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【创新方案】2013版高中数学 第一章 1.3.1 第二课时 函数的最大(小)值课件 新人教A版必修1


第 一 章 集 合 与 函 数 概 念

1.3

1.3. 1

函 数 的 基 本 性 质

单 调 性 与 最 大
( 小)

第 二 课 时 函 数 的 最 大
( 小)

读教材·填要点
课前预习·巧设计

小问题·大思维

考点一
名师课堂·一点通

考点二
考点三 解题高手
NO.1课堂强化





创新演练·大冲关

No.2课下检测

[读教材·填要点] 函数的最大值、最小值 最值 最大值 最小值

函数y=f(x)的定义域为I,存在实数M满足: 条件

(1)对于任意的x∈I,都 (1)对任意x∈I,都有
有 f(x)≤M .(2)存在 x0∈I,使 f(x0)=M .

f(x)≥M . (2)存在
x0∈I,使 f(x0)=M . 值

结论

M是函数y=f(x)的最大 M是函数y=f(x)的最小 值

[小问题·大思维]

1.若对任意的x∈I,都有f(x)≤M,那么M一定是y=f(x)的
最大值,对吗? 提示:不对.M不一定是值域中的一个元素,如函数 f(x)=2x,x∈[0,1],f(x)≤3,但3不是值域中的数. 2.如果在函数f(x)定义域内存在x1和x2,使对定义域内任

意x都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,由此你能得到什么结论?
提示:函数在定义域内的最大值是f(x2),最小值是 f(x1).

3.如果函数f(x)的最大值是b,最小值是a,那么函数f(x)
的值域是[a,b]吗? 提示:不一定,例如,f(x)的图像如图所示,由图像 知f(x)的值域是[a,c]∪[d,b].

[研一题] [例1] 求函数y=|x+1|-|x-2|的最大值和最小值.
[自主解答] y=|x+1|-|x-2|

(x≤-1) ?- 3 ? =?2x-1 (-1<x<2).作出函数 ?3 (x≥2) ? 的图像,由图可知,y∈[-3,3].所以函数的最大 值为 3,最小值为-3.

[悟一法] 分段函数的最大值为各段上最大值的最大者,最小值

为各段上最小值的最小者,故求分段函数的最大或最小值,
应先求各段上的最值,再比较即得函数的最大、最小 值.当易作出分段函数的图像时,可观察图像的最高点与 最低点,并求其纵坐标即得函数的最大、小值.

[通一类]
2 x ? ? , -1≤x≤1, 1.已知函数 f(x)=?1 求 f(x)的最大值、最 , x>1. ? ?x

小值.

解:作出函数f(x)的图像(如图) 由图像可知,当x=±1时,f(x)取最 大值为f(±1)=1. 当x=0时f(x)取最小值f(0)=0, 故f(x)的最大值为1,最小值为0.

[研一题] 4 [例 2] 已知函数 f(x)=x+x,x∈[1,3].
(1)判断 f(x)在[1,2]和[2,3]上的单调性; (2)根据 f(x)的单调性写出 f(x)的最值.

[自主解答] (1)设 x1,x2 是区间[1,3]上的任意两个实 数,且 x1<x2, 4 4 4 则 f(x1)-f(x2)=x1-x2+x -x =(x1-x2)(1-x x ). 1 2 1 2 ∵x1<x2,∴x1-x2<0. 4 当 1≤x1<x2≤2 时,1<x1x2<4,∴x x >1. 1 2 4 ∴1-x x <0.∴f(x1)>f(x2). 1 2 ∴f(x)在[1,2]上是减函数.

当 2≤x1<x2≤3 时,4<x1x2<9, 4 4 4 ∴9<x x <1.∴1-x x >0,f(x1)-f(x2)<0. 1 2 1 2 ∴f(x1)<f(x2).∴f(x)在[2,3]上是增函数. 4 (2)由(1)知 f(x)的最小值为 f(2)=2+2=4, 4 13 又∵f(1)=5,f(3)=3+3= 3 <f(1), ∴f(x)的最大值为 5.

[悟一法] 函数的单调性与最值的关系: (1)若函数在闭区间[a,b]上是减函数,则f(x)在[a,b]上 的最大值为f(a),最小值为f(b); (2)若函数在闭区间[a,b]上是增函数,则f(x)在[a,b]上

的最大值为f(b),最小值为f(a).

