评: 本题考查的知识点是指数不等式的解法,集合的交集运算,其中求出集合 A 是解答 的关键.
x

4. (5 分)已知双曲线



=1(a>0,b>0)中,若以其焦点为圆心,半实轴长为半径的

圆与渐近线相切,则其渐近线方程为 y=±x. 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设出双曲线的焦点 F 和渐近线方程,利用圆心 F 到渐近线的距离是 d=r,求出 a 与 b 的关系,即得渐近线方程. 解答: 解:设双曲线的焦点为 F(c,0) ,渐近线方程为 y=± x, 化为直线的一般形式为 bx±ay=0; ∴圆心 F(c,0)到渐近线的距离是: d= =a;



=a,

∴a=b; ∴渐近线方程为 y=±x. 故答案为:y=±x. 点评: 本题考查了双曲线的标准方程与几何性质的应用问题,也考查了点到直线的距离的 应用问题,是基础题. 5. (5 分)如果数据 x1,x2,x3,…,xn 的方差是 a,若数据 3x1﹣2,3x2﹣2,3x3﹣2,…,3xn ﹣2 的方差为 9,则 a=1. 考点: 极差、方差与标准差. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 根据题意得;数据 x1,x2,…,xn 的方差为 a,根据方差公式计算出数据 3x1﹣2,3x2 ﹣2,…,3xn﹣2 的方差是什么. 解答: 解:根据题意,设数据 x1,x2,…,xn 的平均数设为 , ∴方差 s = [
2

+

+…+

]=a;

∴数据 3x1﹣2,3x2﹣2,…,3xn﹣2 的平均数为 3 ﹣2,

方差 S = [ =9? [ +

2

+ +…+ ]

+…+

]

=9a=9; ∴a=1. 故答案为:1. 点评: 本题考查了方差公式的运用问题,解题的关键是根据题意得到平均数的变化,再利 用方差公式进行计算,是基础题. 6. (5 分)执行如图所示程序框图,若 p=80,则输出的 n 的值为 7.

考点: 循环结构. 专题: 算法和程序框图. 分析: 执行程序框图,写出每次循环得到的 S,p 的值,当 S=126,n=7 时不满足条件 S<p, 输出 n 的值为 7. 解答: 解:执行程序框图,有 p=80 n=1,s=0 满足条件 S<p,有 S=2,n=2 满足条件 S<p,有 S=6,n=3 满足条件 S<p,有 S=14,n=4 满足条件 S<p,有 S=30,n=5 满足条件 S<p,有 S=62,n=6 满足条件 S<p,有 S=126,n=7 不满足条件 S<p,输出 n 的值为 7. 故答案为:7. 点评: 本题主要考察了程序框图和算法,属于基础题. 7. (5 分)如果投掷两颗骰子,得到其向上的点数分别为 x 和 y,则 logx(y﹣1)=1 的概率为 .

考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 概率与统计. 分析: 本题是一个等可能事件的概率,试验发生包含的事件是 6×6 种结果,满足条件的事 件需要先整理出关于 x,y 之间的关系,得到 y=x+1,根据条件列举出可能的情况,根据概率 公式得到结果 解答: 解:因为抛掷两枚均匀的正方体骰子的基本事件数为 36 种,又由 logx(y﹣1)=1 知 y=x+1(x>1) , 所以,满足条件的事件有: (2,3) , (3,4) , (4,5) , (5,6)共 4 种, 则 logx(y﹣1)=1 的概率为 P= 故答案为: 点评: 本题考查等可能事件的概率,考查对数的运算,通过列举的方法得到需要的结果, 本题是一个综合题,注意对于对数式的整理. 8. (5 分)若 f(x)是 R 上的增函数,且 f(﹣1)=﹣4,f(2)=2,设 P={x|f(x+t)<2}, Q={x|f(x)<﹣4},若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件,则实数 t 的取值范围是(3,+∞) . 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;元素与集合关系的判断. 分析: 本题考查的充要条件的定义, 根据题设条件及“谁大谁必要, 谁小谁充分”, 可得 P?M, 然后再根据集合包含运算关系,判断出参数满足的不等式,即可求出实数 t 的取值范围. 解答: 解:又∵f(x)是 R 上的增函数,且 f(﹣1)=﹣4,f(2)=2, ∴Q={x|f(x)<﹣4}={x|x<﹣1}, P={x|f(x+t)<2}={x|x+t<2}={x|x<2﹣t}, ∵“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件 ∴P?M, 则 2﹣t<﹣1 则 t>3 故答案为: (3,+∞) 点评: 本题考查充要条件,解题的关键是理解充分不必要条件的含义,将其正确转化为两 个集合之间的包含关系,本题考查了转化的思想及推理判断的能力 9. (5 分)正方形铁片的边长为 8cm,以它的一个顶点为圆心,一边长为半径画弧剪下一个顶 角为 的扇形, 用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器, 则这个圆锥形容器的容积等于 πcm .
3

