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一道高考模拟题的解法、溯源及推广


?

专论 荟 萃 ?  

数 学 通 讯 —— 2 O 1 3年 第 1 1 、 1 2期 ( 上半月)  

8 7  



道 高考模拟题 的解法 、 溯源及推广 
洪汪宝  
( 安徽省安庆市第一中学 , 2 4 6 0 0 4 )  

在 我校 最 近 一 次 的 高 考模 拟 考 试 中 , 有 如 下 






解 法 

道 题 目:  


2  

. . 2  

( 1 )由双 曲线 的 离 心 率 为 


知三 一  
a 

,  

已知双 曲线 c:   一  一1 ( 口> 0 , b> o )的  Ⅱ  ( ,  


. a  = 3 b   .  


0 / 5 -  

离心 率 为 
o 

, 左、 右 焦点 分别为 F   、 F z , 在双 曲线 



‘ MF。 上 MF 2 , 且 △MF   F z 的面 积为 1 ,  
?



C上 有一 点 M , 使 MF。 上 MF 2 , 且 △MF。 F 2 的面 
积为 1 .  

?

s△   F 2



寺l   M F 1   1 .   1 M F 2   l =1 ,  







I   MF 。1 . 1   MF 2   i 一2 .  

( 1 ) 求 双 曲线 C的 方程 ;  
( 2 ) 过点 P( 3 , 1 ) 的动直 线 Z 与双 曲线 C的左 、   右支 分 别相 交 于 两 点 A、 B, 在线 段 A B 上 取 异 于 

根据 双 曲 线 的 第 一 定 义 知 I   I  MF   l —  I   MF  I   I 一2 a , 两边 平方 并展 开得  I   MF I 。 一2   I   MF,I ? I   MF2   I +l   MF :I 。  


A、 B的点D, 满足 l  

亩 I —I  

商 I ,  

4 a 。.  


试说 明 点 D 在某 定直 线上.   本题 主要 考查 双 曲线 的定 义 、 标 准 方程 、 几 何 





I   F1   F 2    一 4— 4 I a   ,  
4 ( a  + b   )一 4 — 4 a   , .   . b 。一 1 , a 。一 3,  







性质 、 直 线与 双曲线 的位 置关 系等 多 个 知识 点 , 对  学生 的抽 象概括 能力 、 推 理论 证 能 力 、 运 算 求解 能  力 等要求 较高 , 考查 学生 运 用数 形 结合 思 想 、 方 程  思想 、 待定 系数 法 、 整 体 思 想等 数 学思 想 方 法来 分  析 和解决 问题 的 能 力. 将 平 面 向 量 与 双 曲线 巧 妙  地结 合 , 体现 了“ 在 知识 网 络交 汇 点 处 设计 试题 ,   使对 数学 基础 知 识 的 考查 达 到 必 要 的深 度 ”的 命 
题原 则.  

故双 曲线 C的方程 为  一 Y  一 1 .   评注  根 据条 件 中的数量关 系 和位置关 系分  别列 出相应 的方 程 , 在 解 方 程 时 注 意利 用 双 曲线  的第 一定义 整体 计算 , 有利 于简便 运算 .   ( 2 )法 1   设 A, B, D 三点 的坐标 分别 为 ( z 。 ,   Y 1 ) , ( z 2 , Y 2 ) , ( z o , Y 0 ) , 且X 1 <X 0 <X 2 <3 , 分别  过点 P、 A、 B、 D作 z轴的垂线 , 垂足分别为 P 。 、  

本题 位于试 卷 的压 轴题 位 置 , 共 1 3分 , 第( 1 )  

A  、 B z 、 D  , 则 AA  ∥ D D  ∥ B B  ∥ P P- ,  


小题 4分 , 第( 2 )小题 9分 , 学 生 得 分 的 平均 分 为  5 . 2分 , 难度 系数 为 0 . 4 , 得满 分 的 同学非 常少. 特  别是 第 ( 2 )小题 , 大 部分 同学 的计 算 不 过关 , 基 本  上是 半途 而废 , 算不 下去 .  
第( 1 ) 小题是 方程 问题 , 比较 常规 ; 第( 2 ) 小 题 

