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指数函数与对数函数知识点总结


指数函数与对数函数知识点总结 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果 x n ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次 * 方根,其中 n >1,且 n ∈ N . 当 n 是 奇 数 时 ,
n

二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果 a x ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么 数 x 叫做以 a 为底 N 的对数, 记作:x ? loga N( a — 底数, . ..

an ? a , 当 n 是 偶 数 时 , ?a (a ? 0) a n ?| a |? ? ?? a (a ? 0)
n
m n

N — 真数, loga N — 对数式)
两个重要对数: 1 ○ 常用对数:以 10 为底的对数 lg N ; 2 以无理数 e ? 2.71828 ? 为底的对数的对数 ○ 自然对数: ln N . 指数式与对数式的互化 幂值 真数

2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定:

a ? a (a ? 0, m, n ? N , n ? 1)
n m *

a

?

m n

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

3.实数指数幂的运算性质
r r r ?s (1) a · a ? a

ab = N ? log a N = b (a ? 0, r , s ? R) ; (a ? 0, r , s ? R) ;
底数 指数 对数 (二)对数的运算性质 如果 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么: 1 ○ loga (M · N ) ? loga M + loga N ;

(2) (a ) ? a
r s

rs

r r s (3) (ab) ? a a

(a ? 0, r , s ? R) .
x

(二)指数函数及其性质 1、 指数函数的概念: 一般地, 函数 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R. 2、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1
6
6

M ? loga M - loga N ; N n 3 ○ loga M ? n loga M (n ? R) .
2 ○ log a 注意:换底公式

5

5

4
4

3

3

2

2

loga b ?
2 4 6

1

1

1

1
-4 -2

0
-1

-4

-2

0
-1

2

4

6

b ? 0) .

logc b ( a ? 0 , a ? 1 ;c ? 0 , c ? 1 ; 且 且 logc a

定义域 值域 在 R 上单调递 函数图象都过定 点

定义域 值域 在 R 上单调递 函数图象都过定 点

利用换底公式推导下面的结论 (1) log a m b n ? (二)对数函数

1 n (2) loga b ? . log a b ; m logb a

1、对数函数的概念:函数 y ? loga x(a ? 0 ,且 a ? 1) 叫 做对数函数, 其中 x 是自变量, 函数的定义域是 (0, +∞) . 注意: 对数函数的定义与指数函数类似, 1 都是形式定义, ○ 注意辨别。如: y ? 2 log2 x , y ? log 5 x 都不是对数函
5

(1) x

???

1 3

1 ? 8

(2) 2 x ? 1 ? 15

3 4

指数函数
1、函数 y ? a
2 x ?1

数,而只能称其为对数型函数. 2 ○ 对数函数对底数的限制: (a ? 0 ,且 a ? 1) . 2、对数函数的性质: a>1 0<a<1
3 3 2.5 2.5 2 2 1.5 1.5

(a ? 0, a ? 1) 的图象必过定点
x



2、 如果指 数函数 f ( x) ? (a ? 1) 是 R 上 的单调 减函数 ,那么 a 取 值范围是 ( )A、 a ? 2 B、 a ? 2 )
?0.1 ? 2 ?0.2 C、 2

1
-1

1

1
1

C、 1 ? a ? 2

D、 0 ? a ? 1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

3、下列关系中,正确的是 (

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域 值域为 在 R 上递 函数图象都过 定点 1、用根式的形式表示下列各式 ( a ? 0)
1

定义域 值域为 在 R 上递 函数图象都过定点

1 1 A、 ( ) 3 ? ( ) 5 2 2

1

1

0.1 0.2 B、 2 ? 2

1 ??1 1 ??1 5 D、 ( ) ? ( ) 3 2 2

4、比较下列各组数大小:

3.1 (1)

0.5

分数指数幂

?2? 3 . 1 (2) ? ? ?3?
2 . 3

?0.3

?2? ? ? ?3?

?0.24

2.3 (3)

?2.5

0.2?0.1
。 。

5、 函数 f ( x) ? 10 在区间[ ?1 , 2]上的最大值为
x

, 最小值为 , 最小值为

(1) a 5 =

(2) a

???

3 2

=

函数 f ( x) ? 0.1 在区间[ ?1 , 2]上的最大值为
x

2、用分数指数幂的形式表示下列各式:
4 3 (1) x y =

(2)

m2 m

6、函数 y ? ? ? 的图象与 y ? ? ?

?

(m ? 0)

?1? ? 3?

x

?1? 的图象关于 ? 3?

?x

对称。

7 、 已 知 函 数 y ? a (a ? 0, a ? 1) 在 ?1,2? 上 的 最 大 值 比 最 小 值 多 2 , 求 a 的
x

3、求下列各式的值 (1) 25 = 4、解下列方程
3 2

值 (2) ?

。 。

? 25 ? ? ? 4 ?

????

