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安徽省蚌埠市2014-2015学年高一下学期期末考试数学试题


蚌埠市 2014—2015 学年度第二学期期末学业水平监测

高一数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的 A、B、C、D 的四 个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的, 请将正确答案的字母代号涂到答题卡上. (不 用答题卡的,填在第 3 页相应的答题栏内) 1.以下四个数是数列 {n(n ? 2)}的项的是??????????? ???????【 A.98 B.99 C.100 D.101 】



2.在 ?ABC 中,若 b ? 2a sin B ,则 A 为 A.

??????????????????【

? 3

B.

? 6

C.

? 2 或 ? 3 3

D. ? 或

5 6

? 6


3. 在等差数列 {a n } 中, a2 ? 2, a4 ? 6 ,则 a10 ? ???????????? ???【 A. 12 B. 14
2 2 2

C. 16

D. 18 】

4. 在 ?ABC 中,已知 a ? b ? c ? A.

2bc ,则角 B ? C 等于??????????【
C.

? 4

B.

3? 4

5? 4

D.

3? ? 或 4 4


5.不等式 (3 ? x) 1 ? x ? 0 的解集为????????????????????【 A.

[3,??)

- 1] ? [3,??) B. (- ?,

C. {-1}? [3,??)

D.

[?1,3]

6.某高校有 840 名职工,现采用系统抽样方法,抽取 42 人做问卷调查,将 840 人按 1,2,?, 840 随机编号,则抽取的 42 人中,编号落在区间的频数为 ??????【 】 A. 11 B. 12 C. 13 D. 14

,B ? {3,4,5},从 A, B 中各任意取一个数,则这两个数之和等于 8 的概 7.集合 A ? {4,5}
率是?????????????????????????????????? 【 A. 】

2 3

B.

1 2

C.

1 3

D.

1 6

8.某单位有职工 750 人,其中青年职工 350,中年职工 250 人,老年职工 150 人,为了了解单 位职工健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本,若样本中青年职工为 7 人,则样本容量 为?????????????????????????????????? 【 】 A. 7
2

B.

15

C. 25

D.35

9.若不等式 (a ? 3) x ? 2(a ? 3) x ? 4 ? 0 对一切 x ? R 恒成立,则实数 a 取值的集合为

?????????????????????????【 A.



( ??,3)

B. ( ?1,3)

C. [?1,3]

D.

( ?1,3]

10.已知第一象限的点 P ( a , b) 在一次函数 y ? ?

2 3 2 x ? 2 图像上运动,则 ? 的最小值为 a b 3


??????????????????【 A.

8 3

B.

11 3

C.

4

D.

25 6


11. 如果执行如图的程序框图,那么输出的值是???????????????【 A.2010 B.-1 1 C. 2 D.2

(图 1) 12. 已知 an ? ( ) ,把数列 {an } 的各项排列成如下的三角形状,
n

1 2

a1

a2

a3 a6 a7
??
(图 2)

a4

a5

a8

a9

记 A(m, n) 表示第 m 行的第 n 个数,则 A(10,13)=?????????????【 A.



1 ( ) 93 2

92 B. ( )

1 2

C.

1 ( ) 94 2

D.

1 ( )112 2

蚌埠市 2014—2015 学年度第二学期期末学业水平监测

高一数学
题号 得分 一 二 三 17 18 19 20 21 22 总分

一、选择题答题栏:(不用答题卡的请将正确答案的字母代号填入下表;用答题 卡的不必填 .) ...
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 小计

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
得分 评卷人

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.请将答案直
接填在题中横线上. 13.北京地铁 2 号线到达时间相隔 5 分钟,某人在 2 号线等待时间超过 4 分钟的概率为 P1, 北京地铁 2 号公路到站时间相隔 8 分钟,某人在 2 路车等待时间超过 6 分钟的概率为 P2, 则 P1 与 P2 的大小关系为____________. 14.若关于 x 的方程 x ? (a ? 2) x ? a ? 3 ? 0 的一根比 2 小且另一根比 2 大,则 a 的取值范
2 2

围是____________. 15.在 ?ABC 中,若 B ?

