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福建省莆田市2011-2012学年高二数学上学期期中考试 理 新人教A版


莆田二中 2011-2012 学年高二数学第五学段考试卷(理科)
考试时间:150 分钟 一、选择题(共 10 题,每题 5 分) 1、若 a>b>c ,则一定成立的不等式是( ) A. a c >b c B. ab>ac
3 2

满分 150 分

C. a ? c >b ? c )

D. > >

1 a

1 b

1 c

≤ 2、命题“对任意的 x ? R,x ? x ? 1 0 ”的否定是(
A.不存在 x ? R,  x3 ? x2 ? 1 0 ≤ C.存在 x ? R,  x3 ? x2 ? 1 0 >

B.存在 x ? R,  x3 ? x2 ? 1 0 ≤ D.对任意的 x ? R,  x3 ? x2 ? 1 0 >

3、在△ABC 中,边 a、b、c 所对的角分别为 A、B、C,且 的形状为( ) A.等边三角形 C.等腰直角三角形

sin A cos B cos C ? ? ,则△ABC a b c

B.有一个角为 30°的直角三角形 D.在一个角为 30°的等腰三角形 )

x2 y 2 ? 1,F1 , F2 为其焦点, P 在椭圆 C 上, 4、 已知椭圆 C: ? 点 则△PF1F2 的周长为 ( 4 3
A.2 B.4 C.6 D.8

5、已知 ?an ? 为等差数列, a1 ? a3 ? a5 ? 105,a2 ? a4 ? a6 ? 99, 以 Sn 表示 ?an ? 的前 n 项和,则使 Sn 达到最大值的 n 是( A.21
x

) D.18

B.20

C.19

2 ?1? lg( lg( 6、命题甲: ? ? , 21? x,2x 成等比数列;命题乙: lg x,  x ? 1),   x ? 3) 成等差数 ?2?

列,则甲是乙的( A.充分不必要条件 C.充要条件 7、双曲线

) B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 )

x2 y 2 ? ? 1 的焦点到渐近线的距离为( 4 12
B.2 C. 3

A.2 3

D.1

8、在数列 ?an ? 中, a1 ? 2,  an ?1 ? an ? ln(1 ? ) ,则 an ? ( A. 2 ? ln n C. 2 ? n ln n
2

1 n



B. 2 ? (n ? 1) ln n D. 1 ? n ? ln n

9、 “方程 x ? 2 x ? c ? 0 的两根分别为其一椭圆与某一双曲线的离心率”的一个充分不必要
1

条件为( A. c ? (0,1)

) B. c ?

1 2

C. c ? [0,1]

D. c ? (0,1]

?3 x ? y ? 6≤0 ? 10、设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2≥0 ,若目标函数 Z ? ax ? by(a>0,b>0) 的最大值 ? x≥0,y≥0 ?
为 12,则 A.

25 6

2 3 ? 的最小值为( a b 8 B. 3

) C.

11 3

D.4

二、填空题(共 5 题,每题 4 分) 11、在△ABC 中, p : A ? B是q : sin A ? sin B 的 条件。

12、给出命题“若 x ? y ? 5,则x ? 2或y ? 3 ” 。在它的逆命题,否命题,逆否命题这三个 命题中,真命题有 个。

13、已知等比数列 ?an ? 的公比 q ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,则

S4 = a2



14、点 F1 , F2 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点,正方形 ABF1F2 的另两个顶点 A、B 均在双 a 2 b2


曲线上,则该双曲线的离心率为

15、为激发学生的学习兴趣,兴趣小组组长在黑板上写出三个集合: A ? ? x |

? ?

x?a ? <0? ax ?

B ? ? x | x 2 ? 3 x ? 4≤0? ,C ? ? x | x 2 ? 2 x<0? 。然后邀请甲、乙、丙三位同学到讲台
上, 并将 a 的值告诉他们, 要求他们各用一句话进行正确的描述, 以便同学们能确定 a。 以下是甲、乙、丙三人的描述: 甲:此数为小于 10 的正整数; 乙: x ? A是x ? B 的充分不必要条件; 丙: x ? C是x ? A 成立的必要不充分条件。 依据以上描述,可以判断 a 的值为 三、解答题(共 6 题,80 分) 16. (13 分) 。

在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 a=2,c=3, cos B ? ⑴求 b 的值; ⑵求 sinC 的值。

1 。 4

2

17. (13分) 已 知 a>0且a ? 1 , 设 命 题 P:关于x的不等式a x
2 ?x | ?a<x<2a? ; 命 题 Q : y ? l g (a x ?
2

?ax ?2 a2

> 的 解 集 为 1

的 x? a) 定 义 域 为 R , 如 果 ?( P ? Q) 为 假 ,

(?P )? ( Q ) ? 为真,求a的取值范围。
18. (13 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,1、 an、Sn 成等差数列。 ⑴求数列 ?an ? 的通项公式; ⑵设 Tn 为数列 ?

?1? m?4 * 成立,其中 ? 的前 n 项和,若对任意 n ? N ,总有 Tn< 3 ? an ?

m ? N *,求m 的最小值。

19. (13 分) 经长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量 y(车辆/小时)与汽车的 平均速度 v(千米/小时)之间的函数关系为: y ?

