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高中数学高一第一学期题库-函数


1. 函数的概念 1. 著名的 Dirichlet 函数 D( x) ? ?

?1, x取有理数时
f ( x) ))) =
n个f

?0, x取无理数时

,则 D( 2 ) =__________

2. 如果 f ( x) ? 2 x ?1 ,则 f ( f ( f (

3. f (n) ? k (其中 n ? N * ) , k 是 ? 的小数点后的第 n 位数字,? ? 3.1415926535 ? , 则 f { f ? f [ f (10 )]} ?

??? ? ??? ? ?
100 个f

___________

4. 设 M ? ?x | 0 ? x ? 2? , N ? ? y | 0 ? y ? 2? ,给出的 4 个图形中能表示集合 M 到集合

N 的映射的是

3 2 1 0

y

3 2 1
1 2 3 A. x 0

y

3 2 1

y

3 2 1

y

1 2 3 B.

x

0

1 2 3 C.

x

0

1 2 3 D.

x

5. 集合 P ? {x | 0 ? x ? 4}, Q ? { y | 0 ? y ? 2} ,下列对应不表示从 P 到 Q 的函数是( )

2 x 3 1 C. f : x ? y ? x 2 A. f : x ? y ?

B. f : x ? y ?

1 x 3

D. f : x ? y ? x
x

1? 6. 设 A ? B, B ? ?0,???, A ? ? ,从 A 到 B 的两个函数分别为 f ( x) ?| log0.5 x | , g ( x) ? ? ? ? , ?2?
若对于 A 中的任意一个 x ,都有 f ( x) ? g ( x) ,则集合 A 中元素的个数为 1 个或 2 个

2. 函数的定义域和值域 1. 右图为函数 y ? f ( x) 的图象,则该函数的定义域是 值域是 ________

2. 若函数 f ( x) 的定义域是 ?? 1,1?,则函数 3. 若函数 y ?
2

kx ? 7 的定义域为 R,则 k ? kx ? 4kx ? 3
2

f (2 x ? 1) 的定义域是 __________ x

4. 已知一个函数的解析式为 y=x ,它的值域为[1,4],这样的函数的个数为 5. 函数 y ?

x 2 ? x ? 1 的值域为

;函数 y ? 16 ? x 2 值域为

函数

y?

2x 5x ? 1 的值域为



6. 已知两个函数 f ( x ) 和 g ( x) 的定义域和值域都是集合 {1, 2,3} ,其定义如下表:

x
f ( x)

1 2

2 3

3 1

x
g ( x)

1 3

2 2

3 1

则方程 g[ f ( x)] ? x 的解为 7. 下表表示 y是x 的函数,则函数的值域是 .

x
y

0? x?5
2

5 ? x ? 10
3

10 ? x ? 15
4

15 ? x ? 20
5

2 8. 若函数 f ( x ? 2) 的定义域是[ ?1 , 1 ],则函数 f (3x ? 2) 的定义域为____________

9. 设函数 f ( x) ?

若所有点 (s, f (t ))(s, t ? D) 构成一 ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的定义域为 D ,

个正方形区域,则 a 的值为 10. 函数 f ( x) ? [ x[ x]] ,其中 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数,如 [?2.1] ? ?3, [?2] ? ?2,

[2.2] ? 2 ,如果 x ?[?2, 0] ,那么 y ? f ( x) 的值域为

____

11. 函数 y ? ?2 x 的值域为 ? a, b? ,则函数 y ? f ( x ? 2) 的值域为__________ 12. 函数 y ? ( x ? 2 x)
2 ? 1 2

的定义域是___________
? 1 3

变式:函数 f ( x) ? (1 ? x)

的定义域为

13. 函数 f ( x) ?

(1 ? a 2 ) x 2 ? 3(1 ? a) x ? 6

(1)若 f ( x) 的定义域为[-2,1],求实数 a 的值. (2)若 f ( x) 的定义域为 R ,求实数 a 的取值范围. 14. 已知函数 f ( x) ? 2x ?1 x ??1,5? ,则函数 f (2 x ? 3) 的解析式为___________ 15. 已知 f ( x) 是一次函数, 且 f ( f ( x)) ? 4 x ? 1 ,则 f ( x) 的表达式为____________ 16. 若函数 y ? f ( x) 的定义域是[-2,4],则函数 g ( x) ? f ( x) ? f (? x) 的定义域_______ 17. 函数 f ( x) ?

2? x 的定义域为 ln( x ? 1)
? g ( x) ? x ? 4, x ? ?1或x ? 2 , f ( x ) 的值域是 ___ ? g ( x) ? x, ?1 ? x ? 2

18. 函数 g ( x) ? x 2 ? 2( x ? R) , f ( x) ? ?

19. 函数 f:{1, 2}→{1, 2}满足 f[f(x)]>1 的这样的函数个数有________个 20. 如图,函数 f(x) 的图象是曲线段 OAB,其中点 O,A,B 的 1 坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则 f( )的值等于________. f(3)

21. 已知函数 y ? log2 ( x ? 2) 定义域是 ?a, b? ,值域是 ?1, log2 14? ,则 a ? b 的值为_____
2

x x 22. (2010 年济南市高三模拟考试)函数 y= · a (a>1)的值域为_______ |x|

3. 函数的奇偶性 1. 定义在 R 上的两个函数中, f ( x) 为偶函数, g ( x) 为奇函数, f ( x) ? g ( x) ? ( x ? 1) ,
2

则 f ( x) ? ____________ 变式: 定义在区间(-1,1)上的函数 f(x)满足 2f(x)-f(-x)=lg(x+1), 则 f(x)的解析式为______ 结论:任意一个定义在 R 上的函数均可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和

教材 P52 7 已知 f ( x ) 是一个定义在 R 上的函数,求证: (i) g ( x) ? f ( x) ? f (? x) 是偶函数; (ii) h( x) ? f ( x) - f (? x) 是奇函数. 2. 函 数 f ?x? ? ax2 ? ?a ? 2b?x ? a ? 1 是 定 义 在 ?? a,0? ? ?0,2a ? 2? 上 的 偶 函 数 , 则

? a2 ? b2 f? ? 5 ?

? ? ? ? _________________ ?
1 对称,则 2

3. 设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ?

f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f (5) =______
4. 已知函数 f(x)=
m ? 2 ?1
x

2

x

?1

为奇函数,则 m 的值等于_____

k ? 2x 变式:函数 g ( x) ? 为奇函数,则实数 k 的取值集合为_____ 1? k ? 2x
5. 函数 f ( x) ? x ( x ? 1 ? x ? 1) 函数 g ( x) ? ,则 F(x)= f ( x) ? g ( x) , | x ? 4| ? | x ?3| 的奇偶性为 函数.

1? x2

思考:和函数与积函数的奇偶性有何规律? 6. 函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称,且 f(x)=x +2x,则函数 g(x)的解析式为________ 变式 1:已知 f(x+2)=f(x)(x∈ R),并且当 x∈ [-1,1]时,f(x)=-x2+1,求当 x∈ [2k-1,2k+1](k∈ Z)时 f(x)的解析式. 1 变式 2: (2010 年山东青岛质检) 已知 f(x)=( )x, 若 f(x)的图象关于直线 x=1 对称的图象对 3 应的函数为 g(x),则 g(x)的表达式为________. -2 变式 3:已知函数 f(x)= x-a . 2 +1 (1) 求证:f(x)的图象关于点 M(a,-1)对称;
2

(2) 若 f(x)≥-2x 在 x≥a 上恒成立,求实数 a 的取值范围. 7. 下列说法中,正确命题的序号为______________ (1)定义在 R 上的函数 f ? x ? ,若 f ? ?2? ? f (2) ,则函数 f ? x ? 是偶函数 (2)定义在 R 上的函数 f ? x ? ,若 f ? ?2? ? f (2) ,则函数 f ? x ? 不是偶函数 (3)定义在 R 上的函数 f ? x ? ,若 f ? ?2? ? f (2) ,则函数 f ? x ? 不是奇函数 8. 设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时, f ( x) ? 2x ? 2x ? b ( b 为常数) ,则

f (?1) ? _______
9. 已知 f(x)是奇函数, 当 x ? 0 时, f(x)=ex-1(其中 e 为自然对数的底数), 则 f(ln
3 10. 设偶函数 f(x)满足 f ( x) ? x ? 8( x ? 0) ,则 x f ( x ? 2) ? 0 = _______

1 )=________ 2

?

?

11. 已知定义在 R 上的函数 f(x)在区间(8,+∞)上为减函数,且函数 y ? f ( x ? 8) 为偶函 数,则 f (6). f (7), f (9), f (10) 的大小关系为____________ 12. 函数 f ( x) ? (| x | ?1)(x ? a) 为奇函数,则 f ( x) 的增区间为
x ?x 13. R 上的奇函数 f ( x ) 和偶函数 g ( x) 满足 f ( x) ? g ( x) ? a ? a ? 2(a ? 0且a ? 1)

若 g (2) ? a, 则 f (2) ? _______ 14. 已知函数 f ( x) ? ln 15. 函数 f ( x) ?

1? x 1 ? 2 ,则 f (lg 2) ? f (lg ) = 1? x 2

15 4

.4 .? 1

x 2 ? ax 为奇函数的充要条件是 a = ( x ? 1)( x ? 1)2

16. 已知函数 f ( x ) ? ax ?

x 4x ?1

是偶函数,则常数 a 的值为

?

