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中考数学复习课件:专题一 数学思想方法问题


数学思想方法是学习数学知识的精髓,是培养数学分析问题、解决问题能力提升的有效 途径,在数学学习过程中,如果经常反思总结一些数学思想方法,能达到触类旁通的解题目 的,而且能节省审题时间,因此,在中考冲刺阶段一定要多进行题后反思的环节,力争通过 反思数学思想方法达到“做一题,会一类”的目的. 初中数学思想主要有:①转化思想;②数形结合思想;③整体思想;④分类讨论思想; ⑤函数与方程的思想;⑥统计思想;⑦特殊到一般的思想等.

现就常用数学思想方法举例说明如下: 1.转化思想 数学中考题是千变万化的,而其中蕴含的数学思想方法是不变的,如新知识问题转化为 旧知识问题,较复杂问题转化为简单问题等,都要用到转化的思想方法. 2.数形结合思想 数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问 题的解决途径,或用数量关系研究几何图形的性质去解决几何图形的问题,使数量关系和几 何图形巧妙地结合起来,使问题得以解决的一种数学思想. 在初中阶段涉及数形结合思想的内容有:数轴、函数、三角形、四边形、圆、列方程(组) 解应用题等.数形结合思想方法的应用,可帮助我们理解题意,分清已知量未知量,理顺题 中的逻辑关系. 3.分类讨论思想 分类讨论思想是指当被研究的问题存在一些不确定的因素,无法用统一的方法或结论给 出统一的表述时,按可能出现的所有情况来分别讨论,得出各种情况下相应的结论.分类的 原则是:(1)分类中的每一部分是相互独立的;(2)一次分类必须是同一个标准;(3)分类讨论应 逐级进行.分类思想有利于学会完整地考虑问题,化整为零地解决问题. 一般把握一个原则:遇到模棱两可的情况时往往采用分类讨论的思想.比如,遇到“等 腰三角形、圆”等相关知识时常用分类讨论的思想.

类型一 转化思想
x 2x (1)解方程: = +1. x+1 3x+3

【点拨】解分式方程时,应去分母“转化”为整式方程再求解,最后注意验根.
【解答】去分母,得 3x=2x+3x+3,整理,得-2x=3, 3 解得 x=- . 2 3 经检验,x=- 是原方程的根. 2

(2)已知:如图,在梯形 ABCD 中,AD//BC,AB=DC=AD=2,BC=4,求∠B 的度数 及 AC 的长.

【点拨】解决梯形问题时,往往通过作辅助线“转化”为三角形、平行四边形、矩形等 特殊图形去解决,常见辅助线有平移一腰、作高、平移对角线等.

【解答】如图,分别作 AF⊥BC,DG⊥BC,F、G 是垂足.

∴∠AFB=∠DGC=90° . ∵AD//BC,∴四边形 AFGD 是矩形,∴AF=DG. ∵AB=DC,∴Rt△AFB≌Rt△DGC,∴BF=CG. ∵AD=2,BC=4,∴BF=1. BF 1 在 Rt△AFB 中,∴cosB= = ,∴∠B=60° . AB 2 ∵BF=1,∴AF= 3. ∵FC=3,由勾股定理,得 AC=2 3. ∴∠B=60° ,AC=2 3.

类型二 数形结合思想
?2x+5>1, ① 求满足不等式组? 的整数解. 3x - 8 ≤ 10 ② ?
【点拨】解不等式(组)或求其特殊解时,要借助数轴求解,以防出现错解或漏解.

【解答】解不等式①,得 x>-2. 解不等式②,得 x≤6.∴-2<x≤6 在数轴上表示不等式组的解集如下:

∴不等式组的整数解是-1,0,1,2,3,4,5,6.

类型三 分类讨论的思想
度数为( 如图⊙O 的半径为 1,AB 是⊙O 的一条弦,且 AB= 3,则弦 AB 所对圆周角的 )

A.30° B.60° C.30° 或 150° D.60° 或 120°
【点拨】注意一条弦所对圆周角的度数有两个,这两个圆周角相等或互补.

