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高考数学主题复习——函数周期性与对称性[1]


函数的周期性与对称性

函数周期性与对称性
一、函数周期:对于 f ( x ) 定义域内的每一个 x ,都存在非零常数 T ,使得 f ( x ? T ) ? f ( x) 恒成立,则 称函数 f ( x ) 具有周期性,T 叫做 f ( x ) 的一个周期,则 kT ( k ? Z , k ? 0 )也是 f ( x ) 的周期,所有周期 中的最小正数叫 f ( x ) 的最小正周期.一般所说的周期是指函数的最小正周期 周期函数的定义域一定是
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例如:求 f ( x ? a) ? ? f ( x), f ( x ? a) ?

1 1 ? f ( x) 的周期 , f ( x ? a) ? f ( x) 1 ? f ( x)

1. 常见函数周期: ①y=sinx,最小正周期 T=2π ; ②y=cosx,最小正周期 T=2π ; ③y=tanx,最小正周期 T=π ; 周期函数 f(x) 最小正周期为 T,则 y=Af(ω x+φ )+k 的最小正周期为 T/|ω |. 函数 y ? f ? x ? 满足对定义域内任一实数 x (其中 a 为常数), ① 2.几种特殊的抽象函数的周期:

f ? x ? ? f ? x ? a ? ,则 y ? f ? x ? 是以 T ? a 为周期的周期函数; ② f ? x ? a ? ? ? f ? x ? ,则 f ?x ? 是以 T ? 2 a 为周期的周期函数;
1 ,则 f ?x ? 是以 T ? 2 a 为周期的周期函数; f ? x?

③ f ? x ? a? ? ?

④ f ? x ? a ? ? f ? x ? a ? ,则 f ?x ? 是以 T ? 2 a 为周期的周期函数; ⑤ f ( x ? a) ?

1 ? f ( x) ,则 f ?x ? 是以 T ? 2 a 为周期的周期函数. 1 ? f ( x) 1 ? f ( x) ,则 f ?x ? 是以 T ? 4 a 为周期的周期函数. 1 ? f ( x)

⑥ f ( x ? a) ? ?

⑦ f ( x ? a) ?

1 ? f ( x) ,则 f ?x ? 是以 T ? 4 a 为周期的周期函数. 1 ? f ( x)

⑧函数 y ? f ( x) 满足 f (a ? x) ? f (a ? x) ( a ? 0 ) ,若 f ( x ) 为奇函数,则其周期为 T ? 4 a , 若 f ( x ) 为偶函数,则其周期为 T ? 2 a . ⑨函数 y ? f ( x) ? x ? R? 的图象关于直线 x ? a 和 x ? b ? a ? b ? 都对称,则函数 f ( x ) 是以 2 ? b ? a ? 为周期的周期函数;

⑩函数 y ? f ( x) ? x ? R? 的图象关于两点 A ? a, y0 ? 、B ? b, y0 ? ? a ? b ? 都对称, 则函数 f ( x ) 是以 2 ? b ? a ? 为周期的周期函数; 周期的周期函数; (二)主要方法:

⑾函数 y ? f ( x) ? x ? R? 的图象关于 A ? a, y0 ? 和直线 x ? b ? a ? b ? 都对称, 则函数 f ( x ) 是以 4 ? b ? a ? 为

1. 判断一个函数是否是周期函数要抓住两点:一是对定义域中任意的 x 恒有 f ( x ? T ) ? f ( x) ; 二是能找到适合这一等式的非零常数 T ,一般来说,周期函数的定义域均为无限集. 2. 解决周期函数问题时,要注意灵活运用以上结论,同时要重视数形结合思想方法的运用,还要注意根据
所要解决的问题的特征来进行赋值。 二、对称性:函数关于原点对称即奇函数: f (? x) ? ? f ( x) 函数关于 y 对称即偶函数: f (? x) ? f ( x)
1

函数的周期性与对称性

函数关于直线 x ? a 对称: f ( x ? a) ? f (a ? x) 或 f ( x) ? f (2a ? x) 或 者

f ( x ? 2a) ? f (? x)
(a,b) 函数关于点 对称: f(x+a)+f(a-x)=2b
1.f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,且 f(2)=0 在区间(0,6)内解的个数的最小值是 A.2; B.3; C.4; D.5 ( ) )

2.设函数 f ( x)(x ? R) 为奇函数, f (1) ? A.0 B.1

1 , f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2), 则 f (5) ? ( 2
C.