1 2
2

17. 已知函数 f ( x) ?

| x | ? sin x ? 1 ( x ? R) 的最大值为 M,最小值为 m ,则 M ? m = | x | ?1

4. 函数奇偶性与单调性的关系 1. 已知函数 y ? f ( x) 是定义在 ?? 2,2? 上的偶函数,而且在 ?0,2? 上是增函数,且 f ( x) 满足不等式 f (1 ? m) ? f (m) ,则实数 m 的取值范围为__________ 2. 若 f(x),g(x)均为奇函数, F ( x) ? af ( x) ? bg( x) ? 1 在 (0,+∞)上有最大值 5,则在 (??,0) 上,F(x)的最值情况 为_________ 3. 设奇函数 f ( x ) 的定义域为 ? ?6,6? , 当 x ? ?0,6? 时 f ( x ) 的图象如右图,不等式 f ( x) ? 0 的解集用区间表示为 4. 设奇函数 f ( x) 在 (0,??) 上为增函数,且 f (1) ? 0, 则不等式 为___________ 5. 函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且它是减函数,若实数 a,b 使得 f (a ) ? f (b) ? 0 成立,则 a ? b ___ _____0(填>、=、<) 6. 下列说法中: ① 若 f ( x) ? ax ? (2a ? b) x ? 2 (其中 x ?[2a ? 1, a ? 4] )是偶函数,则实数 b ? 2 ;
2

f ( x) ? f (? x) ? 0 的解集 x



既是奇函数又是偶函数; f ( x) ? 2 0 1 3 ? x2 ? x2 ? 2 0 1 3

③ 已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,若当 x ? [0, ??) 时, f ( x) ? x(1 ? x) ,则当 x ? R 时,

f ( x) ? x(1 ? x ) ; 其中正确说法的序号是

____(填写正确命题的序号)

7. 定义在 R 上的偶函数 f ( x) , 且 f ( x ) 在 ?0, ??? 上单调递减, 则不等式 f (lg x) ? f (1) 的 解集是 8. 已知函数 f ( x ) ?
1 ? ax ? a ? 1? 在 [?1, 0] 上是增函数,则实数 a 的取值范围是 a ?1
2

9. 已知函数 f ( x) ? x ? cos x ,对于 ? ? , ? 上的任意 x1,x2 ,有如下条件:①x1 ? x2 ; 2 2 ②x1 ? x2 ; ③ x1 ? x2 .其中能使 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 恒成立的条件序号是
2 2

? π π? ? ?

.②

5. 函数的单调性 1. 函数 f ( x ) ? 1 ?

2 的单调递增区间是 ______ . ?? ?,?1?, ?? 1,??? x ?1

2. 设函数 f ( x) ? x ?

?

x

, 其中常数 ? ? 0 .是否存在正的常数 ? , 使 f ( x) 在区间 (0,??) 上

单调递增?若存在,求 ? 的取值范围;若不存在,请说明理由.(不存在)

3. 4. 已知函数 f ? x ? ? x ?
2

a ( x ? 0, a ? R) x

(1)讨论函数 f ?x ? 的奇偶性; (2) f ?x ? 在区间 ?2,??? 是增函数,求实数 a 的取值范围. 5. 下列说法中,正确命题的序号为_________________ (1)若定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? 2? ? f (1) ,则函数 f ? x ? 是 R 上的单调增函数 (2)若定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? 2? ? f (1) ,则函数 f ? x ? 在 R 上不是单调减函数 (3)若定义在 R 上的函数 f ? x ? 在区间 ? ??,0? 上是单调增函数,在区间 ?0, ??? 上也是 单调增函数,则函数 f ? x ? 在 R 上是单调增函数 (4)若定义在 R 上的函数 f ? x ? 在区间 ? ??,0? 上是单调增函数,在区间 ? 0, ??? 上也是 单调增函数,则函数 f ? x ? 在 R 上是单调增函数 6. 若 y ?

x 2 ? ax ? 3 在区间 ?1,2? 上是单调增函数,求 a 的取值范围为________

7. 函数 y ? f ( x) ,定义域为 D ? [?2,2] ,以下命题正确的是(写出命题的序号)______ ① 若 f (?1) ? f (1), f (?2) ? f (2) ,则 y ? f ( x) 是 D 上的偶函数; ② 若对于 x ? [?2,2] ,都有 f (? x) ? f ( x) ? 0 ,则 y ? f ( x) 是 D 上的奇函数;[来源:

③ 若函数 y ? f ( x) 在 D 上具有单调性且 f (0) ? f (1) 则 y ? f ( x) 是 D 上的递减函数; ④ 若 f (?1) ? f (0) ? f (1) ? f (2) ,则 y ? f ( x) 是 D 上的递增函数; 8. 设 a ? 0 , b ? 0 ,已知函数 f ( x) ?

ax ? b . x ?1

(Ⅰ) 当 a ? b 时,讨论函数 f ( x) 的单调性(直接写结论); (Ⅱ) 当 x ? 0 时,(i)证明 f (1) ? f ( ) ? [ f (

b a

b 2 )] ; a

(ii)若

2ab ? f ( x ) ? ab ,求 x 的取值范围. a?b b?a ,得 x ?1
?????2 分 ?????2 分

解: (Ⅰ)由 f ( x) ? a ?

当 a ? b 时, f ( x ) 分别在 ?? ?,?1?, ?? 1,??? 上是增函数; 当 a ? b 时, f ( x ) 分别在 ?? ?,?1?, ?? 1,??? 上是减函数;

(Ⅱ) (i)∵ f (1) ?

a?b b 2ab b ,f( )? ,f( )? 2 a a?b a

a

b ?b a ? ab ????2 分 b ?1 a
????1 分

∴ f (1) f ( ) ? ab ? [ f (

b a

b 2 b b ) ] ,∴ f (1) f ( ) ? [ f ( )]2 a a a

(ii)∵

2ab ? f ( x ) ? ab a?b

∴由(i)可知, f ( ) ? f ( x) ? f (

b a

b ), a

?????2 分 ?????2 分

①当 a ? b 时, f ( x) ? a ,H=G=a, x 的取值范围为 x ? 0 . ②当 a ? b 时,∵

b b b ? 1 ,∴ ? a a a

由(Ⅰ)可知, f ( x ) 在 ?0,??? 上是增函数,∴ x 的取值范围为

b b ?2 分 ?x? a a

③当 a ? b 时,∵

b b b ? 1 ,∴ ? a a a

由(Ⅰ)可知, f ( x ) 在 ?0,??? 上是减函数,∴ x 的取值范围为

b b ?2 分 ?x? a a

综上,当 a ? b 时, x 的取值范围为 x ? 0 ;当 a ? b 时, x 的取值范围为

b b ; ?x? a a
????1 分

当 a ? b 时, x 的取值范围为

b b ?x? 。 a a

9. 函数错误!未找到引用源。的定义域为错误!未找到引用源。,若对于任意错误!未找到引 用源。,当 x1 < x2 时,都有错误!未找到引用源。, 则称函数 f ( x) 在错误!未找到引用源。上为非减函数. 设函数错误!未找到引用源。在错误!
未找到引用源。上为非减函数,且满足以下三个条件:

x 1 ① f (0) = 0 ;② f ( ) = f ( x) ;③ f (1 - x) = 1 - f ( x) ,则错误!未找到引用源。= 3 2



1 1 1 1 1 1 1 1 f( )? , f( )? , f( )? , f( )? 3 2 2 2 9 4 6 4

6. 分段函数

5 ? (a ? 1) x ? , x ? 1 ? ? 2 1.(分段函数的单调性)函数 f ( x) ? ? ,在定义域 R 上单调递增,则 a ? 2a ? 1 , x ? 1 ? ? x
的取值范围是 ______ 2. 已知函数 f ? x ? ? x x ? a

? x ? R? ,若函数 g ( x) ? f ( x) ? 2x ?1 在 R 上恒为增函数.

则实数 a 的取值范围为_____________ 3. 设 f ( x) ? ?

? x ? 2, ( x ? 10) 则 f (5) 的值为 ? f [ f ( x ? 6)],( x ? 10)

? x ? 2( x ? ?1) ? 2 4. 已知 f ( x) ? ? x ( ?1 ? x ? 2) ,若 f ( x) ? 3 ,则 x 的值是 ?2 x( x ? 2) ?

?1 x ? 1( x ? 0) ? ?2 5. 设 f ( x) ? ? ,则不等式 f ( x) ? x 的解集为 ? 1 ( x ? 0) ? ?x
6. 已知函数 f ( x) ? ?

?2 x ? 1 ? 1

( x ? 0) 3 f ( x ? 1) ? f (?2) ( x ? 0) , g ( x) ? 2 ( x ? 0)

(1)求函数 y ? g ( x) 的解析式; (2)求函数 y ? g ( x) 的最小值

x ? 0, ?1 ? 7. 定义 “符号函数”f ( x ) = sgnx = ?0 x ? 0, 则不等式 x ? 2 ? ( x ? 2)sgn x 的解集是 ?? 1 x ? 0, ?
8. 已知函数 f ? x ? ? ?

_

?? x ? 1, x ? 0 2 ,若实数 m 满足 m ? f ? m ? 1? ? 1,则 m 的值为 ? x ? 1, x ? 0

9. 作出下列函数的图像 (1) y ?

x x
?x? ? ?

(2) y ? x ? 3 ? x ? 1

(3) y ? x ? 3 ? x ? 1

(4) y ? ? ? (其中 ?x ? 表示不超过 x 的最大整数) 2 10. 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ?

x?0 ?log2 (4 ? x), , 则f (3) 的值为_____ ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0
,则实数 m 的

?3x ? m,(x ? 2) ) 11. 已知实数 m ? 0 ,函数 f ( x) ? ? ,若 f (2 ?m) ? f (2 ?m ?? x ? 2m,(x ? 2)
值为 .