2? ,BC ? 5, AC ? 7 ,则 ?ABC 的面积 S ? ______________。 3

16.数列 {an } 中, an ? 2n ? 1, ( n ? 4, n ? N ),又 an? 4 ? an ,则 a2015 ? ______________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出说明文字、演算式、证明步骤.
得分 评卷人 17. (本小题满分 11 分)

已知 {an } 是公比为 q( q ? 1) 的等比数列,且 a1, a3 , a2 成等差数列。 (1)求 q 的值; 1 (2)设 {bn } 是以 ? 为首项, q 为公差的等差数列,求 {bn } 的前 n 项和 Sn 。 2

得分

评卷人 18. (本小题满分 12 分)

蚌埠市某中学高三年级从甲(文) 、乙(理)两个科组各选出 7 名学生参加高校自主招生 数学选拔考试,他们取得的成绩(满分 100 分)的茎叶图如图所示,其中甲组学生的平均分 是 85,乙组学生成绩的中位数是 83. (1)求 x 和 y 的值;

2 (2)计算甲组 7 位学生成绩的方差 S ;

乙 7 8 9 6 1 1 y 1 1 6

8 5

9

(3)从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生, 求甲组至少有一名学生的概率.

x 0 6 2

图3

得分

评卷人 19.(本小题满分 13 分)

经过长期的观测得到:在交通繁忙的时段内,蚌埠市解放路某路段汽车的车 流 量 y ( 千 辆 /h ) 与 汽 车 的 平 均 速 度 v ( km / h ) 之 间 的 函 数 关 系 为 670 (v ? 5) y? 2 (v ? 5) 。 v ? 8v ? 9 1 5 (1)在该时段内,当汽车的平均速度 v 为多少时车流量最大,最大车流量为 多少?(精确到 0.1 千辆/h) (2)若要求在该时段内车流量超过 10 千辆/h,则汽车的平均速度应在什么 范围内?

得分

评卷人 20. (本小题满分 12 分)

在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对边长分别为 a , b, c ,已知 (a ? b ? c)(b ? c ? a ) ? 3bc, 且 AB? CA ? ?1
? ?



(1)求角 A 的值; (2)若 b ? c ? 1 ,求 a 的值。

得分

评卷人 21. (本小题满分 13 分)

某校高中三个年级共有学生 1800 名,各年级男生、女生的人数如下表: 男生 女生 高一年级 290 260 高二年级 b c 高三年级 344 a

已知在高中学生中随机抽取一名同学时,抽到高三年级女生的概率为 0.17. (1)求 a 的值; (2)现用分层抽样的方法在全校抽取 60 名学生,则在高二年级应抽取多少 名学生? (3)已知 b ? 260 , c ? 200 ,求高二年级男生比女生多的概率。

得分

评卷人 22. (本小题满分 13 分)

已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ?

1 n ?1 , an ?1 ? an 。 2 2n

(1)求数列 {an } 的通项公式与前 n 项的和 Sn ; (3)设 bn ? n(2 ? Sn ), n ? N * ,若集合 M ? {n bn ? ?, n ? N *} 恰有 4 个元素,求实数 ? 的 取值范围。

蚌埠市 2014—2015 学年度第二学期期末学业水平监测

高一数学参考答案及评分标准
一、选择题: 题号 答案 1 B 2 D 3 D 4 A 5 C 6 B 7 C 8 B 9 D 10 D 11 D 12 C

二、填空题: 13. p1 ? p2 三、解答题: 17.解: (1)根据 an ? a1q n?1 以及 a1 , a3 , a2 成等差数列有 14. ?

3 ? a ?1 2

15.

15 3 4

16.5

1 2a1q 2 ? a1 ? a1q,?2q 2 ? 1 ? q 。解得: q ? ? 或 q ? 1 (舍去) 2
??????????5 分 (2)等差数列 {bn } 中, b1 ? ?

1 1 n , d ? ? ,所以 bn ? b1 ? (n ? 1)d ? ? 。 2 2 2

所以等差数列 {bn } 的前 n 项和为

1 n [? ? (? )]n n(n ? 1) 2 Sn ? 2 ?? 2 4
??????????11 分

18.解: (1)∵甲组学生的平均分是 85, ∴

92 ? 96 ? 80 ? (80 ? x) ? 85 ? 79 ? 78 ? 85 . 7
??????????1 分

∴ x ? 5. ∵乙组学生成绩的中位数是 83, ∴ y ? 3. (2)甲组 7 位学生成绩的方差为:

??????????2 分

1 s 2 ? [7 2 ? 112 ? 0 2 ? 0 2 ? (?6) 2 ? (?7) 2 ? (?5) 2 ] ? 40 ?????5 分 7
(3)甲组成绩在 90 分以上的学生有两名,分别记为 A, B ,

乙组成绩在 90 分以上的学生有三名,分别记为 C, D, E . 从 这 五 名 学 生 任 意 抽 取 两 名 学 生 共 有 10 种 情 况 : . 其中甲组至少有一名学生共有 7 种情况: ??9 分

??????6 分

.??????????10 分 记“从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生,甲组至少有一名学生”为事件 M , 则 P( M ) ?