3 2

=

2x ? a 8、已知函数 f (x) = x 是奇函数,求 a 的值 2 ?1

对数(第 11 份)

1、将下列指数式改写成对数式 (1) 2 4 ? 16 (2) 5 a ? 20 答案为: (1) 2、将下列对数式改写成指数式 (1) log5 125 ? 3 答案为: (1) 3、求下列各式的值 (1) log2 64= (4) lg 1 = (2) log9 27 =
3

2、已知 lg 2 ? a, lg 3 ? b ,试用 a, b 表示下列各对数。 (2) (1) lg108 =__________ (2) lg

18 =__________ 25

(2) log10 a ? ?2 (2) (3) lg 0.0001 = (7) log32 8 =

3、 (1)求 log8 9 ? log3 32 的值__________; (2) log2 3 ? log3 4 ? log4 5 ? log5 6 ? log6 7 ? log7 8 =__________
x y 4、设 3 ? 4 ? 36 ,求

(5) log3 9 =

(6) log1 9 =

2 1 ? 的值__________。 x y
1 ,则 log5 6 等于 n


4、已知 a ? 0 ,且 a ? 1 , loga 2 ? m , loga 3 ? n ,求 a 2 m ? n 的值。 5、若 log3 (1 ? a) 有意义,则 a 的范围是 6、已知 2 logx 8 ? 4 ,求 x 的值

5、若 lg 2 ? m, log 3 10 ?

6 、 已 知 函 数 y ? l o ( a?1) x 在 (0,??) 上 为 增 函 数 , 则 a 的 取 值 范 围 g 是 。

对数(第 12 份)
1、求下列各式的值 (1) log2 (2 ? 4 ) =__________(2) log5 125=__________
3 5

7、设函数 y ? log2 ( x ? 1) ,若 y ? ?1,2? ,则 x ? 8、函数 y ? loga ( x ? 3) ? 3(a ? 0 且 a ? 1) 恒过定点 。

1 lg 25 ? lg 2 ? lg 10 ? lg(0.01) ?1 =__________ 2 32 ? log 3 8 ? 3 log 5 5 =__________ (4) 2 log 3 2 ? log 3 9
(3) (5) lg 5 ? lg 20 ? lg 2 ? lg 50 ? lg 25 =__________

9、已知函数 y ? loga x(a ? 0, a ? 1) 在 x ? [2,4] 上的最大值比最小值多 1 ,求实 数 a 的值 。

幂函数(第 15 份)
1、下列函数中,是幂函数的是( A、 y ? 2
x


2

7 1 (6) lg 14 ? 2 lg ? lg 49 ? lg 72 ? 8 lg 1 =__________ 6 2
(7) (lg5) ? lg 2 ? lg 50 =__________
2

B、 y ? ? x

C、 y ? log2 x

D、 y ? x

?

1 2

2、若一个幂函数 f (x) 的图象过点 (2, ) ,则 f (x) 的解析式为

1 4

(8) (lg 2) ? (lg5) ? 3 lg 2 ? lg 5 =__________
3 3

3、已知函数 y ? x 为

2 m ?1

在 区 间 ?0,??? 上 是 增 函 数 , 求 实 数 m 的 取 值 范 围

据此数据,可得方程 3 x ? x ? 4 ? 0 的一个近似解(精确到 0.01)为



函数与零点(第 16 份)
1、 证明: 函数 y ? x ? 6 x ? 4 有两个不同的零点; 函数 f ( x) ? x ? 3x ? 1 (1) (2)
2 3

在区间(0,1)上有零点

2 2、 若方程方程 5 x ? 7 x ? a ? 0 的一个根在区间 ? 1 ,0 ) ( 内, 另一个在区间 1 , (

2 )内,求实数 a 的取值范围



二分法(第 17 份)
1、设 x0 是方程 ln x ? 2 x ? 6 ? 0 的近似解,且 x0 ? (a, b) ,b ? a ? 1 ,a, b ? z , 则 a, b 的值分别为 、

2 、 函 数 y ? ln x ? 6 ? 2 x 的 零 点 一 定 位 于 如 下 哪 个 区 间 ( ) A 、 ?1,2?
x

B 、 ?2,3?

C 、 ?3,4?

D 、 ?5,6?
?

3、已知函数 f ( x) ? 3 ? x ? 5 的零点 x0 ??a, b? ,且 b ? a ? 1 , a , b ? N ,则

a?b ?

.

4 、 函 数 f ( x)?

l gx? x? 的 零 点 在 区 间 (m , ? 1 (m ? Z ) 内 , 则 3 m )

m?



5、用二分法求函数 f ( x) ? 3 x ? x ? 4 的一个零点,其参考数据如下: f(1.6000)=0.200 f(1.5625)=0.003 f(1.5875)=0.133 f(1.5562)=-0.029 f(1.5750)=0.067 f(1.5500)=-0.060


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