开放题: 1. 2002 年华东师范大学自主招生试题

一架飞机从首都机场飞到上海浦东机场,在浦东机场上空盘旋好几圈后着陆,试画出 从起飞到着陆这段时间飞机与首都机场的距离的示意图. 2. 古诗词中的数学意境: “离离原上草”的数学模型 白居易《赋得古原草送别》 : “离离原上草,一岁一枯荣。野火烧不尽,春风吹又生。 ” 请构造“一岁一枯荣”的函数模型。

7. 含绝对值的函数问题 1. 设函数 f ( x) ? x x ? a , 若对于任意 x1 , x 2 ? [3,??), x1 ? x2 , 立,则实数 a 的取值范围是 ______

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 恒成 x1 ? x2

2. 已知函数 y ? x ? m 在区间 ?? ?,?1?上是减函数,那么 m 的取值范围是_______ 3. 讨论 x 关于 x 的方程 x ? 2 x ? 3 ? m 解的个数.
2

4. 设 a 为实数,函数 f ( x) ? x ? x ? a ? 1, x ? R.
2

(1)当 a ? 2 时,判断函数的奇偶性并求函数的最小值; (2)试讨论 f ( x ) 的奇偶性; (3)当 a ? R 时,求 f ( x ) 的最小值. 5. 已知 f ( x) ? x x ? 1 ,则 f ( x ? ) ? f ( ) 的解集是 6. 解方程: x ? 1 ? x ? 2 ? 5 (1)方程 x ? 1 ? x ? 2 ? a 有两解,则实数 a 的取值范围是_____________; (2)方程 x ? 1 ? x ? 2 ? a 有无穷多个解,则实数 a 的取值范围是_____________; 7. 解不等式: (1) x ? 1 ? x ? 2 ? 5 ; (2) x ? 1 ? x ? 2 ? 5 (1)不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? a 解集为 R ,则实数 a 的取值范围是_____________;

1 4

1 2

图像研究

(2)不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? a 解集为 ? ,则实数 a 的取值范围是_____________; (3)不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? a 有解,则实数 a 的取值范围是_____________; 探究 1:如何解方程 x ? 1 ? x ? 2 ? a(a ? R) 探究 2:如何解不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? a(a ? R) 8. 已知函数 f ( x) ? x ? a , g ( x) ? ax (a ? R) (1)若函数 y ? f ( x) 的图象关于 y 轴对称,求出实数 a 的值; (2)若方程 f ( x) ? g ( x) 有两解,求实数 a 的取值范围; (3)若 a ? 0 ,记 F ( x) ? g ( x) ? f ( x) ,求函数 y ? F ( x) 在区间 ?1, 2? 上的最大值.

8. 二次函数 1. 设 f ( x) ? x ? 4 x ? 4 的定义域为 ?t ? 2, t ? 1? ,对任意 t ? R
2

(1)求函数 f ( x) 的最小值 g (t ) 的解析式 (2)求函数 f ( x) 的最大值 M (t ) 的解析式 2. 已知二次函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x 且 f (0) ? 1 . (1)求 f ( x ) 的解析式; (2) 当 x ?[?1,1] 时,不等式: f ( x) ? 2 x ? m 恒成立,求实数 m 的范围. (3)设 g (t ) ? f (2t ? a), t ???1,1? ,求 g (t ) 的最大值 h(a) ,并求 h(a) 的最值.
2 3. 已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ( a , b 是常数,且 a ? 0 )满足条件: f (2) ? 0 ,方

程 f ( x) = x 有两个相等的实根 (1)求 f ( x) 的解析式;

(2) 问是否存在实数 m ,n ?m ? n? ,使 f ( x) 的定义域和值域分别为 ?m, n ? 和 ?2m,2n? , 如果存在,求出 m , n 的值,如果不存在,说明理由. 变式: y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时,f(x)=2x-x2; (1)求 x<0 时,f(x)的解析式; (2)问是否存在这样的正数 a,b,当 x ?[a, b]时,g(x)=f(x),且g(x)的值域为[ , ]? 若 存在,求出所有的 a,b 值;若不存在,请说明理由. 4. 函数 f ( x) ? ? x ? 3x ? 4 的定义域为 ?m,3? ,值域为 ? 4,
2

1 1 b a

? 25 ? , m 的取值范围 ? 4? ?

__

2 x ??a , b? 的值域为 ? ?1, 变式:已知函数 f ( x) ? x ? 2x , 3? ,则 b ? a 的取值范围是



5. 已知函数 f ( x) ? x 2 ? (4 ? 2a) x ? a 2 ? 1 . (1)若 f ( x ? 2) 是偶函数,求 a 的值; (2)设 P ?

x ? x2 1 [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] , Q ? f ( 1 ) ,且 x1 ? x 2 ,试比较 P 与 Q 的大小; 2 2

(3)是否存在实数 a ? [0,8] ,使得函数 f ( x) 在 [0,4] 上的最小值为 7 ,若存在求出 a 的 值,若不存在,说明理由. 6. 函数 y ? mx ? (m ? 1) x ? 3 在 [?1, ??) 上为减函数,实数 m 的范围为
2

____

7. 二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1, 对任意的实数 x1、x2 ( x1 ? x2 ) , 有 成立,且 f ( x ? 2) 为偶函数. (1)证明:实数 a >0; (2)求实数 a 与 b 之间的关系;

f ( x1 ) ?( f ) x x ?x 1 ? f (1 2 ) 2 2

(3) 定义区间 [m, n] 的长度为 n ? m , 问是否存在常数 a , 使得函数 y ? f ( x) 在区间 [a, 3] 的值域为 D ,且 D 的长度为 10 ? a3 ?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由;

8. 设二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 在区间 ? ?2, 2? 上的最大值、最小值分别是 M 、 m ,集 合 A ? ?x | f ( x) ? x? . (1)若 A ? {1, 2} ,且 f (0) ? 2 ,求 M 和 m 的值; (2)若 A ? {1} ,且 a ? 1 ,记 g (a) ? M ? m ,求 g (a ) 的最小值. 9. 对于函数 f ? x ? ,若在定义域内存在实数 x ,满足 f ? ? x ? ? ? f ? x ? , 则称为 “局部奇函数” (I)已知二次函数 f ? x ? ? ax ? 2x ? 4a ? a ? R ? ,试判断 f ? x ? 是否为“局部奇函数” ,
2

并说明理由 (II)若 f ? x ? ? 2 ? m 是定义在区间 ??1,1? 上的“局部奇函数” ,求实数 m 的取值范围
x

(III)若 f ? x ? ? 4 ? m ? 2
x

x?1

,求实数 m 的取 ? m2 ? 3 为定义域为 R 上的“局部奇函数”

值范围
2 10. 已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 1在区间 [?1, 2] 上的最大值为 4,则 a 的值为

11. 关于方程 x ? 1.5x ? k 在(-1,1)内恰有一个实根,则 k 的取值范围是___
2

_

( x ? 0) ? f ( x) 12. 已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 (a, b为实数), x ? R, F ( x) ? ? ? ? f ( x) ( x ? 0)

(1)若 f (?1) ? 0, 且函数 f ( x) 的值域为 [0, ? ?) ,求 F ( x ) 的表达式; (2)在(1)的条件下, 当 x ? [?2, 2] 时, g ( x) ? f ( x) ? kx 是单调函数, 求实数 k 的取值 范围;

, n? 0 , m ? n ? 0, a ? 0 且 f ( x ) 为偶函数, 判断 F (m) + F ( n) 能否大于零? (3) 设m ? 0
请说明理由 13. 已知函数 f ( x) ? ax ? 2ax ? 2 ? b(a ? 0) ,在区间 ?2, 3? 上有最大值 5,最小值 2
2

若 b ? 1 , g ( x) ? f ( x) ? (2 ) ? x 在?2, 4? 上单调,则 m 的取值范围为____________
m

14. 设 ? , ? 是方程 4 x2 ? 4mx ? m ? 2 ? 0,( x ? R) 的两实根, 当实数 m 为

时,? 2 ? ? 2 有最

小值为



15. 函数 f ( x) ? x 2 ? mx ? 5 在区间 [?2,1] 上没有正的函数值, f (2) 的取值范围是 16. 当 k (k ? R) 如何取值时,函数 f ( x) ? (1 ? k ) x ?

m ? 2(m ? 0) 存在零点,并求零点。 x

17. 设函数 f ( x) ? x2 ?1 ,对任意 x ? ? , ?? ? , f ? 恒成立,则实数 m 的取值范围是 .

?2 ?3

? ?

?x? 2 ? ? 4m f ( x) ? f ( x ? 1) ? 4 f (m) ?m?

18. 已知 f ( x) ? m( x ? 2m)(x ? m ? 3) , g ( x) ? 2x ? 2 ,若同时满足条件:① ?x ? R ,

f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 ;② ? x ?( -∞,-4), f ( x) g ( x) ? 0 ,则 m 的取值范围是_______。
19. 已知函数 f(x)=x2,g(x)=x-1. (1)若存在 x∈ R 使 f(x)<b· g(x),求实数 b 的取值范围; (2)设 F(x)=f(x)-mg(x)+1-m-m2,且|F(x)|在[0,1]上单调递增,求实数 m 的取值范围. 变式:已知函数 f ( x) ? x ? mx ? m ?1.
2

(1) 若函数 y ?| f ( x) | 在区间 [2, 4] 上是单调的,求实数 m 的取值范围; (2) 关于 x 的不等式 a ? f ( x) ? b 的解集为 {x | a ? x ? b} (其中 a , b 为整数,且 a ? b ) , 试求 a , b 的值. 20. (2010 年东北三省模拟)函数 f(x)=|4x-x2|-a 恰有三个零点,则 a=__________. 21. (2009 年高考江苏卷)设 a 为实数,函数 f(x)=2x2+(x-a)· |x-a| (1) 若 f(0)≥1,求 a 的取值范围;(2)求 f(x)的最小值; (3) 设函数 h(x)=f(x),x∈ (a,+∞),直接写出(不需给出步骤)不等式 h(x)≥1 的解集. 22. (2009 年高考江西卷改编)设函数 f(x)= ax2+bx+c(a<0)的定义域为 D,若所有点(s, f(t))(s,t∈ D)构成一个正方形区域,则 a 的值为__________. 23. 设函数 f(x)=x|x|+bx+c,给出下列四个命题:① c=0 时,f(x)是奇函数;② b=0, c>0 时,方程 f(x)=0 只有一个实根;③ f(x)的图象关于(0,c)对称;④ 方程 f(x)=0 至多

有两个实根.其中正确的命题是__________. 24. (2010 年湖南长沙质检)对于区间[a,b]上有意义的两个函数 f(x)与 g(x),如果对于区间 [a,b]中的任意数 x 均有|f(x)-g(x)|≤1,则称函数 f(x)与 g(x)在区间[a,b]上是密切函数,[a, b]称为密切区间.若 m(x)=x2-3x+4 与 n(x)=2x-3 在某个区间上是“密切函数”,则它的 一个密切区间可能是________. ① [3,4] ② [2,4]
2

