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高中数学公式大全


高中数学常用公式及常用结论

1. 元素与集合的关系 x ∈ A ? x ?C A , x ∈C A ? x ? A . 2.德摩根公式
U U

CU ( A I B) = CU A U CU B; CU ( A U B) = CU A I CU B .

3.包含关系
A I B = A ? A U B = B ? A ? B ? CU B ? CU A ? A I CU B = Φ ? CU A U B = R

4.容斥原理
card ( A U B ) = cardA + cardB ? card ( A I B ) card ( A U B U C ) = cardA + cardB + cardC ? card ( A I B ) ? card ( A I B ) ? card ( B I C ) ? card (C I A) + card ( A I B I C )

. 5.集合 {a , a ,L, a } 的子集个数共有 2 个 ;真子集 有 2 –1 个;非空子集有 2 –1 个;非空的真子集有 2 –2 个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 (1)一般式 f ( x) = ax + bx + c(a ≠ 0) ; (2)顶点式 (2)顶点式 f ( x) = a( x ? h) + k (a ≠ 0) ; (3)零点式 (3)零点式 f ( x) = a( x ? x )( x ? x )(a ≠ 0) . 7.解连不等式 N < f ( x) < M 常有以下转化形式 解连不等式
1 2 n n n n 2 2 1 2 n

N < f ( x) < M ? [ f ( x) ? M ][ f ( x) ? N ] < 0 M +N M ?N f ( x) ? N ? | f ( x) ? |< ? >0 2 2 M ? f ( x) 1 1 ? > . f ( x) ? N M ? N

8. 方 程 f ( x) = 0 在 (k , k ) 上 有 且 只 有 一 个 实 根 , 与 f (k ) f (k ) < 0 不等价, 前者是后者的一 个必要而不是充分 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分 条件.特别地, 条件.特别地, 方程 ax + bx + c = 0(a ≠ 0) 有且只有一个实根
1 2 1 2
2

在 (k , k ) 内,等价于 f (k ) f (k
1 2 1

2

) < 0 , 或 f ( k1 ) = 0 且 k 1 < ?

k + k2 b < 1 2a 2

,

或 f (k

2

) =0且

k1 + k 2 b <? < k2 . 2 2a

9.闭区间上的二次函数的最值 9.闭区间上的二次函数的最值 二次函数 f ( x) = ax + bx + c(a ≠ 0) 在闭区间 [ p, q] 上的最值 处及区间的两端点处取得,具体如下: 只能在 x = ? 2ba 处及区间的两端点处取得,具体如下:
2

(1) 当
f ( x) min = f (?

a>0

时 , 若

x=?

b ∈ [ p, q ] 2a

, 则

b ), f ( x) max = max { f ( p ), f (q )} ; 2a b x = ? ? [ p, q ] , f ( x) max = max { f ( p), f (q)} , f ( x) min = min { f ( p), f (q)} . 2a (2)当 a<0 (2)当 a<0 时, x = ? 2ba ∈ [ p, q], f ( x)min = min { f ( p), f (q)} , 若 则 f 若 x = ? 2ba ? [ p, q], f ( x)max = max { f ( p), f (q)} , ( x)min = min { f ( p), f (q)} . 则

10.一元二次方程的实根分布 10.一元二次方程的实根分布 依据: 依据 : 若 f (m) f (n) < 0 , 则方程 f ( x) = 0 在区间 (m, n) 内 至少有一个实根 . 设 f ( x) = x + px + q ,则 (1)方程 f ( x) = 0 在区间 (m,+∞) 内有根的充要条件为
2

? p 2 ? 4q ≥ 0 ? f (m) = 0 或 ? p ; ?? > m ? 2

( 2 ) 方程 f ( x) = 0 在区间 (m, n) 内有根的充要条件为
? f ( m) > 0 ? f ( n) > 0 ? ? f ( m) = 0 ? f ( m ) f ( n) < 0 或 ? p 2 ? 4q ≥ 0 或 ? 或 ? f (n) = 0 ; ? ?af (n) > 0 ?af (m) > 0 ? p ?m < ? < n ? ? 2

(3)方程 f ( x) = 0 在区间 (?∞, n) 内有根的充要条件为
? p 2 ? 4q ≥ 0 ? f (m) < 0 或 ? p ?? < m ? 2

.

11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件 11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件

依据 (1) 在 给 定 区 间 (?∞,+∞) 的 子 区 间 L ( 形 如 [α , β ] , (? ∞, β ], [α ,+∞ ) 不同)上含参数的二次不等式 f ( x, t ) ≥ 0 ( t 为 不同) 参数) 参数)恒成立的充要条件是 f ( x, t ) ≥ 0( x ? L) . (2)在给定区间 (2) 在给定区间 (?∞,+∞) 的子区间上含参数的二次 不 等 式 f ( x, t ) ≥ 0 ( t 为 参 数 ) 恒 成 立 的 充 要 条 件 是 f ( x, t ) ≤ 0( x ? L) .
min man

(3)

?a ≥ 0 ? f ( x) = ax + bx + c > 0 恒成立的充要条件是 ?b ≥ 0 或 ?c > 0 ?
4 2

?a < 0 . ? 2 ?b ? 4ac < 0

12.真值表 12.真值表 p q 非 p或 p且 p q q 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 13.常见结论的否定形式 13.常见结论的否定形式 原结论 反 设 原结论 词 是 不是 至少有 一个 都是 不 都 至多有 是 一个 大于 不 大 至少有 n个 于 小于 不 小 至多有 n个 于

反设词 一个也没 有 至少有两 个 至 多 有 ( n ? 1 )个 至 少 有 ( n + 1 )个

对所有 存 在 x, 某x, 不 成 成立 立 对任何 存 在 x, 某x, 不成立 成立

p 或q

?p 且 ?q

p 且q

?p 或 ?q

14.四种命题的相互关系 14.四种命题的相互关系 原命题 题 若p则q q则p 互 互 互 否 否 逆 否 否命题 题 若非p 则非q 若非 p 则非 q 则非p 则非p 互逆 若非q 若非 q 逆 否 逆否命 互 为 若 互逆 逆命



15.充要条件 充要条件 充分条件: 充分条件. (1)充分条件:若 p ? q ,则 p 是 q 充分条件. 必要条件. 必要条件: (2)必要条件:若 q ? p ,则 p 是 q 必要条件.

充要条件: (3)充要条件:若 p ? q ,且 q ? p ,则 p 是 q 充要 条件. 条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条 如果甲是乙的充分条件, 件;反之亦然. 反之亦然. 16. 16.函数的单调性 (1)设 (1)设 x ? x ∈ [a, b], x ≠ x 那么
1 2 1 2

( x1 ? x2 ) [ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ] > 0 ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) > 0 ? f ( x)在[a, b] 上 是 增 x1 ? x2

函数; 函数;
( x1 ? x2 ) [ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ] < 0 ?
f ( x1 ) ? f ( x2 ) < 0 ? f ( x)在[a, b ] x1 ? x2

上是减

函数. 函数. (2)设函数 在某个区间内可导, (2)设函数 y = f (x) 在某个区间内可导,如果 f ′( x) > 0 , 则 f (x) 为增函数;如果 f ′( x) < 0 ,则 f (x) 为减函数. 为增函数; 为减函数. 17.如果函数 都是减函数, 17.如果函数 f (x) 和 g (x) 都是减函数,则在公共定义 域内, 也是减函数; 域内 , 和函数 f ( x) + g ( x) 也是减函数 ; 如果函数 y = f (u ) 和 u = g (x) 在其对应的定义域上都是减函数 , 则复合函数 在其对应的定义域上都是减函数, y = f [ g ( x)] 是增函数. 是增函数. 18. 18.奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 奇函数的图象关于原点对称, 轴对称;反过来, y 轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对 那么这个函数是奇函数; 称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关 轴对称,那么这个函数是偶函数. 于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数. 19.若函数 是偶函数, 19.若函数 y = f (x) 是偶函数,则 f ( x + a) = f (? x ? a) ;若 是偶函数, 函数 y = f ( x + a) 是偶函数,则 f ( x + a) = f (? x + a) . 20.对于函数 y = f (x) ( x ∈ R ), f ( x + a) = f (b ? x) 恒成立, 20. 对于函数 恒成立 , 的对称轴是函数 则 函数 f (x) 的对称轴是 函数 x = a + b ; 两个函数 y = f ( x + a)
2 a+b 对称. 与 y = f (b ? x) 的图象关于直线 x = 对称. 2

21. 若

f ( x) = ? f (? x + a ) , 则 函 数 y = f (x) 的 图 象 关 于 点

a ( ,0) 对称 ; 对称; 2

若 f ( x) = ? f ( x + a) , 则 函数 y =
n n ?1

f (x) 为周期为 2a 的

周期函数. 周期函数. 22. 22.多项式函数 P( x) = a x + a x + L + a 的奇偶性 的偶次项( 多项式函数 P( x) 是奇函数 ? P( x) 的偶次项 ( 即奇数 项)的系数全为零. 的系数全为零. 的奇次项( 多项式函数 P( x) 是偶函数 ? P( x) 的奇次项 ( 即偶数 的系数全为零. 项)的系数全为零. 23. 23.函数 y = f ( x) 的图象的对称性 (1) 函 数 y = f ( x) 的 图 象 关 于 直 线 x = a 对 称
n n ?1 0

? f ( a + x ) = f (a ? x ) ? f (2a ? x) = f ( x) .
a+b 2

(2) 函 数

y = f ( x)

的图象关于直线

x=

对称

? f (a + mx) = f (b ? mx) ? f (a + b ? mx) = f (mx) .