5 2

D.5 )

3.已知 f(x)是 R 上的偶函数,对 x ? R 都有 f(x+6)=f(x)+f(3)成立,若 f(1)=2,则 f(2011)=( A、2005 B、2 C、1 D、0

4. 设 f(x)是定义在 R 上以 6 为周期的函数,f(x)在(0,3)内单调递减,且 y=f(x)的图象关于直线 x=3 对称,则下面正确的结论是 (A) f ?1.5? ? f ?3.5? ? f ? 6.5? ; (C) f ? 6.5? ? f ?3.5? ? f ?1.5? ; ( ) (B) f ?3.5? ? f ?1.5? ? f ? 6.5? ; (D) f ?3.5? ? f ? 6.5? ? f ?1.5?

5.设函数 f ( x ) 与 g ( x) 的定义域是 x ? R x ? ?1 ? ,函数 f ( x) 是一个偶函数, g ( x) 是一个奇函数,且

?

f ( x) ? g ( x) ?
A.

1 ,则 f ( x ) 等于 x ?1
B.

1 2 x ?1

2x 2 x2 ?1

C.

2 x ?1
2

D.

2x x ?1
2

3 3 6.已知定义在 R 上的函数 f (x)的图象关于 (? ,0) 成中心对称,且满足 f (x) = ? f ( x ? ), f (?1) ? 1 , f (0) = –2, 4 2

则 f (1) + f (2) +…+ f (2010)的值为( ) A.–2 B.–1

C.0

D.1

7.已知函数 f ( x ) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数, 且对任意实数 x 都有 xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x) ,

则 f ( f ( )) 的值是 A.0 B.

5 2

1 2

C.1

D.

5 2
1 1 ,则 f ( ) = x ?1 2

8.若 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x<0 时, f ( x) ?



9. y ? f ? x ? 定义域为 R,且对任意 x ? R 都有 f ? x ? 1? ? f ? x ? ? 1 ,若 f ? 2 ? ? 1 ? 2 则 f(2009)=_ 1? f ? x?

10. 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 y=f(x)的图象关于直线 11:已知函数 f(x)在(-1,1)上有定义,f(
1 2

x?

1 2 对称,则 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=

)=-1,当且仅当 0<x<1 时 f(x)<0,且对任意 x、y∈ (-1,1)都有
2

函数的周期性与对称性

x? y f(x)+f(y)=f( 1 ? xy

),试证明: (1)f(x)为奇函数;(2)f(x)在(-1,1)上单调递减.
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12. 已知函数 y=f (x)是定义在 R 上的周期函数,周期 T=5,函数 y ? f ( x)(?1 ? x ? 1) 是奇函数 又知 y=f (x)
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在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在 x=2 时函数取得最小值 ?5 . ①证明: f (1) ? f (4) ? 0 ;②求 13.设 a ? 0, f ( x) ?

y ? f ( x), x ?[1, 4] 的解析式;③求 y ? f ( x) 在[4,9]上的解析式.

ex a ? 是 R 上的偶函数. a ex

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)证明 f(x)在(0,+∞)上是增函数. 14.设f(x)是定义在 R 上的偶函数,其图象关于直线x

x1,x2∈[0

1 ] ,都有 2

f(x1+x2)=f(x1) ·f(x2) ,且 f(1)=a>0.
(Ⅰ)求f ( ), f ( ) ; (Ⅱ)证明f(x)是周期函数; (Ⅲ)记 an =f(2n+

1 2

1 4

1 ) ,求 an . 2n

参考答案
7.解析:令 x ? ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ,则 ? f ( ) ? f ( ? ) ? f ( ) ? f ( ) ? 0 ;令 x ? 0 ,则 f (0) ? 0 2 2 2 2 2 2 2 2 x?1 f ( x ) ,所以 x

由 xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x) 得 f ( x ? 1) ?

5 3 5 3 5 3 5 1 5 f ( ) ? 2 f ( ) ? f ( ) ? ? 2 f ( ) ? 0 ? f ( f ( )) ? f (0) ? 0 ,故选择 A。 3 2 2 3 2 3 1 2 2 2 2

8.-2

9. -1- 2

10.0
x? y

11.证明: (1)由 f(x)+f(y)=f( 1 ? xy )可令 x=y=0,得 f(0)=0, 令 y=-x,得 f(x)+f(-x)=f( x ? x )=f(0)=0. ∴ f(x)=-f(-x). ∴ f(x)为奇函数.
1? x2

3

函数的周期性与对称性

x 2 ? x1 (2)先证 f(x)在(0,1)上单调递减. 令 0<x1<x2<1,则 f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f( 1 ? x x )
1 2

