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高二年级第二学期第二次模块考试文科数学 2015-7


淄博实验中学高二年级第二学期第二次模块考试

2015.7



学(文科)

第 I 卷(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要 求的. 1.设集合 A ? {x | x ? 2 ? 0} , B ? {x | 3 ? x ? 0} ,则 A∩B=( ) A. ?x | x ? ?2? B. ? x | x ? 3? C. ? x | ?2 ? x ? 3? )象限 D.四 D. 既不充分也不必要条件 ) D. y=2x D. ? x | ?2 ? x ? 3?

2. 设 i 是虚数单位,则复数 1 ? A.一
x

10 对应的点在第( 3?i
C.三 )

B.二 B. 必要不充分条件

3.若 x∈R,则“2 <1”是“﹣1<x<0”的( A. 充分不必要条件

C. 充要条件

4.下列函数中,既是奇函数又在其定义域上是增函数的是( A. y ? ?

2 x

B. y=x3
0.5

C. y=log2x .则( ) C. c ? a ? b )

5. 已知 a ? log0.6 0.5 , b ? ln 0.5 , c ? 0.6 A. a ? b ? c
x

B. a ? c ? b

D. c ? b ? a D.(1,2)

6.函数 f ? x ?=2 + 3x 的零点所在的一个区间是(

A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) 7. 某程序框图如图所示,若输出的 S=57,则判断框内为( A.k>4? B.k>5? C.k>6?

) D.k>7?

8.已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 ( , A.

1 2

2 ) ,则 log4 f (2) 的值为( ) 2
C.2 D.-2

1 4
?x

B.-

1 4

9.设函数 f ? x ? ? a

? ka x ? a ? 0且a ? 1? 在? ??, ? ?? 上既是奇函数又是减函数,则


g ? x ? ? loga ? x ? k ? 的图象是(

A.

B.

C.

D.

10.如果函数 y ? f ( x ) 在区间 I 上是增函数,而函数 y ?

f ( x) 在区间 I 上是减函数,那么称函数 x

y ? f ( x) 是区间 I 上的“缓增函数”,区间 I 叫做“缓增区间”,若函数 f ( x) ?
“缓增函数”,则其“缓增区间” I 为( A. [1 , ? ?) B. [0, 3] ) C. [0, 1]

1 2 3 x ? x ? 是区间 I 上的 2 2

D. [1, 3]

第 II 卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.已知集合 A ? ??3,2,2m ?1 ? ,集合 B ? 2, m2 .若 B I A ? B ,则实数 m = 12.已知函数 f ? x ? ? ?

?

?

.

?log 2 x, x ? 0,
x

? 则f ? ? ?3 ? 1, x ? 0,

? 1 ?? f ? ? ? 的值是_________. ? 4 ??

13.登山族为了了解某山高 y(km)与气温 x(℃ )之间的关系,随机统计了 4 次山高与相应的气温,并制作了 对照表: 18 13 10 气温(℃ ) -1 24 34 38 64 山高(km) ^ ^ ^ 由表中数据,得到线性回归方程 y =- 2x + a ( a ∈ R) .由此请估计山高为 72 km 处气温的度数为 __________ 14.以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号). ① “若 log2a>0,则函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题; ② 命题“若 a=0,则 ab=0”的否命题是“若 a≠0,则 ab≠0”; ③ 命题“若 x,y 都是偶数,则 x+y 也是偶数”的逆命题为真命题; ④ 命题“若 a∈ M,则 b ? M”与命题“若 b∈ M,则 a ? M”等价. 2 ⑤ 命题“ ? x∈ R,x +ax+1<0”的否定是“ ? x∈ R,x2+ax+1≥0.” 15.函数 f(x)的定义域是 R,f(0)=2,对任意 x∈ R,f(x)+f ′(x)>1,则不等式 ex· f(x)>ex+1 的解集为______. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知命题 p: 对 m∈ [-1,1],不等式 a2-5a-3≥ m2+8 恒成立; 命题 q:不等式 x2+ax+2<0 有解,如果命题 p∨ q 为真命题, p∧ q 为假命题, 求 a 的取值范围.

17.(本小题满分 12 分) 观察下表: 1 2,3 4,5,6,7 8,9,10,11,12,13,14,15

…… 问: (I)此表第 6 行的各个数之和是多少? (II)2 015 是第几行的第几个数?

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? loga (1 ? x) ? loga ( x ? 3)(0 < a < 1) (I)求函数 f ( x ) 的零点; (II)若函数 f ( x ) 的最小值为-4,求 a 的值.