24. 24.两个函数图象的对称性 (1) 函 数 y = f ( x) 与 函 数 y = f (? x) 的 图 象 关 于 直 线 x = 0 (即 y 轴)对称. 对称. (2)函数 (2) 函数 y = f (mx ? a) 与函数 y = f (b ? mx) 的图象关于直 对称. 线 x = a + b 对称.
2m

(3)函数 (3)函数 y = 称.

f ( x) 和 y = f

?1

( x) 的图象关于直线

y=x 对

25.若将函数 个单位, 25.若将函数 y = f (x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位, 的图象; 得到函数 y = f ( x ? a) + b 的图象;若将曲线 f ( x, y) = 0 的图象 个单位,得到曲线 的图象. 右移 a 、上移 b 个单位,得到曲线 f ( x ? a, y ? b) = 0 的图象. 26.互为反函数的两个函数的关系 26.互为反函数的两个函数的关系 f (a ) = b ? f (b) = a . 存在反函数, 27.若函数 27. 若函数 y = f (kx + b) 存在反函数 , 则其反函数为 1 y = [ f ( x) ? b] , 并 不 是 y = [ f (kx + b) , 而 函 数 y = [ f (kx + b) 是
?1
?1 ?1 ?1

k

y=

1 [ f ( x) ? b] 的反函数. 的反函数. k

28. 28.几个常见的函数方程 (1)正比例函数 (1)正比例函数 f ( x) = cx , f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ), f (1) = c . (2)指数函数 (2)指数函数 f ( x) = a , f ( x + y ) = f ( x) f ( y), f (1) = a ≠ 0 . (3) 对 数 函 数 f ( x) = log x , f ( xy ) = f ( x) + f ( y ), f (a ) = 1(a > 0, a ≠ 1) . (4)幂函数 (4)幂函数 f ( x) = xα , f ( xy) = f ( x) f ( y), f (1) = α . (5) 余 弦 函 数 f ( x) = cos x , 正 弦 函 数 g ( x) = sin x , f ( x ? y) = f ( x) f ( y) + g ( x) g ( y) , g ( x) f (0) = 1, lim =1.
x a '
x →0

x

29.几个函数方程的周期( a>0) 29.几个函数方程的周期(约定 a>0) T=a (1) f ( x) = f ( x + a) ,则 f (x) 的周期 T=a; (2) f ( x ) = f ( x + a ) = 0 , 或 f ( x + a ) = 1 ( f ( x ) ≠ 0) ,
f ( x) 或 f (x + a) = ? 1 ( f (x) ≠ 0) , f (x) 或 1 + f ( x) ? f 2 ( x) = f ( x + a), ( f ( x) ∈ [0,1]) 2

,则

f (x)

的周期

T=2a; T=2a; 2a (3) f ( x) = 1 ? (4)

1 ( f ( x) ≠ 0) ,则 f (x) 的周期 f ( x + a) f ( x1 ) + f ( x2 ) f ( x1 + x2 ) = 1 ? f ( x1 ) f ( x2 )

T=3a T=3a; 且

f (a ) = 1( f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≠ 1, 0 <| x1 ? x2 |< 2a ) ,则 f (x) 的周期

T=4a T=4a;

(5) f (x) + f (x + a) + f (x + 2a) f (x +3a) + f (x + 4a) T=5a = f (x) f (x + a) f (x + 2a) f (x + 3a) f (x + 4a) ,则 f (x) 的周期 T=5a; (6) f ( x + a) = f ( x) ? f ( x + a) ,则 f (x) 的周期 T=6a. T=6a. 30. 30.分数指数幂 (1) a = 1 ( a > 0, m, n ∈ N ,且 n > 1 ).
m n

?

n

a

m

(2) a

?

m n

=

1 a
m n

( a > 0, m, n ∈ N ,且 n > 1 ).

?

31. 31.根式的性质 (1) ( a ) = a . 为奇数时, (2)当 n 为奇数时, a = a ; 为偶数时, 当 n 为偶数时, a =| a |= ?a, a ≥ 0 . ? ? a, a < 0
n n

n

n

n

n

?

32. 32.有理指数幂的运算性质 (1) a ? a = a (a > 0, r, s ∈ Q) . (2) (a ) = a (a > 0, r , s ∈ Q) . (3) (ab) = a b (a > 0, b > 0, r ∈ Q) . 是一个无理数, 注: 若 a>0,p 是一个无理数,则 ap 表示一个 确定的实数.上述有理指数幂的运算性质, 确定的实数.上述有理指数幂的运算性质,对于无理 数指数幂都适用. 数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式 33.指数式与对数式的互化式
r s r+s r s r rs r r

log a N = b ? a b = N (a > 0, a ≠ 1, N > 0) .

34.对数的换底公式 34. log N log N = ( a > 0 ,且 a ≠ 1 , m > 0 ,且 m ≠ 1 ,
m a

log m a

N > 0 ).

推论
N > 0 ).

log am b n =

n log a b ( a > 0 ,且 a > 1 , m, n > 0 ,且 m ≠ 1 , n ≠ 1 , m

35. 35.对数的四则运算法则 若 a> 0 , a ≠ 1, M > 0 , N> 0, 则 (1) log (MN ) = log M + log N ; (2) log M = log M ? log N ;
a a a a

N
n

a

a

(3) log M = n log M (n ∈ R) . 36. 设 函 数 f ( x) = log (ax + bx + c)(a ≠ 0) , 记 ? = b ? 4ac . 若 f (x) 的定义域为 R ,则 a > 0 ,且 ? < 0 ;若 f ( x) 的值域为 R ,则 的定义域为 a > 0 ,且 ? ≥ 0 .对于 a = 0 的情形,需要单独检验. 的情形,需要单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广
a a

2

2

m

ax (bx ) a (1) 当 a > b 时 , 在 (0, 1 ) 和 ( 1 , +∞) 上 y = log ax (bx) a a

若 a > 0 , b > 0 , x > 0 , x ≠ 1 ,则函数 y = log

为增函

数.


(2)当 (2)当 a < b 时,在 (0, 1 ) 和 ( 1 , +∞) 上 y = log
a a

ax

(bx) 为减函数. 为减函数.

推论:设 推论 设 n > m > 1, p > 0 , a > 0 ,且 a ≠ 1 ,则 (1) log (n + p) < log n . ) (2) log m log n < log m + n . )
m+ p m

2

a

a

a

2

38. 平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为 N,平均增长率为 p ,则 对于时间 x 的总产值 y ,有 y = N (1 + p) . 39. 39.数列的同项公式与前 n 项的和的关系
x

n =1 ? s1 , an = ? ? sn ? sn ?1 , n ≥ 2
sn = a1 + a2 + L + an ).

( 数列

{an }

的前 n 项的和为

40.等差数列的通项公式 40.等差数列的通项公式
an = a1 + (n ? 1)d = dn + a1 ? d (n ∈ N * ) ;

其前 n 项和公式为
n(a1 + an ) n(n ? 1) = na1 + d 2 2 d 1 = n 2 + (a1 ? d )n . 2 2 sn =

41.等比数列的通项公式 41.等比数列的通项公式 a a = a q = ? q (n ∈ N ) ;
n ?1
1

n

*

n

1

q

其前 n 项的和公式为
? a1 (1 ? q n ) ,q ≠1 ? sn = ? 1 ? q ?na , q = 1 ? 1

? a1 ? an q ,q ≠1 或 sn = ? 1 ? q . ? ?na , q = 1 ? 1

42. 42. 等比差数列 {a } : a
n

n +1

= qan + d , a1 = b(q ≠ 0) 的通项公式


?b + (n ? 1)d , q = 1 ? an = ? bq n + (d ? b)q n ?1 ? d ; ,q ≠1 ? q ?1 ?