∵ 0<x1<x2<1,∴ x2-x1>0,1-x1x2>0,∴1 ? x x >0, 2 1 又(x2-x1)-(1-x2x1)=(x2-1)(x1+1)<0,∴ x2-x1<1-x2x1,∴ 0< 即
x 2 ? x1 x 2 ? x1 <1,由题意知 f( 1 ? x x )<0, 1 ? x1 x 2 1 2
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x 2 ? x1

f(x2)<f(x1). ∴ f(x)在(0,1)上为减函数,又 f(x)为奇函数且 f(0)=0 ∴ f(x)在(-1,1)上为减函数.
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12.解:∵f (x)是以 5 为周期的周期函数,∴ f (4) ? f (4 ? 5) ? f (?1) , 又∵ y ? f ( x)(?1 ? x ? 1) 是奇函数,∴ f (1) ? ? f (?1) ? ? f (4) ,∴ f (1) ? f (4) ? 0 ②当 x ?[1, 4] 时,由题意可设 f ( x) ? a( x ? 2)2 ? 5 (a ? 0) , 由 f (1) ? f (4) ? 0 得 a(1 ? 2)2 ? 5 ? a(4 ? 2)2 ? 5 ? 0 ,∴ a ? 2 , ∴ f ( x) ? 2( x ? 2)2 ? 5(1 ? x ? 4)
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③∵ y ? f ( x)(?1 ? x ? 1) 是奇函数,∴ f (0) ? 0 , 又知 y=f (x)在[0,1]上是一次函数,∴可设 f ( x) ? kx(0 ? x ? 1) ,而 f (1) ? 2(1 ? 2)2 ? 5 ? ?3 , ∴ k ? ?3 ,∴当 0 ? x ? 1 时,f (x)=-3x, 从而当 ?1 ? x ? 0 时, f ( x) ? ? f (? x) ? ?3x ,故 ?1 ? x ? 1 时,f (x)= -3x,. ∴当 4 ? x ? 6 时,有 ?1 ? x ? 5 ? 1 ,∴0. 当 6 ? x ? 9 时, 1 ? x ? 5 ? 4 ,∴ f ( x) ? f ( x ? 5) ? 2[( x ? 5) ? 2]2 ? 5 ? 2( x ? 7)2 ? 5



??3x ? 15, 4 ? x ? 6 f ( x) ? ? 2 ?2( x ? 7) ? 5, 6 ? x ? 9
13.
x (I) 解:依题意,对一切 x ? R 有 f ( x) ? f (? x) ,即 e ? a ? 1 ? aex , x x

a

e

ae

所以 (a ? 1 )(e x ? 1 ) ? 0 对一切 x ? R 成立. x
a e

由此得到 a ?

1 ? 0, 即 a2=1. a

又因为 a>0,所以 a=1.

(II)证明一:设 0<x1<x2,

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? e x1 ? e x2 ?

1 1 1 ? x ? (e x2 ? e x1 )( x ? x ? 1) x1 2 1 e e e 2

? e x1 (e x2 ? x1 ? 1) ?

1 ? e x2 ? x1 , e x2 ? x1

由 x1 ? 0, x2 ? 0, x2 ? x1 ? 0, 得x1 ? x2 ? 0, e x2 ? x1 ? 1 ? 0,1 ? e x2 ? x1 ? 0.
? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, 即 f(x)在(0,+∞)上是增函数.
4

函数的周期性与对称性

证明二:由 f ( x) ? e x ? e ? x 得 f ?( x) ? e x ? e ? x ? e ? x (e 2 x ? 1). 当 x ? (0,??) 时,有 e ? x ? 0, e 2 x ? 1 ? 0, 此时 f ?( x) ? 0. 所以 f(x)在(0,+∞)上是增函数. 14.(Ⅰ)解:因为对x1,x2∈[0, 所以

1 ] ,都有f(x1+x2)=f(x1) ·f(x2), 2

x x x x f ( x) ? f ( ? ) ? f ( ) ? f ( ) ? 0, x ? [0,1] 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 f ( ) ? f ( ? ) ? f ( ) ? f ( ) ? [ f ( )]2 2 4 4 4 4 4
f(1)=a>0,
∴ f ( ) ? a2, f ( ) ? a4

1 1 1 1 1 f (1) ? f ( ? ) ? f ( ) ? f ( ) ? [ f ( )]2 2 2 2 2 2

1 2

1

1 4

1

(Ⅱ)证明:依题设y=f(x)关于直线x=1对称, 故f(x)=f(1+1-x) , 即f(x)=f(2-x) ,x∈R 又由f(x)是偶函数知f(-x)=f(x) ,x∈R,∴f(-x)=f(2-x) ,x∈R, 将上式中-x以x代换,得f(x)=f(x+2) ,x∈R 这表明f(x)是 R 上的周期函数,且 2 是它的一个周期. (Ⅲ)解:由(Ⅰ)知f(x)≥0,x∈[0,1] ∵ f ( ) ? f (n ?