7 .??????????11 分 10 7 . 10

答:从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生,甲组至少有一名学生的概率为

??????????12 分

19.解: (1)令 v1 ? v ? 5 ,由于 y ?

670(v ? 5) 670 ? (v1 ? 0) , v ? 8v ? 915 v ? 2 ? 900 1 v1
2

且 v1 ?

900 900 900 当且仅当 v1 ? 即 v ? 35 时等号成立, ? 2 v1 ? v1 v1 v1
所以 y ?

670 ? 10.8 ,即当汽车的平均速度为 v ? 35 km/h 时,车流量最大 2 ? 60
??????????7 分

且最大车流量为 10.8 千辆/h。 (2)由条件知

670 (v ? 5) ? 10 ,解得 25 ? v ? 50 v ? 8v ? 915
2

所以若要求在该时段内车流量超过 10 千辆/h,则汽车的平均速度应在 ( 25,50) 范围内。 ??????????13 分

20.解: (1) 因为 (a ? b ? c)(b ? c ? a ) ? 3bc, 所以 b ? c ? a ? bc ,
2 2 2

得 cos A ?

? b2 ? c2 ? a 2 1 ? ,所以 A ? ?????????6 分 3 2bc 2

(2)因为 AB ? CA ? - 3 ,所以 bc cos( ? ?

?

?

?
3

) ? ? 3 ,得 bc ? 2 ①

又因为 b ? c ? 1 ②,由①②解得 b ? 2, c ? 1 ,所以由余弦定理得

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc c o s A ? 5 ? 2 3 ,所以 a ? 5 ? 2 3 ????????13 分
21.解: (1)根据题意得高三年级女生抽到的概率为

a a ? 0.17 ,所以 1800 1800
????????3 分

所以 a ? 1800 ? 0.17 ? 306 (人)

(2)由表格知高二年级的总人数为 1800? (260? 290) ? (344? 306) ? 600人, 所以高二年级应抽取的人数为 60 ?

600 ? 20 (人)???????7 分 1800

(3)设事件 A=“高二年级男生比女生多”,求概率 P ( A) 用 b 表示高二年级男生的人数,用 c 表示高二年级女生的人数,且 b ? c ? 600 则满

,3 3 9 )? (4 0 0 ,2 0 0 ) ,共有 足 b ? 260 , c ? 200 的 (b, c ) 配对的情况为 (260,340), (2 6 1 ,299), (302,298) , 141 种情况,而事件 A 发生的 (b, c ) 配对的情况为 (301 ?, (400,200) 共有 100 种情况,所以

高二年级男生比女生多的概率为 P ( A) ?

100 141

???????13 分

22.解:

a 1 n ?1 , an ?1 ? an ,当 n ? N * 时, n ? 0 。 2 2n n 1 an ?1 an 1 : ? (n ? N * ) 为常数, 又因为 a1 ? , 2 n ?1 n 2 1 1 a 所以数列 { n } 是以 为首项, 为公比的等比数列。??????3 分 n 2 2 a 1 1 n ?1 1 n 从而 n ? ? ( ) ? ( ) n 2 2 2 1 n 所以 an ? n ? ( ) 2 1 n ?1 1 n 由错位相减法得 S n ? 2 ? ( ) ? n( ) ????????7 分 2 2 1 n ?1 2 1 n * (2)因为 bn ? n(2 ? Sn )(n ? N ) ,所以 bn ? n( ) ? n ( ) 2 2
(1)因为 a1 ?

由于 bn ?1 ? bn ? (3 ? n )( )
2

1 2

n ?1



* 所以 b2 ? b1 , b2 ? b3 ? b4 ? ? ,因为集合 M ? {n bn ? ? , n ? N } 恰有 4 个元素,

3 15 35 , b2 ? 2, b3 ? , b5 ? 2 8 32 35 3 ??? 。 所以 32 2
且 b1 ? b4 ?

??????????13 分

(以上各题其它解法请参考以上评分标准酌情赋分)


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