其前 n 项和公式为
?nb + n(n ? 1)d , (q = 1) ? sn = ? . d 1 ? qn d n, (q ≠ 1) (b ? ) + ? 1 ? q q ?1 1 ? q ?

43.分期付款 按揭贷款 分期付款(按揭贷款 分期付款 按揭贷款) 次还清,每期利率 每次还款 x = ab(1 + b) 元 (贷款 a 元 , n 次还清 每期利率 贷款
n

(1 + b)n ? 1

为 b ). 44.常见三角不等式 . (1)若 x ∈ (0, π ) ,则 sin x < x < tan x . ) (2) 若 x ∈ (0, π ) ,则1 < sin x + cos x ≤
2

2

2.

(3) | sin x | + | cos x |≥ 1 . 45. 45.同角三角函数的基本关系式 sin θ sin θ + cos θ = 1 , tan θ = , tan θ ? cotθ = 1 .
2 2

cosθ

46.正弦、 46.正弦、余弦的诱导公式
(n 为偶数)

(n 为奇数)

n ? nπ ?(?1) 2 sin α , sin( + α ) = ? n ?1 2 ?(?1) 2 co s α , ?

(n 为偶数)

? nπ ?( ?1) co s α , +α) = ? co s( n +1 2 ?( ?1) 2 sin α , ?
n 2

(n 为奇数)

47. 47.和角与差角公式
sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β

; cos(α ± β ) = cos α cos β m sin α sin β ; tan α ± tan β tan(α ± β ) = .
1 m tan α tan β
2 2

(平方正弦公式); 平方正弦公式) cos(α + β ) cos(α ? β ) = cos α ? sin β . a sin α + b cos α = a + b sin(α + ? ) ( 辅助角 ? 所在象限由点 b (a, b) 的象限决定, tan ? = 的象限决定, ).
2 2

sin(α + β ) sin(α ? β ) = sin 2 α ? sin 2 β

a

48. 48.二倍角公式 sin 2α = sin α cos α .
cos 2α = cos 2 α ? sin 2 α = 2 cos 2 α ? 1 = 1 ? 2sin 2 α 2 tan α tan 2α = . 1 ? tan 2 α

.

49. 三倍角公式
sin 3θ = 3sin θ ? 4 sin 3 θ = 4sin θ sin( ? θ ) sin( + θ ) . 3 3 cos 3θ = 4 cos3 θ ? 3cos θ = 4 cos θ cos( ? θ ) cos( + θ ) 3 3 3 tan θ ? tan 3 θ π π tan 3θ = = tan θ tan( ? θ ) tan( + θ ) . 2 1 ? 3 tan θ 3 3

π

π

π

π

.

50. 50.三角函数的周期公式 R(A 函数 y = sin(ω x + ? ) ,x∈R 及函数 y = cos(ω x + ? ) ,x∈R(A, 为常数, ω , ? 为常数 , 且 A ≠ 0 , ω > 0) 的周期 T = 2π ; 函数
y = tan(ω x + ? ) , x ≠ kπ +

π
2

ω

,k ∈Z

为常数, (A,ω, ? 为常数,且 A≠0,ω

>0)的周期 T = π .
ω

51. 51.正弦定理

a b c = = = 2R . sin A sin B sin C

52. 52.余弦定理
a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A ; b 2 = c 2 + a 2 ? 2ca cos B ; c 2 = a 2 + b 2 ? 2ab cos C .

53. 53.面积定理 (1) S = 1 ah = 1 bh
2
a

2

b

=

1 chc ( ha、hb、hc 分别表示 2

a 、b 、 c

边上的高) 边上的高). (2) S = 1 ab sin C = 1 bc sin A = 1 ca sin B . (3) S
?OAB

2 2 2 uuu uuu 2 uuu uuu 2 r r r r 1 = (| OA | ? | OB |) ? (OA ? OB) 2

.

54. 54.三角形内角和定理 在△ABC 中,有 A + B + C = π ? C = π ? ( A + B) C π A+ B ? = ? ? 2C = 2π ? 2( A + B) .
2 2 2

55. 简单的三角方程的通解 简单的三角方程的通解
sin x = a ? x = kπ + (?1)k arcsin a (k ∈ Z ,| a |≤ 1) . co s x = a ? x = 2kπ ± arccos a (k ∈ Z ,| a |≤ 1) . tan x = a ? x = kπ + arctan a (k ∈ Z , a ∈ R) .

特别地, 特别地,有
sin α = sin β ? α = kπ + (?1) k β (k ∈ Z ) . co s α = cos β ? α = 2kπ ± β (k ∈ Z ) . tan α = tan β ? α = kπ + β (k ∈ Z ) .

56.最简单的三角不等式及其解集 56.最简单的三角不等式及其解集
sin x > a (| a |≤ 1) ? x ∈ (2kπ + arcsin a, 2kπ + π ? arcsin a ), k ∈ Z

. sin x < a (| a |≤ 1) ? x ∈ (2kπ ? π ? arcsin a, 2kπ + arcsin a ), k ∈ Z . cos x > a (| a |≤ 1) ? x ∈ (2kπ ? arccos a, 2kπ + arccos a ), k ∈ Z .
cos x < a (| a |≤ 1) ? x ∈ (2kπ + arccos a, 2kπ + 2π ? arccos a ), k ∈ Z . tan x > a (a ∈ R) ? x ∈ (kπ + arctan a, kπ + ), k ∈ Z . 2

π

tan x < a (a ∈ R ) ? x ∈ (kπ ?

π
2

, kπ + arctan a ), k ∈ Z .

57.实数与向量的积的运算律 57.实数与向量的积的运算律 为实数, 设λ、μ为实数,那么 结合律: =(λμ λμ) (1) 结合律:λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律 第一分配律: (2)第一分配律:(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律 第二分配律: )=λ (3)第二分配律:λ(a+b)=λa+λb. 58.向量的数量积的运算律 向量的数量积的运算律: 58.向量的数量积的运算律: b· 交换律) (1) a·b= b·a (交换律); (2)( · ( (2)( λ a) b= λ (a·b)= λ a·b= a· λ b); (3)(a+b) c= a ·c +b·c. (3)( · +b· 59.平面向量基 平面向量基本定理 59.平面向量基本定理 是同一平面内的两个不共线向量, 如果 e1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那 么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ 么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ a=λ 1、λ2,使得 a=λ1e1+λ2e2. 不共线的向量 e1、2 叫做表示这一平面内所有向量的 e 一组基底. 一组基底. 基底 60. 60.向量平行的坐标表示 设 a = ( x , y ) , b= ( x , y ) , 且 b ≠ 0 , 则 a b(b ≠ 0) ? x y ? x y = 0 . 数量积(或内积) 53. a 与 b 的数量积(或内积) =|a||b|cosθ a·b=|a||b|cosθ. 61. a·b 的几何意义 · 的长度|a|与 数量积 a·b 等于 a 的长度 与 b 在 a 的方向上 · 的投影|b|cosθ的乘积. 的投影 θ的乘积. 62.平面向量的坐标运算 62.平面向量的坐标运算 (1)设 (1)设 a= ( x , y ) ,b= ( x , y ) ,则 a+b= ( x + x , y + y ) . (2)设 (2)设 a= ( x , y ) ,b= ( x , y ) ,则 a-b= ( x ? x , y ? y ) . uuu uuu uuu r r r (3)设 (3)设 A ( x , y ) ,B ( x , y ) ,则 AB = OB ? OA = ( x ? x , y ? y ) . (4)设 (4)设 a= ( x, y ), λ ∈ R ,则 λ a= (λ x, λ y ) .
1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2

2

1

2

1

(5)设 (5)设 a= ( x , y ) ,b= ( x , y ) ,则 a·b= ( x x + y y ) . 63.两向量的夹角公式 63.两向量的夹角公式 xx +yy cos θ = (a= ( x , y ) ,b= ( x , y ) ).
1 1 2 2 1 2 1 2
1 2 1 2 2 2 x + y ? x2 + y2 2 1 2 1 1 1 2 2

64. 64.平面两点间的距离公式 uuu r uuu uuu r r d = | AB |= AB ? AB = ( x ? x ) + ( y ? y ) (A ( x , y ) ,B ( x , y ) ). 65.向量的平行与垂直 65.向量的平行与垂直 设 a= ( x , y ) , b = ( x , y ) , 且 b ≠ 0 , 则 ||b A||b ? b=λa ? x y ? x y = 0 . a ⊥ b(a ≠ 0) ? a·b=0 ? x x + y y = 0 . 66.线段的定比分公式 66. 的分点, 设 P ( x , y ) , P ( x , y ) , P( x, y ) 是线段 P P 的分点, λ 是实 uuu r uuur 数,且 P P = λ PP ,则
A, B

2

2

2

1

2

1

1

1

2

2

1

1

2

2

1

2

2 1

1 2

1 2

1

1

1

2

2

2

1 2

1

2

x1 + λ x2 ? uuur uuur ?x = 1+ λ uuu OP + λ OP r ? 2 ? OP = 1 ? y1 + λ y2 1+ λ ?y = ? 1+ λ ? uuu r uuur uuur 1 ? OP = tOP + (1 ? t )OP2 ( t = 1 1+ λ

).

