2013高三数学模拟试题

2013 高三模拟数学试题 第一卷（共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.每小题给出的四个选项中只有一 项是符合题目要求的. 1·复数 z ?

i3 复平面内对应的点位于 1? i
B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

A．第一象限

1 ? 2．在△ABC 中， ?A ? 30 ”是“ sin A ? ”的 “ 2
A．充分不必要条件 C．充要条件 3．集合 A ? x | x ? 1 ? 3 , B ? y | y ? A． A ? B ? R B． A ? 餽B R B．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件

?

?

?

x , 0 ? x ? 4 ．则下列关系正确的是
C． B ? 餽 A R D． 餽 A ? 餽B R R

?

x2 y2 4．已知双曲线 2 ? 2 ? 1 的实轴长为 2，焦距为 4，则该双曲线的渐近线方程是 a b
A． y ? ?3x B． y ? ?

3 x 3

C． y ? ? 3x

D． y ? ?2 x

5．已知 m，n 是两条不同直线， ? , ? 是两个不同平面，给出四个命题： ①若 ? ? ? ? m, n ? ? , n ? m ，则 ? ? ? ③若 m ? ? , n ? ? , m ? n ，则 ? ? ? 其中正确的命题是 A．①②
x

②若 m ? ? , m ? ? ，则 ? / / ? ④若 m / /? , n / / ? m / / n ，则 ? / / ?

B．②③
2

C．①④

D．②④
3

6．设 a ? ? 0 (cos x ? sin x) dx ，则二项式 ( x ? ) 展开式中的 x 项的系数为
6

a x

A．-20 7．已知函数 f ( x) ? x ? 4 ? 中，函数 g ( x) ? ( )

B．20

C．-160

D．160

9 ( x ? ?1) ，当 x=a 时， f ( x) 取得最小值则在直角坐标系 x ?1

1 a

x ?1

的大致图象为

8．有一平行六面体的三视图如图所示，其中俯视图 和左视图均为矩形，则这个平行六面体的表面积为 A． 21 3 C． 30 ? 6 3 B． 6 ? 15 3 D．42

9．已知 log 1 ( x ? y ? 4) ? log 1 (3x ? y ? 2) ，若 x ? y ? ? 恒成立，
2 2

则 ? 的取值范围是 A． ? ??,10 ? B． ? ??,10 ? C． ?10, ?? ? D． ?10, ?? ?

A．B．C．D． 10．运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于 3，则 t 的取值 范围为

1 4 1 C． t ? 4
A． t ?

1 8 1 D． t ? 8
B． t ?

11．定义在 R 上的函数 f ( x) 的导函数为 f '( x) ，已知 f ( x ? 1) 是偶函数

( x ? 1) f '( x) ? 0 . 若 x1 ? x2 ，且 x1 ? x2 ? 2 ，则 f ( x1 ) 与 f ( x2 ) 的
大小关系是 A． f ( x1 ) ? f ( x2 ) C． f ( x1 ) ? f ( x2 ) B． f ( x1 ) ? f ( x2 ) D．不确定

12．某学校要召开学生代表大会，规定根据班级人数每 10 人给一个代表名额，当班级人数 除以 10 的余数大于 6 时，再增加一名代表名额．那么各班代表人数 y 与该班人数 x 之 间的函数关系用取整函数 y ? [ x] （[x]表示不大于*的最大整数）可表示为 A． y ? [

x ] 10

B． y ? [

x?3 ] 10

C． y ? [

x?4 ] 10

D． y ? [

x?5 ] 10

第二卷 二、填空题，本大题共有 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分，把正 确答案填在答题卡的相应位置。 13．已知向量 a=（x－l，2） ，b=（4 ，y） ，若 a⊥b，则 9x+3y 的 最小值为 。

14．执行右边的程序框图，则输出的结果为 15．已知双曲线

。

x2 y 2 y 2 x2 =1 的一个焦点是（0，2） ，椭圆 ? ? ? 1 的焦距等于 4，则 n= m 3m n m
。

16．函数 f（x）=cosx －log8x 的零点个数为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分. 17. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? sin(? x ?

) ? sin(? x ? ) ? 3 cos ? x (其中 ? ＞0)，且函数 f(x)图象 3 3 ? 的两条相邻的对称轴间的距离为 . 2
（1）求 ω 的值； （2）将函数 y ? f (x) 的图象上各点横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数

?

?

y ? g (x) 的图象，求函数 g (x) 在区间 [0, ] 的最大值和最小值. 2
18. (本小题满分 12 分) 为了宣传今年 10 月在济南市举行的“第十届中国艺术节”， “十艺节”筹委会举办了“十艺 节”知识有奖问答活动，随机对市民 15～65 岁的人群抽样 n 人，回答问题统计结果如下图表 所示：

?

（1）分别求出 a，x 的值； （2）从第 2，3，4 组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取 6 人，“十艺节”筹委会决 定在所抽取的 6 人中随机抽取 2 人颁发幸运奖， 求所抽取的人中第 2 组至少有 1 人获得幸运 奖的概率． 19. (本小题满分 12 分) 如图，斜三棱柱 A1B1C1 ? ABC 中，侧面 AAC1C ? 底 1 面 ABC， 底面 ABC 是边长为 2 的等边三角形， 侧面 AAC1C 1 是菱形， ?A1 AC ? 60? ，E、F 分别是 AC1 、AB 的中点． 1 求证： （1） EC ? 平面ABC ； （2）求三棱锥 A1 ? EFC 的体积. A F B
第 19 题图

A1

E B1

C1

C

20. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ， Sn ? 2an ? 2 ， 且 数列 {bn } 满足 b1 ? 1 ， bn?1 ? bn ? 2 . 且 （1）求数列 {an } , {bn } 的通项公式； （2）设 cn ?

1 ? ( ?1) n 1 ? ( ?1) n an ? bn ，求数列 {cn } 的前 2n 项和 T2n ． 2 2

21．(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 ax ? (a ? 2) x ? c 的图象如右图所示． 3

（1）求函数 y ? f (x) 的解析式； （2）若 g ?x ? ?

kf ? ?x ? x

? 2ln x 在其定义域内为增函数，求实数
第 21 题图

k 的取值范围．

22. (本小题满分 13 分) 已知点 F1 (? 3 ,0) 和 F2 ( 3,0) 是椭圆 M: 经过点 ( 3 , ) . （1）求椭圆 M 的方程； （2）过点 P(0,2)的直线 l 和椭圆 M 交于 A、B 两点，且 PB ?

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点， 且椭圆 M a2 b2

1 2

3 PA ,求直线 l 的方程； 5

（3）过点 P(0,2)的直线和椭圆 M 交于 A、B 两点，点 A 关于 y 轴的对称点 C，求证：直 线 CB 必过 y 轴上的定点，并求出此定点坐标.