③ [2,3] ④ [1,4]

25. 设函数 f(x)=x +2bx+c(c<b<1),f(1)=0,方程 f(x)+1=0 有实根. (1) 证明:-3<c≤-1 且 b≥0; (2) 若 m 是方程 f(x)+1=0 的一个实根,判断 f(m-4)的正负并加以证明. a 26. (2010 年安徽合肥模拟)设函数 f(x)=ax2+bx+c,且 f(1)=- ,3a>2c>2b,求证: 2 b 3 (1) a>0 且-3< <- ; a 4 (2) 函数 f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点; (3) 设 x1、x2 是函数 f(x)的两个零点,则 2≤|x1-x2|< 57 . 4

27. 已知函数 f(x)=ax2+4x+b(a<0,a、b∈ R),设关于 x 的方程 f(x)=0 的两实根为 x1、x2, 方程 f(x)=x 的两实根为 α、β. (1) 若|α-β|=1,求 a、b 的关系式; (2) 若 a、b 均为负整数,且|α-β|=1,求 f(x)的解析式; (3) 若 α<1<β<2,求证:(x1+1)(x2+1)<7. 28. 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? a 2 , g ( x) ? ? x 2 ? 2(a ?1) x ? a 2 ? 2 ,设 H1 ( x) ? max

? f ( x), g ( x)?, H 2 ( x) ? min? f ( x), g ( x)?, ?max?p, q?? 表示 p, q 中的较大值, min ? p, q? 表示
p, q 中的较小值,记 H1 ? x ? 的最小值为 A , H 2 ? x ? 的最大值为 B ,则 A ? B =
29. 设 x ? 0 , y ? 0 且 x ? 2 y ? 1 ,则 2 x ? 3 y 的最小值为
2

.- 4



30. 已知函数 f(x)=x2+ax+b 的值域为[4,+??,若关于 x 的不等式 f(x)<c 的解集为(m,m+6),则实 数 c 的值为 31. 对于区间 [ a, b] ,若函数 f ( x ) 同时满足下列两个条件:①函数 f ( x ) 在 [ a, b] 上是单调 函数; ②函数 f ( x ) 当定义域为 [ a, b] 时, 值域也为 [ a, b] , 则称区间 [ a, b] 为函数 f ( x ) 的“保

值区间”. (1)写出函数 y ? x2 的保值区间; (2) 函数 y ? x2 ? m(m ? 0) 是否存在保值区间?若存在, 求出相应的实数 m 的取值范围; 若不存在,试说明理由. 解: (1) ?0,1? (2)由题易得: ? a, b? ? ? ??,0? , 或者 ?a, b? ? ?0, +?? (i)当 ?a, b? ? ?0, +?? 时,此时 ?

? f (a) ? a 2 ,则可将 a , b 视为方程 x ? x ? m ? 0 的两个 f ( b ) ? b ?

非负实数根,则 ?

?1 ? 4m ? 0 ? 1? ? m ? ? 0, ? ; ? 4? ?m ? 0
2 ? f (b) ? a ? ?b ? m ? a ?? 2 ? a ? b ? ?1 a ? m ? b ? f (a) ? b ? ?

(ii)当 ? a, b? ? ? ??,0? 时, ?

??m ? b 2 ? b ? 1 ? ? 可将问题转化为方程 ?m ? x2 ? x ? 1 有两个非负实数解 ? 2 ? ??m ? a ? a ? 1
数形结合可得 m ? ?-1 , - ? ,综上: m ? ?-1, - ?

? ?

3? 4?

? ?

3? ? 1? ? 0, ? 4? ? 4?

变式 1:若函数 g ( x) ?

1 ? 1 , 是否存在形如 ? a, b? (a ? b) 的保值区间?若存在,求出该区 x

间,若不存在,请说明理由. 先进行局部缩小 a ? 0 不存在; 1 ? a ? b 不成立 不存在 变式 2:若函数 g ( x) ?

1 ? 1 , 若存在实数 a, b(a ? b) ,使得函数 g ( x) 的定义域为 ? a, b? , x ? 1? ? 0, ? ? 4?

值域为 ?ma, mb? (m ? 0) ,求实数 m 的取值范围.

2 32. 已知函数 g ( x) ? ax ? 2ax ? 1 ? b (a ? 0) 在区间 [2 , 3] 上有最大值 4 和最小值1 . 设

f ( x) ?

g ( x) . x

(1)求 a 、 b 的值; (2)若不等式 f (2 x ) ? k ? 2 x ? 0 在 x ? [?1 , 1] 上有解,求实数 k 的取值范围; (3)若 f | 2 x ? 1 | ? k ?

?

?

2 ? 3k ? 0 有三个不同的实数解,求实数 k 的取值范围. | 2 ?1|
x

解: (1) g ( x) ? a( x ? 1) 2 ? 1 ? b ? a , 因为 a ? 0 ,所以 g ( x) 在区间 [2 , 3] 上是增函数,故 ?

?a ? 1 ? g (2) ? 1 ,解得 ? . ?b ? 0 ? g (3) ? 4

1 ?2, x 1 x x 所以 f (2 x ) ? k ? 2 x ? 0 可化为 2 ? x ? 2 ? k ? 2 , 2
(2)由已知可得 f ( x) ? x ?

1 1 ?1 ? ? 1 ? 2 化为 1 ? ? x ? ? 2 ? x ? k , 令t ? x , 则 k ? t ? 2t ? 1 , 因 x ? [?1 , 1] , 故 t ? ? , 2? , 2 2 ?2 ? ?2 ?
2 记 h(t ) ? t ? 2t ? 1 ,因为 t ? ?

2

?1 ? , 1 ,故 h(t ) max ? 1, ?2 ? ?

所以 k 的取值范围是 (?? , 1] . (3)原方程可化为 | 2 ? 1 | ?(3k ? 2)? | 2 ? 1 | ?(2k ? 1) ? 0 ,
x 2 x

令 | 2 ? 1 |? t , 则 t ? (0 , ? ?) ,t ? (3k ? 2)t ? (2k ? 1) ? 0 有两个不同的实数解 t1 ,t 2 ,
x 2

其中 0 ? t1 ? 1, t 2 ? 1 ,或 0 ? t1 ? 1 , t 2 ? 1 . 记 h(t ) ? t ? (3k ? 2)t ? (2k ? 1) ,则 ?
2

?2k ? 1 ? 0 ① ?h(1) ? ?k ? 0

? ?2 k ? 1 ? 0 ? 或 ?h(1) ? ? k ? 0 ? 3k ? 2 ?0 ? ?1 2 ?



解不等组①,得 k ? 0 ,而不等式组②无实数解.所以实数 k 的取值范围是 (0 , ? ?) . 33. 已知函数 f ( x) ? ax2 ? 2x ? 4a ? 3 . (1)求证:函数 y = f(x) 的图象恒过两个定点. (2)若 y = f(x)在(1,3)内有零点,求 a 的取值范围. (1)设 y ? ax 2 ? 2x ? 4a ? 3 ,即 y ? a( x2 ? 4) ? 2 x ? 3 . 令 x2 = 4,得 x = ?2 或 2. 则函数 y = f(x) 的图象恒过定点(?2,7) , (2,?1) . (2)∵f(?2) = 7 > 0,f(2) = ?1 < 0, ∴y = f(x)在(?2,2)内有零点. 1)若 a > 0,抛物线开口向上,y = f(x)在(1,3)内有零点, 当且仅当 f(1) > 0,或 f(3) > 0. 则 f (1) ? a ? 2 ? 4a ? 3 ? ?3a ? 1 ? 0 , 或 f (3) ? 9a ? 6 ? 4a ? 3 ? 5a ? 3 ? 0 .

1 3 ∴0 < a ? ,或 a ? . 3 5
2)若 a < 0,抛物线开口向下,y = f(x)在(1,3)内有零点, 当且仅当 f(1) > 0.即 f (1) ? a ? 2 ? 4a ? 3 ? ?3a ? 1 ? 0 .

1 ∴ a ? ,结合 a < 0,得 a < 0. 3
3)若 a = 0,y = f(x)的零点为

3 ,在(1,3)内. 2

1 3 综合 1) ,2) ,3) ,得 a 的取值范围为(?∞, )∪( ,?∞) . 3 5
34. 已知二次函数的图像顶点为 A(1, -4) ,且图像在 x 轴上截得的线段长度为 4,求二次函

数的解析式. 拓展:若将图像的顶点坐标改为 A(m, -4)(m ? R) ,其他条件不变,二次函数的开口方向 和大小是否会发生变化?并说明理由. 变式 1:已知 f ( x) ? 2x2 ? ax ? 2, 若 f (1) ? f (3), 则实数 a 的值为____________
2

-8

变式 2:已知 f ( x) ? 2x ? ax ? 2013, 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ), 则 f ( x1 ? x2 ) ? ______ 2013 由对称轴可得 f ( x1 ? x2 ) ? f (0) ? 2013 变式 3: 已知函数 f ( x) ? 2 x2 ? ax ? 1, 若存在 t ? ?0,3? , 使得 f (?t 2 ?1) ? f (2t) , 则实数 a 的取值范围是__________ 由对称性可转化为 ?t ? 1 ? 2t ?
2

a 在 t ??0,3? 上有解. 2

35. 函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? b,(a, b ? R) 的值域为 ? 0, +? ? ,若关于 x 的不等式 f ( x) ? c 的 解集为 ? m, m ? 6? ,则实数 c 的值为________ 9 优化:直接转化为 f ( x) ? ( x ? a) ,图像的左右平移不影响水平弦长的大小,直接得结论
2

变式:函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b,(a, b ? R) 的值域为 ? 2, +?? ,若关于 x 的方程 f ( x) ? c 的 解集为 ?m ?1, m ? 3? ,求实数 c 的值. 6

36. 对于定义域为 D 的函数 y ? f ( x) ,若同时满足下列条件:① f ( x) 在 D 内单调递增或 单调递减;②存在区间[ a , b ] ? D ,使 f ( x) 在[ a , b ]上的值域为[ a , b ];那么把 y ? f ( x) ( x ? D )叫闭函数. (1)求闭函数 y ? ? x 符合条件②的区间[ a , b ]; ? -1,1?
3

(2)判断函数 f ( x) ? (3)若函数 y ? k ?