【解答】连结 OA、OB,过 O 作 OC⊥AB 于点 C,在 Rt△AOC 中,OA=1,由垂径定 3 理得 AC= ,∴∠AOC=60° ,∴∠AOB=120° ,因此弦 AB 所对优弧上的圆周角度数为 2 60° ,所对劣弧上的圆周角的度数为 120° ,故选 D.

?2x-y=3 1.方程组? 的解是( x + y = 3 ? ?x=1 ?x=2 ?x=1 A.? B.? C.? ?y=2 ?y=1 ?y=1

)

?x=2 D.? ?y=3

解析:两式左右分别相加,得 3x=6(转化为一元一次方程),解得 x=2,把 x=2 代入② ?x=2 得 y=1,∴? 是原方程组的解,故选 B. ?y=1

答案:B

3 2.若点 A(x1,y1)、B(x2,y2)在反比例函数 y=- 的图象上,且 x1<0<x2,则 y1、y2 和 0 x 的大小关系是( ) A.y1>y2>0 B.y1<y2<0 C.y1>0>y2 D.y1<0<y2

解析:数形结合法可选 C. 答案:C

3.已知⊙O 的半径为 13 cm,弦 AB//CD,AB=24 cm,CD=10 cm,则 AB、CD 之间 的距离为( ) A.17 cm B.7 cm C.12 cm D.17 cm 或 7 cm

解析:分类讨论的思想方法.如图,当 AB、CD 在圆心的同侧时,在 Rt△OAE 中,OE = OA2-AE2= 132-122=5(cm).

在 Rt△OCF 中,OF= OC2-CF2= 132-52=12(cm). ∴EF=OF-OE=12-5=7(cm) 当 AB、CD 在圆心的异侧时,同理可求出 AB、CD 之间的距离为 17 cm,故 AB、CD 之间的距离为 7 cm 或 17 cm.

答案:D

4.在平面直角坐标平面中,O 为坐标原点,二次函数 y=-x2+(k-1)x+4 的图象与 y 轴交于点 A,与 x 轴的负半轴交于点 B,且 S△OAB=6. (1)求点 A 与点 B 的坐标; (2)求此二次函数的解析式; (3)如果点 P 在 x 轴上,且△ABP 是等腰三角形,求点 P 的坐标.
解:(1)由解析式可知,点 A 的坐标为(0,4). 1 ∵S△OAB= ×BO×4=6,∴BO=3, 2 ∴点 B 的坐标为(-3,0). (2)把 B(-3,0)代入,得-(-3)2+(k-1)×(-3)+4=0, 5 解得 k-1=- . 3 5 ∴所求二次函数的解析式为 y=-x2- x+4. 3 (3)因为△ABP 是等腰三角形,所以①当 AB=AP 时,点 P 的坐标为(3,0);②当 AB=BP 时, 点 P 的坐标为(2,0)或(-8,0); ③当 AP=BP 时, 设点 P 的坐标为(x,0), 根据题意得 x2+42 7 7 =|x+3|,解得 x= ,∴点 P 的坐标为( ,0). 6 6 7 综上所述,点 P 的坐标为(3,0),(2,0),(-8,0),( ,0). 6

5.阅读材料:为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0,我们可以将 x2-1 看做一个整体,然 后设 x2-1=y??①,那么原方程可化为 y2-5y+4=0,解得 y1=1,y2=4. 当 y=1 时, x2-1=1, ∴x2=2, ∴x=± 2; 当 y=4 时, x2-1=4, ∴x2=5, ∴x=± 5, ∴原方程的解为 x1= 2,x2=- 2,x3= 5,x4=- 5. 解答问题:(1)上述解题过程,在由原方程得到方程①的过程中,利用________法达到了 解方程的目的,体现了转化的数学思想. (2)请利用以上知识解方程 x4-x2-6=0.

解:(1)换元 (2)设 x2=y,那么原方程可化为 y2-y-6=0. 解得 y1=3,y2=-2. 当 y=3 时,x2=3,∴x=± 3, 当 y=-2 时,x2=-2 不符合题意,舍去 ∴原方程的解为 x1= 3,x2=- 3.


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