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高考数学(理)热点《三角函数与解三角形》


三角函数与解三角形 热点一 三角函数的图象和性质 注意对基本三角函数 y=sin x,y=cos x 的图象与性质的理解与记忆,有关三角函 数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性 等问题的求解,通常先将给出的函数转化为 y=Asin(ωx+φ)的形式,然后利用整 体代换的方法求解. x 【例 1】已知函数 f(x)=sin x-2 3sin22. (1)求 f(x)的最小正周期; 2π ? ? (2)求 f(x)在区间?0, ?上的最小值. 3 ? ? (1)解 因为 f(x)=sin x+ 3cos x- 3. ? π? =2sin?x+ ?- 3. 3? ? 所以 f(x)的最小正周期为 2π . 2π (2)解 因为 0≤x≤ 3 , π π 所以 3 ≤x+ 3 ≤π . π 2π 当 x+ =π ,即 x= 时,f(x)取得最小值. 3 3 2π ? ? ?2π ? 所以 f(x)在区间?0, ?上的最小值为 f? ?=- 3. 3 ? ? ? 3 ? 【类题通法】求函数 y=Asin(ωx+φ)+B 周期与最值的模板 第一步:三角函数式的化简,一般化成 y=Asin(ωx+φ)+h 或 y=Acos(ωx+φ)+h 的形式; 第二步:由 T= 求最小正周期; |ω | 2π 第三步:确定 f(x)的单调性; 第四步:确定各单调区间端点处的函数值; 第五步:明确规范地表达结论. 3 【对点训练】 设函数 f(x)= 2 - 3sin2ω x-sin ω xcos ω x(ω>0),且 y=f(x)的 π 图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 4 . (1)求 ω 的值; 3π ? (2)求 f(x)在区间?π , 2 ? 解 ? ?上的最大值和最小值. ? 3 (1)f(x)= 2 - 3sin2ω x-sin ω xcos ω x 1-cos 2ω x 1 3 = 2 - 3· -2sin 2ω x 2 π? 3 1 ? = 2 cos 2ω x-2sin 2ω x=-sin?2ωx- ?. 3? ? π 因为 y=f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 4 ,故该函数的周期 π T=4× 4 =π . 又 ω>0,所以 2π =π ,因此 ω=1. 2ω π? ? (2)由(1)知 f(x)=-sin?2x- ?. 3? ? π 设 t=2x- 3 ,则函数 f(x)可转化为 y=-sin t. 3π 5π π 8π 当π ≤x≤ 2 时, 3 ≤t=2x- 3 ≤ 3 , ?5π 8π ? 如图所示,作出函数 y=sin t 在? , 3 ? 上的图象, ? 3 ? ? ?5π 8π ? 3 ? ?时,sin t∈?- ,1?, 由图象可知,当 t∈? , 3 ? ? 3 ? 2 ? π? 3 3 ? 故-1≤-sin t≤ 2 ,因此-1≤f(x)=-sin?2x- ?≤ 2 . 3? ? 3π ? 3 ? 故 f(x)在区间?π , ?上的最大值和最小值分别为 2 ,-1. 2 ? ? 热点二 解三角形 高考对解三角形的考查,以正弦定理、余弦定理的综合运用为主.其命题规律可以 从以下两方面看:(1)从内容上看,主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公 式,一般是以三角形或其他平面图形为背景,结合三角形的边角关系考查学生利 用三角函数公式处理问题的能力;(2)从命题角度看,主要是在三角恒等变换的基 础上融合正弦定理、余弦定理,在知识的交汇处命题. cos A co

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