  1 AP   I — I   A  P  I  

一   j 丌 一  
l   A D    1   l B D   I   l   A   D  I     I B 。 D  I ’  

’  

由I  
l   A   P 。l   I B 。 P  I  


菌 l = = :   I
I   A   D l   l   B   D。l ’  

商 I 知 

是定 直线 问题 , 与平 时练 习 较多 的定 点 问题 、 定 值  问题 有 区别 , 加 上《 普 通高 中数学 课程 标准 》与《 考  试说 明 》 对 双 曲线 的要 求属 于“ 了解 ” 层次, 高 三复  习过 程 中有关双 曲线 的解答 题 练 习得 较 少 等 因素  的影响 , 得分 不高也 就很 自然 了.  



. .

( 3一 X 1 ) ( z 2 一z 0 )一 ( z o —z 1 ) ( 3 一X 2 ) , 即 

[ 6 一(  1 +X 2 ) - ] x o一 3 ( z 1 +X 2 ) 一2 x 1 X 2 ①  由题意 可知 直 线 z 的斜 率存 在 , 故 可设 直线 z  
的方 程为 Y一 1一 k ( x一 3 ) ,  
r   一 1一 k (  一 3 ) ,  

结 合学 生答 题 的具 体情 况 , 在评 讲 该题 之前 ,  
笔者 从 该题 的解 法 、 溯 源 及 推 广 等 三 个 方 面 进 行  了一 番研 究 , 得到 如下成 果 , 与 大家共 同分 享.  

联 立 . {   一   z 一 1 ,  得  

8 8  

数 学通 讯 — — 2 O 1 3年 第 l 1 、 l 2期 ( 上半月)   3 ( 1一 

? 专论荟萃 ?  

( 1— 3 五   ) X   一 6 忌 ( 1 — 3 忌 ) X一 3 ( 9 k  一 6 k + 2 )  
= 0.  



。 

一 ] 
1 — 0上 .  

一  

由题意 可知 1 —3 k  ≠ 0 ,  
  .

即X 。 一Y 。 一 1— 0 , 故点 D在定 直线 X—Y一  评 注  将 等积 式化为 比例式 , 巧妙 地将 点 P,   D 看 成分点 , 整体 代入计 算 , 对 学生 的运 算 求 解能 

6 矗( 】一 3 五)  

z 1 十 2一 ]  


’   ’  

3( 9 忌  — 6 忌+ 2 )  

一 ——T= = _  广 将其 代人 ① 式 , 得 
X o 一 2= k ( x o一 3 ) .  

力 要求 较高 . 在新教 材 中 已将定 比分点 公 式 删去 ,   这 种解 法要 求学生 高屋建 瓴才 能处理 得 当.  
法3   设 A, B, D三点 的坐标分 别 为( z 。 , Y 。 ) ,  

又 Y 。 一 1一 k ( x 0 —3 ) , 整 理 得  o 一2 一Y o + 

(  

: ) , ( z 。 ,   。 ) ,由 1  



I —l  

I .  

1— 0 , 即X 。 一Y 。 一 1— 0 , 故点 D在定 直线 X— Y  


I 商 I 知 
令 
= ==  

一  
一  

.  
则  一   A - - i, f 商 

1— 0上 .  

评 注  根 据 弦 长 公 式 求 出 弦长 显 然 比较 繁  琐, 作 垂线 段构造 一组平 行 线 , 利 用 平行 线 分线 段  成 比例定 理将其 转 化 为横 坐标 之 间 的关 系 , 联 立  方 程利用 根与 系 数 间 的关 系 也 就非 常 自然 了 , 应  注 意体会 其 中参 数 的“ 桥梁 ” 作 用.   法 2 设 A, B, D三 点 的坐标 分别为 ( z   ,  ) ,  

BD , 即(  l一 3, y 1— 1 )=一 ( z o— X1 , Y o— 

Y 1 ) , ( z 2 —3 , Y 2 —1 ) 一 ( z o -X 2 , Y 0 一Y 2 ) , 整 理得  X l 一  一 —   —   一   ① 
② 

( z 。 , Y 2 ) , (   。 ,   。 ) , 由 I   I   - P  ̄I 知  令 
一  

I . I 亩 .  