= ;

考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据已知分别求出圆锥的底面半径和高,代入圆锥体积公式,可得答案. 解答: 解:由题意知,弧长为 ×8=2π,

即围成圆锥形容器底面周长为 2π, 所以圆锥底面半径为 r=1,

可得圆锥高 h=3
2

, = πcm ;
3

所以容积 V= πr ×h= π×1×3

故答案为: π 点评: 本题考查的知识点是旋转体,其中根据已知分析出圆锥的底面半径和高是解答的关 键.

10. (5 分)若方程

+

=1,a∈[1,5],b∈[2,4]表示焦点在 x 轴上且离心率小于

的椭圆,

则 z=a+b 的最小值为 5. 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 表示焦点在 x 轴上且离心率小于 即可求出 z=a+b 的最小值. 解答: 解:方程方程 + =1,表示焦点在 x 轴上且离心率小于 的椭圆时, 的椭圆时,可得 ,利用线性规划知识,



,化简得



又 a∈[1,5],b∈[2,4],画出满足不等式组的平面区域,如右图阴影部分所示, 所在区域内可能的整数对有(2,3) , (3,4) , (3,5) , (4,5) 当过(2,3)时,zmin=5. 故答案为:5.

点评: 本题考查椭圆的简单性质,考查线性规划知识,比较基础. 11. (5 分)已知 f(x)=|x ﹣9|+x +kx,若关于 x 的方程 f(x)=0 在(0,4)上有两个实数 解,则 k 的取值范围是(﹣ ,﹣3) .
2 2

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 转化为函数 g(x)=|x ﹣9|+x = 图象解决问题. 解答: 解:方程 f(x)=0 可以转化为|x ﹣9|+x =﹣kx,记 g(x)=|x ﹣9|+x ,则 f(x)=0 在(0,4)上有两个实数解, 可以转化为函数 g(x)=|x ﹣9|+x =
2 2 2 2 2 2 2 2

与 h(x)=﹣kx 的图象,运用

与 h(x)=﹣kx 的图象,

结合图象和特殊点 A(3,9) ,B(4,23) 可知 k∈(﹣ 故答案为: (﹣ ,﹣3; ,﹣3) .

点评: 本题考查了二次函数的图象,运用图象解决问题,属于中档题. 12. (5 分) 已知圆 C 过点 P (1, 1) , 且与圆 M: (x+2) + (y+2) =r (r>0) 关于直线 x+y+2=0 对称.若 Q 为圆 C 上的一个动点,则 ? 的最小值为﹣4.
2 2 2

考点: 向量在几何中的应用. 专题: 直线与圆.