19. (本小题满分 12 分) 如图所示,已知边长为 8 m 的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中 AE=4 m,CD= 6 m.为了合理利用这块钢板,将在五边形 ABCDE 内截取一个矩形块 BNPM,使点 P 在边 DE 上. (I)设 MP=x m,PN=y m,将 y 表示成 x 的函数,求该函数的解析式及定义域; (II)求矩形 BNPM 面积的最大值.

20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ? bx ? cx ? d 的图象过点 P(0,2) ,且
3 2

在点 M(-1,f(-1) )处的切线方程为 6 x ? y ? 7 ? 0 . (Ⅰ )求函数 y ? f ( x) 的解析式; (Ⅱ )求函数 g ( x) ? e [ f (2 x) ? 3] 的极值点;
x /

(III)若函数 y ? f ( x) ? mx 在区间 [?1, 2] 上不是单调函数,求 m 的取值范围。
/

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ?

1 2 3 x ? ? k ? 1? x ? k ? , g ? x ? ? x ln x . 2 2

(I)若函数 f ? x ? 的两个零点 x1 , x2 满足 ?2 ? x1 ? 0 ? x2 ? 2 ,求实数 k 的取值范围; (II)当 k ? 0 时,证明: f ? x ? ? g ? x ? ? 0 ; ( III )设 h ? x? ? f ? x? ? g? ? x? , 若 h? x ? 有两个极值点 x1, x2 ? x1 ? x2 ? ,且 h ? x1 ? ? h ? x2 ? ? 数 k 的取值范围.

7 ,求实 2

淄博实验中学高二年级第二学期第二次模块考试
2. 【解析】 1 ?

数学(文科)答案

1. 【解析】由于 A={x|x≥-2},B= {x|x<3},故 A∩B={x|-2≤x<3}. 【答案】D

10 10(3 ? i) 10(3 ? i) ? 1? ? 1? ? 1 ? (3 ? i) ? ?2 ? i 3?i (3 ? i)(3 ? i) 10 由复数 ?2 ? i 对应的点是 (?2, ?1) ,在第三象限. 【答案】C

3. 【解析】 : 解: (1)若 2x<1=20,则 x<0; 而 x<0 得不到﹣1<x<0;∴“2x<1”不是“﹣1<x<0”的充 分条件; (2)若﹣1<x<0,则 2x<20=1;即﹣1<x<0 能得到 2x<1; ∴“2x<1”是“﹣1<x<0”的必要条 件;∴综上得“2x<1”是“﹣1<x<0”的必要不充分条件. 故选:B. 4. 【解析】 : 解:A. y ? ?

2 为奇函数,在定义域上不是增函数.B.y=x3 是奇函数在其定义域上是增函 x

数,满足条件. C.y=log2x 为增函数,为非奇非偶函数.D.y=2x 为非奇非偶函数,在定义域上是增函 数.故【答案】B
0.5 0 5. 【 解 析 】 a ? log0.6 0.5 ? log0.6 0.6 ? 1 , b ? ln 0.5 ? ln1 ? 0 , 0 ? c ? 0.6 ? 0.6 ? 1 , 所 以

a ? c? b 。 【答案】B
6.【解析】由 f ? ?1? ? 7.

1 ? 3 ? 0, f ? 0 ? ? 1 ? 0 及零点定理,知 f(x)的零点在区间(-1,0)上. 【答案】B 2

【解析】当 k=1 时,k=k+1=2,S=2× 1+2=4;当 k=2 时,k=k+1=3,S=2× 4+3=11;

当 k=3 时,k=k+1=4,S=2× 11+4=26;当 k=4 时,k=k+1=5,S=2× 26+5=57. 此时 S=57,循环结束,k=5,所以判断框中应为“k>4?”. 【答案】A 8. 【解析】根据幂函数的定义,设 f ? x ? ? x ,因为函数 y ? f ? x ? 过点 ( ,
a
a a 1

1 2

2 ), 2

1 1 2 2 1 ?1? ?1? ? 1 ? ? 1 ?2 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? , f ( x) ? x 2 , f (2) ? 2 2 所以 f ? ? ? 2 2 ?2? 2 ?2? ?2? ?2?

则 log 4 f (2) ? log 4 2 2 ?

1

1 1 log 4 2 ? ,故【答案】A . 2 4

9. 【解析】∵ 函数 f(x)= a-x- kax(a>0,a≠1)在 R 上是奇函数,∴ f(0)=0 ∴ k=1,又∵ f(x)= a-x- ax 为减函数,所以 a>1,所以 g(x)=loga(x+1) ,定义域为{x|x>-1},且是增函 数,故【答案】C . 10.【解析】函数 f ( x ) ?

