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第一部分 第2章 2.1 2.1.1 第一课时 函数的概念


理解教 材新知 第2 章 2.1 2.1.1 第 一 课 时

知识点一
知识点二 考点一 把握热 点考向 考点二 考点三 考点四 应用创 新演练

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2.1

函数的概念

2.1.1

函数的概念和图象

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1.一枚炮弹发射后,经过26 s落到地面击中目标.炮 弹的射高为845 m,且炮弹距地面的高度h(单位:m)随时间 t(单位:s)变化的规律是h=130t-5t2. 问题1:炮弹飞行时间t的变化范围是什么? 提示:因为炮弹经过26 s落回地面,所以0≤t≤26. 返回

问题2:炮弹飞行高度的变化范围是什么?

提示:因炮弹的射高为845 m,所以0≤h≤845.
问题3:相对于某一时刻,炮弹是否有两个高度?

提示:不是的.即相对于某一时刻,炮弹的高度是一
个确切的数据.

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2.电路中的电压 U=220 V,电流 I 与电阻 R 之间的变 220 化规律,用欧姆定律表示即 I= R (R>0).

问题1:在这个问题中的两个变量分别是什么?它们的

范围怎样?
提示:电阻R>0,电流I>0. 问题2:通过这个公式反映了电流和电阻的什么关系? 提示:电流和电阻成反比例关系.只要测出电路中的 电阻值,就可计算出惟一的电流值.

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函数的概念、定义域和值域 一般地,设A,B是两个 非空的数集 ,如果按某种 对应法则f,对于集合A中的 每一个元素x ,在集合 概念 B中都有 唯一 的元素y和它对应,那么这样的对应叫 做从A到B的一个函数,通常记作: y=f(x),x∈A

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在函数y=f(x),x∈A中, 所有的输入值x 组成的 定义域 集合A叫做函数y=f(x)的定义域 在函数y=f(x),x∈A中,对于A中的 每一个x , 值域 都有一个 输出值y 与之对应,则将 所有输出值y 组 成的集合称为函数的值域,即{y|y=f(x),x∈A}

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考察下列几个比较熟悉的一次函数、 二次函数和反比例函数. 2 (1)f(x)=2x+3;(2)f(x)=x -2x+4; (3)f(x)= . x
2

问题 1:这三个函数的图象分别是什么形状?

提示:(1)直线;(2)抛物线;(3)分布在一、三象限的曲线.

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问题2:如果取横坐标x0=-2,它们对应的函数值分

别是什么?
提示:(1)-1;(2)12;(3)-1.

问题3:点(0,2)在这几个函数的图象上吗?
提示:验证后可知都不在.

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问题4:结合我们初中得到一次函数、二次函数、反

比例函数图象的方法以及函数图象的定义,如何得到一个
不熟悉函数y=f(x),x∈A的图象?

提示:在定义域A内取几个关键特殊值,列表,描点,
连线.

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函数的图象 将自变量的一个值x0作为 横坐标 ,相应的函数值f(x0) 作为 纵坐标 ,就得到坐标平面上的一个点(x0,f(x0)) ,当

自变量取遍 函数定义域A中的每一个值 时,就得到一系
列这样的点,所有这些点组成的集合(点集)为{(x, f(x))|x∈A},即{(x,y)|y=f(x),x∈A},所有这些点组成 的图形就是函数y=f(x)的图象.

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1.函数定义的理解

(1)集合的特殊性:集合A和B不能为空集,并且必须为数
集. (2)对应的方向性:其方向性是指对A中的任何一个数x, 在集合B中都有数f(x)与之对应,先是集合A,其次是集合B. (3)对应的惟一性:是指与集合A中的数x对应的集合B中

的数f(x)是惟一确定的.