67. 67.三角形的重心坐标公式 △ ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x ,y )、 B(x ,y ) 、 x +x +x y +y +y C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是 G ( , ).
1 1 2 2
1 2 3 1 2 3

3

3

3

3

68. 68.点的平移公式
uuur uuu uuur r ? x' = x + h ? x = x' ? h ? ? ? OP ' = OP + PP ' ?? ? ' ' ?y = y + k ?y = y ? k ? ?

.
'

P(x,y)在平移 在平移后图形 注:图形 F 上的任意一点 P(x,y)在平移后图形 F uuur 上的对应点为 P ( x , y ) ,且 PP 的坐标为 (h, k ) . 69.“按向量平移” 69.“按向量平移”的几个结论 (1) P( x, y ) 按向量 a= (h, k ) 平移后得到点 P ( x + h, y + k ) . 点 (2) 函数 y = f ( x) 的图象 C 按向量 a= (h, k ) 平移后得到
' ' ' ' '

图象 C ,则 C 的函数解析式为 y = f ( x ? h) + k . (3) 图象 C 按向量 a= (h, k ) 平移后得到图象 C ,若 C 的解析式 y = f ( x) ,则 C 的函数解析式为 y = f ( x + h) ? k . (4)曲线 (4)曲线 C : f ( x, y ) = 0 按向量 a= (h, k ) 平移后得到图象 C ,则 C 的方程为 f ( x ? h, y ? k ) = 0 . (5) 向量 m= ( x, y) 按向量 a= (h, k ) 平移后得到的向量 仍然为 m= ( x, y) . 三角形五“ 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件 所在平面上一点, 设 O 为 ?ABC 所在平面上一点,角 A, B, C 所对边长分 别为 a, b, c ,则 uuu r uuu r uuur (1) O 为 ?ABC 的外心 ? OA = OB = OC . uuu uuu uuur r r r (2) O 为 ?ABC 的重心 ? OA + OB + OC = 0 . uuu uuu uuu uuur uuur uuu r r r r (3) O 为 ?ABC 的垂心 ? OA ? OB = OB ? OC = OC ? OA . uuu r uuu r uuur r (4) O 为 ?ABC 的内心 ? aOA + bOB + cOC = 0 . uuu r uuu r uuur (5) O 为 ?ABC 的 ∠A 的旁心 ? aOA = bOB + cOC . 71.常用不等式: 71.常用不等式: 时取“=” (1) a, b ∈ R ? a + b ≥ 2ab (当且仅当 a=b 时取“=” 号). 时取“=” (2) a, b ∈ R ? a + b ≥ ab (当且仅当 a=b 时取“=”
' ' ' ' ' '

2

2

2

2

2

+

2

号). (3) a + b + c ≥ 3abc(a > 0, b > 0, c > 0). (4)柯西不等式
3 3 3

(a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥ (ac + bd )2 , a, b, c, d ∈ R.

2

(5) a ? b ≤ a + b ≤ a + b . 72. 72.极值定理 都是正数, 已知 x, y 都是正数,则有 (1)若积 xy 是定值 p ,则当 x = y 时和 x + y 有最小值 p; (2)若和 x + y 是定值 s ,则当 x = y 时积 xy 有最大值

1 2 s . 4

推广 已知 x, y ∈ R ,则有 ( x + y) = ( x ? y ) + 2 xy 是定值, 最大时, 最大; (1)若积 xy 是定值,则当 | x ? y | 最大时, | x + y | 最大; 最小时, 最小. 当 | x ? y | 最小时, | x + y | 最小. 是定值, 最大时, ( 2 ) 若和 | x + y | 是定值 , 则当 | x ? y | 最大时 , | xy | 最 小; 最小时, 最大. 当 | x ? y | 最小时, | xy | 最大. 73. 73. 一 元 二 次 不 等 式 ax + bx + c > 0(或 < 0) (a ≠ 0, ? = b ? 4ac > 0) ,如果 a 与 ax + bx + c 同号, 同号, 则其解集在两根之外;如果 a 与 ax + bx + c 异号,则其解 则其解集在两根之外; 异号, 集在两根之间.简言之:同号两根之外, 集在两根之间.简言之:同号两根之外,异号两根之 间. x < x < x ? ( x ? x )( x ? x ) < 0( x < x ) ; x < x , 或x > x ? ( x ? x )( x ? x ) > 0( x < x ) . 74. 74.含有绝对值的不等式 当 a> 0 时,有 x < a ? x < a ? ?a < x < a . x >a? x >a ? x>a或 x < ?a . 75. 75.无理不等式
2 2
2 2
2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2
2

2

2

(1)

(2)

? f ( x) ≥ 0 ? f ( x) > g ( x) ? ? g ( x) ≥ 0 . ? f ( x) > g ( x ) ? ? f ( x) ≥ 0 ? f ( x) ≥ 0 ? f ( x) > g ( x) ? ? g ( x) ≥ 0 或? . ? f ( x) > [ g ( x)]2 ? g ( x) < 0 ? ? f ( x) ≥ 0 ? f ( x) < g ( x) ? ? g ( x) > 0 . ? f ( x) < [ g ( x)]2 ?

(3)

a f ( x)

76. 76.指数不等式与对数不等式 (1)当 a > 1 时, (1)当 >a ? f ( x ) > g ( x) ;
g ( x)

? f ( x) > 0 ? log a f ( x) > log a g ( x) ? ? g ( x) > 0 . ? f ( x) > g ( x ) ?

(2)当 (2)当 0 < a < 1 时,
a f ( x ) > a g ( x ) ? f ( x) < g ( x) ;

? f ( x) > 0 ? log a f ( x) > log a g ( x) ? ? g ( x) > 0 ? f ( x) < g ( x) ?

77.斜率公式 斜率公式 y ?y k= ( P ( x , y ) 、 P ( x , y ) ).
2 1

x2 ? x1

1

1

1

2

2

2

78.直线的五种方程 直线的五种方程 ( 1)点斜式 y ? y = k ( x ? x ) ( 直线 l 过点 P ( x , y ) , 且 ) 斜率为 k ). . 轴上的截距) (2) 斜截式 y = kx + b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距). ( 3 ) 两点式 y ? y = x ? x ( y ≠ y )( P ( x , y ) 、 P ( x , y )
1 1 1 1 1 1 1

y2 ? y1

x2 ? x1

1

2

1

1

1

2

2

2

(x

1

≠ x2 )).

(4)截距式 (4)截距式

x y + = 1 ( a、b 分别为直线的横 、 纵截 分别为直线的横、 a b

距, a、b ≠ 0 ) (5)一般式 Ax + By + C = 0 (其中 A、B 不同时为 0). 其中 、 79.两条直线的平行和垂直 两条直线的平 两条直线的 (1)若 l : y = k x + b , l : y = k x + b 若 ① l || l ? k = k , b ≠ b ; ② l ⊥ l ? k k = ?1 . (2)若 l : A x + B y + C = 0 , l : A x + B y + C = 0 ,且 A1、A2、B1、 若 且 B2 都不为零 都不为零, ① l || l ? A = B ≠ C ;
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2

A2

B2

C2
2

②l ⊥ l ? A A + B B 80.夹角公式 夹角公式
1 2 1 2 1

= 0;

(1) tan α =| k
1 1

? k1 |. 1 + k2 k1
2

(l : y = k x +b ,l : y = k x +b ,k k (2) tan α =| A B ? A B | .
1 2 2 2 1 2 2 1

1 2

≠ ?1 )

A1 A2 + B1 B2
1

( l : A x + B y + C = 0 , l : A x + B y + C = 0 , A A + B B ≠ 0 ). 直线 l ⊥ l 时,直线 l1 与 l2 的夹角是 π .
1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2

2

81. l 到 l 的角公式 (1) tan α = k ? k .
1 2 2 1

1 + k2 k1
1

(l : y = k x +b ,l : y = k x +b ,k k (2) tan α = A B ? A B .
1 1 2 2 2 1 2 2 1

1 2

≠ ?1 )

A1 A2 + B1 B2
1

(l : A x + B y + C = 0 ,l : A x + B y + C = 0 , A A + B B 直线 l ⊥ l 时,直线 l1 到 l2 的角是 π .
1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2

2

≠ 0 ).

