高二年级第二学期第二次模块考试文科数学 2015-7

淄博实验中学高二年级第二学期第二次模块考试

2015.7

数

学（文科）

第 I 卷（共 50 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要 求的． 1．设集合 A ? {x | x ? 2 ? 0} ， B ? {x | 3 ? x ? 0} ，则 A∩B=（ ） A． ?x | x ? ?2? B． ? x | x ? 3? C． ? x | ?2 ? x ? 3? ）象限 D．四 D． 既不充分也不必要条件 ） D． y=2x D． ? x | ?2 ? x ? 3?

2． 设 i 是虚数单位，则复数 1 ? A．一
x

10 对应的点在第（ 3?i
C．三 ）

B．二 B． 必要不充分条件

3．若 x∈R，则“2 ＜1”是“﹣1＜x＜0”的（ A． 充分不必要条件

C． 充要条件

4．下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（ A． y ? ?

2 x

B． y=x3
0.5

C． y=log2x ．则（ ） C. c ? a ? b )

5． 已知 a ? log0.6 0.5 ， b ? ln 0.5 ， c ? 0.6 A. a ? b ? c
x

B. a ? c ? b

D. c ? b ? a D.(1,2)

6．函数 f ? x ?＝2 ＋ 3x 的零点所在的一个区间是(

A.(－2,－1) B.(－1,0) C.(0,1) 7． 某程序框图如图所示，若输出的 S＝57，则判断框内为( A．k>4? B．k>5? C．k>6?

) D．k>7?

8．已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 ( ， A.

1 2

2 ) ,则 log4 f (2) 的值为( ) 2
C.2 D.－2

1 4
?x

B.－

1 4

9．设函数 f ? x ? ? a

? ka x ? a ? 0且a ? 1? 在? ??， ? ?? 上既是奇函数又是减函数，则
）

g ? x ? ? loga ? x ? k ? 的图象是（

A.

B.

C.

D.

10．如果函数 y ? f ( x ) 在区间 I 上是增函数，而函数 y ?

f ( x) 在区间 I 上是减函数，那么称函数 x

y ? f ( x) 是区间 I 上的“缓增函数”，区间 I 叫做“缓增区间”，若函数 f ( x) ?
“缓增函数”，则其“缓增区间” I 为（ A． [1 ， ? ?) B． [0, 3] ） C． [0， 1]

1 2 3 x ? x ? 是区间 I 上的 2 2

D． [1, 3]

第 II 卷（共 100 分）
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分． 11．已知集合 A ? ??3,2,2m ?1 ? ,集合 B ? 2, m2 .若 B I A ? B ,则实数 m ＝ 12．已知函数 f ? x ? ? ?

?

?

.

?log 2 x, x ? 0,
x

? 则f ? ? ?3 ? 1, x ? 0,

? 1 ?? f ? ? ? 的值是_________． ? 4 ??

13．登山族为了了解某山高 y(km)与气温 x(℃ )之间的关系，随机统计了 4 次山高与相应的气温，并制作了 对照表： 18 13 10 气温(℃ ) －1 24 34 38 64 山高(km) ^ ^ ^ 由表中数据，得到线性回归方程 y ＝－ 2x ＋ a ( a ∈ R) ．由此请估计山高为 72 km 处气温的度数为 __________ 14．以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)． ① “若 log2a>0，则函数 f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题； ② 命题“若 a＝0，则 ab＝0”的否命题是“若 a≠0，则 ab≠0”； ③ 命题“若 x，y 都是偶数，则 x＋y 也是偶数”的逆命题为真命题； ④ 命题“若 a∈ M，则 b ? M”与命题“若 b∈ M，则 a ? M”等价． 2 ⑤ 命题“ ? x∈ R，x ＋ax＋1<0”的否定是“ ? x∈ R，x2＋ax＋1≥0.” 15．函数 f(x)的定义域是 R，f(0)＝2，对任意 x∈ R，f(x)＋f ′(x)>1，则不等式 ex· f(x)>ex＋1 的解集为______． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16．(本小题满分 12 分) 已知命题 p: 对 m∈ [－1,1]，不等式 a2－5a－3≥ m2＋8 恒成立； 命题 q：不等式 x2＋ax＋2<0 有解，如果命题 p∨ q 为真命题, p∧ q 为假命题, 求 a 的取值范围．