1 2 3 f ( x) x 3 x ? x ? 的单调增区间是 [1 ? ? ? 1 ,则 , ? ?) ,令 g ( x) ? 2 2 x 2 2x

g ' ( x) ?

f ( x) 1 3 ? 2 ,解 g ' ( x) ? 0 ,得 ? 3 ? x ? 0或0<x ? 3 ,则函数 在区间 (? 3,0)和(0, 3) 上是 x 2 2x

单调减函数.所以函数 f ( x ) ?

1 2 3 x ? x ? 的“缓增区间”是 [1, 3] .【答案】D 2 2
【答案】1

11.【解析】因为 B I A ? B ? B ? A ,所以 m 2 ? A ,又因为 m2 ? 0 且 m 2 ? 2 (集合互异性),所以

m2 ? 2m ? 1 ? m ? 1 ,故填 1.
12. 【解析】 f ( ) ? log 2

1 4

1 10 10 ? ?2 , f (?2) ? 3? 2 ? 1 ? . 【答案】 9 4 9

18+13+10-1 24+34+38+64 = 10 , y = = 40 ,所以样本中心点 4 4 ^ ^ ^ ^ ^ (10,40)在线性回归直线y=-2x+a上,所以 40=-20+a,解得a=60,所以线性回归方程为y=-2x+60, 当 y=72 时,x=-6, 【答案】 -6 14.解析:对于① ,若 log2a>0=log21,则 a>1,所以函数 f(x)=logax 在其定义域内是增函数,故① 不正确; 对于② ,依据一个命题的否命题的定义可知,该说法正确;对于③ ,原命题的逆命题是“若 x+y 是偶数, 则 x、y 都是偶数”,是假命题,如 1+3=4 是偶数,但 3 和 1 均为奇数,故③ 不正确;对于④ ,不难看出, 命题“若 a∈ M,则 b ? M”与命题“若 b∈ M,则 a ? M”是互为逆否命题,因此二者等价,所以④ 正确.对于 ⑤ ,正确。综上可知正确的说法有② ④ ⑤ . 【答案】② ④ ⑤ 15.解析 构造函数 g(x)=ex· f(x)-ex,因为 g ′(x)=ex· f (x)+ex· f ′(x)-ex=ex[f(x)+f ′(x)-1]>0,所以 g(x)= ex· f(x)-ex 为 R 上的增函数.又因为 g(0)=e0· f(0)-e0=1,所以原不等式转化为 g(x)>g(0),解得 x>0. 答案: {x|x>0} 13 . 【 解析】 由表中数据可得 x = 26.解析:∵ m∈ [-1,1], ∴ m2+8∈ [2 2,3]. ∵ 对 m∈ [-1,1],不等式 a2-5a-3≥ m2+8 恒成立,可得 a2-5a-3≥3, ∴ a≥6 或 a≤-1. 故命题 p 为真命题时,a≥6 或 a≤-1.命题 p 为假命题时,-1<a<6. ……………….5 分 2 2 又命题 q:不等式 x +ax+2<0 有解, ∴ Δ=a -8>0. ∴ a>2 2或 a<-2 2. 故命题 q 为真命题时,a>2 2或 a<-2 2.命题 q 为假命题时,-2 2≤a≤2 2, ….8 分 由题意命题 p∨ q 为真命题, p∧ q 为假命题, 所以 p 和 q 有且只有一个是真命题 ∴ 命题 p 为真命题,q 为假命题时, -2 2≤a≤-1. 命题 p 为假命题,q 为真命题时, 2 2 <a<6 ………………11 分 综上所述,a 的取值范围为[-2 2 , -1]∪ ( 2 2,6). ……………….12 分 17.解析: (I) 第 6 行的第一个数是 25=32,共 25=32 个数,成等差数列,它们的和是

32 ? 32 ?

32 ? 31 ?1 ? 1520 2

……………….6 分

(II)∵ 第 11 行第一个数是 210=1 024,第 12 行第一个数是 211=2 048, 1 024<2 015<2 048, ∴ 2 015 在第 11 行,该行第 1 个数是 210=1 024. 由 2 015-1 024+1=992,知 2 015 是第 11 行的第 992 个数.……………….12 分

18.解: (I)要使函数有 意义:则有 ? 所以函数的定义域为: (-3,1) .