1 2

1 1 1 ) ? f [ ? (n ? 1) ? ] 2n 2n 2n 1 1 1 1 ? f ( ) ? f [(n ? 1) ? ] ? ? f ( )? f ( )? 2n 2n 2n 2n
1 1

? f(

1 1 ) ? [ f ( )]n 2n 2n
1

1 1 f ( ) ? a 2 ∴ f ( ) ? a 2n 2 2n
(三)典例分析:

1 1 f (x) 的一个周期是 2 ∴f (2n+ ) =f ( ) ,因此 an= a 2 n 2n 2n

问题 1.( 06 山东)已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x ) ,则 f (6) 的值为

A. ?1

B. 0

C. 1

D. 2
y A

问题 2. ?1? ( 00 上海) 设 f ( x ) 的最小正周期 T ? 2 且 f ( x ) 为偶函数, 它在区间 ? 0, 1? 上的图象如右图所示的线段 AB ,则在区间 ?1, 2? 上,

f ( x) ?

2? 1?

?B
1 2 x

? 2 ? 已知函数 f ( x) 是周期为 2 的函数,当 ?1 ? x ? 1 时, f ( x) ? x2 ?1x,
当 19 ? x ? 21 时, f ( x ) 的解析式是

0

? 3?

f ?x ? 是定义在 R 上的以 2 为周期的函数,对 k ? Z ,用 I k 表示区间 ? 2k ? 1, 2k ? 1? ,

2 已知当 x ? I0 时, f ? x ? ? x ,求 f ?x ? 在 I k 上的解析式。

问题 3. ?1? ( 04 福建)定义在 R 上的函数 f ?x ? 满足 f ?x ? ? f ?x ? 2? ,当 x ? ?3,5? 时,
5

函数的周期性与对称性

?? ? ?? ? ? ? f ? cos ? ; B. f ?sin1? ? f ? cos1? ; 6? 6? ? ? 2? ? 2? ? ? ? D. f ? cos 2? ? f ?sin 2? C. f ? cos ? ? f ? sin ? 3 ? 3 ? ? ? ? 2 ? ( 05 天津文) 设 f ( x) 是定义在 R 上以 6 为周期的函数, f ( x) 在 (0,3) 内单调递减, 且 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 3 对称,则下面正确的结论是
f ?x? ? 2 ? x ? 4 ,则
A. f ? sin
A. f (1.5) ? f (3.5) ? f (6.5)

B. f (3.5) ? f (1.5) ? f (6.5) D. f (3.5) ? f (6.5) ? f (1.5)

问题 4.定义在 R 上的函数 f ?x ? ,对任意 x ? R ,有 f ?x ? y ? ? f ?x ? y ? ? 2 f ?x ? f ? y ? ,且 f ?0? ? 0 ,?1? 求证: f ?0? ? 1 ; ? 2 ? 判断 f ?x ? 的奇偶性;

C. f (6.5) ? f (3.5) ? f (1.5)

? 3? 若存在非零常数 c ,使 f ? ?

②函数 f ?x ? 是不是周期函数,为什么?

c? ? ? 0 ,①证明对任意 x ? R 都有 f ?x ? c ? ? ? f ?x ? 成立; ?2?

问题 5. ( 01 全国)设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,其图象关于直线 x ? 1 对称,对任 意的 x1 , x2 ? ?0, ? ,都有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 2

? 1? ? ?

?1? 设 f (1) ? 2 ,求 f ( 2 ) 、 f ( 4 ) ; ? 2 ? 证明: f ( x) 是周期函数.

1

1

? 3? 记 a n ?

