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高中数学选修1-1


变化率与导数

第三章 导数及其应用

苏教版高中数学教材选修2-2

深圳中学高二数学备课组

变化率与导数

微积分主要与四类问题的处理相关:
? 一、已知物体运动的路程作为时间的函数, 求物体在任意时刻的速度与加速度等; ? 二、求曲线的切线; ? 三、求已知函数的最大值与最小值; ? 四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函 数增减、变化快慢、最大(小)值等问题 最一般、最有效的工具。
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变化率与导数

第一课时
函数的平均变化率
研究某个变量相对于另一个变量 变化在一个范围内的快慢程度.

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变化率与导数

一、研究课本问题1及问 题2,体会平均变化率及 其意义,思考怎样抽象到 一般函数?

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变化率与导数

问题1

气球膨胀率
我们都吹过气球. 思考:这一过程中, 哪些量在改变?

从吹气球的过程,可以发现,随着气球内 空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢. 从数学角度,如何描述这种现象呢?
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变化率与导数

体会实际问题数学化

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变化率与导数

4 3 气球体积: V (r ) ? ? r 3
3 V ? r (V ) ? 3 4?
气球平均膨胀率=
半径的增量 体积的增加量

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变化率与导数
?

当V从0增加到1时,气球半径增加了
r (1) ? r (0) ? 0.62(dm)

气球的平均膨胀率为
r (1) ? r (0) ? 0.62(dm / L) 1? 0
显然 0.62>0.16

当V从1增加到2时,气球半径增加了 r (2) ? r (1) ? 0.16(dm) 气球的平均膨胀率为
?

r (2) ? r (1) ? 0.16(dm / L) 2 ?1

随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小
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变化率与导数

思考 当空气容量从 V1 增加到 V2时,气球的 平均膨胀率是多少?
r (V2 ) ? r (V1 ) 气球平均膨胀率= V2 ? V1
3

?

3V2 3 3V1 ? 4? 4? V2 ? V1

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变化率与导数

问:平均膨胀率能否精确描述膨 胀情况?

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变化率与导数

14

h

问题2

高台跳水

12

在高台跳水运动中,运 动员相对于水面的高度 h(单位:米)与起跳后的时 间t(单位:秒)存在函数 关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略地描 述其运动状态?
-20 -15 -10 -5

10

8

6

4

2

o t
-2 5

平均速度:物体的运动位移与所用时间的比 称为平均速度。
-4

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变化率与导数

h(t)=-4.9t2+6.5t+10
请计算 0 ? t ? 0.5和1 ? t ? 2时的平均速度v :

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变化率与导数

回答P73之探究

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变化率与导数

将两个具体问题抽 象到一般函数的平 均变化率。

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变化率与导数

平均变化率定义: 对于函数 y ? f ( x) 当自变量 x 从 x1 变化到 x2时,函数值就从 y1 变 化到 y2 ,
f ( x2 ) ? f ( x1 ) 则 x2 ? x1

称为函数 f ( x) 从x1到x2的平均变化率. 若设 ?x ? x2 ? x1, ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,则平均变化率为
?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x1 ? ?x) ? f ( x1 ) ? ? ?x x2 ? x1 ?x
△x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2
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变化率与导数

若设 ?x ? x2 ? x1, ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,则平均变化率为
?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x1 ? ?x) ? f ( x1 ) ? ? ?x x2 ? x1 ?x
它的几何意义是什么呢? 观察函数 y ? f ( x) 图象
y

f(x2)

B
f(x2)-f(x1)=△y

直线AB的 斜率
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f(x1) O

A x2-x1=△x x

x1

x2

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变化率与导数

平均变化率的 计算与应用

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变化率与导数

例1 : 求函数 y ? sin x在0到 和 到 之间的平均变化率 6 3 2

?

?

?

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变化率与导数

例2 : 求y ? x 在x ? x0附近的平均变化率
2

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变化率与导数

练习:若点 P( - 1, y0)在函数 f ( x) ? ? x ? x
2

图象上,求 f ( x)在该点附近的平均变化 率

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例3:y ? f ( x)从x ? ?x到x ? ?x的平均变化率

为3, 那么f ( x ? ?x) ? f ( x - ?x) ? m?x, 则m ? ____

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变化率与导数

例1

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变化率与导数

2、某婴儿从出生到第12个月的体重变化如 图所示,试分别计算从出生到第3个月与第 6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率
W(kg) 11 8.6 6.5 3.5 3 6 9

解 : 前3个月体重平均变化率为: 6.5 ? 3.5 ? 1(kg / 月); 3?0 第6个月到第 12个月体重平均变化率为: 11? 8.6 ? 0.4(kg / 月) 12 ? 6
12 T(月)
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变化率与导数

2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器 乙,t s后容器甲中水的体积V (t ) ? 5 ? 2?0.1t (单位: cm3 ),计算第一个10s内V的平 均变化率。
解 : 在时时[0,10]内的平均 变化率为: 5? 2
? 0.1?10

? 5? 2 10 ? 0

? 0.1?0

5 ?5 1 3 2 ? ? ? (cm / s) 10 4
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变化率与导数

3、已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1, g ( x) ? ?2 x, 分别计算在区间[-3,-1],[0,5] 上 f ( x)及 g ( x) 的平均变化率。
由本例得到什么结论? 一次函数y=kx+b在区间[m,n]上的 平均变化率就等于k.

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变化率与导数

5、已知函数 f ( x) ? x 2 ,分别 计算 f ( x ) 在下列区间上的平均变 化率:

4 (2)[1,2]; 3 (3)[1,1.1] 2.1
(1)[1,3];
(4)[1,1.001]
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2.001

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变化率与导数
y

1

3

x

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变化率与导数

1、平均变化率
一般的,函数 f ( x)在区间上

[ x1,x 2 ]的平均变化率为

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x1 ? x2
2、平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”,是一种粗 略 的刻画
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变化率与导数

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变化率与导数

作业:预习导数的概 念,体会怎样由函数 的平均变化率过渡到 瞬时变化率(即导数) 的?
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