17．(本小题满分 12 分) 观察下表： 1 2,3 4,5,6,7 8,9,10,11,12,13,14,15

…… 问： (I)此表第 6 行的各个数之和是多少？ (II)2 015 是第几行的第几个数？

18．(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? loga (1 ? x) ? loga ( x ? 3)(0 < a < 1) （I）求函数 f ( x ) 的零点； （II）若函数 f ( x ) 的最小值为－4，求 a 的值．

19. (本小题满分 12 分) 如图所示，已知边长为 8 m 的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中 AE＝4 m，CD＝ 6 m．为了合理利用这块钢板，将在五边形 ABCDE 内截取一个矩形块 BNPM，使点 P 在边 DE 上． (I)设 MP＝x m，PN＝y m，将 y 表示成 x 的函数，求该函数的解析式及定义域； (II)求矩形 BNPM 面积的最大值．

20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ? bx ? cx ? d 的图象过点 P（0，2） ，且
3 2

在点 M（－1，f（－1） ）处的切线方程为 6 x ? y ? 7 ? 0 . （Ⅰ ）求函数 y ? f ( x) 的解析式； （Ⅱ ）求函数 g ( x) ? e [ f (2 x) ? 3] 的极值点；
x /

（III）若函数 y ? f ( x) ? mx 在区间 [?1, 2] 上不是单调函数，求 m 的取值范围。
/

21. （本小题满分 14 分）已知函数 f ? x ? ?

1 2 3 x ? ? k ? 1? x ? k ? , g ? x ? ? x ln x . 2 2

（I）若函数 f ? x ? 的两个零点 x1 , x2 满足 ?2 ? x1 ? 0 ? x2 ? 2 ，求实数 k 的取值范围； （II）当 k ? 0 时，证明： f ? x ? ? g ? x ? ? 0 ； （ III ）设 h ? x? ? f ? x? ? g? ? x? , 若 h? x ? 有两个极值点 x1, x2 ? x1 ? x2 ? ，且 h ? x1 ? ? h ? x2 ? ? 数 k 的取值范围.

7 ，求实 2

淄博实验中学高二年级第二学期第二次模块考试
2． 【解析】 1 ?

数学（文科）答案

1． 【解析】由于 A={x|x≥－2}，B= {x|x<3}，故 A∩B={x|－2≤x<3}． 【答案】D

10 10(3 ? i) 10(3 ? i) ? 1? ? 1? ? 1 ? (3 ? i) ? ?2 ? i 3?i (3 ? i)(3 ? i) 10 由复数 ?2 ? i 对应的点是 (?2, ?1) ，在第三象限． 【答案】C

3． 【解析】 ： 解： （1）若 2x＜1=20，则 x＜0； 而 x＜0 得不到﹣1＜x＜0；∴“2x＜1”不是“﹣1＜x＜0”的充 分条件； （2）若﹣1＜x＜0，则 2x＜20=1；即﹣1＜x＜0 能得到 2x＜1； ∴“2x＜1”是“﹣1＜x＜0”的必要条 件；∴综上得“2x＜1”是“﹣1＜x＜0”的必要不充分条件． 故选：B． 4． 【解析】 ： 解：A. y ? ?

2 为奇函数，在定义域上不是增函数．B．y=x3 是奇函数在其定义域上是增函 x

数，满足条件． C．y=log2x 为增函数，为非奇非偶函数．D．y=2x 为非奇非偶函数，在定义域上是增函 数．故【答案】B
0.5 0 5. 【 解 析 】 a ? log0.6 0.5 ? log0.6 0.6 ? 1 ， b ? ln 0.5 ? ln1 ? 0 ， 0 ? c ? 0.6 ? 0.6 ? 1 ， 所 以

a ? c? b 。 【答案】B
6.【解析】由 f ? ?1? ? 7.

