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高中数学人教A版选修2-3课时提升卷(十九) 第三章 3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用


课时提升卷(十九)
独立性检验的基本思想及其初步应用 (45 分钟 100 分) 一、选择题(每小题 6 分,共 30 分) 1.(2013·绍兴高二检测)下面是 2×2 列联表: y1 x1 x2 总计 a 22 b ) C.52,74 D.74,52 y2 21 25 46 总计 73 47 120

则表中 a,b 的值分别为 ( A.94,72 B.52,50

2.(2013·辽宁师大附中高二检测)关于分类变量 X 与 Y 的随机变量 K2 的观测值 k,下列说法正确的是 ( )

A.k 的值越大,“X 和 Y 有关系”可信程度越小 B.k 的值越小,“X 和 Y 有关系”可信程度越小 C.k 的值越接近于 0,“X 和 Y 无关”程度越小 D.k 的值越大,“X 和 Y 无关”程度越大 3.在第 29 届北京奥运会上,中国健儿取得了 51 金、21 银、28 铜的好 成绩,稳居金牌榜榜首,由此许多人认为中国进入了世界体育强国之 列 , 也有许多人持反对意见 , 有网友为此进行了调查 , 在参加调查的 2548 名男性中有 1560 名持反对意见,2452 名女性中有 1200 名持反对 意见,在运用这些数据说明性别对判断“中国进入了世界体育强国之
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列”是否有关系时,用什么方法最有说服力 ( A.平均数与方差 C.独立性检验 B.回归直线方程 D.概率

)

4.某班主任对全班 50 名学生进行迟到与学习成绩是否有关的调查, 数据如下表: 学习成绩 前 26 名 从不迟到的 有过迟到的 总数 根据表中数据得到 K2=
P(K2≥k ) k 0.45 5 0.70 8 1.32 3 2.07 2 2.70 6 3.84 1 0.50 0.40 0.25 0.15

学习成绩 总数 后 24 名 9 15 24 ≈5.059.
0.10 0.05 0.02 5 5.02 4 0.01 0 6.63 5 0.00 5 7.87 9 10.82 8 0.001

18 8 26

27 23 50

查表可知,在犯错误不超过多少的前提下 ,认为迟到与学习成绩有关 系 ( A.2.5% C.0.1 ) B.0.05 D.无充分根据

5.对某校学生进行心理障碍测试得到如下列联表. 焦虑 女生 5 说谎 10
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懒惰 15

总计 30

男生 总计

20 25

10 20

50 65 )

80 110

在这三种心理障碍中哪一种与性别关系最大 ( A.焦虑 B.说谎 C.懒惰 D.全部一样

二、填空题(每小题 8 分,共 24 分) 6.我们常利用随机变量 K2 来确定在多大程度上可以认为 “两个分类变 量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验,其思想类似于数 学上的 .

7.为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关,用两种不同 剂量的电离辐射照射小白鼠.在照射 14 天内的结果如表所示: 死亡 第一种剂量 第二种剂量 总计
[来源:学优 GKSTK]

存活 11 19 30 .

总计 25 25 50

14 6 20

进行统计分析时的统计假设是

8.为研究某新药的疗效,给 100 名患者服用此药,跟踪调查后得下表 中的数据: 无效 男性患者 女性患者 总计 15 6 21 有效 35 44 79 总计 50 50 100

假设 H0: 服用此药的效果与患者的性别无关 , 则 K2 的观测值 k ≈
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(小数点后保留三位有效数字 ),从而得出结论:服用此药的效果与患 者的性别有关,这种判断出错的可能性为 三、解答题(9~10 题各 14 分,11 题 18 分) 9.针对时下的“韩剧热”,某校团委对“喜欢韩剧和学生性别是否有 关”进行了一次调查,其中女生人数是男生人数的 ,男生喜欢韩剧的 人数占男生人数的 ,女生喜欢韩剧人数占女生人数的 . (1)若在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为是否喜欢韩剧和性 别有关,则男生至少有多少人? (2)若在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下,没有充分的证据显示是 否喜欢韩剧和性别有关,则男生至多有多少人? 10.(2013·晋中高二检测)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供 帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老年人,其中女性 300 人,男性 200 人.女性中有 30 人需要帮助,另外 270 人不需要帮助; 男性中有 40 人需要帮助,另外 160 人不需要帮助. (1)根据以上数据建立一个 2×2 列联表. (2)能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为该地区的老年人 是否需要志愿者提供帮助与性别有关? 11.(能力挑战题)电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育 节目的收视情况,随机抽取了 100 名观众进行调查,其中女性有 55 名. 如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分 布直方图; .