1 ? ? f ? 2n ? ? ,求 lim(ln an ) . n ?? 2n ? ?
p ) ? x ? R? , 2

(四)巩固练习:

1. ( 03 北京春)若存在常数 p ? 0 ,使得函数 f ( x) 满足 f ( px ) ? f ( px ?

f ( x) 的一个正周期为
2. 设函数 f ? x ? ( x ? R )是以 3 为周期的奇函数,且 f ?1? ? 1, f ? 2? ? a ,则
A. a ? 2 B. a ? ?2 C. a ? 1 D. a ? ?1 3. 函数 f ( x) 既是定义域为 R 的偶函数,又是以 2 为周期的周期函数,若 f ( x) 在 ? ?1,0? 上
是减函数,那么 f ( x ) 在 ? 2,3? 上是

A. 增函数 4. 设 f ( x ) ?

B. 减函数

C. 先增后减函数

D. 先减后增函数

x ?1 ,记 f n ( x) ? f { f [ f ??? f ( x)]} ,则 f 2007 ( x) ? x ?1
n个f

1. 已知函数 f ( x) 是以 2 为周期的周期函数,且当 x ? ? 0,1? 时, f ( x) ? 2x ?1 ,则

(五)课后作业:

f (log2 10) 的值为

A.

3 5

B.

8 5

C. ?

3 8

D.

5 3

2. 设偶函数 f ( x) 对任意 x ? R ,都有 f ( x ? 3) ? ?

f ( x) ? 2 x ,则 f (113.5) ?

A. ?

2 7

1 ,且当 x ???3, ?2? 时, f ( x) 2 1 1 B. C. ? D. 7 5 5
6

函数的周期性与对称性

1 ? f ( x) , 1 ? f ( x) 1 1 A. ?1 B. 1 C. D. ? 当 0 ? x ≤ 1 时, f ( x) ? 2 x ,则 f (11.5) ? 2 2 3. 已知 f ( x) 是定义在实数集 R 上的函数,满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,且 x ? [0,2] 时, f ( x) ? 2 x ? x2 . ?1?
3. 设函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,对于任意的 x ? R ,都有 f ( x ? 1) ?
求 x ? [?2, 0] 时, f ( x ) 的表达式; ? 2 ? 证明 f ( x ) 是 R 上的奇函数.

3 ? 3 ? 4.( 05 朝阳模拟)已知函数 f ( x) 的图象关于点 ? ? , 0 ? 对称,且满足 f ( x) ? ? f ( x ? ) ,又 f (?1) ?1 , 2 ? 4 ? f (0) ? ?2 ,求 f (1) ? f (2) ? f (3) ? … ? f (2006) 的值
(六)走向高考:

1. ( 05 福建) f ( x) 是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,且 f (2) ? 0 在区间 ? 0, 6 ? 内解 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 的个数的最小值是 2. ( 07 安徽)定义在 R 上的函数 f ( x) 既是奇函数,又是周期函数, T 是它的一个正周期.
若将方程 f ( x) ? 0 在闭区间 [?T,T ] 上的根的个数记为 n ,则 n 可能为

A. 0

B. 1

C. 3

D. 5

3. ( 96 全国)已知函数 f ( x) 为 R 上的奇函数,且满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,
当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x ,则 f (7.5) 等于( )

A. 0.5

B. ?0.5

C. 1.5

D. ?1.5

4. ( 06 安徽)函数 f ? x ? 对于任意实数 x 满足条件 f ? x ? 2 ? ?
则f

? f ?5?? ?

1 ,若 f ?1? ? ?5 , f ? x?

5. ( 06 福建文)已知 f ( x) 是周期为 2 的奇函数,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? lg x. 6 3 5 设 a ? f ( ), b ? f ( ), c ? f ( ), 则 5 2 2 A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. c ? b ? a D. c ? a? b 6. ( 04 天津)定义在 R 上的函数 f ( x) 既是偶函数又是周期函数,若 f ( x) 的最小正周期
是 ? ,且当 x ? [0,

?
2

] 时, f ( x) ? sin x ,则 f (
1 2
C. ?

5? ) 的值为 3

A. ?

1 2

B.

3 2

D.

3 2
1 2

7. ( 05 天津)设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ?
对称,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f (5) ?

8. ( 05 广东)设函数 f ( x) 在 (??, ??) 上满足 f (2 ? x) ? f (2 ? x) , f (7 ? x) ? f (7 ? x) ,且在闭区间

?0,7? 上,只有 f (1) ? f (3) ? 0 .
(Ⅰ)试判断函数 y ? f ( x) 的奇偶性;
7

函数的周期性与对称性

(Ⅱ)试求方程 f ( x) ? 0 在闭区间 ? ?2005, 2005? 上的根的个数,并证明你的结论

8


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高考一轮复习--函数对称性周期性(数学)

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高中数学 函数的对称性和周期性知识点精析 新人教B版必修1

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