1 ? 3 ? 0, f ? 0 ? ? 1 ? 0 及零点定理,知 f(x)的零点在区间(－1,0)上. 【答案】B 2

【解析】当 k＝1 时，k＝k＋1＝2，S＝2× 1＋2＝4；当 k＝2 时，k＝k＋1＝3，S＝2× 4＋3＝11；

当 k＝3 时，k＝k＋1＝4，S＝2× 11＋4＝26；当 k＝4 时，k＝k＋1＝5，S＝2× 26＋5＝57. 此时 S＝57，循环结束，k＝5，所以判断框中应为“k>4？”． 【答案】A 8. 【解析】根据幂函数的定义,设 f ? x ? ? x ,因为函数 y ? f ? x ? 过点 ( ，
a
a a 1

1 2

2 ), 2

1 1 2 2 1 ?1? ?1? ? 1 ? ? 1 ?2 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? , f ( x) ? x 2 ， f (2) ? 2 2 所以 f ? ? ? 2 2 ?2? 2 ?2? ?2? ?2?

则 log 4 f (2) ? log 4 2 2 ?

1

1 1 log 4 2 ? ,故【答案】A . 2 4

9． 【解析】∵ 函数 f（x）= a-x- kax（a＞0，a≠1）在 R 上是奇函数，∴ f（0）=0 ∴ k=1，又∵ f（x）= a-x- ax 为减函数，所以 a＞1，所以 g（x）=loga（x+1） ，定义域为{x|x＞-1}，且是增函 数，故【答案】C ． 10.【解析】函数 f ( x ) ?

1 2 3 f ( x) x 3 x ? x ? 的单调增区间是 [1 ? ? ? 1 ，则 ， ? ?) ，令 g ( x) ? 2 2 x 2 2x

g ' ( x) ?

f ( x) 1 3 ? 2 ,解 g ' ( x) ? 0 ,得 ? 3 ? x ? 0或0<x ? 3 ，则函数 在区间 (? 3,0)和(0, 3) 上是 x 2 2x

单调减函数.所以函数 f ( x ) ?