3 1 x ? ( x ? 0) 是否为闭函数?并说明理由;不是,不符合条件 1 4 x

? 9 ? -2 x ? 2 是否为闭函数,求实数 k 的取值范围. ? - , ? 4 ? ?

2x x 37. 设 a 是实数,函数 f ( x ) ? e ? e ? a ( x ? R )

(1)求证:函数 f ( x ) 不是奇函数; (2)当 a ? 0 时,求满足不等式 f ( x) ? a2 的 x 的取值范围; (3)求函数 f ( x ) 的值域(用 a 表示). 38. 已知函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 5(a ? 1) ,若 f ( x ) 的定义域和值域均为 ?1, a ? ,实数 a 的 值为________ 2 39. 已知函数 f ( x) ? (m ? 3) x 2 ? 9 x 在区间 ?1, 2? 上的最大值为 4,则实数 m 的值为___ -2 9. 图像的平移与变换 1. 函数 f ( x) 在区间 (?2,3) 上是增函数,那么 f ( x ? 5) ? 1 的单调递增区间是 2. 若函数 y ? f ( x ? 2) 是偶函数,则 y ? f ( x) 的对称轴方程为 3. 已知 f ( x) 的图象恒过 (1,1) 点,则 f ( x ? 4) 的图象恒过 . ___

2 4. 已知 t 为常数,函数 y ? x ? 2 x ? t 在区间[0,3]上的最大值为 2,则 t ?

5. 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上是增函数若 方程 f(x)=m(m>0)在区间 ? ?8,8? 上有四个不同的根 x1 , x2 , x3 , x4 ,则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? .

6. f ( x) 为偶函数,且在区间 ?0,??? 上为增函数,且 f (4) ? 0, 则xf ?x ? ? 0的解集为_

10. 双最值问题 (1)若定义运算 a ? b ? ?

?b, a ? b , 则函数 f ( x) ? x ? (2 ? x) 的值域是 __________ ?a, a ? b ?b, a ? b , 则函数 f ( x) ? 3x ? 3? x 的值域是 __________ ?a, a ? b

变式 1:定义运算 a ? b ? ?

变式 2: (09 宁夏)用 min ?a, b, c? 表示三个数中的最小值,设

f ( x) ? min ?2 x , x ? 2,10 ? x? ( x ? 0) ,则 f ( x) 的最大值为____________

11. 函数型不等式问题 1. 函数 f ( x) ? ? 2.
2 ? ? x ? 2 x, x ? 0 ,若 f (2 ? a 2 ) ? f (a) ,实数 a 的取值范围为________ 2 ? ?2 x ? x , x ? 0

12. 复合函数问题 1. 已知 f ( x) ? ?

, ?1 ? x ? 1 ?1 ,方程 f [ f ( x)] ? 1 的解集为_____________ ?2 x ? 3 , x ? ?1或x ? 1

变式:设函数 f ( x) ? ?
2

?2 x ( x ? 0) ?log 2 x( x ? 0)

,函数 y ? f [ f ( x)] ? 1 的零点个数为__________2

2. 函数 f ( x) ? x ? x ? q , B ? x f ( f ( x)) ? 0, x ? R . 若 B 为单元素集,试求 q 的值.
2 变式 1:函数 f ( x) ? x ? x ? q , B ? x f ( f ( x )) ? x, x ? R . 若 B 为单元素集,试求 q

?

?

?

?

的值. 变式 2: (2008 年上海交大自主招生)已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) ,且 f ( x) ? x 没有实数根, f ( f ( x)) ? x 是否有实数根?并证明你的结论. 变式 3: (2009 年上海交大自主招生)定义函数的不动点,当 f ( x0 ) ? x0 时,我们称 x0 为 函数 f ( x ) 的不动点,若 f ( f ( x)) 有唯一不动点,则 f ( x ) 也有唯一不动点. 变式 4:对于函数 f ( x ) ,若 f ( x) ? x ,则称 x 为 f ( x ) 的“不动点”;若 f ( f ? x ?) ? x ,则 称 x 为 f ( x ) 的 “ 稳 定 点 ”. 函 数 的 “ 不 动 点 ” 和 “ 稳 定 点 ” 的 集 合 分 别 记 为 A 和 B , 即

A ? ? x | f ? x ? ? x? , B ? x | f ? f ? x ? ? ? x .
(Ⅰ)求证: A ? B ; (Ⅱ)若 f ? x ? ? ax2 ? 1? a ? R, x ? R ? ,且 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)若 f ( x ) 是 R 上的单调递增函数, x0 是函数的稳定点,问 x0 是函数的不动点吗? 若是,请证明你的结论;若不是,请说明的理由. 解: (Ⅰ)若 A ? ? ,则 A ? B 显然成立;若 A ? ? ,设 t ? A ,

?

?

f ? t ? ? t , f ? f ? t ? ? ? f ? t ? ? t ,? t ? B ,故 A ? B .
(Ⅱ)

A ? ?,? ax2 ? 1 ? x 有实根,? a ? ?
3 4 2 2

2 1 2 .又 A ? B ,所以 a ? ax ? 1? ? 1 ? x , 4
2

即 a x ? 2a x ? x ? a ? 1 ? 0 的左边有因式 ax ? x ? 1 , 从而有 ax 2 ? x ? 1 a 2 x 2 ? ax ? a ? 1 ? 0 .

?

??

?

A ? B ,? a 2 x2 ? ax ? a ? 1 ? 0 要么没有实根,要么实根是方程 ax 2 ? x ? 1 ? 0 的根.
若 a x ? ax ? a ? 1 ? 0 没有实根,则 a ?
2 2
2 2

3 ; 4
2 2

若 a x ? ax ? a ? 1 ? 0 有实根且实根是方程 ax ? x ? 1 ? 0 的根, 则由方 ax ? x ? 1 ? 0 ,
2 2 2 2 得 a x ? ax ? a ,代入 a x ? ax ? a ? 1 ? 0 ,有 2ax ? 1 ? 0 .由此解得 x ? ?

1 , 2a

再代入得

3 1 1 ? 1 3? ? ? 1 ? 0 ,由此 a ? ,故 a 的取值范围是 ? ? , ? . 4 4a 2a ? 4 4?

(Ⅲ)由题意:x0 是函数的稳定点, 则 f ( f ( x0 )) ? x0 , ① 若 f ( x0 ) ? x0 , f ( x) 是 R 上的单调增函数, 则 f ( f ( x0 )) ? f ( x0 ) ,所以 x0 ? f ( x0 ) ,矛盾. ② 若 x0 ? f ( x0 ) ,f ( x) 是 R 上的单调增函数, 则 f ( x0 ) ? f ( f ( x0 )) , 所以 f ( x0 ) ? x0 ,

矛盾

故 f ( x0 ) ? x0 ,

所以 x0 是函数的不动点.

? 1 ,x ?1 ? 3. 设定义在 R 上的函数 f ( x) ? ? x ? 1 , 若关于 x 的方程 f 2 ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 有 3 ?1, x ? 1 ?
个不同的实数解 x1 , x2 , x3 ,则 x1 +x2 +x3 = ______ 1 ? ?|x-1|, x≠1 变式: (2010 年浙江省宁波市十校高三联考)定义域为 R 的函数 f(x)=? 若关 ?1, x=1 ? 1 于 x 的函数 h(x)=f2(x)+bf(x)+ 有 5 个不同的零点 x1,x2,x3,x4,x5,则 x12+x22+x32+ 2 x42+x52 等于________. 4. 已知函数 y ? f ( x)和y ? g ( x)在[?2,2] 的图象如下所示:
y 2 y 2

1
?2 ?1

1

?2 2

1
?1

O
?1 ?2

x

O

2

x

给出下列四个命题:

y ? f ( x)

?2 y ? g ( x)

① 方程 g[ g ( x)] ? 0 有且仅有 3 个根 ③ 方程 f [ f ( x)] ? 0 有且仅有 5 个根 其中正确的命题的序号是 .

② 方程 g[ f ( x)] ? 0 有且仅有 4 个根 ④ 方程 f [ g ( x)] ? 0 有且仅有 6 个根

13. 函数的表示方法 1. 已知 f ( x )是一次函数,且满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 17 ,则 f ( x) =
2 2. 已知 f ( x ? 1) ? x ? 2x ,则 f ( x) =

.

3. 一天清晨,某同学生病了,体温上升,吃过药后感觉好多了,中午时他的体温基本正

常,但是下午他的体温又开始上升,直到半夜才感觉身上不那么发烫了。下面大致上能反 映出该同学这一天(0 时—24 时)体温的变化情况的图是_____________
体温(℃) 体温(℃) 体温(℃) 体温(℃)

37

37

37

37

0

6

12 18 24



0

6

12 18 24



0

6

12 18 24



0

6

12 18 24



A.

B.

C.

D.

4. 某同学家门前有一笔直公路直通长城,星期天,他骑自行车匀速前往旅游,他先前进了 akm,觉得有点累,就休息了一段时间,想想路途遥远,有些泄气,就沿原路返回骑了 bkm(b<a), 当他记起诗句“不到长城非好汉” ,便调转车头继续前进. 则该同学离起点 的距离 s 与时间 t 的函数关系的图象大致为( s s s ) . s

O A

t

O B

t

O C

t

O D

t

5. 动点 P 从边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A 出发顺次 经过 B、C、D 再回到 A,设 x 表示 P 点的行程,f(x)表示 PA 的长,g(x)表示△ ABP 的面积. (1)求 f(x)的表达式; (2)求 g(x)的表达式并作出 g(x)的简图. 6. 已知函数 f ( x ) ? 图象大致为_____ y y y y

2x ? k ? 2 2 2 在(-3,-2) 上是增函数,则二次函数 y ? 2kx ? 4x ? k 的 x ?1

1 -1 O A 1 x -1

1 O B 1 x -1

1 O C 1 x -1

1 O D 1 x

?1, x ? 0 ? 2 7. 设函数 f ( x) ? ?0, x ? 0 , g ( x) ? x f ( x ? 1), 则函数 g(x)的递减区间为______ ?? 1, x ? 0 ?
8. 向高为 H 的水瓶中注水,注满为止。如果注水量 V 与水深 h 的函数关系式如图所示, 那么水瓶的形状是( )

O

H

h

9. (2009 年高考安徽卷改编)设 a<b,函数 y=(x-a)2(x-b)的图象可能是__________.