2

82. 82.四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程 定点直线系方程: (1)定点直线系方程:经过定点 P ( x , y ) 的直线系 ),其中 是待定的系数; 方程为 y ? y = k ( x ? x ) (除直线 x = x ),其中 k 是待定的系数; 经过定点 P ( x , y ) 的直线系方程为 A( x ? x ) + B( y ? y ) = 0 ,其中 A, B 是待定的系数. 是待定的系数. (2) 共 点 直 线 系 方 程 : 经 过 两 直 线 l : A x + B y + C = 0 , l : A x + B y + C = 0 的交点的直线系方程为 ( A x + B y + C ) + λ ( A x + B y + C ) = 0 ( 除 l ) , 其中 λ 是待定的系 其中λ 数. 平行直线系方程: (3)平行直线系方程:直线 y = kx + b 中当斜率 k 一 变动时, 表示平行直线系方程. 定而 b 变动时 , 表示平行直线系方程 . 与直线 Ax + By + C = 0 平行的直线系方程是 Ax + By + λ = 0 ( λ ≠ 0 ), λ 是参变量. 是参变量. 垂直直线系方程: (A≠ (4)垂直直线系方程:与直线 Ax + By + C = 0 (A≠0, 0)垂直的直线系方程是 是参变量. B≠0)垂直的直线系方程是 Bx ? Ay + λ = 0 ,λ是参变量. 83.点到直线的距离 点到直线的距离
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2

d=

| Ax0 + By0 + C | A2 + B 2

(点 P( x , y ) ,直线 l : Ax + By + C = 0 ). 点 直线
0 0

84. Ax + By + C > 0 或 < 0 所表示的平面区域 所表示的平面区域 所表示的平 设直线 l : Ax + By + C = 0 , Ax + By + C > 0 或 < 0 所表示的平 则 面区域是 面区域是: 同号时,表示直线 若 B ≠ 0 ,当 B 与 Ax + By + C 同号时,表示直线 l 的上方 异号时, 表示直线 的下方的区 区域; 表示直线 l 的下方的区 的区域; B 与 Ax + By + C 异号时, 当 简言之,同号在上 异号在下. 域.简言之 同号在上 异号在下 简言之 同号在上,异号在下 同号时,表示直线 若 B = 0 ,当 A 与 Ax + By + C 同号时,表示直线 l 的右方 区域; 异号时, 表示直线 的左方的区 的区域; A 与 Ax + By + C 异号时, 当 表示直线 l 的左方的区 简言之,同号在右 异号在左. 同号在右,异号在左 域. 简言之 同号在右 异号在左 所表示的平面区 85. ( A x + B y + C )( A x + B y + C ) > 0 或 < 0 所表示的 平面区 域 ,则 设曲线 C : ( A x + B y + C )( A x + B y + C ) = 0 ( A A B B ≠ 0 ) 则 , ( A x + B y + C )( A x + B y + C ) > 0 或 < 0 所 表 示 的 平 面 区 域 是: ( A x + B y + C )( A x + B y + C ) > 0 所表 示的 平面区域 上下两 所表示的平面区域上下两 示的平面区域 部分; 部分; ( A x + B y + C )( A x + B y + C ) < 0 所表示的 平面区域 上下两 所表示的平面区域 平面区域上下两 部分. 部分. 86. 圆的四种方程 圆的四种 四种方程 (1)圆的标准方程 ( x ? a) + ( y ? b) = r . (2)圆的一般方程 x + y + Dx + Ey + F = 0 ( D + E ? 4F > 0). 圆的参数方程 ? (3)圆的参数方程 ? x = a + r cosθ .
1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

? y = b + r sin θ
1

圆 直径式方程 (4) 的直径式方程 ( x ? x )( x ? x ) + ( y ? y )( y ? y ) = 0 (圆 的直径的端点是 A( x , y ) 、 B( x , y ) ). 87. 圆系方程 (1)过点 (1)过点 A( x , y ) , B( x , y ) 的圆系方程是
2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2

( x ? x1 )( x ? x2 ) + ( y ? y1 )( y ? y2 ) + λ[( x ? x1 )( y1 ? y2 ) ? ( y ? y1 )( x1 ? x2 )] = 0 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) + ( y ? y1 )( y ? y2 ) + λ (ax + by + c) = 0

, 其 中 ax + by + c = 0 是
2 2

方程, 是待定的系数. 直线 AB 的方程,λ是待定的系数. (2)过直线 (2)过直线 l : Ax + By + C = 0 与圆 C : x + y + Dx + Ey + F = 0 的 交点的圆系方程是 x + y + Dx + Ey + F + λ ( Ax + By + C ) = 0 , λ 是 待定的系数. 待定的系数. (3) 过 圆 C : x + y + D x + E y + F = 0 与 圆 C : x + y +D x+E y+F =0 的 交 点 的 圆 系 方 程 是 x + y + D x + E y + F + λ(x + y + D x + E y + F ) = 0 , λ 是 待 定 的 系 数. 88.点与圆的位置关系 88.点与圆的位置关系 点 P( x , y ) 与圆 ( x ? a) + ( y ? b) = r 的位置关系有三种 若 d = (a ? x ) + (b ? y ) ,则 d > r ? 点 P 在圆外 ; d = r ? 点 P 在圆上 ; d < r ? 点 P 在圆外; 在圆上; 在圆内. 在圆内. 89.直线与圆的位置关系 89.直线与圆的位置关系 直线 Ax + By + C = 0 与圆 ( x ? a) + ( y ? b) = r 的位置关系有 三种: 三种: d > r ? 相离 ? ? < 0 ; d = r ? 相切 ? ? = 0 ; d < r ? 相交 ? ? > 0 .
2 2
2 2

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

2

2

2

2

2

2

0

0

2

2

0

0

2

2

2

其中 d =

Aa + Bb + C A2 + B 2

.
=d

90.两圆位置关系的判定方法 90.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1, 2, O 半径分别为 r1, 2, O r O d > r + r ? 外离 ? 4条公切线 ; d = r + r ? 外切 ? 3条公切线 ; r ? r < d < r + r ? 相交 ? 2条公切线 ; d = r ? r ? 内切 ? 1条公切线 ;
1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

0 < d < r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线 .

91.圆的切线方程 91.圆的切线方程 (1)已知圆 (1)已知圆 x + y + Dx + Ey + F = 0 . 若已知切点 在圆上,则切线只有一条, ①若已知切点 ( x , y ) 在圆上,则切线只有一条, 其方程是 D ( x + x) E ( y + y ) x x+ y y+ + + F = 0.
2 2 0 0
0 0 0 0

2

2

当 (x , y ) 圆 外 时 ,
0 0

x0 x + y0 y +

D( x0 + x) E ( y0 + y ) + +F =0表 2 2

示过两个切点的切点弦方程. 过两个切点的切点弦方程. ②过圆外一点的切线方程可设为 y ? y = k ( x ? x ) , 这时必有两条切线, 再利用相切条件求 k,这时必有两条切线,注意不 轴的切线. 要漏掉平行于 y 轴的切线. ③斜率为 k 的切线方程可设为 y = kx + b ,再利用 必有两条切线. 相切条件求 b,必有两条切线. (2)已知圆 (2)已知圆 x + y = r . ①过圆上的 P ( x , y ) 点的切线方程为 x x + y y = r ; ②斜率为 k 的圆的切线方程为 y = kx ± r 1 + k . 92. 92.椭圆 x + y = 1(a > b > 0) 的参数方程是 ? x = a cosθ . ?
0 0 2 2 2
2

0

0

0

0

0

2

2

2

a2
2

b2

? y = b sin θ

93. 93.椭圆 x

y2 = 1(a > b > 0) 焦半径公式 a2 b2 a2 a2 PF1 = e( x + ) , PF2 = e( ? x) . c c

+

94.椭圆的的内外部 94.椭圆的的内外部 ( 1 ) 点 P( x , y ) 在 椭 圆
0 0 2 2 x0 y0 ? 2 + 2 <1. a b

x2 y2 + = 1(a > b > 0) a2 b2

的内部

(2)点
?
2 2 x0 y0 + 2 > 1. a2 b

P ( x0 , y0 )

在椭圆

x2 y2 + = 1(a > b > 0) a2 b2

的外部

椭圆的切线方程 95. 椭圆的切线方程

(1)椭圆 (1) 椭圆 x 程是 x x + y y = 1 .
a
0 2

2

a2

+

y2 = 1(a > b > 0) b2

上一点 P( x , y ) 处的切线方
0 0

b

0 2

( 2 ) 过椭圆 x
0 2 0 2

2

a2

+

y2 = 1(a > b > 0) 外一点 P ( x0 , y0 ) 所引两条 b2

切线的切点弦方程是 xx y y + = 1.
a b x2 y2 (3)椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 与直线 Ax + By + C = 0 相切的条 a b

件是 A a + B b = c . 96. 96.双曲线 x
2 2 2 2 2

y2 ? = 1(a > 0, b > 0) 的焦半径公式 a2 b2 a2 a2 PF1 =| e( x + ) | , PF2 =| e( ? x) | . c c x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) a2 b2

2

97.双曲线 97.双曲线的内外部 双曲 (1) 点 P( x , y ) 在 双 曲 线
0 0

的内部

?

