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2012年全国高考理科数学试题及答案-安徽卷-二次校对


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2012 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)

数学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第 1 至第 2 页,第Ⅱ卷第 3 页至第 4 页。全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 参考公式: 如果事件 A 与 B 互斥;则 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 如果事件 A 与 B 相互独立;则 P( AB) ? P( A) P( B) 如果 A 与 B 是事件,且 P( B) ? 0 ;则 P( A B) ?

P( AB) P( B)
共 50 分)

第Ⅰ卷(选择题

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 (1)复数 z 满足: ( z ? i)(2 ? i) ? 5 ;则 z ? ( )

( A) ?2 ? 2i
【解析】选 D

( B ) ?2 ? 2i

i (C ) ? ? ?

( D) ? ? ?i

( z ? i)(2 ? i) ? 5 ? z ? i ?

5 5(2 ? i) ? z ?i? ? 2 ? 2i 2?i (2 ? i)(2 ? i)


(2)下列函数中,不满足: f (2 x) ? 2 f ( x) 的是(

( A) f ( x) ? x
【解析】选 C

( B ) f ( x) ? x ? x

(C ) f ( x) ? x ??

( D ) f ( x) ? ? x

f ( x) ? kx 与 f ( x) ? k x 均满足: f (2 x) ? 2 f ( x) 得: A, B, D 满足条
件 (3)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是( )

( A) 3
【解析】选 B

(B) 4

(C ) ?

( D) ?

x
y

1

2

4

8
4
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1

2

3

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4.公比为 3 2 等比数列 {an } 的各项都是正数,且 a3a11 ? 16 ,则(



( A) 4
【解析】选 B

(B) 5

(C ) ?

( D) ?

2 a3a11 ? 16 ? a7 ? 16 ? a7 ? 4 ? a16 ? a7 ? q9 ? 32 ? log2 a16 ? 5

5.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次,两人成绩的条形统计图如图所示,则

( A) 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 ( B ) 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 (C ) 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
【解析】选 C

( D) 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

1 1 x甲 ? (4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8) ? 6, x乙 ? (5 ? 3 ? 6 ? 9) ? 6 5 5 1 5
2 2

甲的成绩的方差为 (2 ? 2 ? 1 ? 2) ? 2 ,乙的成绩的方差为 (1 ? 3 ? 3 ? 1) ? 2.4
2 2

1 5

(6)设平面 ? 与平面 ? 相交于直线 m ,直线 a 在平面 ? 内,直线 b 在平面 ? 内,且 b ? m 则“ ? ? ? ”是“ a ? b ”的( )

( A) 充分不必要条件 (C ) 充要条件
【解析】选 A ① ? ? ? ,b ? m ? b ? ? ? b ? a
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( B ) 必要不充分条件 ( D) 即不充分不必要条件

②如果 a / / m ;则 a ? b 与 b ? m 条件相同
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(7) ( x ? 2)(
2

1 ? 1)5 的展开式的常数项是( 2 x



( A) ? 3
【解析】选 D

( B ) ?2

(C ) ?
1 1 得: 1? C5 (?1)4 ? 5 x2

( D) ?

第一个因式取 x ,第二个因式取

2

第一个因式取 2 ,第二个因式取 (?1)5 得: 2 ? (?1)5 ? ?2

展开式的常数项是 5 ? (?2) ? 3

(8)在平面直角坐标系中, O(0,0), P(6,8) ,将向量 OP 按逆时针旋转 则点 Q 的坐标是( )

??? ?

???? 3? 后,得向量 OQ 4

( A) (? 7 2? ,
【解析】选 A

2)

( B ) (?7 2, 2)

(C ) (?4 6, ?2)
3 4 ,sin ? ? 5 5

( D) (?4 6, 2)

【方法一】设 OP ? (10 cos ? ,10sin ? ) ? cos ? ? 则 OQ ? (10 cos(? ?

??? ?

3? 3? ),10sin(? ? )) ? (?7 2, ? 2) 4 4 ??? ? ???? ? 3? 【方法二】将向量 OP ? (6,8) 按逆时针旋转 后得 OM ? (8, ?6) 2 ????
则 OQ ? ?

????

? ? 1 ??? ???? (OP ? OM ) ? (?7 2, ? 2) 2

(9)过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点,点 O 是原点,若 AF ? 3 ;
2

则 ?AOB 的面积为(



( A)

2 2

(B)

2

(C )

3 2 2

( D) 2 2

【解析】选 C 设 ?AFx ? ? (0 ? ? ? ? ) 及 BF ? m ;则点 A 到准线 l : x ? ?1 的距离为 3 得: 3 ? 2 ? 3cos ? ? cos ? ?

