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高中直线与圆知识点精讲(绝对全面)


直线和圆
一.直线 1.斜率与倾斜角: k ? tan ? , ? ?[0, ? ) (1) ? ? [0,

?
2

) 时, k ? 0 ; (2) ? ?
? ?

?
2

时, k 不存在; (3) ? ? (

?
2

, ? ) 时, k ? 0

(4)当倾斜角从 0 增加到 90 时,斜率从 0 增加到 ?? ; 当倾斜角从 90 增加到 180 时,斜率从 ?? 增加到 0 二.直线方程 (1)点斜式: y ? y0 ? k ( x ? x0 ) (2)斜截式: y ? kx ? b
? ?

(3)两点式:

y ? y1 x ? x1 ? y 2 ? y1 x 2 ? x1
x y ? ?1 a b

(4)截距式:

(5)一般式: Ax ? By ? C ? 0 三.距离公式 (1)点 P 1P 2 ? 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) 之间的距离: P

( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2

(2)点 P( x0 , y0 ) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离: d ?

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2 | C1 ? C2 | A2 ? B 2

(3)平行线间的距离: Ax ? By ? C1 ? 0 与 Ax ? By ? C2 ? 0 的距离: d ? 四.位置关系 (1)截距式: y ? kx ? b 形式 重合: k1 ? k2 平行: k1 ? k2

b1 ? b2 b1 ? b2

相交: k1 ? k2 垂直: k1 ? k2 ? ?1

(2)一般式: Ax ? By ? C ? 0 形式 重合: A 1 B2 ? A2 B 1 且 AC 1 2 ? A2C1 且
A

B

D

C ( a,b )

平行: A 1 B2 ? A2 B 1 且 AC 1 2 ? A2C1 且 B 1C2 ? C1 B2 1

垂直: A 1 A2 ? B 1 B2 ? 0 五.直线系

相交: A 1 B2 ? A2 B 1

A1 x ? B1 y ? C1+( ? A2 x ? B2 y ? C2) ? 0 表示过两直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 和 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 交点的所
有直线方程(不含 l2 )

六.直线的交角: ⑴直线 l 1 到 l 2 的角(方向角) ;直线 l 1 到 l 2 的角,是指直线 l 1 绕交点依逆时针方向旋转到与 l 2 重合时所转动的角

? ,它的范围是 (0, ? ) ,当 ? ? 90? 时 tan ? ?

k 2 ?k 1 . 1 ? k 1k 2

⑵两条相交直线 l 1 与 l 2 的夹角:两条相交直线 l 1 与 l 2 的夹角,是指由 l 1 与 l 2 相交所成的四个角中最小的正角 ? ,
k 2 ?k 1 ? ?? ? 又称为 l 1 和 l 2 所成的角,它的取值范围是 ? ? 0, 2 ? ,当 ? ? 90 ,则有 tan ? ? 1 ? k k . ? ? 1 2

1


1.圆的方程
(1)标准形式: ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? R2 ( R ? 0 ) .特殊位置的圆的标准方程设法(无需记,关键能理解) 条件 方程形式 圆心在原点 过原点 圆心在 x 轴上 圆心在 y 轴上 圆心在 x 轴上且过原点 圆心在 y 轴上且过原点 与 x 轴相切 与 y 轴相切 与两坐标轴都相切

x2 ? y 2 ? r 2 ? r ? 0?

? x ? a? ? ? y ? b?
2

2

? a 2 ? b2 ? a 2 ? b2 ? 0?

? x ? a?

2

? y2 ? r 2 ? r ? 0?
2

x2 ? ? y ? b ? ? r 2 ? r ? 0?

? x ? a?

2

? y2 ? a2 ? a ? 0?
2

x2 ? ? y ? b ? ? b2 ?b ? 0?

? x ? a?

2

? ? y ? b ? ? b2 ?b ? 0?
2

? x ? a?

2

? ? y ? b ? ? a2 ? a ? 0?
2

? x ? a? ? ? y ? b?
2

2

? a2 ? a ? b ? 0?

2 2 (2)一般式: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4F ? 0 )
2 2

1. Ax ? By ? Cxy ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示圆方程则
2 2

? ? ?A ? B ? 0 ?A ? B ? 0 ? ? ? ?C ? 0 ?C ? 0 ? ? D 2 ? E 2 ? 4 AF ? 0 2 2 ? ?? D ? ? ? E ? ? 4 ? F ? 0 ? ? ? ? ? A ?? A ? ? A ?
2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法:如教材 P 122 例 r 4 3. D ? E ? 4F ? 0 常可用来求有关参数的范围
2 2

(3)参数方程: ?

? x ? x0 ? r cos ? ( ? 是参数) ? y ? y0 ? r sin ?
1

【注】题目中出现动点求量时,通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决.

(4) 以 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 为直径的圆的方程是: ( x ? xA )( x ? xB ) ? ( y ? yA )( y ? yB ) ? 0 (可用向量法证明)

(5)过两圆 C1 : f ( x, y) ? 0 、 C2 : g ( x, y) ? 0 交点的圆(公共弦)系为 f ( x, y) ? ? g ( x, y) ? 0 ,当 ? ? ?1 时,方程 f ( x, y) ? ? g ( x, y) ? 0 为两圆公共弦所在直线方程.。

2.位置关系
1.点 P( x0 , y0 ) 和圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? R2 的位置关系: 当 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? R2 时,点 P( x0 , y0 ) 在圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? R2 内部 当 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? R2 时,点 P( x0 , y0 ) 在圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? R2 上 当 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? R2 时,点 P( x0 , y0 ) 在圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? R2 外

2..直线与圆的位置关系有三种:相交、相切、相离,判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法 ( 1)代数法:把直线方程与圆的方程联立成方程组,消去 x 或 y 整理成一元二次方程后,计算判别式