2 2 x0 y0 ? 2 >1. a2 b

(2) 点
2 2 x0 y0 ? 2 ? 2 <1. a b

P ( x0 , y0 )

在双曲线

x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) a2 b2

的外部

98.双曲线的方程与渐近线方程的关系 98.双曲线的方程与渐近线方程的关系 双曲 (1 ) 若双曲线方程为 x ? y = 1 ? 渐近线方程 :
2 2

a2

b2

x2 y2 b ? = 0 ? y = ± x. a2 b2 a

(2)若 (2) 若 渐近线方程为 y = ± b x ?
a

x y ± = 0 ? 双曲线可设 a b

为x
a

2 2

?

y = λ. b2
2

2

(3)若 (3) 若 双曲线与 x

a2

?

y2 = 1 有公共渐近线 , 可设为 有公共渐近线, b2

x2 y2 ? = λ( λ > 0 , 焦点在 a2 b2

轴上, 轴上) x 轴上,λ < 0 , 焦点在 y 轴上) .

双曲线的切线方程 99. 双曲线的切线方程

(1)双曲线 x 1)双曲线 方程是 x x ? y y = 1 .
a
0 2

2

a2

?

y2 = 1(a > 0, b > 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线 b2

b

0 2

过双曲线 x (2 )
0 2 0 2

2

a2

?

y2 = 1(a > 0, b > 0) 外一点 P ( x0 , y0 ) 所引两 b2

条切线的切点弦方程是 xx y y ? = 1.
a b x2 y 2 ( 3 ) 双 曲线 2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 与直线 Ax + By + C = 0 相切 a b

的条件是 A a ? B b = c . 100. 100. 抛物线 y = 2 px 的焦半径公式 抛物线 y = 2 px( p > 0) 焦半径 CF = x + p .
2 2 2 2 2

2

2

0

2

过焦点弦长 CD = x 101. 101. 抛 物 线
P (2 pt 2 ,2 pt )或
o o

1

+

p p + x 2 + = x1 + x 2 + p . 2 2
2

y 2 = 2 px

上 的 动 点 可 设 为 P (y
yo2 = 2 pxo . + bx + c = a( x +

o

2p

, yo )



b 2 4ac ? b2 ) + (a ≠ 0) 的 图 2a 4a 2 象是抛物线 ( 抛物线: (2 象是抛物线 : 1 )顶点坐标为 (? b , 4ac ? b ) ; 2)焦点 ( 2a 4a b 4ac ? b 2 + 1 4ac ? b 2 ? 1 ) ; 3)准线方程是 y = (3 的坐标为 (? , ( . 2a 4a 4a
2

P ( x , y ) ,其中 102. 102. 二 次 函 数 y = ax

? y2

? y2

? y2

? x2

103.抛物线的内外部 103.抛物线的内外部 (1) 点 P( x , y ) 在 抛 物 线 y = 2 px( p > 0) 的 内 部 < 2 px( p > 0) . 点 P( x , y ) 在抛物线 y = 2 px( p > 0) 的外部 ? y > 2 px( p > 0) . (2) 点 P( x , y ) 在 抛 物 线 y = ?2 px( p > 0) 的 内 部 < ?2 px( p > 0) . 点 P( x , y ) 在 抛 物 线 y = ?2 px( p > 0) 的 外 部 > ?2 px( p > 0) . (3) 点 P( x , y ) 在 抛 物 线 x = 2 py ( p > 0) 的 内 部 < 2 py ( p > 0) .
2 0 0 2 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0

点 P( x , y ) 在抛物线 x = 2 py ( p > 0) 的外部 ? x > 2 py( p > 0) . (4) 点 P( x , y ) 在 抛 物 线 x = 2 py ( p > 0) 的 内 部 ? x < 2 py ( p > 0) . 点 P( x , y ) 在 抛 物 线 x = ?2 py( p > 0) 的 外 部 ? x > ?2 py ( p > 0) . 抛物线的切线方程 104. 抛物线的切线方程 (1) 抛物线 y = 2 px 上一点 P( x , y ) 处的切线方程是 y y = p( x + x ) . (2) 抛物线 y = 2 px 外一点 P( x , y ) 所引两条切线的 过 切点弦方程是 y y = p(x + x ) . (3)抛物线 y = 2 px( p > 0) 与直线 Ax + By + C = 0 相切的条 件是 pB = 2 AC . 105.两个常见的曲线系方程 105.两个常见的曲线系方程 (1)过曲线 (1)过曲线 f ( x, y) = 0 , f ( x, y ) = 0 的交点的曲线系方程是 f ( x, y) + λ f ( x, y) = 0 ( λ 为参数). 为参数). (2)共焦点的有心圆锥曲线系方程 (2) 共焦点的有心圆锥曲线系方程 x + y = 1 , 其
2 2 0 0 2 0 0 2 2 0 0 2

2

0

0

0

0

2

0

0

0

0

2

2

1

2

1

2

2

2

a2 ? k

b2 ? k



时,表示椭圆; 当 min{a , b } < k < max{a , b } 时,表示双曲线. 表示双曲线. 106. 106. 直 线 与 圆 锥 曲 线 相 交 的 弦 长 公 式 AB = ( x ? x ) + ( y ? y ) 或 AB = (1 + k )( x ? x ) =| x ? x | 1 + tan α =| y ? y | 1 + co t α 弦端 (
2 2 2 2

k < max{a 2 , b 2 }

.当

k > min{a 2 , b 2 }

2

2

1

2

1

2

2

2

2

2

2

1

1

2

1

2

点 A ( x , y ), B( x
1 1

2

, y2 )

,由方程

? y = kx + b ? ?F( x , y) = 0

消去 y 得到

ax 2 + bx + c = 0 , ? > 0 , α 为直线 AB 的倾斜角, k 为直线的斜 的倾斜角,

率). 107. 107.圆锥曲线的两类对称问题 (1)曲线 F ( x, y ) = 0 关于点 P( x , y ) 成中心对称的曲线 是 F (2 x -x, 2 y ? y) = 0 . (2)曲线 F ( x, y ) = 0 关于直线 Ax + By + C = 0 成轴对称的
0 0 0 0

曲线是
F (x ? 2 A( Ax + By + C ) 2 B ( Ax + By + C ) ,y? ) = 0. 2 2 A +B A2 + B 2

108. 108.“四线”一方程 对于一般的二次曲线 Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0 , x x 用 代 x ,用 y y 代 y ,用 x y + xy 代 xy ,用 x + x 代 x ,用 y + y 代
2 2 0
2 2 0 0 0 0 0

2

2

2

y 即得方程 x y + xy0 x +x y +y Ax0 x + B ? 0 + Cy0 y + D ? 0 +E? 0 + F = 0 , 曲线的切线 , 曲线的切线, 2 2 2

切点弦,中点弦,弦中点方程均是此方程得到. 切点弦,中点弦,弦中点方程均是此方程得到. 109. 109.证明直线与直线的平行的思考途径 (1)转化为判定共面二直线无交点; )转化为判定共面二直线无交点; (2)转化为二直线同与第三条直线平行; )转化为二直线同与第三条直线平行; (3)转化为线面平行; )转化为线面平行; (4)转化为线面垂直; )转化为线面垂直; (5)转化为面面平行 )转化为面面平行. 110.证明直线与平面的平行的思考途径 . (1)转化为直线与平面无公共点; )转化为直线与平面无公共点; 线与平面无公共点 (2)转化为线线平行; )转化为线线平行; (3)转化为面面平行 )转化为面面平行. 111.证明平面与平面平行的思考途径 . (1)转化为判定二平面无公共点; )转化为判定二平面无公共点; (2)转化为线面平行; )转化为线面平行; (3)转化为线面垂直. )转化为线面垂直 112.证明直线与直线的垂直的思考途径 . (1)转化为相交垂直; )转化为相交垂直; (2)转化为线面垂直; )转化为线面垂直; (3)转化为线与另一线的射影垂直; )转化为线与另一线的射影垂直; (4)转化为线与形成射影的斜线垂直 )转化为线与形成射影的斜线垂直. 113.证明直线与平面垂直的思考途径 .