分析: 设圆心 C(a,b) ,利用圆心关于直线对称,得到 a,b 的方程组解之,然后得到 C 的方程,利用圆的参数方程建立关于 α 的解析式,借助于正弦函数的有界性求最小值.
2 2 2

解答: 解: 设圆心 C (a, b) , 则
2 2 2

, 解得

, 则圆 C 的方程为 x +y =r ,

将点 P 的坐标代入得 r =2,故圆 C 的方程为 x +y =2, 2 2 设 Q(x,y) ,则 x +y =2, 且 ? =(x﹣1,y﹣1) (x+2,y+2)=x +y +x+y﹣4=x+y﹣2, cosα,y= ? sinα,则 x+y=2sin(α+ ? )≥﹣2
2 2

令 x= 所以

=x+y﹣2≥﹣4,则

的最小值为﹣4;

点评: 本题考查了关于直线对称的圆的方程的确定以及考查两个向量的数量积公式的应 用,直线与圆的位置关系的应用,属于中档题. 13. (5 分)已知函数 f(x)= x +x +(2a﹣1)x+a ﹣a+1 若函数 f(x)在(1,3]上存在唯 一的极值点.则实数 a 的取值范围为[﹣7,﹣1) . 考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 计算题;导数的综合应用. 分析: 求出函数的导数,由已知条件结合零点存在定理,可得 f′(1)?f′(3)<0 或 f′(3) =0,解出不等式求并集即可. 解答: 解:∵f(x)= x +x +(2a﹣1)x+a ﹣a+1, ∴f′(x)=x +2x+2a﹣1, ∵函数 f(x)在(1,3]上存在唯一的极值点, ∴f′(1)?f′(3)<0 或 f′(3)=0, ∴(1+2+2a﹣1) (9+6+2a﹣1)<0 或 9+6+2a﹣1=0, 即有(a+1) (a+7)<0 或 a=﹣7 解得﹣7≤a<﹣1. 故答案为:[﹣7,﹣1) . 点评: 本题考查导数的运用:求函数的极值,考查函数的零点存在定理,注意导数为 0 与 函数的极值的关系,属于易错题,也是中档题.
2 3 2 2 3 2 2

14. (5 分) 已知函数 ( f n) =

, 且 an=f (n) +f (n+1) , 则 a1+a2+a3+…+a2014=2014.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 函数的性质及应用;等差数列与等比数列.

分析: 分类讨论得出 n 为奇数时 n+1 为偶数;n 为偶数,n+1 为奇数.当 n 为奇数时,an=n 2 2 2 ﹣(n+1) =﹣2n﹣1,当 n 为偶数时,an=﹣n +(n+1) =2n+1, 运用列举法求出部分项,确定规律即可求解答案. 解答: 解:n 为奇数时 n+1 为偶数;n 为偶数,n+1 为奇数. 2 2 当 n 为奇数时,an=n ﹣(n+1) =﹣2n﹣1, 2 2 当 n 为偶数时,an=﹣n +(n+1) =2n+1 ∴a1=﹣3,a2=5,a3=﹣7,a4=9,a5=﹣11,a6=13m,…, ∴a1+a2=2,a3+a4=2, 即 a1+a2+a3+…+a2014=2×1007=2014, 故答案为:2014. 点评: 本题考查了数列的函数性质,运用整体求解,分类讨论得出函数值,属于中档题. 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.

2

15. (14 分)已知△ ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,向量 =(1,2) , = (cos2A,cos
2

) ,且

=1.

(1)求角 A 的大小; (2)若 b+c=2a=2 ,求证:△ ABC 为等边三角形. 考点: 正弦定理;平面向量数量积的运算. 专题: 解三角形. 分析: (1) 利用向量的坐标和向量的数量积的运算求得关于 cosA 的一元二次方程求得 cosA 的值,则 A 可求得. (2)根据已知条件利用余弦定理可求得 a 的值,b 和 c 的关系,代入原式可求得 b 和 c,进而 判断出 a=b=c,即三角形为等边三角形. 解答: 解: (1)由 得 又因为
2



, ,

, 或 cosA=﹣1,

所以,2cos A+cosA=1,解得 因为 0<A<π, 所以 ,
2 2 2

(2)在△ ABC 中,a =b +c ﹣2bccosA 且 所以, 又 ∴ , , ,解得 , ①,

代入①整理得

∴ , 于是 , 即△ ABC 为等边三角形. 点评: 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,余弦定理的应用.作为解三角形重要定 理,应该熟练记忆余弦定理及其变形公式. 16. (14 分)在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC=4,CB=2,AA1=2,∠ACB=60°,E、F 分别 是 A1C1BC 的中点. (1)证明:平面 AEB⊥平面 B1CF; (2)设 P 为线段 BE 上一点,且 EP=2PB,求三棱锥 P﹣B1C1F 的体积.