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2.对于函数的定义域要明确以下几点
(1)函数的定义域必须用集合或区间来表示,它是一个 数集; (2)对于用解析式表示的函数,如果没有指明定义域, 那么就认为函数的定义域是指函数表达式有意义的自变量

的集合;
(3)如果函数涉及实际问题,定义域必须考虑自变量的 实际意义. 3.函数的图象可能是一条连续的曲线,也可能是折线、 线段或不连续的点等. 返回

第一课时

函数的概念

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[例 1] 判断下列对应法则,是不是实数集 R 上的一个函数. (1)f:把 x 对应到 3x+1. 1 (2)h:把 x 对应到 2. x (3)r:把 x 对应到 x.

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[思路点拨]

根据给出的对应关系验证自变量x

在实数集R上的每一个值,是否都能确定惟一的函数 值 y.

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[精解详析 ]

(1)定义域为 R,对应法则为 f: x→3x+ 1,设

x1∈ R,能确定惟一的函数值 y1= 3x1+ 1, ∴ f 是实数集 R 上的一个函数. 1 (2)定义域为 R,对应法则为 h:x→ 2,∵ x= 0 时,不能确 x 定惟一的函数值,∴对应法则 h 不是实数集 R 上的一个函数. (3)定义域为 R,对应法则为 r: x→ x,∵ x<0 时, x无意 义,∴当 x<0 时,不能确定惟一的函数值 y,∴对应法则 r 不是 实数集 R 上的函数.

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[一点通]

判断一个对应关系是否是函数,要从以下

三个方面去判断,即A、B必须是非空数集;A中任何一个

元素在B中必须有元素与其对应;A中任一元素在B中必有
惟一元素与其对应.

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1.下列关于函数概念的说法中,正确的序号是________. ①函数定义域中的每一个数都有值域中惟一确定的一个 数与之对应;②函数的定义域和值域一定是无限集合;

③定义域和对应法则确定后,函数的值域也就确定了;
④若函数的定义域只有一个元素,则值域也只有一个元 素,反之,当值域只有一个元素时,定义域也只有一个 元素.

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解析: 由函数的定义可知函数定义域中的每一个元素在值域 中一定有惟一确定的元素与之对应,故①正确;②函数的定 义域和值域可以为有限集合,如 f(x)= x+ 1,x∈{1,2,3},则 y∈ {2,3,4},故②不对;函数的三要素中,定义域和对应法则 是最重要的,当定义域和对应法则确定后,函数的值域也就 确定了,故③正确;根据函数定义可知,当定义域中只有一 个元素时, 值域也只有一个元素, 但当值域只有一个元素时, 定义域却不一定只有一个元素,如 f(x)= 1, x∈R.

答案:①③ 返回

2. 判断下列对应 f 是否为从集合 A 到集合 B 的函数. (1)A=N,B=R, f:x→y=± x; (2)A=N,B=N*,f: x→y=|x-2|; (3)A={1,2,3},B=R,f(1)=f(2)=3,f(3)=4; (4)A=[- 1,1],B={0},f: x→y=0.

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解: (1)对于 A 中的元素, 如 x=9, y 的值为 y=± 9=± 3, 即在对应法则 f 之下, B 中有两个元素± 3 与之对应,不 符合函数的定义,故不能构成函数. (2)对于 A 中的元素 x= 2,在 f 作用下, |2-2|=0?B,从 而不能构成函数.

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(3)依题意,f(1)=f(2)=3,f(3)=4,即A中的每一个元素在对 应法则f之下,在B中都有对应元素与之对应,虽然B中有很多 元素在A中无元素与之对应,但依函数的定义,仍能构成函 数. (4)对于集合A中任意一个实数x,按照对应法则f:x→y=0, 在集合B中都有惟一一个确定的数0与它对应,故是集合A到 集合B的函数. 返回

[例 2] (1)求下列函数的定义域 -x 4x+ 8 ① y= 2 ;② y= ; 2x - 3x- 2 3x- 2 1 ③ y= x+ 1+ . 2- x (2)已知函数 f(x)的定义域为[- 1,5], 则 f(x- 5)的定义 域为 ________. 3

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[思路点拨]

根据使式子在实数范围内有意义

的条件列不等式(组),求出x的范围,就是所求函数 的定义域.

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[精解详析 ]
? ? ? ? ?