?1 ? x > 0 ,解之得: ?3 < x < 1 , ?x ? 3 > 0
……………….3 分 由 f ( x) ? 0 ,得 ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 1 ,

函数可化为 f ( x) ? loga (1 ? x)( x ? 3) ? loga (? x2 ? 2x ? 3)

2 即 x ? 2 x ? 2 ? 0 , x ? ?1 ? 3 ,∵-1 ? 3 ? (?3,1) ,∴ f ( x) 的零点是 ?1 ? 3 .……….6 分

2 (II) f ( x) ? loga (1 ? x)( x ? 3) ? loga (? x2 ? 2x ? 3) ? log a ? ? ?( x ? 1) ? 4 ? ? 2 ∵ ?3 < x < 1 ∴0 < -(x ? 1)2 ? 4 ? 4 .∵ 0 < a < 1 ,∴ log a ? ? ?( x ? 1) ? 4 ? ? ? log a 4 ,

?4 即 f ( x)min ? log a 4 .由 loga 4 ? ?4 ,得 a ? 4 ,∴ a ? 4

?

1 4

?

2 .……………….12 分 2
…….6 分

19. 解:(I)作 PQ⊥ AF 于 Q,所以 PQ=8-y,EQ=x-4, x-4 4 EQ EF 1 在△ EDF 中, = , 所以 = , 所以 y=- x+10,定义域为{x|4≤x≤8}. PQ FD 2 8-y 2 x 1 2 ? (II)设矩形 BNPM 的面积为 S,则 S(x)=xy=x? ?10-2?=-2(x-10) +50, 所以 S(x)是关于 x 的二次函数,且其开口向下,对称轴为 x=10, 所以当 x∈ [4,8],S(x)单调递增, 所以当 x=8 时,S(x)取最大值 8(10-4)=48 所以当 x=8 m 时,矩形 BNPM 面积取得最大值 48 m2. ……………….12 分 20. 解: (Ⅰ )由 f ( x) 的图象经过 P(0,2) ,知 d=2,所以 f ( x) ? x 3 ? bx2 ? cx ? 2,

f ?( x) ? 3x 2 ? 2bx ? c. 由在 M (?1, f (?1)) 处的切线方程是 6 x ? y ? 7 ? 0 ,知 ? 6 ? f (?1) ? 7 ? 0,即f (?1) ? 1, f ?(?1) ? 6. ?3 ? 2b ? c ? 6, ?2b ? c ? ?3, ?? 即? 解得b ? c ? ?3. ??1 ? b ? c ? 2 ? 1. ?b ? c ? 0, 3 2 故所求的解析式是 f ( x) ? x ? 3x ? 3x ? 2. ……………….4 分 2 (Ⅱ )由(I)可得 f ?( x) ? 3x ? 6 x ? 3 ,所以 g ( x) ? ex [3(2x)2 ? 6(2x) ? 3 ? 3] ? 12ex ( x2 ? x) 则 g / ( x) ? 12[(ex )/ ( x2 ? x) ? ex ( x2 ? x)/ ] ? 12[ex ( x2 ? x) ? ex (2 x ?1)] ? 12e x ( x2 ? x ?1)
2 / x 因为 12e ? 0 ,所以 令 g ( x) ? 0 ,得 x ? x ? 1 ? 0 , x ?

?1 ? 5 2

2 / 令 g ( x) ? 0 ,得 x ? x ? 1 ? 0 , x ?

?1 ? 5 ?1 ? 5 ,或 x ? 2 2

2 / 令 g ( x) ? 0 ,得 x ? x ? 1 ? 0 ,

?1 ? 5 ?1 ? 5 ?x? 2 2

所以 g ( x) 的增区间是 (??, 故 g ( x) 在 x ?

?1 ? 5 ?1 ? 5 ?1 ? 5 ?1 ? 5 ), ( , ??) ,减区间是 ( , ) 2 2 2 2

?1 ? 5 ?1 ? 5 时取极大值,在 x ? 时取极小值, 2 2 ?1 ? 5 。 2
……………….9 分

因此 g ( x) 的极值点是

(III)因为 f ?( x) ? 3x2 ? 6 x ? 3 ,所以 y ? 3x2 ? (m ? 6) x ? 3 ,是开口向上的抛物线, 对称轴是直线 x ? 所以 ?1 ?

m?6 6

由于函数 y ? 3x2 ? (m ? 6) x ? 3 在区间 [?1, 2] 上不是单调函数,

m?6 ? 2, 解得 ?12 ? m ? 6 ,故 m 的取值范围是 (?12, 6) 。……………….13 分 6

21. 解析: (I)由已知可得函数 f ? x ? 的两个零点分别位于区间 (?2, 0) 和 (0, 2) ,

3 ? f ( ? 2) ? 2 ? 2( k ? 1) ? k ? ?0 ? 2 ? 3 ? ? f (0) ? ? k ? ? 0 2 ? 3 ? ? f (2) ? 2 ? 2( k ? 1) ? k ? 2 ? 0 ?
所以实数 k 的取值范围是 ( ,

11 ? k ? ? 6 ? 3 ? 解得 ? k ? 2 ? 3 ? ?k ? ? 2 ?