144v (v>0) v ? 58v ? 1225
2

⑴求该时段内,当汽车的平均速度 v 为多少时,车流量最大?最大车流量为多少? ⑵若要求在该时段内车流量超过 9 千辆/小时,则汽车的平均速度应在什么范围内? 20. (14分)

x2 y 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a>b>0) 与直线 x ? y ? 1 ? 0 相交于A、B两点。 a b
⑴当椭圆的半焦距c=1,且 a , b , c 成等差数列时,求椭圆方程; ⑵在⑴的条件下,求弦AB的长度 AB ; ⑶当椭圆离心率 e ? [ 值范围。 21. (14 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? n2 ? 4n ? 4 。
2 2 2

??? ??? ? ? 3 2 , ],且OA? ? 0(O为坐标原点)时,求椭圆长轴长的取 OB 3 2

3

⑴求数列 ?an ? 的通项公式; ⑵设 bn ?

an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ; 2n
*

⑶ ?n ? N 使 Tn ≤m ,求 m 的取值范围。

高二数学第五学段考试答案卷(理科) 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1-10 CCCCBBAABA 二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) 11、充要 分析: 3、由 12、1 13、

15 2

14、 2 ? 1

15、1

sin A cos B cos C sin A cos B cos C ? ? 得 ? ? a b c sin A sin B sin C

∴ tan B ? tan C ? 1  ∴B ? C ?

?

4

4、 a ? 2, c ? 1 ? 周长为2a ? 2c ? 6 5、∵ a3 ? 35, a4 ? 33 ∴ a20>0,  a21<0
2

∴ an ? 41 ? 2n ∴ S20 最大

6、甲: 2(1 ? x) ? x ? x ? x ? ?2或1 乙: ( x ? 1) ? x ? 3x ? x ? 1
2 2

∴乙 ? 甲 ∴d ?

7、焦点 (?4, 0) 渐近线: y ? ? 3x 8、∵ an ?1 ? an ? ln ∴ an ? an ?1 ? ln ∴ an ? a1 ? ln n
2

4 3 ?2 3 2

n n ?1 2 , an ?1 ? an ?2 ? ln ,? ?a2 ? a1 ? ln ? n ?1 n?2 1
又 a1 ? 2 ∴ an ? 2 ? ln n

n ?1 n

9、即方程 x ? 2 x ? c ? 0 的两根分别在 (0,1) (1, 与 ?? )中,令 f ( x) ? x2 ? 2 x ? c ,则由

4

? f (0) ? c ? 0 得0 ? c ? 1 ? ? f (1) ? c ? 1 ? 0
10、由线性规划可得:当 x ? 4, y ? 6时,Zmax =12 即 4a ? 6b ? 12 ? 2a ? 3b ? 6 ∴

2 3 2 3 2a ? 3b 1 b a 1 25 ? ? ( ? )? ? [13 ? 6( ? )]≥ (13 ? 12) ? a b a b 6 6 a b 6 6

当且仅当 ?

?a ? b 5 即a ? b ? 时取等号 6 ?2a ? 3b ? 6
S4 1 ? 2 ? 4 ? 8 15 ? ? a2 2 2

13、不妨设 a1 ? 1, 则

14、设正方形边长为 1,则 2C=1,2a= 2 ? 1 ∴e ?

2c 1 ? ? 2 ?1 2a 2 ?1
*

15、∵ a ? N 依题意有: ?
*

∴A=(0,a) 又 B=[-1,4] ,以=(0,2)

?(0, a) ? [?1, 4] ?a≤4 ?? ? a<2 ?(0, a) ? (0, 2) ?a<2

? 又 a ? N   a ? 1
三、解答题(80 分)
2 2 2 16、⑴ b ? a ? c ? 2ac cos B = 2 ? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ?
2 2

1 =10 4

∴ b ? 10 ??????????6 分 ⑵ cos C ?

a 2 ? b2 ? c 2 10 ? ????????10 分 2ab 8
∴ sin C ?

∵ 0<C<? 法二:∵ cos B ? ∴ SinB ? 由

3 6 ??????13 分 8

1 ,  B ? (0, ? ) 4

15 ??????9 分 4

b c ? 得: sin B sin C

5

c sin B SinC ? ? b

3?

15 4 ? 3 6 ??????13 分 8 10

17、当 p 为真时: a ? (0,1) ;????????(3 分)

当 Q 为真时: ?

?a>0

1 ? a> ?????(6 分) 2 ??=1-4a <0
2

∵ ?( p ? Q) 为假 ∴ P ? Q 为真 ∵ (?p) ? (?Q) ? ?( p ? Q) 为真 ∴ P ? Q 为假 ∴P、Q 一真一假????8 分

?0<a<1 1 ? 当 P 真 Q 假时: ? 1 ? 0<a≤ ????10 分 2 ?a≥ 2 ? ?a>1 ? 当 P 假 Q 真时: ? 1 ? a>1 ??????12 分 a> ? ? 2
( ? 1 综上:a 的取值范围为 0, ]( ,+?) ??????13 分
18、⑴由已知得: 2an= +Sn ??????2 分 1 当 n=1 时: a1 ? 1 ????????3 分 当 n≥2时: n ?1 ? 1 ? Sn?1 2a ∴ 2an ? 2an?1 ? an ? an ? 2an?1 ??????????5 分 ∴数列 ?an ? 是以 1 为首项,以 2 为公比的等比数列 ∴ an ? 2n?1 ???????????7 分 ⑵ Tn ? 1 ?