-x (1)①要使 y = 2 有意义,则必须 2x -3x-2

1 -x≥0,? 2x2- 3x-2≠0, 解得 x≤0 且 x≠- , 2 1 故所求函数的定义域为{x|x≤ 0,且 x≠- }. 2 3 ②要使 y= 4x+8 3x-2 有意义,

2 则必须 3x-2>0,即 x> , 3 2 故所求函数的定义域为 {x|x> }. 3

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1 ③要使函数 y= x+1+ 有意义,则必须 2- x
? ? ?

x+1≥ 0,? 2-x≠0. 即 x≥-1 且 x≠2.

故所求函数的定义域为{x|x>- 1 且 x≠ 2}. (2)由-1≤ x- 5≤ 5,得 4≤x≤10,所以函数 f(x-5)的 定义域是[4,10].

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[一点通] (1)由解析式求定义域的方法: ①如果f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R; ②如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不为0

的实数的集合;
③如果f(x)为偶次根式,那么函数的定义域是使根号内 的式子大于或等于0的实数的集合;

④如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数
的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合; ⑤如果函数有实际背景,那么除符合上述条件外,还

要符合实际情况.
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(2)抽象函数的定义域: ①已知f(x)的定义域,求f(g(x))的定义域:若f(x)的定 义域为[a,b],则f(g(x))中a≤g(x)≤b,从中解得x的取值范 围即为f(g(x))的定义域. ②已知f(g(x))的定义域,求f(x)的定义域:若f(g(x))的 定义域为[a,b],即a≤x≤b,求得g(x)的取值范围,g(x)的

取值范围即为f(x)的定义域.
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3.若 f(x)=

1 的定义域为 M,g(x)= x-2的定义 x

域为 N,令全集为 R,则?R(M∩N)=________.

解析:M={x|x>0},N={x|x≥2}, ∴M∩N={x|x≥2},又U=R, ∴?R(M∩N)={x|x<2}. 答案:{x|x<2}

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4.已知函数f(x-1)的定义域是[0,3],则f(x)的定义域为 ________. 解析:由0≤x≤3,得-1≤x-1≤2,所以f(x)的定 义域为[-1,2]. 答案:[-1,2]

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1- x [例 3] 已知 f(x)= (x≠- 1).求: 1+ x 1 (1)f(0)及 f(f( ))的值; 2 (2)f(1- x)及 f(f(x)).

[思路点拨] 采用代入法,将 f(x)中的 x 分别赋予数 1-x 值或式子,代入 中化简即可. 1+x

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[精解详析 ] 1 1- 1- 0 1 2 1 (1)f(0)= = 1,f( )= = , 2 1 3 1+ 0 1+ 2 1 1- 1 1 3 1 ∴ f(f( ))= f( )= = . 2 3 1 2 1+ 3 1-? 1- x? x (2)f(1- x)= = (x≠ 2), 1+? 1- x? 2- x 1- x 1- 1- x 1+ x f(f(x))= f( )= = x(x≠- 1). 1+ x 1- x 1+ 1+ x

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[一点通] (1)函数值f(a)就是a在对应法则f下的对应值,因此由函 数关系求函数值,只需将f(x)中的x用对应的值(包括值在定 义域内的代数式)代入即得. (2)求f(f(f(a)))时,一般要遵循由里到外逐层计算的原 则.

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5.已知函数f(x),g(x)分别由下表给出 x f(x) 1 2 3 1 3 1 x g(x) 1 3 2 2 3 1

则f(g(1))的值为________.

解析:∵g(1)=3,∴f(g(1))=f(3)=1.
答案:1

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x2 6.若函数 f(x)= ,g(x)= x,则 f(g(2))的值为________. 1+x2
? 2?2 2 解析:g(2)= 2,f(g(2))=f( 2)= 2= . 1+? 2? 3
2 答案: 3

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x+2 7.已知函数 f(x)= . x-6 (1)当 x=4 时,求 f(x)的值; (2)当 f(x)=2 时,求 x 的值.

x+ 2 解:(1)∵f(x)= , x- 6 4+2 ∴f(4)= =- 3. 4-6 x+ 2 (2)由 f(x)=2 得 =2. x- 6 解方程得 x= 14.