10. (2010 年合肥市高三质检)函数 f(x)=ln

1-x 的图象只可能是__________. 1+x

11. 家电下乡政策是应对金融危机、积极扩大内需的重要举措.我市某家电制造集团为尽 快实现家电下乡提出四种运输方案,据预测,这四种方案均能在规定时间 T 内完成预期的

运输任务 Q0,各种方案的运输总量 Q 与时间 t 的函数关系如下图所示.在这四种方案中, 运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是

12. 作下列函数的图象: 1-|x| 1 (1) y= ; (2) y=|x-2|(x+1); (3) y= ; (4) y=|log2x-1|; (5) y=2|x-1|. |x|-1 |1-x| 13. 如图, 直线 l 与圆 C, 当 l 从 l 0 开始在平面上绕点 0 逆时针方向匀速旋转时(旋转角度 不超过 90 ? ) ,它所扫过的圆内阴影部分面积 S 是时间 t 的函数,它的大致图象是 C .

l

0 S

l0
S S S

0 A.

t0

t

0

t0 B.

t

0 C.

t0

t

0 D.

t0

t

14. 含根式的无理函数问题 1. 已知函数 y= 1 ? x ? x ? 3 的最大值为 M ,最小值为 m ,则

m 的值为 M

2. 函数 f ( x) ? 2x ? 3 ? 13 ? 4x 的值域为_____ 3. 若函数 f ( x) ? x ? 13 ? 2mx (m ? N? ) 的最大值是正整数 M ,则 M = 4. 已知 a 为正的常数,若不等式 1 ? x ? 1 ? 大值为 _____ 7

x x2 ? 对一切非负实数 x 恒成立,则 a 的最 2 a

思考:你能给出本题的几种解法?本题的背景问题是什么? 【高等数学背景】 带佩亚诺余项的的泰勒展开式 1 ? x ? 1 ?

x x2 ? ? ? ( x) , 当 x ? ?? 2 8

时, ? ( x) ? 0 ,故 1 ? x ? 1 ?

x x2 ? 2 8

15. 应用题 1. 某企业为打入国际市场,决定从 A、B 两种产品中只 选择一种进行投资生产,已知投 .

项 目 类 别

年固定成本 20 40

每件产品成本 m 8

每件产品销售价 10 18

每年最多可生产的件数 200 120

A 产品 B 产品

资生产这两种产品的有关数据如下表:(单位:万美元) 其中年固定成本与年生产的件数无关,m 是待定常数, 其值由生产 A 产品的原材料决 定,预计 m ? [6,8] ,另外,年销售 x 件 B .产品时需上交 0.05 x 万美元的特别关税,假设
2

生产出来的产品都能在当年销售出去. (1)求该厂分别投资生产 A、B 两种产品的年利润 y1 , y2 与生产相应产品的件数 x 之间

的函数关系,并求出其定义域; (2)如何投资才可获得最大年利润?请设计相关方案. 解: (1)设年销售量为 x 件,按利润的计算公式,则生产 A, B 两产品的年利润 y1 , y2 分别为:

m x )? ( 1 ? 0 m x )? y1 ? 1 0 ?x ? ( 2 0?

0≤ x≤ 2 0 且 0 x ? N --------3 分 20

y2 ? 18 ? x ? (40 ? 8x) ? 0.05x2 ? ?0.05x2 ?10x ? 40
∴ y2 ? ?0.05( x ?100)2 ? 460 , 0 ≤ x ≤ 120 , x ? N --------------------------6 分 (2)

6 ≤ m ≤ 8 ,∴ 10 ? m ? 0 ,∴ y1 ? (10 ? m) x ? 20 为增函数,

又 0 ≤ x ≤ 200 且 x ? N ,∴ x ? 200 时,生产 A 产品有最大利润为

(10 ? m) ? 200 ? 20 ? 1980 ? 200m (万美元)--------------------------------------------8 分
又 y2 ? ?0.05( x ?100)2 ? 460 , 0 ≤ x ≤ 120 , x ? N ∴ x ? 100 时,生产 B 产品有最大利润为 460(万美元)----------------------------11 分 作差比较:

( y1 )max ? ( y2 )max ? 1980 ? 200m ?460 ? 1520 ? 200m .
令 1520 ? 200m ? 0 ? m ? 7.6 -----------------------------------------------------------13 分 所以:当 6 ≤ m ? 7.6 时,投资生产 A 产品 200 件可获得最大年利润; 当 m ? 7.6 时,生产 A 产品与生产 B 产品均可获得最大年利润; 当 7.6 ? m ≤ 8 时,投资生产 B 产品 100 件可获得最大年利润.---------- 16 分 2. 心理学研究表明, 学生在课堂上各时段的接受能力不同。 上课开始时, 学生的兴趣高昂, 接受能力渐强,随后有一段不太长的时间,学生的接受能力保持较理想的状态;渐渐地学 生的注意力开始分散,接受能力渐弱并趋于稳定.设上课开始 x 分钟时,学生的接受能力 为 f ( x ) ( f ( x ) 值越大,表示接受能力越强) , f ( x ) 与 x 的函数关系为:

?? 0.1x 2 ? 2.6 x ? 44,0 ? x ? 10 ? ,10 ? x ? 15 ?60 f ( x) ? ? ,15 ? x ? 25 ?? 3x ? 105 ? ,25 ? x ? 40 ?30
(1)开讲后多少分钟,学生的接受能力最强?能维持多少时间? (2)试比较开讲后 5 分钟、20 分钟、35 分钟,学生的接受能力的大小; (3)若一个数学难题,需要 56 的接受能力(即 f ( x) ? 56 )以及 12 分钟时间,老师能否及 时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题? 解:(Ⅰ) 由题意可知: 0 ? x ? 10

f ( x) ? ?0.1?x ? 13? ? 60.9
2

所以当 X=10 时, f ( x) 的最大值是 60, 又 10 ? x ? 15 , f ( x) =60 所以开讲后 10 分钟,学生的接受能力最强,并能维持 5 分钟. ………………5 分 (Ⅱ)由题意可知: f (5) ? 54.5, f (20) ? 45, f (35) ? 30 所以开讲后 5 分钟、20 分钟、35 分钟的学生的接受能力从大小依次是 开讲后 5 分钟、20 分钟、35 分钟的接受能力;………………………………8 分 (Ⅲ)由题意可知: 当 0 ? x ? 10 时, f ( x) 为增函数, f (6) ? 56 ,从而 6 ? x ? 10 时 f ( x) ? 56 ; 当 10 ? x ? 15

f ( x) =60>56,满足要求;

当 15 ? x ? 25 , ? 3 x ? 105 ? 56 解得: 15 ? x ? 16 因此接受能力 56 及以上的时间是 10

1 3

1 分钟,小于 12 分钟. 3

所以老师不能在所需的接受能力和时间状态下讲述完这个难题 . ………15 分 3. 某市居民自来水收费标准如下:当每户每月用水不超过 4 吨时,每吨为 1.8 元;当用 水超过 4 吨时,超过部分每吨 3 元. (1) 记单户水费为 y (单位:元) ,用水量为 x (单位:吨) ,写出 y 关于 x 的函数解析式; (2) 若甲、乙两户该月共交水费 26.4 元,甲、乙两户用水量值之比为 5:3,请分别求出甲

乙两户该月的用水量和水费.

4. 某租赁公司拥有汽车 100 辆,当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出,当每辆车 的月租金每增加 50 元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需维护费 150 元, 未租出的车每辆每月需要维护费 50 元. (1)当每辆车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少? 5. 某商场在店庆一周年开展“购物折上折活动”:商场内所有商品按标价的八折出售,折 后价格每满 500 元再减 100 元.如某商品标价为 1500 元,则购买该商品的实际付款额为 1500× 0.8-200=1000(元) .设购买某商品得到的实际折扣率= 为 x 元,购买该商品得到的实际折扣率为 y. (1)写出当 x∈?0,1000? 时,y 关于 x 的函数解析式,并求出购买标价为 1000 元商品得到 的实际折扣率; (2)对于标价在[2500,3500]的商品,顾 客购买标价为多少元的商品,可得到的实际折
2 ? 3 6. 有一个有进水管和出水管的容器,每单位时间

实际付款额 .设某商品标价 商品的标价

扣率低于

进水量是一定的,设从某时刻开始,5 分钟内只进 水,不出水,在随后的 15 分钟内既进水,又出水, 得到时间 x 与容器中的水量 y 之间关系如图. 再随 后, 只放水不进水, 水放完为止, 则这段时间内(即 x≥20),y 与 x 之间的函数关系是_______ 7. 在 2008 年 11 月 4 日珠海航展上,中国自主研制的 ARJ 21 支线客机备受关注,接到了 包括美国在内的多国订单.某工厂有 216 名工人接受了生产 1000 件该支线客机某零部件 的总任务,已知每件零件由 4 个 C 型装置和 3 个 H 型装置配套组成,每个工人每小时能 加工 6 个 C 型装置或 3 个 H 型装置.现将工人分成两组同时开始加工,每组分别加工一 种装置,设加工 C 型装置的工人有 x 位,他们加工完 C 型装置所需时间为 g(x),其余工人 加工完 H 型装置所需时间为 h(x).(单位:h,时间可不为整数)

(1)写出 g(x),h(x)的解析式; (2)写出这 216 名工人完成总任务的时间 f(x)的解析式; (3)应怎样分组,才能使完成总任务的时间最少?