1 2 3 x ? x ? 的“缓增区间”是 [1, 3] .【答案】D 2 2
【答案】1

11.【解析】因为 B I A ? B ? B ? A ,所以 m 2 ? A ,又因为 m2 ? 0 且 m 2 ? 2 (集合互异性),所以

m2 ? 2m ? 1 ? m ? 1 ,故填 1.
12． 【解析】 f ( ) ? log 2

1 4

1 10 10 ? ?2 ， f (?2) ? 3? 2 ? 1 ? . 【答案】 9 4 9

18＋13＋10－1 24＋34＋38＋64 ＝ 10 ， y ＝ ＝ 40 ，所以样本中心点 4 4 ^ ^ ^ ^ ^ (10,40)在线性回归直线y＝－2x＋a上，所以 40＝－20＋a，解得a＝60，所以线性回归方程为y＝－2x＋60， 当 y＝72 时，x＝－6， 【答案】 －6 14．解析：对于① ，若 log2a>0＝log21，则 a>1，所以函数 f(x)＝logax 在其定义域内是增函数，故① 不正确； 对于② ，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③ ，原命题的逆命题是“若 x＋y 是偶数， 则 x、y 都是偶数”，是假命题，如 1＋3＝4 是偶数，但 3 和 1 均为奇数，故③ 不正确；对于④ ，不难看出， 命题“若 a∈ M，则 b ? M”与命题“若 b∈ M，则 a ? M”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④ 正确．对于 ⑤ ，正确。综上可知正确的说法有② ④ ⑤ . 【答案】② ④ ⑤ 15．解析 构造函数 g(x)＝ex· f(x)－ex，因为 g ′(x)＝ex· f (x)＋ex· f ′(x)－ex＝ex[f(x)＋f ′(x)－1]>0，所以 g(x)＝ ex· f(x)－ex 为 R 上的增函数．又因为 g(0)＝e0· f(0)－e0＝1，所以原不等式转化为 g(x)>g(0)，解得 x>0. 答案: {x|x>0} 13 ． 【 解析】 由表中数据可得 x ＝ 26．解析：∵ m∈ [－1,1]， ∴ m2＋8∈ [2 2，3]． ∵ 对 m∈ [－1,1]，不等式 a2－5a－3≥ m2＋8 恒成立，可得 a2－5a－3≥3， ∴ a≥6 或 a≤－1. 故命题 p 为真命题时，a≥6 或 a≤－1.命题 p 为假命题时，－1<a<6. ……………….5 分 2 2 又命题 q：不等式 x ＋ax＋2<0 有解， ∴ Δ＝a －8>0. ∴ a>2 2或 a<－2 2. 故命题 q 为真命题时，a>2 2或 a<－2 2.命题 q 为假命题时，－2 2≤a≤2 2， ….8 分 由题意命题 p∨ q 为真命题, p∧ q 为假命题, 所以 p 和 q 有且只有一个是真命题 ∴ 命题 p 为真命题，q 为假命题时， －2 2≤a≤－1. 命题 p 为假命题，q 为真命题时， 2 2 <a<6 ………………11 分 综上所述，a 的取值范围为[－2 2 , －1]∪ ( 2 2,6). ……………….12 分 17．解析： （I） 第 6 行的第一个数是 25=32，共 25=32 个数，成等差数列，它们的和是

32 ? 32 ?

32 ? 31 ?1 ? 1520 2

……………….6 分

(II)∵ 第 11 行第一个数是 210＝1 024,第 12 行第一个数是 211＝2 048, 1 024<2 015<2 048， ∴ 2 015 在第 11 行，该行第 1 个数是 210＝1 024. 由 2 015－1 024＋1＝992，知 2 015 是第 11 行的第 992 个数．……………….12 分

18．解： （I）要使函数有 意义：则有 ? 所以函数的定义域为： （-3，1） ．

?1 ? x > 0 ，解之得： ?3 < x < 1 ， ?x ? 3 > 0
……………….3 分 由 f ( x) ? 0 ，得 ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 1 ，

函数可化为 f ( x) ? loga (1 ? x)( x ? 3) ? loga (? x2 ? 2x ? 3)

2 即 x ? 2 x ? 2 ? 0 ， x ? ?1 ? 3 ，∵-1 ? 3 ? (?3,1) ，∴ f ( x) 的零点是 ?1 ? 3 ．……….6 分

2 （II） f ( x) ? loga (1 ? x)( x ? 3) ? loga (? x2 ? 2x ? 3) ? log a ? ? ?( x ? 1) ? 4 ? ? 2 ∵ ?3 < x < 1 ∴0 < -(x ? 1)2 ? 4 ? 4 ．∵ 0 < a < 1 ，∴ log a ? ? ?( x ? 1) ? 4 ? ? ? log a 4 ，

?4 即 f ( x)min ? log a 4 ．由 loga 4 ? ?4 ，得 a ? 4 ，∴ a ? 4

?

1 4

?