考点: 平面与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)首先,证明 AB⊥平面 BB1C1C,然后,得到结论; (2)可以取 B1C1 的中点 H,连结 EH,从而得 EH⊥平面 BB1C1C,最后,结合体积公式求解. 解答: (1)在△ ABC 中,∵AC=2,BC=4,∠ACB=60°, ∴AB=2 ,∴AB +BC =AC , ∴AB⊥BC.…(3 分) 由已知 AB⊥BB1,BB1∩BC=B, ∴AB⊥平面 BB1C1C.…(5 分) 又∵AB?平面 ABE, 故平面 ABE⊥平面 BB1C1C, 即平面 AEB⊥平面 B1CF. (2)取 B1C1 的中点 H,连结 EH, 则 EH∥AB 且 EH= AB= , …(7 分)
2 2 2

由(1)AB⊥平面 BB1C1C, ∴EH⊥平面 BB1C1C,…(10 分) ∵EP=2PB, ∴VP﹣B1C1F= VE﹣B1C1F= S△ B1C1F?EH= .…(14 分)

点评: 本题重点考查了空间中平面和平垂直的判定定理、空间几何体的体积计算等知识, 属于中档题.

17. (14 分)设椭圆方程

+

=1(a>b>0) ,椭圆上一点到两焦点的距离和为 4,过焦点且

垂直于 x 轴的直线交椭圆于 A,B 两点,AB=2. (1)求椭圆方程; (2)若 M,N 是椭圆 C 上的点,且直线 OM 与 ON 的斜率之积为﹣ ,是否存在动点 P(x1, y1) ,若 = +2 ,有 x1 +2y1 为定值.
2 2

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)由已知得 2a=4, ,由此能求出椭圆方程.

(2)存在这样的点 P(x1,y1) .设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,由 kOM?kON= 结合已知条件能推导出存在这样的点 P(x0,y0) . 解答: 解: (1)因为 2a=4,所以,a=2, (2 分) ∵过焦点且垂直于 x 轴的直线交椭圆于 A,B 两点,AB=2. ∴由椭圆的对称性知,椭圆过点(c,1) ,即 c =4﹣b ,解得 b =2, 椭圆方程为 . (7 分)
2 2 2

=﹣ ,

, (4 分)

(2)存在这样的点 P(x1,y1) . 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 则 kOM?kON= =﹣ ,化简为 x1x2+2y1y2=0, (9 分)

∵M,N 是椭圆 C 上的点,∴







=

,得
2

, (11 分)
2

∵ =( =4+4×4+0 =20,

=(x1+2x2) +(y1+2y2) )+4(

)+4(x1x2+2y1y2)

即存在这样的点 P(x0,y0) . (14 分) 点评: 本题考查椭圆方程的求法,考查满足条件的点是否存在的证明,解题时要认真审题, 注意函数与方程思想的合理运用. 18. (16 分)某固定在墙上的广告金属支架如图所示,根据要求,AB 至少长 3 米,C 为 AB 的中点,B 到 D 的距离比 CD 的长小 0.5 米,∠BCD=60° (1)若 CD=x,BC=y,将支架的总长度表示为 y 的函数,并写出函数的定义域. (注:支架 的总长度为图中线段 AB、BD 和 CD 长度之和) (2)如何设计 AB,CD 的长,可使支架总长度最短.

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 应用题;不等式的解法及应用. 分析: (1)△ BCD 中,CD=x,BC=y,∠BCD=60°,由余弦定理可得 x,y 的关系式; (2)设 y﹣1=t(t≥0.5) ,则原式 l=4t+ +5.5,利用基本不等式求出结果.