1 2

1 1 1 ? 2 ? ? ?? n ?1 ? 2 2 2 1 = 2 ? n?1 ??????????10 分 2
∵ n? N
*

∴ Tn<2 即 m≥10

依题意有: ∵m? N
*

m?4 ≥2 3

∴ mmin ? 10 ?????????13 分
6

19、⑴∵ V>0 ∴y?

144 1225 V? ? 58 V



144 ? 12 ??????6 分 2 ? 1225 ? 58
1225 即 V=35 时取等号 V

当且仅当 V ?

∴当 V=35 千米/小时时,车流量最大,为 12 千辆/小时 ⑵∵ V 2 ? 58V ? 1225 ? (V ? 29)2 ? 384>0 ∴

144V >9 ? 144V>9(V 2 ? 58V ? 1225) V ? 58V ? 1225
2

? V 2 ? 740 ? 1225<0 ? 25<V<49

??12 分

答:⑴当 V=3.5 千米/小时时车流量最大,为 12 千辆/小时; ⑵若要求在该时段内车流量超过 9 千辆/小时,则汽车平均速度应大于 25 千米/小时,且小 于 49 千米/小时。 ????????????????????13 分

?2b 2 ? a 2 ? c 2 ?a 2 ? 3 ? ? ?? 2 20、⑴ ?c ? 1 ?b ? 2 ? ?a 2 ? b 2 ? c 2 ?
∴椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 ??????4 分 3 2

⑵由 ?

?2 x 2 ? 3 y 2 ? 6 ?x ? y ?1 ? 0

得 : 5x2 ? 6 x ? 3 ? 0

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 得:

6 ? ? x1 ? x2 ? 5 ? ? ?x x ? ? 3 ? 1 2 5 ?
∴ AB ? ⑶?

2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?

8 3 ????8 分 5

?b2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b 2 ?x ? y ?1 ? 0

? (a 2 ? b2 ) x 2 ? 2a 2 x ? a 2 (1 ? b 2 ) ? 0
2 2

2 2 2 2 1 由△ ? 4a b (a ? b ?1) >0 得: a ? b >

7

? 2a 2 x1 ? x2 ? 2 ? ? a ? b2 此时 ? ??????????10 分 2 2 ? x x ? a (1 ? b ) ? 1 2 a 2 ? b2 ? ??? ??? ? ? ∵ OA? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? ( x1 ?1)( x2 ?1)
= 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0 ????????12 分

b2 1 ? a ? b ? 2a b ? 0 ? 2 ? 2 ??12 分 a 2a ? 1
2 2 2 2

由 e ?[

3 2 a 2 ? b2 1 1 , ]得 : e2 ? ?[ , ] 3 2 a2 3 2



b2 1 2 ?[ , ] 2 a 2 3
1 2 3 ? [ , ] ? 2a 2 ? 1 ? [ , 2] 2a ? 1 2 3 2
2



1

? a ?[

5 6 , ] ? 长轴 2a ?[ 5, 6] ??14 分 2 2

21、⑴ a1 ? S1 ? 1 ????????2 分 当 n≥2时 : an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 5 ????2 分 ∴ an ? ?

?1    ,n ? 1 ??????4 分 ?2n ? 5  ,n≥2

?1 ,    n ? 1 an ? 2 ? ⑵ bn ? n ? ? 2 ? 2n ? 5 , n≥2 ? 2n ?
∴ T1 ? b1 ?

1 ?1 1 2n ? 5 ? 2 ? 3 ?? ? n ????6 分 ? 2 2 2 2 1 1 ?1 2n ? 7 2n ? 5 ?? ? n ?1 两式相减得: ∴ Tn ? 2 ? 3 ? ? ? 2 2 2 2n 2 1 1 ?2 1 1 2n ? 5 Tn ? 2 ? 2 ? 2( 3 ?? ?? n ) ? n ?1 ? 2 2 2 2 2 2
当 n≥2 时: Tn ?
8

1 2

1 1 2n ? 5 ? n ) ? n ?1 2 2 2 2 1 2n ? 1 = ? n ?1 2 2 2n ? 1 (n≥2) ∴ Tn ? 1 ? ??????8 分 2n
= 2?( ∵n=1 时,此式也适合 ∴ Tn ? 1 ?

2n ? 1 2n ? 1 > n ?1 2n 2 3 ? 4n ? 1>2n ? 1 ? n> ????11 分 2

∵ T1>T2<T3<T4<T5<…… ??12 分

( 即 Tn ) min ? T2 ? 1 4

1 4

依题意为 m ? [ , ?? ) ??????14 分⑶

9


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