2 ．……………….12 分 2
…….6 分

19. 解：(I)作 PQ⊥ AF 于 Q，所以 PQ＝8－y，EQ＝x－4， x－4 4 EQ EF 1 在△ EDF 中， ＝ ， 所以 ＝ ， 所以 y＝－ x＋10，定义域为{x|4≤x≤8}． PQ FD 2 8－y 2 x 1 2 ? (II)设矩形 BNPM 的面积为 S，则 S(x)＝xy＝x? ?10－2?＝－2(x－10) ＋50， 所以 S(x)是关于 x 的二次函数，且其开口向下，对称轴为 x＝10， 所以当 x∈ [4，8]，S(x)单调递增， 所以当 x＝8 时，S(x)取最大值 8(10－4)=48 所以当 x＝8 m 时，矩形 BNPM 面积取得最大值 48 m2. ……………….12 分 20. 解： （Ⅰ ）由 f ( x) 的图象经过 P（0，2） ，知 d=2，所以 f ( x) ? x 3 ? bx2 ? cx ? 2,

f ?( x) ? 3x 2 ? 2bx ? c. 由在 M (?1, f (?1)) 处的切线方程是 6 x ? y ? 7 ? 0 ，知 ? 6 ? f (?1) ? 7 ? 0,即f (?1) ? 1, f ?(?1) ? 6. ?3 ? 2b ? c ? 6, ?2b ? c ? ?3, ?? 即? 解得b ? c ? ?3. ??1 ? b ? c ? 2 ? 1. ?b ? c ? 0, 3 2 故所求的解析式是 f ( x) ? x ? 3x ? 3x ? 2. ……………….4 分 2 （Ⅱ ）由（I）可得 f ?( x) ? 3x ? 6 x ? 3 ，所以 g ( x) ? ex [3(2x)2 ? 6(2x) ? 3 ? 3] ? 12ex ( x2 ? x) 则 g / ( x) ? 12[(ex )/ ( x2 ? x) ? ex ( x2 ? x)/ ] ? 12[ex ( x2 ? x) ? ex (2 x ?1)] ? 12e x ( x2 ? x ?1)
2 / x 因为 12e ? 0 ，所以 令 g ( x) ? 0 ，得 x ? x ? 1 ? 0 ， x ?

?1 ? 5 2

2 / 令 g ( x) ? 0 ，得 x ? x ? 1 ? 0 ， x ?

?1 ? 5 ?1 ? 5 ，或 x ? 2 2

2 / 令 g ( x) ? 0 ，得 x ? x ? 1 ? 0 ，

?1 ? 5 ?1 ? 5 ?x? 2 2

所以 g ( x) 的增区间是 (??, 故 g ( x) 在 x ?

?1 ? 5 ?1 ? 5 ?1 ? 5 ?1 ? 5 ), ( , ??) ，减区间是 ( , ) 2 2 2 2

?1 ? 5 ?1 ? 5 时取极大值，在 x ? 时取极小值， 2 2 ?1 ? 5 。 2
……………….9 分

因此 g ( x) 的极值点是

（III）因为 f ?( x) ? 3x2 ? 6 x ? 3 ，所以 y ? 3x2 ? (m ? 6) x ? 3 ，是开口向上的抛物线， 对称轴是直线 x ? 所以 ?1 ?

m?6 6

由于函数 y ? 3x2 ? (m ? 6) x ? 3 在区间 [?1, 2] 上不是单调函数，

m?6 ? 2, 解得 ?12 ? m ? 6 ，故 m 的取值范围是 (?12, 6) 。……………….13 分 6

21. 解析： （I）由已知可得函数 f ? x ? 的两个零点分别位于区间 (?2, 0) 和 (0, 2) ，

3 ? f ( ? 2) ? 2 ? 2( k ? 1) ? k ? ?0 ? 2 ? 3 ? ? f (0) ? ? k ? ? 0 2 ? 3 ? ? f (2) ? 2 ? 2( k ? 1) ? k ? 2 ? 0 ?
所以实数 k 的取值范围是 ( ,

11 ? k ? ? 6 ? 3 ? 解得 ? k ? 2 ? 3 ? ?k ? ? 2 ?

所以

3 11 ?k? 2 6

3 11 ) 。……………………………4 分 2 6

（II）方法一：令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ，则当 k ? 0 时， F ( x) ? x ln x ?