解答: 解: (1)由 CD=x,则 BD=x﹣0.5,设 BC=y, 则支架的总长度为 AC+BC+BD+CD, 2 2 2 在△ BCD 中,由余弦定理 x +y ﹣2xycos60°=(x﹣0.5) , 化简得 y ﹣xy+x﹣0.25=0,即 x=
2

①…(4 分)

记 l=y+y+x﹣0.5+x=2y+2x﹣0.5=

﹣0.5(﹣0.5<x<0.5 或 x>1)﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣(6 分) (2)由题中条件得 2y≥3,即 y≥1.5,设 y﹣1=t(t≥0.5) 则原式 l=4t+ +5.5 …(10 分)

∵t≥0.5,∴由基本不等式 4t+ 有且仅当 4t= ∴y= ,即 t= 时成立, , 时,金属支架总长度最短. …(16 分)

+1,∴x= ,CD=

∴当 AB=

点评: 本题借助三角形的余弦定理建立函数解析式,考查函数的最值问题,是中档题. 19. (16 分)若数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足等式 an+2Sn=3. (1)能否在数列中找到按原来顺序成等差数列的任意三项,说明理由; (2)能否从数列中依次抽取一个无限多项的等比数列,且使它的所有项和 S 满足 ,如果这样的数列存在,这样的等比数列有多少个?

考点: 数列的求和;等差关系的确定;等比关系的确定. 专题: 综合题;压轴题;等差数列与等比数列. 分析: (1)由 an+2Sn=3,得 存在按原来顺序成等差数列的任意三项. (2)设抽取的等比数列首项为 ,公比为 ,项数为 k,且 m,n,k∈N ,则 S(k)
*

,从而得到

,由此利用反证法推导出不

=



,由此能推导出满足题意的等比数列的个数.

解答: 解: (1)∵an+2Sn=3,∴当 n=1 时,a1+2a1=3,解得 a1=1, ∵an+2Sn=3,∴an+1+2Sn+1=3, 两式相减,得 ,

∴{an}是首项为 1,公比为 的等比数列, ∴ ,

假设存在三项按原来顺序成等差数列,记为 ap,aq,ar(p<q<r) ,


r﹣q r﹣p

,即
r﹣q q﹣p



∴2?3 =3 +1,即 3 (2﹣3 )=1, * ∵P<q<r,∴r﹣q,r﹣p∈N , r﹣q q﹣p ∴3 >3,2﹣3 <0, ﹣ ﹣ r q q p ∴3 (2﹣3 )<0, ∴假设不成立,∴不存在按原来顺序成等差数列的任意三项. (2)设抽取的等比数列首项为 ,公比为 ,项数为 k,且 m,n,k∈N ,
*

则 S(k)=







,∴







由①得 由②得

,∴m≥3,n≥1. ,

当 m=3,n=1 时,不适合条件; 当 m=3,n>1 时,均不合适;当 m>3,n≥1 时,均不合适, 综上所述,满足题意的等比数列没有. 点评: 本题是对等差数列和等比数列的综合考查,对数学思维的要求较高,是道综合性很 强的好题.解题时要认真审题,注意等价转化思想的合理运用. 20. (16 分)已知函数 f(x)=(x ﹣6x +3x+t)e ,t∈R. (1)若函数 y=f(x)有三个极值点,求 t 的取值范围; 2 (2)若 f(x)依次在 x=a,x=b,x=c(a<b<c)处取到极值,且 a+c=2b ,求 f(x)的零点; (3)若存在实数 t∈[0,2],使对任意的 x∈[1,m],不等式 f(x)≤x 恒成立,试求正整数 m 的最大值. 考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的综合应用.
3 2 x