I —I  

I .  

Y l一 一  

一-   一  

z  一 2     —   Y 2一 一  

一  

③  ④ 

一枷 0   一   商 ,  

剪 , 即  
( 3一 X 1 , 1一 Y 1 )一 一  ( x 2 — 3, y z一 1 ) ,  

又X ; 一3 y i 一 3 ⑤;  ; 一3 y ;一 3 ⑥ ,   将 ① ② 代入 ⑤ , 得  (  : 一3 y 3 —3 )   一6 ( z o — 。 一6 ) A + 3一 O ⑦  将 ③④ 代 入 ⑥ , 得  ( z   一3   3 —3 ) . ; 【 。 +6 ( x 。 一y 。 一6 ) A + 3= 0 ⑧ 
⑧ 一⑦ , 得 1 2 ( x o —y 0 —1 )  一 0 .  

( zo —z 1 , Y 0一 Y 1 )一 | ; 【 ( z 2一 X 0 , Y 2 一Y 0 ) ,  

整理得 

3 一等 
l=   X 0  
一  

①  
②    ③  ④ 

又 ≠ 0 , 得X 。 一Y 。 一1 =0 , 故 点 D在定 直线 
X—  — l一 0上 .  

— T   _

评 注  本 解 法与解 法 2有 异 曲 同工之 妙 , 将  A, B看 成分点 , 又 A, B在 双曲线上 , 满 足双 曲线 的  方程 , 整体代 入 , 消 去参数 , 运算过 程行 云流水 .   法4   设 直线 z 的参数方 程为 
, z = 3+ t C O S  ,  

① ×③ , 得 

3 一 车 
② ×④ , 得  。一 

⑤  
⑥ 

,  

1   3 , 一1 +t s i n  ,  
( 其中 t 为参数 ,  为直线 l的倾 斜 角) .  

不妨设 倾斜 角  为 锐角.  
又 ; 一3 y ; 一3 , X i 一3 y ; 一3 , 于是 ⑤ 一 ⑥ X  
3, 得 
3 Xo- - 3 y o一 

将   -  ̄ - t c o   s   0 ’ 代 人 等  

得  
① 

( C O S 。  一 3 s i n  ) t 。+ 6 ( c o s  一s i n  ) t + 3— 0  

车 

由参数 t 的几 何意 义并 结合 图形设 I  

I 一  

?

专论荟萃 ?  

数 学通 讯 — — 2 O 1 3 年第 l 1 、 1 2期 ( 上半 月)  

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t 1 , I 百 声l 一一t 2 ,I   声I =~t ( t 。 , t 2 , t <o ) , 则 
由I  


点 D在 定直 线 X=  ̄ / 口   一b  上.  

磅 I —I  

商 l 知一  ( -t  ̄ - t   )  

证 明 

设 A, B, D 三 点的坐标 分别 为 ( z   ,  

( 一t 1 +£ ) ( 一t 2 ) , 整 理 得 

Y 1 ) , (  2 , Y 2 ) , ( zo , Y o ) .  

_ z  
3 s i n 2 0≠ 0 ,   + t z 一 一 

②  
,   t   一 
—  

由l   蔚 I —I   l   I —I 商 I  

商 I 知 

而且 t 。 , t 。 是 方程 ① 的两个 实 根 , 于是 C O S  一 


令 

一丽
一  

‘  
一枷 一  ’   Ⅱ ¨^ 商  =- -i t   ^  “D , 商 



将其 代 人 ② 式得 t s i n  一£ c o s  一1  

蔚 , 即( z l —m, Y l 一  ) =一  ( z 。 一z 1 ,   。 一  

Y 1 ) , ( z 2 一 m, Y 2 一 ) 一  ( z o —X 2 , Y 0 一Y 2 ) , 整 理 

=0 , 即(  — 1 ) 一(  一 3 ) 一 1— 0 , 故 点 D 在定 直 
线 X— Y一 1= 0上 .  