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将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”, 已知“体育迷”中有 10 名女性. (1)根据已知条件完成下面的 2×2 列联表,并据此资料判断在犯错误 的概率不超过 0.1 的前提下能否认为“体育迷”与性别有关? “非体育迷” “体育迷” 男 女 总计 (2)将日均收看该体育项目不低于 50 分钟的观众称为 “超级体育迷” , 已知“超级体育迷”中有 2 名女性,若从“超级体育迷”中任意选取 2 人,求至少有 1 名女性观众的概率. 总计

答案解析
1.【解析】选 C.因为 a+21=73,所以 a=52. 又因为 a+22=b,所以 b=74.
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2.【解析】选 B.k 的值越大,X 和 Y 有关系的可能性就越大,也就意味 着 X 与 Y 无关系的可能性就越小. 3.【解析】选 C.由于参加调查的人按性别被分成了两组,而且每一组 又被分成了两种情况,判断有关与无关,符合 2×2 列联表的要求,故 用独立性检验最有说服力. 【变式备选】给出下列实际问题: ①一种药物对某种病的治愈率; ②两种药物治疗同一种病是否有区别; ③吸烟者得肺病的概率; ④吸烟是否与性别有关系. 可以用独立性检验解决的问题有 A.①②③ C.②③④ B.②④ D.①②③④ ( )

【解析】选 B.独立性检验是判断两个分类变量是否有关系的方法,而 ①③都是概率问题,不能用独立性检验. 4.【解析】选 A.由 K2≈5.059>5.024, 又 P(K2≥5.024)=0.025, 故在犯错误不超过 0.025 的前提下可以认为迟到与学习成绩有关. 5. 【解题指南】 构造三个随机变量分别利用 K2 公式求值,再进行比较. 【解析】选 B.由题设表格可得三个新的表格如下: 关于是否焦虑的结论: 焦虑 不焦虑
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总计

女生 男生 总计 关于是否说谎的结论:

5 20 25

25 60 85

30 80 110

说谎 女生 男生 总计 关于是否懒惰的结论: 懒惰 女生 男生 总计 15 50 65 10 10 20

不说谎 20 70 90

总计 30 80 110

不懒惰 15 30 45 , ,

总计 30 80 110 ,由表中数据可

对于三种心理障碍分别构造三个随机变量 得 = = = ≈0.863<2.706, ≈6.366>5.024, ≈1.410<2.706.

所以没有充分的证据显示焦虑与性别有关; 在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为说谎与性别有关;
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没有充分的证据显示懒惰与性别有关. 这说明在这三种心理障碍中说谎与性别关系最大. 6.【解析】独立性检验的思想类似于数学上的反证法. 答案:反证法 7.【解析】根据独立性检验的基本思想,可知类似于反证法,即要确认 “两个分量有关系”这一结论成立的可信程度,首先假设该结论不成 立.对于本题,进行统计分析时的统计假设应为 “小白鼠的死亡与剂量 无关”. 答案:小白鼠的死亡与剂量无关 8. 【解析】 由公式计算得 K2 的观测值 k≈4.882,因为 k>3.841,所以在 犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为服用此药的效果与患者的性 别有关. 答案:4.882 0.05 9.【解题指南】在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为是否喜欢 韩剧和性别有关,说明 k≥3.841,没有充分的证据显示是否喜欢韩剧 和性别有关,说明 k<2.706.设出男生人数,并用它分别表示各类别人 数,代入 K2 的计算公式,建立不等式求解即可. 【解析】设男生人数为 x,依题意可得列联表如下: 喜欢韩剧 男生 女生
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不喜欢韩剧

总计 x

总计

x

x

(1)若在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为是否喜欢韩剧和性 别有关,则 k≥3.841, 由 k= 解得 x≥10.24, 因为 , 为整数,所以若在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为是 否喜欢韩剧和性别有关,则男生至少有 12 人. (2)在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下,没有充分的证据显示是否 喜欢韩剧和性别有关,则 k<2.706, 由 k= 解得 x<7.216, 因为 , 为整数,所以,若没有充分的证据显示是否喜欢韩剧和性别有 关,则男生至多有 6 人. 【误区警示】这是一个独立性检验的创新问题,由结果探求数据应该 满足的条件,解答时要注意理解“至少” “至多”的含义. 10.【解析】(1)2×2 的列联表为 需要帮助 男 女 总计 40 30 70 不需要帮助 160 270 430 总计 200 300 500 = x<2.706, = x≥3.841,

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(2)k=

≈9.967.

由于 9.967>6.635,所以在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为该 地区的老年人是否需要帮助与性别有关. 11.【解题指南】(1)据频率分布直方图可计算“体育迷”,“非体育 迷”人数,按照提供的公式,计算相关数值,获得结论.(2)先将所有的 基本事件罗列,然后解决问题. 【解析】(1)由所给的频率分布直方图知, “体育迷”人数为 100×(10×0.020+10×0.005)=25(人), “非体育迷”人数为 75,则据题意完成 2×2 列联表:

“非体育迷” “体育迷” 男 女 总计 30 45 75 15 10 25

总计 45 55 100

将 2×2 列联表的数据代入公式计算: k= = ≈3.030,

因为 3.030>2.706,在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为“体育 迷”与性别有关. (2)由所给的频率分布直方图知 “超级体育迷”人数为 100×(10×0.005)=5(人), 记 ai(i=1,2,3)表示男性,bj(j=1,2)表示女性,所有可能结果构成的基 本事件空间为Ω
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={(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3),(a1,b1),(a2,b1),(a3,b1),(a1,b2),(a2,b2), (a3,b2),(b1,b2)},共有 10 个基本事件,且每个基本事件出现是等可能 的;用 A 表示事件“任选 2 人,至少有 1 名女性”, 则 A={(a1,b1),(a2,b1),(a3,b1),(a1,b2),(a2,b2),(a3,b2),(b1,b2)},共有 7 个基本事件,故“任选 2 人,至少有 1 名女性”的概率为 P(A)= .

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