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辽宁省沈阳铁路实验中学2014-2015学年高一下学期期末考试数学试题


沈阳铁路实验中学 2014~2015 学年度下学期期末考试

高一数学
时间:120 分钟
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分) 1.sin 480°等于( ) A. ?

满分:150 分

1 2

B.

1 2

C. ?

3 2

D.

3 2

2.某大学数学系共有本科生 1000 人,其中一、二、三、四年级的人数比为 4∶3∶2∶1,要 用分层抽样的方法从 所有本科生中抽取一个容量为 200 的样本,则应抽取三年级的学生人数 为( ) A.80 B.40 C.60 D.20 3.在区间 ? ? (A)

1 1 ? ? ?? , ? 上随机取一个 x , sin x 的值介于 ? 与 之间的概率为( 2 2 ? 2 2?
(B)



1 3

2

?

(C)

1 2

(D)

2 3


4.已知向量 =(8, x) , =(x,1) ,x>0,若 ﹣2 与 2 + 共线,则 x 的值为( A.4 B.8 C.0 D.2 5.一次选拔运动员,测得 7 名选手的身高(单位:cm)分布茎叶图为

记录的平均身高为 177 cm,有一名选手的身高记录不清楚,其末位数记为 x,那么 x 的值为 A.5 B.6 C.7 D.8 6.如图, D, E, F 分别为 ?ABC 的三边 BC, CA, AB 的中点, 则 EB ? FC ? ( )

A. AD

????

B.

1 ???? AD 2

C.

? 1 ??? BC 2


D. BC

??? ?

7.要得到 y ? 3 sin(2 x ? A. 向左平移

?
4

) 的图象只需将 y=3sin2x 的图象(

?
4

个单位 B. 向右平移

?
4

个单位 C. 向左平移

?
8

个单位 D. 向右平移

?
8

个单 位

8.已知 f ( x) ? sin( x ? ?) ? cos( x ? ?) 为奇函数,则 ? 的一个取值为( A. 0 B. ? C.



? 2

D.

? 4

9.根据下表所示的统计资料,求出了 y 关于 x 的线性回归方程为 =1.23x+0.08,则统计表中

t 的值为( x y A.5.0 2 2.2

) 3 3.8 B.5.5 4 t C.4.5 5 6.5 6 7.0 D.4.8

10.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是( )

A. ? 3

B. ?

3 2

C.

11. 已知 cos (α -β ) = β ∈ (? A.

?
2

3 5 ? , sin β = ? , 且 α ∈ (0, ) , 5 13 2

3 2

D. 3

,0) ,则 sin α =
B.

33 65

63 65

C. ?

33 65

D. ?

63 65

12. 已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x( a,b 为常数,a ? 0,x ? R ) 的图象关于直线 x ? 对称,则函数 y ? f (

?
4

3? ? x) 是( ) 4

A.偶函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称 C.奇函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称

3? ,0) 对称 2 3? ,0) 对称 D.奇函数且它的图象关于点 ( 2
B.偶函数且它的图象关于点 ( _________ .

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分) 13.用辗转相除法求两个数 102、238 的最大公约数是

14 . 在 △ ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 满 足

a ? c sin A ? sin B ? 则角 b sin A ? sin C

C=
15.设 a ?



1 3 2 tan130 1 ? cos520 ,则 a,b,c 的大小关系为 cos80 ? sin 80 , b ? , c ? 2 2 1 ? tan 2 130 2

_________ . 16.给出下列命题: ①存在实数 α ,使 sinα ?c osα =1 ③ 是函数 ②函数 的一条对称轴方程 是偶函数

④若 α 、β 是第一象限的角,且 α >β ,则 sinα >sinβ 其中正确命题的序号是 _________ . 三、解答题(共 6 题,17 题 10 分,18~22 每题 12 分,总计 70 分) 17. 为了解学生身高情况,某校以 10%的比例对全校 700 名学生按性别进行分层抽样调查,测 得身高情况的统计图 如下:

(1)估计该校学生身高在 170~185 cm 之间的概率; (2)从样本中身高在 180~190 cm 之间的男生中任选 2 人, 求至少有 1 人身高在 185~190 cm 之间的概率.

? ? ? ? ? ? | | a ? 4,|b| ? 3,(2a-3b) ? (2a ? b) ? 61 , 18.已知向量满足:
(1)求 a ? b 的值;

? ?

(2)求 a与b 的夹角 ? ;

? ?

(3)求 | a?| b 的值;

? ?

19. 直角坐标系 xoy 中,锐角 ? 的终边与单位圆的交点为 P ,将 OP 绕 O 逆时针旋转到 OQ , 使 ?POQ ? ? ,其中 Q 是 OQ 与单位圆的交点,设 Q 的坐标为 ( x, y ) .

y
P
(Ⅰ)若 P 的横坐标为 (Ⅱ)求 1

y 3 ,求 ; x 5

?
o

x ? y 的取值范围.

x

20.已知函数 f (x ) ? cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? sin 2 x (1)求函数 f (x ) 的最小正周期及单调递增区间; (2)在 ?ABC 中,A、B、C 分别为三边 a、b、c 所对的角,若 a ? 3, f (A) ? 1 ,求 b ? c 的 最大值.