所以

3 11 ?k? 2 6

3 11 ) 。……………………………4 分 2 6

(II)方法一:令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,则当 k ? 0 时, F ( x) ? x ln x ?

1 2 3 x ? x ? ,定义域 (0, ??) , 2 2 / / / F ( x) ? ln x ? x ,显然 F ( x) 是单调增函数,设 F ( x0 ) ? 0 ,即 ln x0 ? x0 ? 0 ,易得 x0 ? (0,1)
所以 F ( x) 的最小值是 F ( x0 ) 由 ln x0 ? x0 ? 0 得 ln x0 ? ? x0 ……………………………6 分

从而当 x ? (0, x0 ) 时, F / ( x0 ) ? 0 , F ( x) 单调递减,当 x ? ( x0 ? ?) 时, F / ( x0 ) ? 0 , F ( x) 单调递增,

又 F ( x0 ) ? x0 ln x0 ?

1 2 3 1 3 1 3 1 x0 ? x0 ? ? x0 (? x0 ) ? x0 2 ? x0 ? ? ? x0 2 ? x0 ? ? ? ( x0 ? 3)( x0 ? 1) 2 2 2 2 2 2 2 因为 x0 ? (0,1) , 所以 F ( x0 ) ? 0 ,所以 F ( x) ? 0 恒成立,即 f ( x) ? g ( x) ? 0 恒成立。……8 分
1 e 1 e

/ / 方 法 二 : g ( x) ? ln x ? 1 , 于 是 x ? (0, ) 时 , g ( x ) ? 0, g ( x) 单 调 递 减 ; x ? ( , ??) 时 ,

1 1 1 , g / ( x ) ? 0, g ( x) 单调递增,所以 g ( x) 的最小值是 g ( ) ? ? (当且仅当 x ? 时取等号) e e e
即 g ( x ) ? ? ,……………………6 分

1 e

1 2 3 1 x ? x ? ? ( x ? 1) 2 ? 1 ? 1 (当且仅当 x ? 1 时取等号) 2 2 2 1 所以 f ( x) ? g ( x) ? 1 ? ? 0 恒成立。……………………8 分 e 1 2 5 (III)由题设 h( x) ? ln x ? x ? (k ? 1) x ? k ? ,定义域 (0, ??) , 2 2 2 1 x ? (k ? 1) x ? 1 2 h / ( x) ? ? x ? (k ? 1) ? 要使 h( x) 有两个极值点,则需 x ? (k ?1) x ? 1 ? 0 有两个不 x x 相等的正实根 x1 , x2 (不妨设 x1 ? x2 ) 。……………………9 分
又当 k ? 0 时, f ( x) ?

?? ? (k ? 1) 2 ? 4 ? 0 ? 所以 ? x1 ? x2 ? ?(k ? 1) ? 0 解得 k ? ?1 ……………………10 分 ?x x ? 1 ? 0 ? 1 2 / 又 h ( x) ? 0 得 x ? x1 ,或 x ? x2 ; h / ( x) ? 0 得 x1 ? x ? x2 ,即 h( x) 的增区间是 (??, x1 ),( x2 , ??) ,减区
间是 ( x1 , x2 ) ,所以 x1 , x2 分别是 h( x) 的极大值点和极小值点,……………………12 分 而 h( x1 ) ? h( x2 ) ? ln x1 ?

1 2 5 1 5 x1 ? (k ? 1) x1 ? k ? ? ln x2 ? x2 2 ? (k ? 1) x2 ? k ? 2 2 2 2

1 ? ln( x1 x2 ) ? ( x12 ? x2 2 ) ? (k ? 1)( x1 ? x2 ) ? 2k ? 5 2 1 1 ? ln1 ? [( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 ] ? (k ? 1)( x1 ? x2 ) ? 2k ? 5 ? [(1 ? k ) 2 ? 2] ? (k ? 1)(1 ? k ) ? 2k ? 5 2 2 1 2 7 ? ? k ?k ? ……………………13 分 2 2 1 2 7 7 所以 ? k ? k ? ? 解得 k ? ?2 或 k ? 0 2 2 2 综上可得 k ? ?2 ,即所求实数 k 的取值范围是 (??, ?2) 。……………………14 分


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