8. (2009 年高考浙江卷)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价.该 地区的电网销售电价表如下: 高峰时间段用电价格表 高峰月用电量 (单位:千瓦时) 50 及以下的部分 超过 50 至 200 的部 分 超过 200 的部分 高峰电价 (单位: 元/千瓦 时) 0.568 0.598 0.668 低谷时间段用电价格表 低谷月用电量 (单位:千瓦时) 50 及以下的部分 超过 50 至 200 的部分 超过 200 的部分 低谷电价 (单位:元/千瓦 时) 0.288 0.318 0.388

若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为 200 千瓦时, 低谷时间段用电量为 100 千瓦时, 则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答). 9. 已知某企业原有员工 2000 人,每人每年可为企业创利润 3.5 万元.为应对国际金融危 机给企业带来的不利影响,该企业实施“优化重组,分流增效”的策略,分流出一部分员工 待岗.为维护生产稳定,该企业决定待岗人数不超过原有员工的 5%,并且每年给每位待 岗员工发放生活补贴 0.5 万元.据评估,若待岗员工人数为 x,则留岗员工每人每年可为 81 企业多创利润(1- )万元.为使企业年利润最大,应安排多少员工待岗? 100x 10. 销售甲乙两种商品所得利润分别是 P(单位:万元)和 Q(单位:万元),它们与投入资金 t(单 位:万元)的关系有经验公式 P ?

1 t , Q ? m t ,其中 0 ? m ? 1 .今将 10 万元资金投入经营 10

甲乙两种商品,其中对甲种商品投资 x(单位:万元). (Ⅰ)求总利润 y(单位:万元)关于 x 的函数; (Ⅱ)甲乙两种商品分别投资多少万元,才能使总利润 y(单位:万元)的最大,并求最大值. 解: (Ⅰ)由题意可知: 0 ? x ? 10 ?????1 分

1 1 x, Q ? m 10 ? x 得, y ? x ? m 10 ? x 10 10 1 x ? m 10 ? x ,0 ? x ? 10 。 ∴总利润 y 关于 x 的函数为 y ? 10
由P ? (Ⅱ)令 t ? 10 ? x ,0 ? x ? 10 ,则 x ? 10 ? t 2 ,0 ? t ? 10 ∴y?

?????3 分 ?????3 分

1 1 1 5m 2 (10 ? t 2 ) ? m t ? ? t 2 ? m t ? 1 ? ? (t ? 5m) 2 ? 1 ? 10 10 10 2

????3 分

5m 2 10 2 当 0 ? 5m ? 10 ,即 0 ? m ? 时, t ? 5m ,即 x ? 10 ? 25m ,y 取最大值 1 ? 2 5
当 5m ? 10 ,即

10 ? m ? 1 时, t ? 10 ,即 x ? 0 ,y 取最大值 10m 5

∴当 0 ? m ?

10 2 2 时,甲乙两种商品分别投资 10 ? 25m 万元, 25m 万元时,总利润最 5
5m 2 10 ? m ? 1 时,10 万元全部投乙种商品,总利润最大,且为 万元;当 2 5

大,且为 1 ?

10m 万元
11. 将长度为 1 的铁丝分成两段,分别围成一个正方形与一个圆形,当正方形与圆形的面 积和最小时,正方形的周长为 .
4 π? 4

12. 某上市股票在 30 天内每股的交易价格 p (元)与时间 t (天)组成有序数对 (t , p ) ,点

(t , p ) 落在图中的两条线段上.该股票在 30 天内(包括 30 天)的日交易量 Q (万股)与时间

t (天)的部分数据如下表所示:
第t 天 4 36 10 30 16 24 22 18

Q (万股)

(1)根据提供的图象,写出该种股票每股的交易价格 p (元)与时间 t (天)所满足的函数关 系式 (2)根据表中数据确定日交易量 Q (万股)与时间 t (天)的一次函数关系式; (3)用 y (万元)表示该股票日交易额,写出 y 关于 t 的函数关系式,并求出这 30 天中第

几天日交易额最大,最大值为多少?

13. 芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物,不仅可以美化居室、净化空气,又可美 容保健,因此深受人们欢迎,在国内占有很大的市场,某人准备进军芦荟市场,栽培芦荟, 为了了解行情,进行市场调研,从 4 月 1 日起,芦荟的种植成本 Q(单位为:元/10kg)与上 市时间 t(单位:元)的数据情况如下表: 时间/t 种植成本/Q 50 150 110 108 250 150

(1) 根据上表数据,从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本 Q 与上市时间 t 的变化 关系: Q=at+b,Q= at ? bt ? c ,Q= a ? b ,Q= a logb t ;
2 t

(2) 利用你选择的函数,求芦荟种植成本最低时上市天数及最低种植成本. 分析:要选择最能反映芦荟种植成本与上市时间之间的变化关系的函数式,应该分析各函 数的发展情况,通过研究这些函数的变化趋势与表格提供的数据是否相符来判断哪个函数 最优. 解:(1)由所提供的数据可知,反映芦荟种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系的函数不可 能是常值函数,故用函数 Q=at+b,Q= a ? b ,Q= a logb t 中的任意一个来反映时都应有
t

a ? 0 ,而上述三个函数均为单调函数,这与表格所提供的数据不符合,所以应选用二次
函数 Q= at ? bt ? c 进行描述.
2

将表格所提供的三组数据分别代入函数 Q= at ? bt ? c ,可得
2

?150 ? 2500a ? 50b ? c 1 3 425 ? ,b ? ? ,c ? ?108 ? 12100a ? 110b ? c ,解得 a ? 200 2 2 ?150 ? 62500a ? 250b ? c ?
所以,反映芦荟种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系的函数为 Q=

1 2 3 425 t ? t? . 200 2 2

3 2 ? 150 天时,芦荟种植成本价格最低为 (3) 由第(1)问,当 t ? ? 1 2? 200 1 3 425 1502 ? ? 150 ? ? 100 (元/10kg) Q= 200 2 2 ?
点评:合理的选择函数模型,应从实际出发,分析数据的发展情况,以寻求最优函数模型. 14. 如图,矩形 ABCD 中,AB=3,AD=2,一质点从 AB 边上的点 P0 出发,沿与 AB 的夹角 为 ? 的方向射到边 BC 上点 P1 后,依次反射(入射 角与反射角相等) 到边 CD, DA 和 AB 上的 P2,P3,P4 处. (1)若 P4 与 P0 重合,求 tan ? 的值; (2)若 P4 落在 A、 P0 两点之间, 且 AP0=2, 设 tan ? =t. (i)求 tan ? 的取值范围; (ii)将五边形 P0P1P2P3P4 的面积 S 表示为 t 的函数, 并求 S 的最大值. A D P2 C

P3 P1 P4 P0 B

16. 函数研究方法的再认识 1. 函数 f ( x ) ? 2 x ?

a 的定义域为 ( 0 , 1 ] ( a 为实数) (双曲线型函数) x

(Ⅰ)当 a ? ?1 时,求函数 y ? f ( x ) 的值域; (Ⅱ)若函数 y ? f ( x ) 在定义域上是减函数,求 a 的取值范围; (Ⅲ)求函数 y ? f ( x ) 在 x ? ( 0 , 1 ] 上的最大值及最小值,并求出函数取最值时 x 的值. 2. 函数 f ( x ) ? x ?

p 1 在 [ , ? ?) 上为增函数,则 p 的取值范围为 x 2

a 3.已知函数 f(x)=|ex+ x|(a∈ R)在区间[0,1]上单调递增,则实数 a 的取值范围是________. e

17. 抽象函数 1. 函数 y ? f ( x) 是定义在 (0, ??) 上的增函数, 并且满足 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,f (3) ? 1 . 若存在实数 m ,使得 f (m) ? 3, 则 m 的值为 2. 设函数 y ,对任意非零实数 x 1 、 x 2 满足 f , ? f ( x )( x ? R 且 x ? 0 ) ( x ) ? f ( x ) ? f ( x x ) 1 2 1 2 (1)求 f (1) ? f ( ?1) 的值; (2)判断函数 y?f(x )的奇偶性; (3)已知 y?f(x )在 (0,?? ) 上为增函数且 f(4)=1,解不等式 f (3x ? 1) ? f (2 x ? 6) ? 3 3. 已知函数 f ( x) 的定义域是 x ? 0 的一切实数,对于定义域内的任意 x1 , x 2 ,都有

f ( x1 x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,且当 x ? 1 时, f ( x) ? 0, 且f (2) ? 1 .
(1)求证: f ( x) 是偶函数 ; (2)证明: f ( x)在?0,??? 上是增函数; (3)解不等式 f (2x ? 1) ? 2 ;
2

4. (10,重庆) 函数 f ? x ? 满足:f ?1? ? 则 f ? 2010? =_____________.