1 2 3 ? 又 m ? 2 ? m cos(? ? ? ) ? m ? 3 1 ? cos ? 2

1 1 3 2 2 3 2 ?AOB 的面积为 S ? ? OF ? AB ? sin ? ? ?1? (3 ? ) ? ? 2 2 2 3 2
(10)6 位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交 换 的两位同学互赠一份纪念品,已知 6 位同学之间共进行了 13 次交换,则收到 4 份纪念品 的同学人数为( )

( A) 1 或 3
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(B) 1 或 4

(C ) 2 或 3

( D) 2 或 4
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【解析】选 D
2 C6 ?13 ? 15 ?13 ? 2

①设仅有甲与乙,丙没交换纪念品,则收到 4 份纪念品的同学人数为 2 人 ②设仅有甲与乙,丙与丁没交换纪念品,则收到 4 份纪念品的同学人数为 4 人

第 II 卷(非选择题

共 100 分)

考生注意事项: 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答,在试题卷上答题无效. ................. 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置.

? x?0 ? (11)若 x, y 满足约束条件: ? x ? 2 y ? 3 ;则 x ? y 的取值范围为 _____ ?2 x ? y ? 3 ?
【解析】 x ? y 的取值范围为 _____ [?3, 0] 约束条件对应 ?ABC 边际及内的区域: A(0,3), B(0, ), C (1,1) 则 t ? x ? y ?[?3,0] (12)某几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是 _____ 【解析】表面积是 _____ 92 该几何体是底面是直角梯形,高为 4 的直四棱柱 几何体的表面积是

3 2

1 S ? 2 ? ? (2 ? 5) ? 4 ? (2 ? 5 ? 4 ? 42 ? (5 ? 2) 2 ) ? 4 ? 92 2
(13)在极坐标系中,圆 ? ? 4sin ? 的圆心到直线 ? ? 【解析】距离是 _____
2

?

6

( ? ? R ) 的距离是 _____

3
2

圆 ? ? 4sin ? ? x ? ( y ? 2) ? 4 的圆心 C (0, 2) 直线 l : ? ?

?
6

( ? ? R) ? x ? 3 y ? 0 ;点 C 到直线 l 的距离是

0?2 3 2

? 3

b (14)若平面向量 a, b 满足: 2a ? b ? 3 ;则 a ? 的最小值是 _____ b 【解析】 a ? 的最小值是 _____ ? ? ?
9 8

? ?

? ?

? ?

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? ? ?2 ?2 ? ? 2a ? b ? 3 ? 4a ? b ? 9 ? 4a ? b ?2 ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9 4a ? b ? 4 a b ? ?4a ? ? 9 ? 4a ? ? ?4a ? ? a ? ? ? b b b b 8
(15)设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边为 a, b, c ;则下列命题正确的是 _____
2 ①若 ab ? c ;则 C ?

?
3

②若 a ? b ? 2c ;则 C ?

?
3

3 3 3 ③若 a ? b ? c ;则 C ?

?
2

④若 (a ? b)c ? 2ab ;则 C ?

?
2

⑤若 (a2 ? b2 )c2 ? 2a2b2 ;则 C ? 【解析】正确的是 _____ ①②③
2 ① ab ? c ? cos C ?

?
3

a 2 ? b2 ? c 2 2ab ? ab 1 ? ? ? ?C ? 2ab 2ab 2 3 a 2 ? b2 ? c 2 4(a 2 ? b2 ) ? (a ? b)2 1 ? ? ? ?C ? 2ab 8ab 2 3
2 3 2 2 3 3 3 3 3

② a ? b ? 2c ? cos C ? ③当 C ?

?
2

时, c ? a ? b ? c ? a c ? b c ? a ? b 与 a ? b ? c 矛盾
2 2

④取 a ? b ? 2, c ? 1满足 (a ? b)c ? 2ab 得: C ?

?
2

⑤取 a ? b ? 2, c ? 1满足 (a2 ? b2 )c2 ? 2a2b2 得: C ?

?
3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在 答题卡的制定区域内. (16)(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ?

2 ? cos(2 x ? ) ? sin 2 x 2 4

(I)求函数 f ( x ) 的最小正周期;

gx (II) 设函数 g ( x) 对任意 x ? R , gx ? ) ? ( ) 有 ( 2
求函数 g ( x) 在 [?? , 0] 上的解析式。 【解析】 f ( x) ?

?

, 且当 x ? [0,

?
2

] 时, g ( x) ?

1 ? f ( x) ; 2

1 1 2 ? 1 1 1 cos(2 x ? ) ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? ? sin 2 x 2 2 2 4 2 2 2 2? ?? 2
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(I)函数 f ( x ) 的最小正周期 T ?