得 

评 注  因直 线 z 过定 点 , 考 虑 利用 直 线 的参  数 方程 , 不过 在求 解 时要注 意参 数 t 的几何 意 义.  
二、 溯 源 

X l   一— m 可   - — _  ̄ X 0  
Y l   一  
一  

① 
②  ③ 

n-  R Yo

_『 

设 椭 圆 c:  

n 

+ 

6 

一 1 ( 口> b> o )过 点 

X 2一  一 —   _ - 
Y2 一

M(  ̄ / 2, 1 ) , 且 左焦 点 为 F   ( 一√ 2 , O ) .   ( 1 ) 求 椭 圆 C的方 程 ;  
( 2 )当过点 P( 4 , 1 )的动直 线 z 与椭 圆 C相交 
于 两不 同点 A, B时, 在线段 A B 上 取 点 Q, 满 足 

一   竿 

④  

又 薯 +  一 l ⑤ ;   X 2 + 等 一 1 ⑥ ,  
将 ① ② 代入 ⑤ , 得  ( 6   z 5 +a   Y 5 一口   b 。 )   。 一2 ( 6   撇 o +n   n y o —  n   b   )  - t - b 2   +n  。 一a 2 b  : = : 0   将 ③ ④ 代人 ⑥ , 得  ( 6   z : +n   Y j 一口   b   )   +2 ( b 。 r n x 0 +n   n y 0 一 
口   b   )  + b 2 m。 +口   一a 2 b 。一 0   ⑧  ⑧ 一 ⑦, 得 4 ( 6 。 懈 0 +口 。 n y 0 一口 。 b   ) | : 【 一 0 .  

l   卜l   I —I   l ?l 商 l , 证明: 点 Q总在某 
定 直线上 .   这是 安徽 省 2 0 0 8年高 考 试 题 理 科 数 学 第 2 1   题, 很 明显 , 该道 模 拟题 是 由上 述 高 考真 题 改 编而  成, 将 椭 圆换成 了双 曲线 , 这 也 启 示 我们 教 师在 高  三 复习过 程 中注 意研 究 各 省 市 的 历 届 高 考 真 题 ,   高考 真题 是命题 的 一大来 源 . 研究 高 考真 题 , 不 仅  研究 其解 法 , 还要学会改编、 推 广 与延 伸 、 归 类 与  对 比, 这样 不仅 有利 于 我们 教 师业 务 素 质 的提 高 ,  

⑦ 

又i 1 , ≠ 0得 b   眦 0 +a 。 n y   0 一n 。 b 。 一0 , 故 点 D 
在定 直 线 b 2   7 n x+a 2 n y- -a 2 b  = 0即 
上.  

+  一 1  

还 有利于 高三 复习课 的实 效 与高效 .  
三、 推 广 

显然, 当 m = _ 
X 一  

; , n =0 , 点 D在定 直 线 

从 以上 的分 析看 出椭 圆与 双 曲线 中都 有类 似 

√n ‘一 b ‘  

的结论 , 那 么能 否将其 一 般化 呢? 抛物 线 中是 否 也 
有类 似结 论呢 ?  
结论 1   已 知 椭 圆 C:   +百 y L一 1 ( n> b> 

=  上 .  
1 ( 口> o , b  

结论 2   已知双曲线 c :   一y A 6 :一

>o ) , 定 点 P( m,   ) 满足  一  > 1 , 过点 P的直  0 ) , 定点 P( m,  ) 满足  +  > 1 , 过点 P的直线  z 与椭 圆 C相交 于两 不 同点 A, B时 , 在线段 AB上 

线Z 与双 曲线 C的两 支分别 交 于两不 同点 A, B, 在 

线段 A B上取点D, 满足 I  
I 商

1 . I 亩 l —I  


1 .  

取点 D, 满足 l  
D 总在定 直线 

亩 l —l  
+百 n y一 1 上.  

商 l ' 贝 I J 点  

y I , 则 点 D 总在定直 线  一 n 。 一 1上 .  

特别地 , 当点 P的坐标为(  ̄ /  
, o ) 时, 则 

, o ) , 则点 

特别 地 , 当点 P的坐标 为 ( — 

D 在 定 直 线 z 一 南

上 ?  

9 0  

数 学 通讯 — — 2 O 1 3年 第 l l 、 1 2期 ( 上 半 月)  

? 专论荟萃 ?  