[通一类]
2 2.求函数 f(x)= 在区间[2,6]上的最大值和最小值. -x-1 2 解:任取 x1,x2∈[2,6],且 x1<x2,则 f(x2)-f(x1)= - x2 - 1
2(x2-x1) 2 - = . -x1-1 (x2+1)(x1+1) 因为 2≤x1<x2≤6,所以 x2-x1>0, (x2+1)(x1+1)>0, 2(x2-x1) 于是 >0,即 f(x1)<f(x2),所以函数 f(x)= (x2+1)(x1+1) 2 在区间[2,6]上是增函数, -x-1

所以函数 f(x)=

2 在区间[2,6]的左、右端点处分别取 -x-1

2 2 得最小值、最大值,即最大值为 f(6)= =-7,最小值 -6-1 2 2 为 f(2)= =-3. -2-1

[例 3]

[研一题] 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20

000 元,每生产一台仪器需增加投入 100 元,已知总收益 满足函数: 1 ? ?400x- x2, (0≤x≤400), 2 R(x)=? ? ?80 000, (x>400). 其中 x 是仪器的月产量.

(1)将利润表示为月产量的函数f(x); (2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为 多少元?(总收益=总成本+利润)
[自主解答] (1)设月产量为 x 台, 则总成本为 20 000+100x, 1 ? ?- x2+300x-20 000(0≤x≤400). 从而 f(x)=? 2 ? (x>400) ?60 000-100x

(2)当0≤x≤400时,f(x)=-(x-300)2+25 000,

∴当x=300时,[f(x)]最大值=25 000;
当x>400时,f(x)=60 000-100x是减函数, f(x)<60 000-100×400<25 000. ∴当x=300时,[f(x)]最大值=25 000. 即每月生产300台仪器时利润最大,

最大利润为25 000元.

[悟一法]

解应用题要弄清题意,从实际出发,引进数学符号,
建立数学模型,列出函数关系式,分析函数的性质,从

而解决问题,要注意自变量的取值范围.

[通一类] 3.轮船由甲地逆水匀速行驶至乙地,甲、乙两地相距s(km),

水流速度为p(km/h),轮船在静水中的最大速度为
q(km/h)(p,q为常数,且q>p),已知轮船每小时的燃料费 用与轮船在静水中的速度v(km/h)成正比,比例系数为常 数k. (1)将全程燃料费用y(元)表示为静水中速度v(km/h)的函数;

(2)若s=100,p=10,q=110,k=2,为了使全程的燃料
费用最少,轮船的实际行驶速度应为多少?

s 解:(1)∵轮船行驶全程的时间 t= , v-p ksv ∴ y= (p<v≤q). v-p (2)若 s=100,p=10,q=110,k=2,则 2×100v 10 y= =200(1+ )(10<v≤110). v-10 v-10 10 由于 f(v)= 在(10,110]上是减函数,所以当 v=110 时,函 v-10 2×100v 10 数 y= =200(1+ )取得最小值,且最小值为 220. v-10 v-10 即当轮船的实际行驶速度为 110 km/h 时, 全程的燃料费用最少.

已知函数 f(x)对任意 x,y∈R,总有 f(x)+f(y)=f(x+y),且 2 当 x>0 时,f(x)<0,f(1)=-3. (1)求证:f(x)在 R 上是减函数; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值及最小值.

[巧思]

紧扣条件“当x>0时,f(x)<0”,由定义,由

x1<x2,必须证出f(x2)-f(x1)<0,证得第(1)问,然后利用单
调性即可求出f(x)在[-3,3]上的最值.

[妙解] (1)证明:∵f(0)+f(0)=f(0),∴f(0)=0.

又f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0),
∴f(-x)=-f(x). 设x1<x2,且x1∈R,x2∈R,则 f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1). ∵x2-x1>0,据题意有f(x2-x1)<0.

∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1).
∴y=f(x)在R上是减函数.

(2)由(1)式知,f(x)在[-3,3]上是减函数, ∴f(-3)最大,f(3)最小.

而f(3)=f(2)+f(1)=2f(1)+f(1)=3f(1)=
3×(-)=-2,f(-3)=-f(3)=2,

∴f(x)在[-3,3]上的最大值为2,最小值为-2.



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