(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; )转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; )转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; )转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面; )转化为该直线垂直于另一个平行平面; (5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直 )转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114.证明平面与平面的垂直的思考途径 . (1)转化为判断二面角是直二面角; )转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直 )转化为线面垂直. 115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 . (1)加法交换律 加法交换律: (1)加法交换律:a+b=b+a. (2)加法结合律 加法结合律: (2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c). (3)数乘分配律 数乘分配律: )=λ (3)数乘分配律:λ(a+b)=λa+λb. 116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的 116. 平面向量加法的平行四边形法则向空间的 推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和, 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和, 等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点 为始点的对角线所表示的向量 点的对角线所表示的向量. 为始点的对角线所表示的向量. 117.共线向量定理 共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b≠0 ),a∥b ? 存在实 、 ≠ ,∥ 数λ使 a=λb. λ . P、A、B 三 点 共 线 uuu r uuu r uuu r uuu uuu r r ? AP || AB ? AP = t AB ? OP = (1 ? t )OA + tOB . uuu r uuu r uuu r uuu r AB || CD ? AB 、 CD 共线且 AB、CD 不共线 ? AB = tCD 且 AB、CD 不共线. 不共线. 118. 118.共面向量定理 向量 p 与两个不共线的向量 a、 共面的 ? 存在实 b 数对 x, y ,使 p = ax + by . 推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的 ? 存在有序 uuur uuur uuur 实数对 x, y ,使 MP = xMA + yMB ,

或 对 空 间 任 一 定 点 O , 有 序 实 数 对 x, y , 使 uuu uuuu r r uuur uuur OP = OM + xMA + yMB . 119.对空间任一点 119.对空间任一点 O 和不共线的三点 A、B、C,满 uuu r uuu r uuu r uuur ,则当 足 OP = xOA + yOB + zOC ( x + y + z = k ) 则当 k = 1 时,对于空间 , 四点共面 共面; 任一点 O ,总有 P、A、B、C 四点共面;当 k ≠ 1 时,若 O ∈ ABC, 四点共面 共面; ABC, 平面 ABC,则 P、A、B、C 四点共面;若 O ? 平面 ABC, 四点不共面 共面. 则 P、A、B、C 四点不共面. uuur uuur uuu r A、B、 、D 四 点 共 面 ? AD 与 AB 、 AC 共 面 C uuur uuu r uuur
? AD = x AB + y AC ? uuur uuu r uuu r uuur OD = (1 ? x ? y )OA + xOB + yOC ( O ? 平面

ABC). ABC)

120.空间向量基本定理 120.空间向量基本定理 不共面, 如果三个向量 a、b、c 不共面,那么对空间任一 向量 p,存在一个唯一的有序实数组 x,y,z,使 p = x a+ y b+ zc. 是不共面的四点, 推论 设 O、A、B、C 是不共面的四点,则对空 间任一点 P,都存在唯一的三个有序实数 x,y,z, uuu r uuu r uuu r uuur 使 OP = xOA + yOB + zOC . 121.射影公式 121.射影公式 uuu r 同方向的单位向 已知向量 AB =a 和轴 l , 是 l 上与 l 同方向的单位向 e 量.作 A 点在 l 上的射影 A ,作 B 点在 l 上的射影 B ,则 uuu r A B =| AB | cos 〈a,e〉=a·e 122.向量的直角坐标运算 122.向量的直角坐标运算 设 a= (a , a , a ) ,b= (b , b , b ) 则 (1)a (1)a+b= (a + b , a + b , a + b ) ; (2)a (2)a-b= (a ? b , a ? b , a ? b ) ; (3)λa= (λ a , λ a , λ a ) (λ∈R); (3)λ λ∈R); R) (4)a·b= a b + a b + a b ; (4)a 123.设 123.设 A ( x , y , z ) ,B ( x , y , z ) ,则 uuu uuu uuu r r r AB = OB ? OA = ( x ? x , y ? y , z ? z ) .
' '
' ' 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1

124.空间的线线平行或垂直 124.空间的线线平行或垂直 r r 设 a = ( x , y , z ) , b = ( x , y , z ) ,则
1 1 1 2 2 2

? x1 = λ x2 r r r r r r ? a P b ? a = λ b(b ≠ 0) ? ? y1 = λ y2 ; ?z = λ z 2 ? 1 r r r r a ⊥ b ? a ? b = 0 ? x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 0 .

125.夹角公式 125.夹角公式 设 a= (a , a , a ) ,b= (b , b , b ) ,则 ab +a b +a b cos〈 . cos〈a,b〉=
1 2 3 1 2 3
1 1 2 2 2 2 3 3

a +a +a
2 1

2 3

b + b22 + b32
2 1

推论 (a b + a b 西不等式. 西不等式.
1 1

2 2

2 2 + a3b3 ) 2 ≤ (a12 + a2 + a3 )(b12 + b22 + b32 ) , 此即三维柯

126. 四面体的对棱所成的角 四面体 ABCD 中,
AC 与 BD 所成的角为 θ ,则

| ( AB 2 + CD 2 ) ? ( BC 2 + DA2 ) | cos θ = . 2 AC ? BD

r r cos θ =| cos a, b | r r | a ?b | = r r = 2 | x12x2 + 2y1 y2 +2z1 z2 | 2 2 | a |?| b | x1 + y1 + z1 ? x2 + y2 + z2

127.异面直线所成角 .

(其中 θ ( 0 < θ ≤ 90 )为异面直线 a,b 所成角, a, b 分别表 所成角, 的方向向量) 示异面直线 a,b 的方向向量) 128.直线 AB 与平面所成角 直线
o o

r r

uuu ur r AB ? m ur r β = arc sin uuu ur ( m 为平面 α 的法向量 的法向量). | AB || m |

129.若 129.若 ?ABC 所在平面若 β 与过若 AB 的平面 α 成的 角 θ ,另两边 AC , BC 与平面 α 成的角分别是 θ 、θ , A、B 为 ?ABC 的两个内角,则 的两个内角, sin θ + sin θ = (sin A + sin B ) sin θ . 特别地, 特别地,当 ∠ACB = 90 时,有
1 2 2 2 2 2 2 1 2 o

sin 2 θ1 + sin 2 θ 2 = sin 2 θ .

130.若 130. 若 ?ABC 所在平面若 β 与过若 AB 的平面 α 成的 θ 角 θ ,另两边 AC , BC 与平面 α 成的角分别是 θ 、 , A、B 为 ?ABO 的两个内角,则 的两个内角, tan θ + tan θ = (sin A + sin B ) tan θ . 特别地, 特别地,当 ∠AOB = 90 时,有 sin θ + sin θ = sin θ . 131.二面角α ? l ? β 的平面角 二面角
' '

1

2

2

2

2

'

2

'

2

1

2

o

2

2

2

1

2

ur r ur r ur r m?n m?n θ = arc cos ur r 或 π ? arc cos ur r ( m , n 为平面 α , β 的法 | m || n | | m || n |

向量) 向量). 132. 132.三余弦定理 内的任一条直线, BC⊥AC, 设 AC 是α内的任一条直线,且 BC⊥AC,垂足为 C, 又设 AO 与 AB 所成的角为θ , 与 AC 所成的角为θ , AB AO 与 AC 所成的角为θ .则 cosθ = cosθ cosθ . 133. 133. 三射线定理 若夹在平面角为 ? 的二面角间的线段与二面角的 两个半平面所成的角是 θ , θ , 与二面角的棱所成的角 是θ,则有 sin ? sin θ = sin θ + sin θ ? 2sin θ sin θ cos ? ; | θ ? θ |≤ ? ≤ 180 ? (θ + θ ) (当且仅当 θ = 90 时等号成立). 时等号成立). 134. 134.空间两点间的距离公式 若 A ( x , y , z ) ,B ( x , y , z ) ,则 uuu r uuu uuu r r d = | AB |= AB ? AB = ( x ? x ) + ( y ? y ) + ( z ? z ) . 135. 135.点 Q 到直线 l 距离 1 h= (| a || b |) ? (a ? b) ( 点 P 在直线 l 上 , 直线 l 的方向向
1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2

o

o

1

2

1

2

1

1

1

2

2

2

2

2

2

A, B

2

1

2

1

2

1

2

2



|a| uuu r a= PA ,向量

uuu r

b= PQ ). 136.异面直线间的距离 异面直线间的距离 uuu uu r r
d=

r | CD ? n | r ( l1 , l2 是两异面直线,其公垂向量为 n ,C、D 是两异面直线, |n|

上任一点, 间的距离). 分别是 l , l 上任一点, d 为 l , l 间的距离 137.点 B 到平面 α 的距离 点r uuu uu r
1 2 1 2

d=

r | AB ? n | r ( n 为平面 α 的法向量, AB 是经过面 α 的一 的法向量, |n|

条斜线, 条斜线, A ∈α ). 138.异面直线上两点距离公式 异面直线上两点距离公式 异面直线上两点距离 d = h + m + n m 2mn cos θ . uuur uuur d = h + m + n ? 2mn cos EA , AF .
2 2 2
2 2 2 '