? ? b 2 ? 4ac

? ? 0 ? 直线 l 与圆 C 相交 ? 直线 l 与圆 C 有两交点

? ? 0 ? 直线 l 与圆 C 相切 ? 直线 l 与圆 C 有一交点
? ? 0 ? 直线 l 与圆 C 相离 ? 直线 l 与圆 C 无交点
(2)几何法:利用圆心到直线的距离 d 和圆的半径 r 的大小关系: 即判断圆心 O (a, b) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离 d ?

| Aa ? Bb ? C | A2 ? B 2

与半径 R 的大小关系

d ? r ? 直线 l 与圆 C 相交 ? 直线 l 与圆 C 有两交点
d ? r ? 直线 l 与圆 C 相切 ? 直线 l 与圆 C 有一交点

d ? r ? 直线

A

B

C D (a,b)

与圆 C 相离 ? 直线 l 与圆 C 无交点

3.圆和圆的位置关系 圆与圆的位置关系可分为五种:外离、外切、相交、内切、内含。 2、把握直线与圆的位置关系的三种常见题型: ①相切——求切线 ②相交——求距离 ③相离——求圆上动点到直线距离的最大(小)值; 1

判断圆与圆的位置关系常用方法 (1) 几何法: 设两圆圆心分别为 O1 , O2 , 半径为 r 即判断圆心距 d ? O1O2 与两圆半径之和 R1 ? R2 , 1, r 2 (r 1 ? r2 ) , 半径之差 R1 ? R2 ( R1 ? R2 )的大小关系

O1O2 ? r1 ? r2 ? 圆 O1 与圆 O2 相离 ? 有 4 条公切线 O1O2 ? r1 ? r2 ? 圆 O1 与圆 O2 外切 ? 有 3 条公切线 | r1 ? r2 |? OO 1 与圆 O2 相交 ? 有 2 条公切线 1 2 ?r 1 ?r 2 ?圆O OO 1 与圆 O2 内切 ? 有 1 条公切线 1 2 ?| r 1 ?r 2 | ?圆O OO 1 与圆 O2 内含 ? 有 0 条公切线. 1 2 ?| r 1 ?r 2 | ?圆O
(2)代数法:

? x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 方程组 ? 2 2 ? x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0
有两组不同的实数解 ? 两圆相交; 有两组相同的实数解 ? 两圆相切; 无实数解 ? 两圆外离或内含。

2 2 ? ? x ? y ? D1 x ? E 1 y ? F 1? 0 1:若两圆相切,则 ? ? 相减为公切线方程. 2 2 ? ?x ? y ? D 2 x ? E 2 y ? F 2? 0

2:若两圆相交:设

C1:x 2 ? y 2 ? D1x ? E1y ? F 1? 0 C 2 :x 2 ? y 2 ? D 2 x ? E 2 y ? F 2? 0

当两圆相交时有两个交点,两圆相交直线方程等于两圆方程相减 则其公共弦方程为 ( D1 ? D 2 ) x ? ( E 1 ? E 2 ) y ? ( F 1? F 2 ) ? 0 .
2 2 ? ? x ? y ? D1 x ? E 1 y ? F 1? 0 3:若两圆相离,则 ? ? 相减为圆心 O 1 O 2 的连线的中垂线方程. 2 2 ? ?x ? y ? D 2 x ? E 2 y ? F 2? 0

解决直线与圆的位置关系问题用到的思想方法有: ①数形结合,善于观察图形,充分运用平面几何知识,寻找解题途径; ②等价转化, 如把切线长的最值问题转化为圆外的点到圆心的距离问题, 把公切线的条数问题转化为两圆的位置 关系问题,把弦长问题转化为弦心距问题等 ③待定系数法,还要合理运用“设而不求” ,简化运算过程 3、①圆与圆的位置关系转化为圆心距与两圆半径之和或半径之差的关系; ②公共弦满足的条件是:连心线垂直平分公共弦. 1

弦长公式 1: 直线与圆相交时,若 l 为弦长,d 为弦心距,r 为半径,则有 r ? d ?
2 2

l2 ,即 l ? 2 r 2 ? d 2 ,求 4

弦长或已知弦长求其他量的值时,一般用此公式。 弦长公式 2: l ? 1 ? k
2

x1 ? x2 ?

x ?x ? ?1 ? k ? ? ??
2 1 2

2

? 4 x1 x2 ? (暂作了解,无需掌握) ?

圆的切线方程:圆 x 2 ? y 2 ?r 2 的斜率为 k 的切线方程是 y ? kx ? 1 ?k 2 r 过圆 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 上一点 P( x 0 , y 0 ) 的切线方程为: x 0 x ? y 0 y ? D
x ?x 0 y ?y0 ?E ?F ? 0. 2 2

①一般方程若点(x0 ,y0)在圆上, 则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2. 特别地, 过圆 x 2 ? y 2 ?r 2 上一点 P( x 0 , y 0 ) 的切线 A 方程为 x 0 x ? y 0 y ?r 2 .
? y 1 ? y 0 ? k ( x1 ? x 0 ) ? b ? y 1 ?k (a ? x 1 ) ,联立求出 k ? 切线方程. B ②若点(x0 ,y0)不在圆上,圆心为(a,b)则 ? R ? ? R 2 ?1 ?

C D (a,b)

切线 长 : 过 圆 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? R2 ) 外 一 点 P( x0 , y0 ) 所 引 圆 的 切 线 的 长 为
x0 2 ? y0 2 ? Dx0 ? Ey0 ? F ( ( x0 ? a) 2 ? ( y0 ? b)2 ? R 2 ) ;

1


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