分析: (1)由已知得 f′(x)=(x ﹣3x ﹣9x+t+3)e ,令 g(x)=x ﹣3x ﹣9x+t+3,由此 能求出 t 的取值范围. (2)由已知得 x ﹣3x ﹣9x+t+3=(x﹣a) (x﹣b) (x﹣c)=x ﹣(a+b+c)x +(ab+bc+ac)x ﹣abc,由此能求出 f(x)的零点. 3 2 x (3) 不等式 f (x) ≤x 等价于 (x ﹣6x +3x+t) e ≤x, 转化为存在实数 t∈[0, 2], 使对任意的 x∈[1, ﹣x ﹣x ﹣x 3 2 2 m], 不等式 t≤xe ﹣x +6x ﹣3x 恒成立. 设φ (x) =e ﹣x +6x﹣3, 则 φ′ (x) =﹣e ﹣2x+6. 由 此能求出使命题成立的正整数 m 的最大值为 5. 解答: 解: (1)∵f(x)=(x ﹣6x +3x+t)e ,t∈R. 2 x 3 2 x ∴f′(x)=(3x ﹣12x+3)e +(x ﹣6x +3x+t)e 3 2 x =(x ﹣3x ﹣9x+t+3)e , 3 2 ∵f(x)有 3 个极值点,∴x ﹣3x ﹣9x+t+3=0 有 3 个不同的根, (2 分) 3 2 2 令 g(x)=x ﹣3x ﹣9x+t+3,则 g′(x)=3x ﹣6x﹣9=3(x+1) (x﹣3) , 从而函数 g(x)在(﹣∞,﹣1) , (3,+∞)上递增,在(﹣1,3)上递减. ∵g(x)有 3 个零点,∴ (2)∵a,b,c 是 f(x)的三个极值点 ∴x ﹣3x ﹣9x+t+3=(x﹣a) (x﹣b) (x﹣c) 3 2 =x ﹣(a+b+c)x +(ab+bc+ac)x﹣abc, (6 分)
3 2 3 2 x 3 2 3 2

3

2

x

3

2

,∴﹣8<t<24. (4 分)



,∴b=1 或 b=﹣ (舍,∵b∈(﹣1,3) )





∴f(x)的零点分别为 1﹣2 ,1,1+2 . (10 分) 3 2 x (3)不等式 f(x)≤x,等价于(x ﹣6x +3x+t)e ≤x, ﹣x 3 2 即 t≤xe ﹣x +6x ﹣3x. 转化为存在实数 t∈[0,2],使对任意的 x∈[1,m], 不等式 t≤xe ﹣x +6x ﹣3x 恒成立. ﹣x 3 2 即不等式 0≤xe ﹣x +6x ﹣3x 在 x∈[1,m]上恒成立. ﹣x 2 即不等式 0≤e ﹣x +6x﹣3 在 x∈[1,m]上恒成立. (12 分) ﹣x ﹣x 2 设 φ(x)=e ﹣x +6x﹣3,则 φ′(x)=﹣e ﹣2x+6. ﹣x ﹣x 设 r(x)=φ′(x)=﹣e ﹣2x+6,则 r′(x)=e ﹣2. 因为 1≤x≤m,有 r′(x)<0.所以 r(x)在区间[1,m]上是减函数. 又 r(1)=4﹣e >0,r(2)=2﹣e >0,r(3)=﹣3 <0, 故存在 x0∈(2,3) ,使得 r(x0)=φ′(x0)=0. 当 1≤x<x0 时,有 φ′(x)>0,当 x>x0 时,有 φ′(x)<0. 从而 y=φ(x)在区间[1,x0]上递增,在区间[x0,+∞)上递减. ﹣1 ﹣2 ﹣3 又 φ(1)=e +4>0,φ(2)=e +5>0,φ(3)=e +6>0, ﹣4 ﹣5 ﹣6 φ(4)=e +5>0,φ(5)=e +2>0,φ(6)=e ﹣3<0.
﹣1 ﹣2 ﹣3 ﹣x