( ? = E ? AA ? F ). (两条异面直线 a、 所成的角为θ, b 所成的角为θ 其公垂线段 AA 的 长 度 为 h. 在 直 线 a 、 b 上 分 别 取 两 点 E 、 F , A E = m , AF = n , EF = d ). 139.三个向量和的平方公式 139.三个向量和的平方公式
d = h 2 + m2 + n 2 ? 2mn cos ?
' '
'

r r r r 2 r 2 r2 r r r r r r (a + b + c) 2 = a + b + c + 2a ? b + 2b ? c + 2c ? a r 2 r 2 r2 r r r r r r r r r r r r = a + b + c + 2 | a | ? | b | cos a, b + 2 | b | ? | c | cos b, c + 2 | c | ? | a | cos c, a

146. 146.球的半径是 R,则 其体积 V = 4 π R ,
3

3

其表面积 S = 4π R . 147.球的组合体 147.球的组合体 (1)球与长方体的组合体 球与长方体的组合体: (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体 球与正方体的组合体: (2)球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的内切球的直径是正方体的棱长 , 正方 体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 体的棱切球的直径是正方体的面对角线长 , 正方体 的外接球的直径是正方体的体对角线长. 的外接球的直径是正方体的体对角线长. 球与正四面体的组合体: (3) 球与正四面体的组合体:
2

棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为 球的半径为
6 a. 4

6 a , 外接 12

148.柱体、 148.柱体、锥体的体积 1 V = Sh ( S 是柱体的底面积、 h 是柱体的高). 是柱体的底面积、 是柱体的高)
柱体

V锥体

3 1 = Sh ( S 是锥体的底面积、 h 是锥体的高). 是锥体的底面积、 是锥体的高) 3

162. 162.等可能性事件的概率 m P ( A) = .
n

163.互斥事件 163.互斥事件 A,B 分别发生的概率的和 P(A+B)=P(A)+P(B). P(A+B)=P(A)+P(B). 164. 164. n 个互斥事件分别发生的概率的和 P(A1 + A2 + … + An)=P(A1) + P(A2) + … + P(An). 165. 165.独立事件 A,B 同时发生的概率 P(A P(A) P(B). A)· P(A·B)= P(A)·P(B).

168. 168.离散型随机变量的分布列的两个性质 (1) P ≥ 0(i = 1, 2,L) ; (2) P + P + L = 1 . 171. 171.方差
i 1 2

Dξ = ( x1 ? Eξ ) ? p1 + ( x2 ? Eξ ) ? p2 + L + ( xn ? Eξ ) ? pn + L
2 2 2

178. 178.回归直线方程
n ? ∑ ( xi ? x )( yi ? y ) ? i =1 = n $ = a + bx ,其中 ?b = 2 y ? ∑ ( xi ? x ) ? i =1 ? a = y ? bx ?

∑ x y ? nx y
i =1 n i i

n

∑x
i =1

2

i

? nx 2

.

179. 179.相关系数
r=

∑ ( xi ? x )( yi ? y )
i =1

n

∑ (x ? x ) ∑ ( y ? y )
2 i =1 i i =1 i

n

n

=
2

∑ ( x ? x )( y ? y )
i =1 i i

n

.
n 2 2 2 i =1

(∑ xi ? nx )(∑ yi ? ny )
2 i =1

n

相关程度越大; |r|≤1,且|r|越接近于 1,相关程度越大;|r|越

相关程度越小. 接近于 0,相关程度越小. . 91. 191. 函数 y = f (x) 在点 x 处的导数的几何意义 函 数 y = f ( x) 在 点 x 处 的 导 数 是 曲 线 y = f ( x) 在 P( x , f ( x )) 处 的 切 线 的 斜 率 f ′( x ) , 相 应 的 切 线 方 程 是 y ? y = f ′( x )( x ? x ) . 92. 192.几种常见函数的导数 为常数) (1) C ′ = 0 (C 为常数). (2) ( x ) = nx (n ∈ Q) . (3) (sin x)′ = cos x . (4) (cos x)′ = ? sin x . (5) (ln x)′ = 1 ; (log a )′ = 1 log . 5)
0 0 0 0 0 0 0 0
' n ?1 n

x

e

x

x

a

(6) (e )′ = e ; (a )′ = a ln a . 193.导数的运算法则 193.导数的运算法则 (1) (u ± v) = u ± v . (2) (uv) = u v + uv . (3) ( u ) = u v ? uv (v ≠ 0) .
x x x x
' ' ' ' ' ' ' ' '

v

v2

194.复合函数的求导法则 94. 设函数 u = ? ( x) 在点 x 处有导数 u = ? ( x) ,函数 y = f (u ) 在 点 x 处 的 对 应 点 U 处 有 导 数 y = f (u ) , 则 复 合 函 数 y = f (? ( x)) 在 点 x 处 有 导 数 , 且 y = y ? u , 或 写 作 f (? ( x)) = f (u )? ( x) . (1) 1 + x ≈ 1 + 1 x ; 1 + x ≈ 1 + 1 x ;
' '
x

'

'

u

' x

' u

' x

' x

'

'

n

2

n

处连续时, 当函数 f (x) 在点 x 处连续时, (1)如果在 x 附近的左侧 f ′( x) > 0 ,右侧 f ′( x) < 0 ,则 f ( x ) 是极大值; 是极大值; ( 2 ) 如果在 x 附近的左侧 f ′( x) < 0 , 右侧 f ′( x) > 0 , 是极小值. 则 f ( x ) 是极小值.
0 0 0 0 0

197.复数的相等 97.
a + bi = c + di ? a = c, b = d .( a , b, c, d ∈ R )

的模(或绝对值) 198.复数 z = a + bi 的模(或绝对值) 98. | z | = | a + bi | = a + b . 99. 199.复数的四则运算法则 (1) (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d )i ; (2) (a + bi) ? (c + di) = (a ? c) + (b ? d )i ; (3) (a + bi)(c + di) = (ac ? bd ) + (bc + ad )i ; (4) (a + bi) ÷ (c + di) = ac + bd + bc ? ad i(c + di ≠ 0) .
2 2

c2 + d 2

c2 + d 2

200.复数的乘法的运算律 200.复数的乘法的运算律 对于任何 z , z , z ∈ C ,有 交换律: 交换律: z ? z = z ? z . 结合律: 结合律: ( z ? z ) ? z = z ? ( z ? z ) . 分配律: 分配律: z ? ( z + z ) = z ? z + z ? z . 201. 201.复平面上的两点间的距离公式 d =| z ? z |= ( x ? x ) + ( y ? y ) ( z = x + y i , z = x + y i ). 202. 202.向量的垂直 uuuu r 非零复数 z = a + bi , z = c + di 对应的向量分别是 OZ , uuuu r OZ ,则 uuuu uuuu r r z OZ ⊥ OZ ? z ? z 的 实 部 为 零 ? 为纯虚数
1 2 3 1 2 2 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3

2

2

1

2

2

1

2

1

1

1

1

2

2

2

1

2

1

2

2

1

2

1

2

z1

? | z1 + z2 |2 =| z1 |2 + | z2 |2
? | z1 ? z2 |2 =| z1 |2 + | z2 |2 ? | z1 + z2 |=| z1 ? z2 | ? ac + bd = 0 ? z1 = λ iz2



为非零实数). 为非零实数). 203. 203.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程 ax + bx + c = 0 ,
2

?b ± b2 ? 4ac 2a b ②若 ? = b2 ? 4ac = 0 ,则 x1 = x2 = ? ; 2a

①若 ? = b

2

? 4ac > 0 ,则 x1,2 =

;

③若 ? = b

2

? 4ac < 0 ,它在实数集 R 内没有实数根;在 内没有实数根;

复 数 集
x=

C

内 有 且 仅 有 两 个 共 轭 复 数 根

?b ± ?(b 2 ? 4ac)i 2 (b ? 4ac < 0) . 2a


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