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(2)当 x ? [0, 当

?
2

] 时, g ( x) ? x ? [?

?
2

1 1 ? f ( x) ? sin 2 x 2 2
时 ,

, 0]

(x ?

?
2

?

?
2

)

? 1 ? 1 g ( x) ? g ( x ? ) ? sin 2( x ? ) ? ? sin 2 x 2 2 2 2
当 x ? [?? , ?

?

? 1 1 ) 时,( x ? ? ) ? [0, ) g ( x) ? g ( x ? ? ) ? sin 2( x ? ? ) ? sin 2 x 2 2 2 2

? ? 1 ?? 2 sin 2 x( ? 2 ? x ? 0) ? 得:函数 g ( x) 在 [?? , 0] 上的解析式为 g ( x) ? ? ? 1 sin 2 x( ?? ? x ? ? ) ? 2 ? 2
(17) (本小题满分 12 分) 某单位招聘面试,每次从试题库随机调用一道试题,若调用的是 A 类型试题,则使用后 该试题回库,并增补一道 A 类试题和一道 B 类型试题入库,此次调题工作结束;若调用 的是 B 类型试题,则使用后该试题回库,此次调题工作结束。试题库中现共有 n ? m 道 试题,其中有 n 道 A 类型试题和 m 道 B 类型试题,以 X 表示两次调题工作完成后,试 题库中 A 类试题的数量。 (Ⅰ)求 X ? n ? 2 的概率; (Ⅱ)设 m ? n ,求 X 的分布列和均值(数学期望) 。 【解析】 (I) X ? n ? 2 表示两次调题均为 A 类型试题,概率为

n n ?1 ? m?n m?n?2 1 (Ⅱ) m ? n 时,每次调用的是 A 类型试题的概率为 p ? 2
随机变量 X 可取 n, n ? 1, n ? 2

P( X ? n) ? (1 ? p) 2 ?
X
P

1 1 1 2 , P( X ? n ? 1) ? 2 p(1 ? p) ? , P ( X ? n ? 2) ? p ? 4 2 4

n
1 4

n ?1

n?2

1 2

1 4

1 1 1 EX ? n ? ? (n ? 1) ? ? (n ? 2) ? ? n ? 1 4 2 4 n n ?1 ? 答: (Ⅰ) X ? n ? 2 的概率为 m?n m?n?2
(Ⅱ)求 X 的均值为 n ? 1

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(18) (本小题满分 12 分) 平面图形 ABB1 AC1C 如图 4 所示,其中 BB1C1C 是矩形, BC ? 2, BB1 ? 4 , AB ? AC ? 2 , 1

A1B1 ? AC1 ? 5 。现将该平面图形分别沿 BC 和 B1C1 折叠,使 ?ABC 与 ?A1B1C1 所在平面都 1
与平面 BB1C1C 垂直,再分别连接 AA , BA , CA ,得到如图 2 所示的空间图形,对此空间图形解答 1 1 1 下列问题。

。 (Ⅰ)证明: AA1 ? BC ; (Ⅱ)求 AA 的长; 1

(Ⅲ)求二面角 A ? BC ? A1 的余弦值。 【解析】 (I)取 BC , B1C1 的中点为点 O, O1 ,连接 AO, OO1 , AO, AO1 1 1 则 AB ? AC ? AO ? BC ,面 ABC ? 面 BB1C1C ? AO ? 面 BB1C1C 同理: A1O1 ? 面 BB1C1C 得: AO / / AO1 ? A, O, A1 , O1 共面 1 又 OO1 ? BC, OO1 ? AO ? O ? BC ? 面 AOO1 A ? AA ? BC 1 1 (Ⅱ)延长 AO1 到 D ,使 O1D ? OA 1 得: O1D/ /OA ? AD/ /OO1

,面 O O ? B C A1 B1C1 ? 面 BB1C1C ? OO1 ? 面 A1 B1C1 ? AD ? 面 A1 B1C1 1

AA? 1

2 A D ? D2 A? 4

2

2 ? 2 ?1 ) ? 5 (

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(Ⅲ) AO ? BC, AO ? BC ? ?AOA 是二面角 A ? BC ? A1 的平面角 1 1 在 Rt ?OO1 A1 中, A 1 O ? OO1 ? A1O1 ?
2 2

42 ? 22 ? 2 5

在 Rt ?OAA 中, cos ?AOA1 ? 1

AO2 ? AO2 ? AA12 5 1 ?? 2 AO ? AO 5 1
5 。 5

得:二面角 A ? BC ? A1 的余弦值为 ? (19) (本小题满分 13 分) 设 f ( x) ? ae ?
x
K]

1 ? b(a ? 0) ae x

(I)求 f ( x ) 在 [0, ??) 上的最小值; (II)设曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 的切线方程为 y ? 【解析】 (I)设 t ? e x (t ? 1) ;则 y ? at ?