1 , 4 f ? x ? f ? y ? ? f ? x ? y ? ? f ? x ? y ?? x, y ? R ? , 4

取 x=n y=1,有 f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理 f(n+1)=f(n+2)+f(n), 联立得 f(n+2)= —f(n-1) 所以 T=6 故 f ? 2010? =f(0)=

1 2

5. 函数 f ( x ) 的定义域为 R ,若 f ( x ? 1) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数,证明:函数是周期函数. 6. 若定义在 R 上的函数对任意的 x1, x2 ? R 都有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2成立,且 当 x ? 0 时, f ( x) ? ?2 . (1)求证: f ( x) ? 2 为奇函数;

(2)求证: f ( x ) 是 R 上的增函数; (3)若 f (1) ? ?1, f (log 2 m) ? 2 ,求 m 取值范围. 证明: (1)令 x1 ? x2 ? 0 ,则 f (0 ? 0) ? f (0) ? f (0) ? 2 ,即 f (0) ? ?2 ;---1 分 令 x1 ? x, x2 ? ? x ,则 f ( x) ? f (? x) ? 2 ? f (0) ? ?2 ,∴ ? f ( x) ? 2? ? ? f (?x) ? 2? ? 0 , ∴ f ( x) ? 2 为奇函数;------------------------------------------------------5 分 (2)任取 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,则 f ( x2 ? x1 ) ? f ( x2 ) ? f (? x1) ? 2 -------------7 分

f ( x) ? 2 为奇函数,∴ f (?x) ? 2 ? ?? f ( x) ? 2? -----------------------------8 分


f ( x2 ? x1) ? f ( x2 ) ? ? f ( x1) ? 2? ? f ( x2 ) ? f ( x1) ? 2 ------------------------9 分
x1 ? x2 ,∴ x2 ? x1 ? 0 ,∴ f ( x2 ? x1 ) ? 2 ? 0

? f ( x2 ) ? f ( x1) ? f ( x2 ? x1) ? 2 ,

∴ f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,∴ f ( x ) 是 R 上的增函数--------------------------------12 分 (3) f (1) ? ?1 ? f (2) ? 2 f (1) ? 2 ? 0 ? f (4) ? 2 f (2) ? 2 ? 2 ,--------------14 分 ∴ f (log2 m) ? 2 , ? f (log2 m) ? f (4) ;由(2) f ( x ) 是 R 上的增函数, ∴ log 2 m ? 4 ? 0 ? m ? 16 .------------------------------------------------16 分

18. 函数的综合应用 1. 对于任意实数 x,符号[x]表示 x 的整数部分,即[x]是不超过 x 的最大整数.函数[ x ]叫 做“取整函数”,那么 ?log3 1? ? ?log3 2? ? ?log3 3? ? ?log3 4? ? ??? ? ?log3 243? ? 变式:设 [ x] 表示不超过 x 的最大整数,则不等式 [ x]2 ? 5[ x] ? 6 ≤ 0 的解集为 . .

19. 数形结合问题

1. 已知函数 f ( x) ? x2 ? mx ? m ?1. ,若 y ?| f ( x) | 在区间 [2, 4] 上单调,则实数 m 的取 值范围为___________ 2. 若函数 f ( x) ?

| x| ? ax 2 , a ? R 有三个不同的零点,则实数 a 的取值的集合为 x?2
3x ? ax 有三个零点,则实数 a 的取值范围是 x ?1
2

变式:已知函数 y ?



. (0,3)

3. 已知函数 f ( x) ? ?

?2? x ? 1, x ? 0, ? f ( x ? 1), x ? 0.

,若方程 f ( x) ? x ? a 有且只有两个不相等的实数

根,则实数 a 的取值范围是_____________ 变式: 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数, 且对任意的 x ? R , 都有 f ( x ? 2) ? f ( x) , 当 0 ? x ? 1 时,f ( x)=x 2 . 若直线 y ? x ? a 与函数 y ? f ( x) 的图像在 ? 0, 2? 内恰有两个不 同的公共点,则实数 a 的值为____________ 4. 已知函数 y=f(x)(x∈ R)满足 f(x+2)=f(x), 且 x∈ (-1,1]时, f(x)=|x|, 则 y=f(x)与 y=log7x 的交点的个数为_________ 5. 如图,过原点 O 的直线与函数 y=2x 的图象交于 A,B 两点,过 B 作 y 轴的垂线交函数 y=4x 的图象于点 C,若 AC 平行于 y 轴,则点 A 的坐标是__________.

2 6. 若关于 x 的方程 x ? a =2 有且只有两个实数根,则实数 a 的取值范围是__________

2 变式: 设函数 f ( x ) ? x ? 1 , 若 a ? b ? 0, 且 f (a) ? f (b) , 则a ?

2

1 的取值范围是_____ b2

7. 已知函数 f ( x) ?

x ( x ? ? ?1,1?) ,有下列结论: 1? x

(1) ?x ? (?1,1) ,等式 f (? x) ? f ( x) ? 0 恒成立; (2) ?m ??0, ??? ,方程 f ( x) ? m 有两个不等实数根; (3) ?x1, x2 ? ? ?1,1? ,若 x1 ? x2 ,则一定有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; (4)存在无数多个实数 k ,使得函数 g ( x) ? f ( x) ? kx 在 (?1,1) 上有三个零点 则其中正确结论的序号为___________ 1,2,4 8. 若方程 x 4 +ax ? 9=0的各个实根x1 ,x2 ,...,xk (k ? 4)所对应的点 ? xi ,

? ?

9? ? (i =1,2, ???,k ) 均在 xi ?

直线 y=x 的同侧,则实数 a 的取值范围是 解析: x ? a ?
3

. a ? ?24或a ? 24

9 ,图像平移得解 x


9. 设方程 | ax ? 1| ? x 的解集为 A,若 A ? ? [0,2],则实数 a 的取值范围是 (?∞,?1]∪[?

1 3 ,1]∪[ ,?∞) 代数几何两个角度 2 2

10. 给出定义:若 m ?

1 1 ? x ≤ m ? (其中 m 为整数) ,则 m 叫做离实数 x 最近的整数, 2 2

记作 ?x? ? m .在此基础上给出下列关于函数 f ( x) ? x ? ? x? 的四个命题: ① 函数 y ? f ( x) 的定义域为 R ,值域为 [0, ] ; ② 函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? k (k ? Z) 对称; ③ 函数 y ? f ( x) 是周期函数,最小正周期为 1 ; ④ 函数 y ? f ( x) 在 [ ? , ] 上是增函数.其中正确命题的序号是

1 2

1 1 2 2

.①② ③

11. 已知函数错误!未找到引用源。

(1)判断函数错误!未找到引用源。的对称性和奇偶性; (2)当错误!未找到引用源。时,求使错误!未找到引用源。成立的错误!未找到引用 源。的集合; (3)若错误!未找到引用源。 ,记错误!未找到引用源。 ,且错误!未找到引用源。在错 误!未找到引用源。有最大值,求错误!未找到引用源。的取值范 围. ? 0,1? 变式:已知函数 f ( x) ? 2 x ? 2 ? ax ( x ? R) 有最小值,则实常数 a 的取值范围是 变式:函数 f ( x) ? x ? a x ? 1 在 ?0,??? 上有最大值,则实数 a 的取值范围是______

20. 结构问题 1. 已知函数 f ( x) ?

x x ?1 x ? 2 x ? 3 5 5 ,则 f (? ? 2) ? f (? ? 2) ? ? ? ? x ?1 x ? 2 x ? 3 x ? 4 2 2



类题比较:若 f ( x) ?

1 2 9 ,则 f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ) ? _____ ( a ? 1 ) 10 10 10 ax ? a

ax

(1)联想高斯的倒序求和?为什么会用倒序求和而不是奇偶分析?能否给出图形证明? (2)简化问题的意识有待加强!先化简,后运算! (3)倒序求和法的典例:
0 1 2 Sn ? Cn ? 2Cn ? 3Cn n n?1 Sn ? (n ?1)Cn ? nCn n?1 n , ? nCn ? (n ? 1)Cn 2 1 0 ? 3Cn ? 2Cn ? Cn n?1 n ? Cn ? Cn )

k n ?k 0 1 2 考虑到 Cn ,将以上两式相加得: 2Sn ? (n ? 2)(Cn ? Cn ? Cn ? Cn

所以 Sn ? (n ? 2)2n?1 已知 (1 ? x ) 展开式的各项依次记为 a1 ( x), a2 ( x), a3 ( x), 思考: 2
n

1

an ( x), an?1 ( x) .

设 F ( x) ? a1 ( x) ? 2a2 ( x) ? 3a3 ( x),

? nan ( x) ? (n ?1)an?1( x) .

求证:对任意 x1 , x2 ?[0, 2] ,恒有 | F ( x1 ) ? F ( x2 ) |? 2n?1 (n ? 2) ?1 .

F ( x) ? a1 ( x) ? 2a2 ( x) ? 3a3 ( x),
0 1 1 2 1 ? Cn ? 2Cn ( x) ? 3Cn ( x) 2 2 2

? nan ( x) ? (n ?1)an?1( x)
n ?1 1 n 1 ? nCn ( x) n ?1 ? (n ? 1)Cn ( x) n 2 2

0 1 2 F (2) ? Cn ? 2Cn ? 3Cn 0 1 2 设 Sn ? Cn ? 2Cn ? 3Cn n n?1 则 Sn ? (n ? 1)Cn ? nCn

n?1 n ? nCn ? (n ?1)Cn n?1 n , ? nCn ? (n ? 1)Cn 2 1 0 ? 3Cn ? 2Cn ? Cn n?1 n ? Cn ? Cn )

k n ?k 0 1 2 考虑到 Cn ,将以上两式相加得: 2Sn ? (n ? 2)(Cn ? Cn ? Cn ? Cn

所以 Sn ? (n ? 2)2n?1 又当 x ? [0, 2] 时, F '( x) ? 0 恒成立,从而 F ( x) 是 [0, 2] 上的单调递 增函数,所以对任意 x1 , x2 ?[0, 2] , | F ( x1 ) ? F ( x2 ) |? F (2) ? F (0) ? (n ? 2)2n?1 ?1 . 2. 求 F (a, b) ? (a ? b) ? (e ? eb ? b) 的最小值为_________(注重对结构的认知)
2 a 2

3. 已知 a, b ? R 满足 (a ? 1 ? a 2 )(b ? 1 ? b2 ) ? 1, 则 a ? b 的最大值为________ 4. 设 x , y 为实数,且满足关系式 ?
3 ? ( x ? 1) ? ?1 ?( x ? 1) ? 2011 3 ? ( y ? 1) ? 1 ?( y ? 1) ? 2011

,则 x ? y ? ____

? x 3 ? sin x ? 2a ? 0, ? ? ? ?? 5. 已知 x, y ? ? ? , ? , a ? R ,且 ? 3 1 则 cos( x ? 2 y) 的值 ? 4 4? ? 4 y ? sin 2 y ? a ? 0, ? 2

1

? 3x ? y ? 0 ? 3x ? y ? 6. 已知点 P( x, y ) 的坐标满足 ? x ? 3 y ? 2 ? 0 ,则 的取值范围为 2 2 x ? y ?y ? 0 ? ?
(多元分式函数的最值问题;向量的夹角余弦值模型)


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