3

2

所以,当 1≤x≤5 时,恒有 φ(x)>0; 当 x≥6 时,恒有 φ(x)<0. 故使命题成立的正整数 m 的最大值为 5. (16 分) 点评: 本题考查实数的取值范围的求法,考查函数的零点的求法,考查正整数的最大值的 求法,解题时要认真审题,注意构造法和等价转化思想的合理运用. 三、[选做题]本题包括 21、22、23、24 四小题,每小题 10 分;请选定其中两题作答(选修 4-1:几何证明选讲) 21. (10 分)在△ ABC 中,AB=AC,过点 A 的直线与其外接圆交于点 P,交 BC 延长线于点 D.求证:AP?AD=AB?AC

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 立体几何. 分析: 首先利用等腰三角形和四点共圆的性质得到△ APC∽△ACD 的充分条件,然后根据 相似三角形的性质得到结论. 解答: 证明:在△ ABC 中,AB=AC,所以∠ABC=∠ACB, 因为:∠ABC+∠APC=180° ∠ACB+∠ACD=180° 所以:∠ACD=∠APC ∠CAP 为公共角 所以△ APC∽△ACD, 所以 所以 AC =AP?AD 由 AB=AC, 所以 AP?AD=AB?AC. 点评: 本题考查的知识点:四点共圆的性质,三角形相似的判定和性质.属于基础题型. 四、 (选修 4-2:矩阵与变换) 22. (10 分)△ ABC 的顶点 A(1,2) ,B(3,3) ,C(2,1) ,求在矩阵 下所得图形的面积. 考点: 旋转变换. 专题: 矩阵和变换. 对应的变换
2

分析: 本题可以先通过矩阵变换求出点 A、B、C,经过变换后的点坐标 A′、B′、C′,从而 求出在矩阵对应的变换下所得图形的面积. 解答: 解:∵△ABC 的顶点 A(1,2) ,B(3,3) ,C(2,1) , ∴由 = , , ∴点 A、B、C,经过变换后的点坐标 A′(2,﹣4) 、B′(6,﹣6) 、C′(4,﹣2) . 从而可得 , , ∴三角形 A′B′C′底边 A′C′上的高为: =3 ∴三角形 A′B′C′的面积为:S= , =6. ,

∴三角形 A′B′C′的面积为 6. 点评: 本题考查了矩阵变换,本题难度不大,属于基础题. 五、 (选修 4-4:坐标系与参数方程) 23.已知直线 l1: (t 为参数)和直线 l2:x﹣y﹣2 =0 的交于点 P.

(1)求 P 点的坐标; (2)求点 P 与 Q(1,﹣5)的距离. 考点: 直线的参数方程;两条直线的交点坐标. 专题: 直线与圆;坐标系和参数方程. 分析: 本题(1)可以利用直线 l1 的参数方程和直线 l2 的普通方程,求出参数的值,再求出 交点的坐,也可以将直线 l1 的参数方程化成普通方程,再求出交点的坐标; (2)利用两点间 距离公式,求出|PQ|,得到本题结论. 解答: 解: (1)将 t= , ∴P(1+2 ,1) . (2)由 Q(1,﹣5) ,得: |PQ|= . 代入 x﹣y﹣2 =0 得:

点评: 本题考查了参数方程的知识和两点间距离公式,本题难度不大,属于基础题. 六、 (选修 4-5:不等式选讲) 24.设 a,b 是正数,证明: ≥ ? .

考点: 不等式的证明. 专题: 证明题;不等式的解法及应用. 分析: 利用分析法证明即可. 解答: 证明:要证明
3 3 2 2



?



只要证明 2(a +b )≥(a +b ) (a+b) , 3 3 2 2 只要证明 a +b ≥a b+ab , 2 只要证明(a+b) (a﹣b) ≥0.当且仅当 a=b 时等号成立. ∴ ≥ ? .

点评: 本题考查不等式的证明,考查分析法的运用,正确运用分析法是关键. 七、 【必做题】第 25 题、第 26 题,每题 10 分,共计 20 分. 25. (10 分) 在如图所示的几何体中, 四边形 ABCD 为矩形, 平面 ABEF⊥平面 ABCD, EF∥AB, ∠BAF=90°,AD=2,AB=AF=2EF=1,点 P 在棱 DF 上. (Ⅰ)求证:AD⊥BF: (Ⅱ)若 P 是 DF 的中点,求异面直线 BE 与 CP 所成角的余弦值; (Ⅲ)若二面角 D﹣AP﹣C 的余弦值为 ,求 PF 的长度.