1 2 3 x ? x ? ，定义域 (0, ??) ， 2 2 / / / F ( x) ? ln x ? x ，显然 F ( x) 是单调增函数，设 F ( x0 ) ? 0 ，即 ln x0 ? x0 ? 0 ，易得 x0 ? (0,1)
所以 F ( x) 的最小值是 F ( x0 ) 由 ln x0 ? x0 ? 0 得 ln x0 ? ? x0 ……………………………6 分

从而当 x ? (0, x0 ) 时， F / ( x0 ) ? 0 ， F ( x) 单调递减，当 x ? ( x0 ? ?) 时， F / ( x0 ) ? 0 ， F ( x) 单调递增，

又 F ( x0 ) ? x0 ln x0 ?

1 2 3 1 3 1 3 1 x0 ? x0 ? ? x0 (? x0 ) ? x0 2 ? x0 ? ? ? x0 2 ? x0 ? ? ? ( x0 ? 3)( x0 ? 1) 2 2 2 2 2 2 2 因为 x0 ? (0,1) ， 所以 F ( x0 ) ? 0 ，所以 F ( x) ? 0 恒成立，即 f ( x) ? g ( x) ? 0 恒成立。……8 分
1 e 1 e

/ / 方 法 二 ： g ( x) ? ln x ? 1 ， 于 是 x ? (0, ) 时 ， g ( x ) ? 0， g ( x) 单 调 递 减 ； x ? ( , ??) 时 ，

1 1 1 ， g / ( x ) ? 0， g ( x) 单调递增，所以 g ( x) 的最小值是 g ( ) ? ? （当且仅当 x ? 时取等号） e e e
即 g ( x ) ? ? ，……………………6 分

1 e

1 2 3 1 x ? x ? ? ( x ? 1) 2 ? 1 ? 1 （当且仅当 x ? 1 时取等号） 2 2 2 1 所以 f ( x) ? g ( x) ? 1 ? ? 0 恒成立。……………………8 分 e 1 2 5 （III）由题设 h( x) ? ln x ? x ? (k ? 1) x ? k ? ，定义域 (0, ??) ， 2 2 2 1 x ? (k ? 1) x ? 1 2 h / ( x) ? ? x ? (k ? 1) ? 要使 h( x) 有两个极值点，则需 x ? (k ?1) x ? 1 ? 0 有两个不 x x 相等的正实根 x1 , x2 （不妨设 x1 ? x2 ） 。……………………9 分
又当 k ? 0 时， f ( x) ?

?? ? (k ? 1) 2 ? 4 ? 0 ? 所以 ? x1 ? x2 ? ?(k ? 1) ? 0 解得 k ? ?1 ……………………10 分 ?x x ? 1 ? 0 ? 1 2 / 又 h ( x) ? 0 得 x ? x1 ，或 x ? x2 ； h / ( x) ? 0 得 x1 ? x ? x2 ，即 h( x) 的增区间是 (??, x1 ),( x2 , ??) ，减区
间是 ( x1 , x2 ) ，所以 x1 , x2 分别是 h( x) 的极大值点和极小值点，……………………12 分 而 h( x1 ) ? h( x2 ) ? ln x1 ?

1 2 5 1 5 x1 ? (k ? 1) x1 ? k ? ? ln x2 ? x2 2 ? (k ? 1) x2 ? k ? 2 2 2 2

1 ? ln( x1 x2 ) ? ( x12 ? x2 2 ) ? (k ? 1)( x1 ? x2 ) ? 2k ? 5 2 1 1 ? ln1 ? [( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 ] ? (k ? 1)( x1 ? x2 ) ? 2k ? 5 ? [(1 ? k ) 2 ? 2] ? (k ? 1)(1 ? k ) ? 2k ? 5 2 2 1 2 7 ? ? k ?k ? ……………………13 分 2 2 1 2 7 7 所以 ? k ? k ? ? 解得 k ? ?2 或 k ? 0 2 2 2 综上可得 k ? ?2 ，即所求实数 k 的取值范围是 (??, ?2) 。……………………14 分