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[例 4] 求下列函数的值域: (1)y=x+1, x∈{1,2,3,4,5}; (2)y=x2-2x+3, x∈[0,3); 2x+1 (3)y= ;(4)y=2x- x-1. x-3

[思路点拨]

根据函数不同的特点,采用不同的方法.

(1)采用直接法;(2)先配方,利用二次函数解决;

(3)采用分离常数法;(4)换元法转化为二次函数.

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[精解详析]

(1)(观察法)因为x∈{1,

2,3,4,5},分别代入求值,可得函数的值

域为{2,3,4,5,6}.
(2)(配方法)y=x2-2x+3=(x-1)2 +2,由x∈[0,3),再结合函数的图象(如图),可得函数的值 域为[2,6).

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2x+ 1 2? x- 3?+ 7 7 (3)(分离常数法 )y= = = 2+ ,显然 x- 3 x- 3 x- 3 7 ≠ 0,所以 y≠ 2.故函数的值域为 (-∞, 2)∪ (2,+∞ ). x- 3 (4)(换元法)设 t= x- 1,则 t≥ 0 且 x= 1 2 15 t + 1,所以 y= 2(t + 1)-t= 2(t- ) + ,由 4 8
2 2

t≥ 0,再结合函数的图象 (如图 ),可得函数的 15 值域为 [ ,+∞). 8

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[一点通]

求值域时应注意的事项

(1)求值域时一定要注意定义域的影响,如函数y=
x2-2x+3的值域与函数y=x2-2x+3,x∈[0,3)的值域是 不同的. (2)在利用换元法求解函数的值域时,一定要注意换元 后新元取值范围的变化.

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8.求下列函数的值域.

(1)f(x)=x2-4x+5,x∈{1,2,3};
(2)f(x)=x2-4x+5. 解:(1)函数的定义域为{1,2,3},
∵ f(1)=12-4×1+5=2,

f(2)=22-4×2+5=1,

f(3)=32-4×3+5=2,
∴这个函数的值域为{1,2}. 返回

(2)∵f(x)=x2-4x+5=(x-2)2+1,x∈R时,(x-2)2+

1≥1,
∴这个函数的值域为[1,+∞).

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9.求下列函数的值域. 2x (1)y= ;(2)y=x+ 2x+1. x+1

2x 2? x+1?-2 2 解:(1)∵y= = =2- ≠2, x+1 x+1 x+1 ∴函数的值域为{y|y∈R 且 y≠2}.

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v2- 1 (2)设 v= 2x+ 1 ,则 v≥ 0,且 x= . 2 v2- 1 1 2 1 ∴ y= +v= (v +2v- 1)= (v+ 1)2- 1. 2 2 2 1 1 1 2 ∵ v≥ 0,∴ (v+1) - 1≥- 1+ =- . 2 2 2 1 ∴函数的值域为 [- ,+∞). 2

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1.函数的三要素是指:定义域、值域和对应法
则.函数符号y=f(x)表示y是x的函数.f(x)与f(a)的意义是 不同的.f(a)表示当x=a时,f(x)的函数值,是一个常量, 而f(x)是自变量x的函数,在一般情况下,它是一个变量.

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2.函数的定义域是自变量x的取值集合,它是函数的

重要组成部分.有时函数解析式后面含有定义域,有时函
数定义域可以省略.一般地,我们约定:结果不加说明,

所谓函数的定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取
值集合.

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3.求函数值域的常用方法

(1)观察法:对于一些比较简单的函数,其值域可通
过观察得到;

(2)配方法:此是求“二次函数类”值域的基本方法,
即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法;

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(3)分离常数法:此方法主要是针对有理分式,即
将有理分式转化为“反比例函数类”的形式,便于求 值域; (4)换元法:即运用新元代换,将所给函数化成值 域易确定的函数,从而求得原函数的值域.

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