3 x ;求 a , b 的值。 2

1 1 a 2t 2 ? 1 ? b ? y? ? a ? 2 ? at at at 2

1 ? b 在 t ? 1 上是增函数 at 1 得:当 t ? 1( x ? 0) 时, f ( x ) 的最小值为 a ? ? b a 1 ?b ? 2?b ②当 0 ? a ? 1 时, y ? at ? at 1 x 当且仅当 at ? 1(t ? e ? , x ? ? ln a ) 时, f ( x ) 的最小值为 b ? 2 a 1 1 x x (II) f ( x) ? ae ? x ? b ? f ?( x) ? ae ? x ae ae
①当 a ? 1 时, y? ? 0 ? y ? at ?

1 2 ? 2 ? ae ? 2 ? b ? 3 ?a ? 2 ? f (2) ? 3 ? ? ? ? ae e ?? 由题意得: ? 3?? ?(2) ? 1 3 ?f ? ae 2 ? ?b? 1 ? ? 2 2 ? ? ae 2 ? 2 ?
(20) (本小题满分 13 分) 如图, F (?c,0), F2 (c,0) 分别是椭圆 C : 1

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

的左,右焦点,过点 F 作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于点 P , 1

a2 过点 F2 作直线 PF2 的垂线交直线 x ? 于点 Q ; c
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(I)若点 Q 的坐标为 (4, 4) ;求椭圆 C 的方程; (II)证明:直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点。 【解析】 (I)点 P(?c, y1 )( y1 ? 0) 代入

x2 y 2 b2 ? 2 ? 1 得: y1 ? a2 b a

b2 ?0 4?0 a PF1 ? QF2 ? ? ? ?1 ① ?c ? c 4 ? c


a2 ?4 ② c

2 c2 ? a2 ? b( a b ? 0 ) , , c ③

由①②③得: a ? 2, c ? 1, b ? 3 既椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1 4 3

b2 ?0 a2 y ?0 a (II)设 Q( , y2 ) ;则 PF1 ? QF2 ? ? 2 ? ?1 ? y2 ? 2a c ?c ? c a 2 ?c c b2 c ? 2 a ? a a ?c c 2a ?
b2 x x2 y 2 b 2 2 2 a2 ? ? 1 ? y ? b ? 2 x ? y? ? a 2 b2 a b2 2 2 b ? 2x a ?
x ?? c

得: kPQ

过点 P 与椭圆 C 相切的直线斜率 k ? y? 得:直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点。

?

c ? k PQ a

(21) (本小题满分 13 分)
2 数列 {xn } 满足: x1 ? 0, xn?1 ? ? xn ? xn ? c(n ? N * )

(I)证明:数列 {xn } 是单调递减数列的充分必要条件是 c ? 0 (II)求 c 的取值范围,使数列 {xn } 是单调递增数列。 【解析】 (I)必要条件
2 当 c ? 0 时, xn?1 ? ? xn ? xn ? c ? xn ? 数列 {xn } 是单调递减数列

充分条件
2 2 数列 {xn } 是单调递减数列 ? x1 ? x2 ? ? x1 ? x1 ? c ? c ? x1 ? 0

得:数列 {xn } 是单调递减数列的充分必要条件是 c ? 0
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(II)由(I)得: C ? 0 ①当 c ? 0 时, an ? a1 ? 0 ,不合题意 ②当 c ? 0 时, x2 ? c ? x1 , x3 ? ?c2 ? 2c ? x2 ? c ? 0 ? c ? 1
2 2 xn?1 ? xn ? c ? xn ? 0 ? xn ? c ? 1 ? 0 ? x1 ? xn ? c
2 2 xn?2 ? xn?1 ? ?( xn?1 ? xn ) ? ( xn?1 ? xn ) ? ?( xn?1 ? xn )( xn?1 ? xn ?1)

当c ?

1 1 时, xn ? c ? ? xn ? xn ?1 ? 1 ? 0 ? xn ? 2 ? xn ?1 与 xn?1 ? xn 同号, 4 2

由 x2 ? x1 ? c ? 0 ? xn?2 ? xn ? 0 ? xn?1 ? xn
2 lim xn?1 ? lim(? xn ? xn ? c) ? lim xn ? c n?? n?? n??

当c ?

1 1 时,存在 N ,使 xN ? ? xN ? xN ?1 ? 1 ? xN ? 2 ? xN ?1 与 xN ?1 ? xN 异号 4 2

与数列 {xn } 是单调递减数列矛盾 得:当 0 ? c ?

1 时,数列 {xn } 是单调递增数列. 4

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