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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版必修4第三章 3.1.3两角和与差的正切课件


3.1.3

3.1.3
【学习要求】

两角和与差的正切

1.能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正
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切公式. 2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明. 3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形,并能灵活应用. 【学法指导】 1. 两角和与差的正切公式变形较多,这样变式在解决某些 问题时十分便捷,应当利用公式能熟练推导,务必熟悉 它们.例如,tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β), tan α+tan β tan αtan β=1- , α+tan β+tan αtan βtan(α tan tan?α+β? +β)=tan(α+β)等.

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2.在三角函数题目中,有时,也对一些特殊的常数进行代换, π 3 π 例如 1=tan 45° 3=tan , =tan 等等.这样做的 , 本 3 3 6
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前提是识别出公式结构,凑出相应公式.

填一填·知识要点、记下疑难点

3.1.3

1.两角和与差的正切公式
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tan α+tan β (1)T(α+β):tan(α+β)= 1-tan αtan β . tan α-tan β (2)T(α-β):tan(α-β)= 1+tan αtan β .
(1)T(α+β)的变形: tan α+tan β= tan(α+β)(1-tan αtan β)

2.两角和与差的正切公式的变形 . tan α+tan β+tan αtan βtan(α+β)= tan(α+β) .

填一填·知识要点、记下疑难点

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tan α+tan β 1- tan?α+β? tan αtan β=
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.

(2)T(α-β)的变形: tan α-tan β= tan(α-β)(1+tan αtan β) . tan α-tan β-tan αtan βtan(α-β)= tan(α-β) . tan α-tan β -1 tan αtan β= tan?α-β? .

研一研·问题探究、课堂更高效

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探究点一
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两角和与差的正切公式的推导

问题 1

sin α 你能根据同角三角函数基本关系式 tan α= , 从两 cos α

角和与差的正弦、余弦公式出发,推导出用任意角 α,β 的 正切值表示 tan(α+β),tan(α-β)的公式吗?试一试. sin?α+β? 答 当 cos(α+β)≠0 时,tan(α+β)= cos?α+β? sin αcos β+cos αsin β = . cos αcos β-sin αsin β
当 cos αcos β≠0 时,分子分母同除以 cos αcos β,得 tan α+tan β tan(α+β)= . 1-tan αtan β

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根据 α,β 的任意性,在上面式子中,以-β 代替 β 得 tan α+tan?-β? tan α-tan β 本 tan(α-β)= = . 1-tan αtan?-β? 1+tan αtan β 课
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问题 2 在两角和与差的正切公式中,α,β,α± 的取值是任 β
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意的吗?
答 π 在公式 T(α+β), (α-β)中 α, α± 都不能等于 kπ+2(k∈Z). T β, β

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探究点二 两角和与差的正切公式的变形公式

3.1.3

两角和与差的正切公式变形形式较多,例如: tan α± β=tan(α± tan β)(1?tan αtan β), tan α+tan β tan α-tan β tan αtan β=1- = -1. tan?α+β? tan?α-β? 这些变式在解决某些问题时是十分方便的.请利用两角和与 差的正切公式或变形公式完成以下练习. 练习 1:直接写出下列式子的结果: tan 12° +tan 33° 1 (1) = ; 1-tan 12° 33° tan (2)tan 75° 2+ 3 ; = 3 1-tan 15° (3) = . 3 1+tan 15°

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练习 2:求值:tan 20° +tan 40° 3tan 20° 40° + tan .
解 方法一 ∵tan 20° +tan 40° =tan 60° (1-tan 20° 40° tan ),
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3.1.3

∴原式=tan 60° (1-tan 20° 40° tan )+ 3tan 20° 40° tan = 3- 3tan 20° 40° 3tan 20° 40° tan + tan = 3.
方法二 tan 20° +tan 40° ∵tan 20° 40° tan =1- tan?20° +40° ?

1 =1- (tan 20° +tan 40° ), 3

∴原式=tan 20° +tan 40° 3-(tan 20° + +tan 40° )= 3.

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[典型例题] 例 1 求下列各式的值: 3+tan 15° (1) ; 1- 3tan 15°
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(2)tan 15° +tan 30° +tan 15° 30° tan .
tan 60° +tan 15° 解 (1)原式= =tan(60° +15° ) 1-tan 60° 15° tan tan 30° +tan 45° =tan 75° =tan(30° +45° )= 1-tan 30° 45° tan 3 3 +1 = =2+ 3. 3 1- 3

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3.1.3

tan 15° +tan 30° (2)∵tan 45° = =1, 1-tan 15° 30° tan
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∴tan 15° +tan 30° =1-tan 15° 30° tan
∴原式=(1-tan 15° 30° tan )+tan 15° 30° tan =1.
小结 公式 T(α+β),T(α-β)是变形较多的两个公式,公式中有 tan αtan β, α+tan β(或 tan α-tan β), tan tan(α+β)(或 tan(α-β)) 三者知二可表示或求出第三个.

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跟踪训练 1 求下列各式的值: cos 75° -sin 75° (1) ; cos 75° +sin 75°
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3.1.3

(2)tan 36° +tan 84° 3tan 36° 84° - tan . 解 1-tan 75° tan 45° -tan 75° (1)原式= = 1+tan 75° 1+tan 45° 75° tan

3 =tan(45° -75° )=tan(-30° )=-tan 30° =- . 3 (2)原式=tan 120° (1-tan 36° 84° tan )- 3tan 36° 84° tan =tan 120° -tan 120° 36° 84° 3tan 36° 84° tan tan - tan =tan 120° =- 3.