考点: 与二面角有关的立体几何综合题;异面直线及其所成的角. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)利用面面垂直的性质,可得 AD⊥平面 ABEF,即可证明 AD⊥BF; (Ⅱ)建立空间直角坐标系,求得 =(﹣ ,0,1) , =(﹣1,﹣1, ) ,利用向量的夹

角公式,即可求异面直线 BE 与 CP 所成角的余弦值; (Ⅱ)设 P 点坐标为(0,2﹣2t,t) ,求得平面 APF 的法向量为 =(1,0,0) ,平面 APC 的 法向量,利用向量的夹角公式,即可求得结论. 解答: (Ⅰ) 证明: 因为平面 ABEF⊥平面 ABCD, 平面 ABEF∩平面 ABCD=AB, AD⊥AB, 所以 AD⊥平面 ABEF, 因为 BF?平面 ABEF, 所以 AD⊥BF; (Ⅱ)解:因为∠BAF=90°,所以 AF⊥AB, 因为平面 ABEF⊥平面 ABCD,且平面 ABEF∩平面 ABCD=AB,所以 AF⊥平面 ABCD, 因为四边形 ABCD 为矩形,所以以 A 为坐标原点,AB,AD,AF 分别为 x,y,z 轴,

建立如图所示空间直角坐标系 O﹣xyz. 所以 B(1,0,0) ,E( ,0,1) ,P(0,1, ) ,C(1,2,0) . 所以 =(﹣ ,0,1) , , >= =(﹣1,﹣1, ) , , .

所以 cos<

即异面直线 BE 与 CP 所成角的余弦值为

(Ⅲ)解:因为 AB⊥平面 ADF,所以平面 APF 的法向量为 =(1,0,0) . 设 P 点坐标为(0,2﹣2t,t) ,在平面 APC 中, 所以平面 APC 的法向量为 =(﹣2,1, 所以 cos< , >= = ) , , =(0,2﹣2t,t) , =(1,2,0) ,

解得 t= ,或 t=2(舍) . 此时|PF|= .

点评: 本题考查线面垂直,考查线线角、面面角,考查利用空间向量解决空间角问题,正 确求向量是关键. 26. (10 分)数列{an}满足 an+1=2an ﹣1,aN=1 且 aN﹣1≠1,其中 N∈{2,3,4,…} (1)求证:|a1|≤1; (2)求证:a1=cos (k∈Z) .
2

考点: 数学归纳法;数列递推式. 专题: 证明题;点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 利用数学归纳法的证明步骤,即可证明结论. 解答: 证明: (1)猜想:|aN﹣k|≤1,1≤k<N﹣1,k∈N ,接下来用数学归纳法对 k 进行证明: 当 k=1 时,由 an+1=2an ﹣1,aN=1 得 ∴aN﹣1=﹣1,
2 *

=1,但 aN﹣1≠1,

∴|aN﹣1|≤1 成立﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2 分) 假设 k=m(1≤m<N﹣1,m∈N+)时,|aN﹣m|≤1,则 = ∈[0,1]

所以|aN﹣m﹣1|≤1,所以 k=m+1 时结论也成立. 综上,有|aN﹣k|≤1,1≤k<N﹣1,k∈N+,故有|a1|≤1;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5 分) (2)当 N=2 时,由 a2=1 且 a1≠1 得 a1=﹣1=cosπ 成立, 假设 N=m(m≥2)时,存在 k∈Z,使得 a1= ﹣(7 分) 则当 N=m+1 时,由归纳假设,存在 k,使得 a2= , ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣



=

=

=cos

2



所以 a1=

=

或 a1=﹣

=cos ﹣﹣(10 分)



所以无论 N 取任何大于 1 的正整数,都存在 k 使得 cos

点评: 本题考查数学归纳法,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.


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