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数学:1.1.3导数的几何意义教案


§1.1.3 导数的几何意义 教学目标 1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系; 2.理解曲线的切线的概念; 3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题; 教学重点:曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义; 教学难点:导数的几何意义. 教学过程: 一.创设情景 (一)平均变化率、割线的斜率 (二)瞬时速度、导数 我们知道, 导数表示函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率, 反映了 函数 y=f(x)在 x=x0 附近 的变化情况,导数 f ?( x0 ) 的几何意义是什么呢? 二.新课讲授 (一)曲线的切线及切线的斜率:如图 3.1-2,当 P n ( xn , f ( xn ))( n ?1,2,3,4) 沿着曲线 f ( x ) 趋近于点 P( x0 , f ( x0 )) 时,割线 PP n 的变化趋势是什么? 图 3.1-2 我们发现,当点 P n 沿着曲线无限接近点 P 即Δ x→0 时,割线 PP n 趋近于确定的位置,这个确 定位置 的直线 PT 称为曲线在点 P 处的切线. 问题:⑴割线 PP n 的 斜率 kn 与切线 PT 的斜率 k 有什么关系? ⑵切线 PT 的斜率 k 为多少? -1- 容易知道, 割线 PP n 的斜率是 kn ? f ( xn ) ? f ( x0 ) ,当点 P n 沿着曲线无限接近点 P 时,kn 无限 xn ? x0 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 ) ?x 趋近于切线 PT 的斜率 k ,即 k ? lim ?x ?0 说明: (1)设切线的倾斜角为 α ,那么当Δ x→0 时,割线 PQ 的斜率,称为曲线在点 P 处的切线 的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在 x ? x0 处的导数. (2)曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否 有极限位置来判断与 求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切 线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以 无穷多个. (二)导数的几何意义: 函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 等于在该点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率, 即 f ?( x0 ) ? lim ?x ?0 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?k ?x 说明:求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出 P 点的坐标; ② 求 出 函 数 在 点 x0 处 的 变 化 率 f ?( x0 ) ? lim ?x ?0 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? k ,得到曲线在点 ?x ( x0 , f ( x0 )) 的切线的斜率; ③利用点斜式求切线方程. (二)导函数: 由函数 f(x)在 x=x0 处求导数的过程可以看到,当时, f ?( x0 ) 是一个确定的数,那么,当 x 变化时,便是 x 的一个函数,我们叫它为 f(x)的导函数.记作: f ?( x ) 或 y? , 即: f ?( x) ? y? ? lim ?x ?0 f ( x ? ?x) ? f ( x) ?x 注:在不致发生混淆时,导函数也简称导数. (三)函数 f ( x ) 在点 x0 处的导数 f ?( x0 ) 、导函数 f ?( x ) 、导数 之间的区别与联系。 1)函数在一点处的导数 f ?( x0 ) ,就是在该点的函数的改变量

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