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例 2 若 α,β 均为钝角,且(1-tan α)(1-tan β)=2,求 α+β. 解 ∵(1-tan α)(1-tan β)=2,
∴1-(tan α+tan β)+tan αtan β=2, ∴tan α+tan β=tan αtan β-1,
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tan α+tan β ∴ =-1.∴tan(α+β)=-1. 1-tan αtan β
?π ? ∵α,β∈?2,π?,∴α+β∈(π,2π). ? ?

7π ∴α+β= 4 . 小结 此类题是给值求角题,解题步骤如下:①求所求角的

某一个三角函数值,②确定所求角的范围.此类题常犯的错 误是对角的范围不加讨论,范围讨论的程度过大或过小,会 使求出的角不合题意或者漏解.

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3.1.3

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跟踪训练 2 已知 tan α, β 是方程 x2+3 3x+4=0 的两根, tan π π π π 且- <α< ,- <β< ,求角 α+β. 2 2 2 2 ?tan α+tan β=-3 3 ? 解 由已知得? , ?tan α· β=4 tan ? π π ∴tan α、tan β 均为负,∴-2<α<0,-2<β<0. tan α+tan β -3 3 ∴tan(α+β)= = = 3. 1-tan αtan β 1-4 2π ∵-π<α+β<0,∴α+β=- 3 .

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例3

3.1.3

已知△ABC 中,tan B+tan C+ 3tan Btan C= 3,且

3tan A+ 3tan B=tan Atan B-1,试判断△ABC 的形状.

解 ∵ 3tan A+ 3tan B=tan Atan B-1,
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∴ 3(tan A+tan B)=tan Atan B-1,
tan A+tan B 3 ∴ =- , 3 1-tan Atan B 3 ∴tan(A+B)=- 3 .
5π π 又∵0<A+B<π,∴A+B= 6 ,∴C=6,
3 ∵tan B+tan C+ 3tan Btan C= 3,tan C= , 3 3 3 ∴tan B+ +tan B= 3,tan B= , 3 3

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π 2π ∴B= ,∴A= , 6 3
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∴△ABC 为等腰钝角三角形.
小结 三角形中的问题,A+B+C=π 肯定要用,有时与诱导

公式结合,有时利用它寻找角之间的关系减少角.

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3.1.3

跟踪训练 3 已知 A、B、C 为锐角三角形 ABC 的内角.求证: tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.
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证明 ∵A+B+C=π,∴A+B=π-C. tan A+tan B ∴tan(A+B)= =-tan C. 1-tan Atan B
∴tan A+tan B=-tan C+tan Atan Btan C.
即 tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

3.1.3

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π 1. 若 tan( -α)=3,则 tan α 的值为 4 1 1 A.-2 B.- C. 2 2
?π ?π ?? ? 解析 tan α=tan?4-?4-α?? ? ?? ? ? ?π ? 1-tan?4-α? 1-3 1 ? ? = ?π ?=1+3=-2. 1+tan?4-α? ? ?

( B ) D.2

练一练·当堂检测、目标达成落实处

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2. 已知 A+B=45° ,则(1+tan A)(1+tan B)的值为 A.1
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( B )

B.2
(1+tan A)· (1+tan B)

C.-2

D.不确定

解析

=1+(tan A+tan B)+tan Atan B =1+tan(A+B)(1-tan Atan B)+tan Atan B =1+1-tan Atan B+tan Atan B=2.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

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1 5 3. 已知 A,B 都是锐角,且 tan A= ,sin B= ,则 A+B 3 5 π = 4 .
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5 2 5 1 解析 ∵B 为锐角, B= , sin ∴cos B= , ∴tan B= , 5 5 2 1 1 + tan A+tan B 3 2 ∴tan(A+B)= = =1. 1 1 1-tan Atan B 1- × 3 2 π ∵0<A+B<π,∴A+B=4.

练一练·当堂检测、目标达成落实处
4. 已知 =
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? ? β? 1 α? 1 ?α- ?= ,tan?β- ?=- ,则 tan 2? 2 2? 3 ? ? ?α+β? ? tan? ? 2 ? ? ?

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1 7

.

?α+β? ?? β? ? α?? ? ? 解析 tan? ?=tan??α-2?+?β-2 ?? ?? ? ? ?? ? 2 ? ? ? β? α? tan?α-2?+tan?β-2? ? ? ? ? = ? β? ? α? 1-tan?α-2?tan?β-2? ? ? ? ? 1 ? 1? +?-3? 2 ? 1 ? = = . 1 ? 1? 7 1- ×?-3? 2 ? ?

练一练·当堂检测、目标达成落实处

3.1.3

1.公式 T(α±β)的适用范围 由正切函数的定义可知 α、β、α+β(或 α-β)的终边不能落 π 在 y 轴上,即不为 kπ+ (k∈Z). 本 2 课 时 2.公式 T(α±β)的逆用
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一方面要熟记公式的结构,另一方面要注意常值代换. π π 3 π 如 tan =1,tan = ,tan = 3等. 4 6 3 3 ?π ? 1+tan α ?π ? 1-tan α 要特别注意 tan?4+α?= ,tan?4-α?= . ? ? 1-tan α ? ? 1+tan α 3.公式 T(α±β)的变形应用

只要见到 tan α± β, αtan β 时, tan tan 要有灵活应用公式 T(α±β) 的意识,就不难想到解题思路.


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