21. 如图△ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,且 AD ? AC ? 0 , sin ?BAC ?
BD ? 3 .

2 2 , AB ? 3 2 , 3

(1)求 AD 的长;

(2)求 cosC.

? 22. 如图所示, 扇形 AOB , 圆心角 AOB 的大小等于 3 , 半径为 2 , 在半径 OA 上有一动点 C ,
过点 C 作平行于 OB 的直线交弧 AB 于点 P .

(1)若 C 是半径 OA 的中点,求线段 PC 的大小; (2)设 ?COP ? ? ,求△ POC 面积的最大值及此时 ? 的值.

参考答案 1.D.2.B.3.A.4.A.5.D.6. A7.C.8.D.9. B10.C.11. A.12. C 13.34 14.

? 3

15.a<c<b

16.②③

9 3 ? . 15 5 ? ? ? ? ?2 ? ? ?2 18.解: (1)由(2a-3b) ? (2a ? b) ? 61得4a ? 4a ? b ? 3b ? 61 ? ? ?2 ?2 又由 | | a ? 4,|b| ? 3 得 a ? 16, b ?9 ? ? ? ? 代入上式得 64 ? 4a ? b ? 27 ? 61 ,∴ a ? b ? ?6 ? ? 2? a ?b ?6 1 (2) cos ? ? ? ? ? ? ? , 故? ? 3 2 | a || b | 4 ? 3 ? ? 2 ?2 ? ? ?2 ? ? (3) | a ? b | ? a ? 2a ? b ? b ? 16 ? 2 ? (?6) ? 9 ? 13 故 | a ? b |? 13 3 3 4 4 19. 解: (Ⅰ)∵ P 的横坐标为 , ∴ cos ? ? , sin ? ? , ∴ tan ? ? 5 5 5 3 4 2? y 2 tan ? 3 ? ? 24 ∴ ? tan 2? ? ? 2 x 1 ? tan ? 1 ? ( 4 ) 2 7 3
17. 解(1)p1=0.5; (2)p2= (Ⅱ) x ? y ? cos 2? ? sin 2? ? ∴ 2? ? (0, ? ) , ∴ 2 sin(2? ?

2 sin(2? ? ) , ? ? (0, ) , 4 2

?

?

2? ?

?

? 5? ? 2 ? ( , ) , ∴ sin(2? ? ) ? (? ,1] , 4 4 4 4 2


?
4

) ? (?1, 2] ,

x ? y 的取值范围是 (?1, 2].

20. 解: (1)

f (x ) ? cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? sin 2 x ? 3 sin 2x ? cos 2x

? 2 sin(2x ?

?

6 ,

)

T ?
所以函数的最小正周期为

2? ?? 2 .

?


?
2

? 2k ? ? 2x ?

?
6

?

?
2

? 2k ? (k ? Z )


?

?
3

? k? ? x ?

?
6

? k ? (k ? Z )

(?
所以函数的单调递增区间为

?
3

? k? ,

?
6

? k ? )(k ? Z )
. 6分

(2)由 f (A) ? 1 可得

2 sin(2A ?

?
6

) ?1

,又 0 ? A ? ? ,所以
2

A ?
2

?
3。
2

2 2 2 2 bcco s , A 即 3 ? b ? c ? bc ? (b ? c) ? 3bc 又 由余弦定理可得 a ? b ? c ?

bc ? (

b ?c 2 b ?c 2 3 ? (b ? c)2 ? 3bc ? (b ? c)2 ? 3( ) ) 2 2 ,所以 ,故 b ? c ? 2 3 ,

? ?b ? c, ? 2 b ? c 2 ? bc ? 3 ? ? 当且仅当 ,即 b ? c ? 3 时等号成 立
因此 b ? c 的最大值为 2 3 . 12 分

? 2 2 21. 解: (1)由 AD ? AC 知, sin ?BAC ? sin(?DAB ? ) ? cos ?DAB ? 2 3
在△ABD 中,由余弦定理知 BD2 ? AD2 ? AB2 ? 2 AB ? AD cos ?BAD 即 AD 2 ? 8 AD ? 15 ? 0 ,解得 AD ? 3 或 AD ? 5 显然 AB ? AD ,故 AD ? 3 . (2)由 cos ?DAB ?
2 2 1 得 sin ?BAD ? 3 3

在△ABD 中,由正弦定理知

6 BD AB ,故 sin ?ADB ? ? 3 sin ?BAD sin ?ADB ? 6 cos C ? cos(?ADB ? ) ? sin ?ADB ? . 2 3

PC ?
22.解: (1)

? 1 ? 13 2

??
(2)

?

3 6 时, S (? ) 取 得最大值为 3 .


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