结论 3   已知 双 曲线 C:   一   一1 ( 口> 0 , b   >0 ) , 定 点 P( m, , z ) 满 足  一  < 1 , 过点 P的直 
a。   o 。  

线 C相交 于两 不 同点 A, B, 在 线段 A B 上取 点 D ,  

满足 I  

亩 I —J  

商 l ' 贝 J l 点 D总在 

定直 线 n y— p ( x+ 仇)上.  

线 与双 曲线 C的 同一支 相交 于两不 同点A , B, 在 
线段 A B 上取 点 D, 满足 l  
?

特别地, 当点P的坐标为( 一要, o ) 时, 则点D  
厶 

1 .   1


l — J  

  I

I 商 I , 则点 D 总在 定直 线  一 ny z一 1上 .  

在定直线X=要上.  
厶 

对 于 结论 2 、 3 、 4 , 有兴趣 的读者 可模 仿 结论 1  

特 别 地 , 当 点 P 的 坐 标 为   南
D在 定直线 z 一   干  上.  

’ o ) , 则 点  

的证 明过 程证 明一下.  

( 收稿 日期 : 2 0 1 3 一O 5 —1 8 )  

结论 4   已知 抛物线 C: Y  一 2 p x (  > O ) , 定  点 P( m,   ) 满 足 z >2 加 , 过 点 P的直线 z 与抛物 

2   0   1   3 年 山东卷文科 压轴题的简解与引申 
胡寅年  
( 福 建 省 龙 岩第 一 中学 , 3 6 4 0 0 0 )  

2 0 1 3年 山东卷 文科压 轴题是 一道 旨在深 层次 

本题 看运用 “ 设 而不 求 ”的 思 想 方 法 , 采 用 整 

考查 椭 圆几何 性 质的综 合性 问题 , 题 目如下 :   在平 面直 角坐标 系 : r O y中, 已知椭 圆 C的 中  心 在原 点 0, 焦 点在 z轴 上 , 短轴长为 2 , 离 心率 

体 思维方 法去处 理 , 运算 过程将 变 得十分 简单.  

简解  ( I ) 设椭圆C的 方程为   a   +等 b  一  
1 ( 。> 6> O ) , 由题意得 2 6 —2 , ?
a c


为 譬 .  
(I) 求 椭 圆 C的方程 ;  
( I I ) A, B为椭 圆 C 上满 足 △A O B 的面 积 为 


2 √ ,a2: = = 6  
- -



+c   , 解 得 n一  , b一 1 , 因此椭 圆 C的方 程为 
+ Y  一 1 .  

的任意两 点 , E为 线段 AB 的 中点 , 射线 OE交  一t   , 求 实数 t 的值.  

( I I ) 设 A( x - , Y   ) , B( x 2 , Y 2 ) , 因为 E 为 线段 

椭 圆 C于 点 P, 设 

A B的 中 点 , 所以 E ( 华
P(   ,  

,  

) .  
一t   ,  

本题 综 合 考 查椭 圆 的方 程 、 直线 与 椭 圆 的位  置关 系 、 平 面 向量 的坐 标运 算 等知 识 , 考 查方 程 的  思想、 分类 讨论思想、 推 理 论 证 能 力 和 运 算 求解 
能 力.  

又射线 O E 交 椭 圆 C于 点 P, 且 
) , 显然 t > o .  

由于 A, B, P都在 椭圆 C上 , 所 以 

按 照常规 思路 , 第( I)问通 过 椭 圆 的简 单 几  何 性质确 定其 方程 , 很 容 易的 ; 第( I I ) 问根据 A, B   两 点是 否关 于 X轴 对 称进 行 分 类讨 论 , 设 出直 线  A B 的方 程 , 然后 通 过联立 方 程 、 判 断 △、 消元 等一  系列运算 “ 动作 ”达成 目标 , 计 算量非 常 大 , 运算 过  程技巧 性强 , 而且 十分繁 琐.  
r 

+Y ;一 1  
+Y i一 1  
( z 1+ z 2 ) 1 ,
- . J -   k  


① 
② 

— — — — } — — —   — — — — 一十 + [ L   — —   — —   — 一J ] 。 一 圳口 l ’   H  


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