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河南省实验中学2014-2015学年高二上学期第一次月考数学试题(有答案)110751


河南省实验中学 2014—2015 学年上学期月考 高二数学试卷
(时间:120 分钟,满分 150 分)
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.在 ?ABC 中, a ? (A)

3, b ? 1, B ?

?
6

, 则A ?





2? ? 5? ? 2? 或 (C) (D) 或 6 3 3 6 3 2 2 2 2. 已知 ?ABC 中, sin B ? sin C ? sin A ? ? sin B sin C ,则 A= ( ? ? ? ? (A) 60 (B) 90 (C) 150 (D) 120 n 3.若等比数列 ?an ?的前 n 项和 Sn ? 3 ? r ,则 r = (
(B) (A)0 (B)-1 (C)1 (D)3 4.等比数列 ?an ?的前 n 项和 S n ? 48, S2n ? 60,则 S 3n ? (

? 3

) ) )

(A)63 (B)64 (C)66 (D)75 5.已知 a, b, c 成等比数列, m 是 a 与 b 的等差中项, n 是 b 与 c 的等差中项,则

a c ? ? m n
(A)1 (B)2 (C)





1 2

(D)

1 4
( )

6.在 ?ABC 中,若 tan A tan B ? 1 ,则 ?ABC 是 (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)无法确定 7.数列 1,

1 1 1 , ,? , ? 的前 n 项和为 ( 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3??? n n 2n 4n n (A) (B) (C) (D) n ?1 n ?1 n ?1 2( n ? 1)




8.若 ?ABC 为钝角三角形,三边长分别为 2,3, x ,则 x 的取值范围是 (A) (1, (A)12



9.已知等差数列 ?an ?前 n 项和为 Sn , S4 ? 40 , Sn ? 210, Sn?4 ? 130,则 n = (B)14 (C)16 (D)18

5)

(B) ( 13,5 )

(C) ( 5, 13 )

(D) (1, 5) ? ( 13,5) ( )

10.设 ?an ?为等差数列, a3 ? a9 ,公差 d ? 0 ,则使前 n 项和 Sn 取得最大值时正整数 n = ( (A)4 或 5 (B)5 或 6 (C )6 或 7 (D)8 或 9 )

c 11.若锐角 ?ABC 中, C ? 2 B ,则 的取值范围是 ( ) b (A) ?0,2? (B) 3,2 (C) 2 , 3 (D) 2 ,2 12 . ?an ? 为 等 差 数 列 , 公 差 为 d , Sn 为 其 前 n 项 和 , S6 ? S7 ? S5 , 则 下 列 结 论 中 不 正 确 的 是

?

?

?

?

?

?

(

) (B) S11 ? 0 (C) S12 ? 0 (D) S13 ? 0

(A) d ? 0

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 2 0 分).

5 4 , cos B ? ,则 cos C ? 13 5 14.设等差数列 ?an ?前 n 项和为 Sn ,若 S9 ? 72 ,则 a2 ? a4 ? a9 ?
13. ?ABC 中,已知 sin A ?




15.已知数列 ?an ?前 n 项和为 Sn , a1 ? 1, an?1 ? 3Sn ,则 an ? __________. 16.设 f ( x ) 是定义在 R 上的恒不为零的函数,且对任意的实数 x, y ,都有 f ( x) ? f ( y) ? f ( x ? y) ,若

1 a1 ? , an ? f (n)(n ? N * ) ,则数列 ?an ?的前项和 Sn 的取值范围为_______. 2
三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 10 分) 甲船在 A 处观察到乙船在它的北偏东 60 方向的 B 处,两船相距 a 海里,乙船正向北行驶,若甲船是 乙船速度的 3 倍,问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上乙船?此时乙船行驶多少海里? 18. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ?的前 n 项和 sn ? 10n ? n 2 , bn ? an 求数列 ? bn ?的前 n 项和 Tn 。
?

19.(本小题满分 12 分)

?A ? C ? ? 2 c o s 在 ?ABC 中, c o s
2

B 5 ? ,三边 a, b, c 成等比数列,求 B 。 2 2

20. (本小题满分 12 分)

(1)求数列 ?an ? 的公比;

设 ?an ? 是公比不为 1 的等比数列,其前项和为 Sn ,且 a5 , a3 , a4 成等差数列。

(2)证明:对任意 k ? N * , Sk ?2 , Sk , Sk ?1 成等差数列。

21. (本小题满分 12 分) 已知圆内接四边形 ABCD , AB ? 2, BC ? 6, CD ? DA ? 4, 求四边形 ABCD 的面积。

22.(本小题满分 12 分 ) 在数列 ?an ?中, a1 ? 1, a n ?1 ? (1 ? (1)设 bn ?

1 n ?1 )a n ? n n 2

an , 求数列 ?bn ?的通项公式; n (2)求数列 ?an ?的前 n 项和 Sn 。

数学参考答案
一.DDBA 二.13. ? BAB D BBCC 15

33 ; 14 . 24; 65

?1( n ? 1) ; ? n ?2 ?3 ? 4 ( n ? 2 )

16

?1 ? , 1? ? ?2 ?

三.17.解:设甲船沿 直线与乙船同时到 C 点,设乙船速度为 v ,则甲船速度为 3v ,到达 C 处用时为 t , 由 题 意 得 BC ? vt , AC ? 3vt , ?ABC ? 120? , 在 ? ABC 中 , 由 余 弦 定 理 得 ,

AC 2 ? AB2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC cos120? ,即 2v2t 2 ? avt ? a2 ? 0, 解得 vt ? a 或 vt= ?
在 ? ABC 中, AB ? BC ? a,??BAC ? ?ACB ? 30? 答:甲船应取北偏东 30 的方向去追乙,此时乙船行驶 a 海里。
?

a (舍) , 2

18.解: n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 10n ? n 2 ? 10(n ? 1) ? (n ? 1) 2 ? 11? 2n ,

?

?

n ? 1 时, a1 ? S1 ? 9 也适合上式

? an ? 11 ? 2n(n ? N * )
n ? 5 时, an ? 0, bn ? an , Tn ? Sn ? 10n ? n 2 , n ? 5 时, an ? 0, bn ? ?an ,

Tn ? (a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ) ? (a6 ? a7 ? ?an )
= 2S5 ? Sn ? n 2 ? 10n ? 50

?10n ? n 2 (1 ? n ? 5) ? Tn ? ? 2 ?n ? 10n ? 50( n ? 5)
19.解:由已知得:

cos( A ? C ) ? cos B ?
? sin A sin C ? 3 , 4

3 , 2

cos( A ? C ) ? cos( A ? C ) ?

3 , 2

又? a, b, c 成等 比数列, ? b ? ac ,
2

又由正弦定理得 sin B ? sin A ? sin C ,
2

3 3 3 , sin B ? , (? 舍去) , 4 2 2 ? B ? 60? 或 120? , ? 2 2 但若 B ? 120 则 b ? a, b ? c, b ? ac 这与已知 b ? ac 矛盾, ? B ? 60? ? sin 2 B ?
20.解: (1)设数列 ?an ? 的公比为 q(q ? 0, q ? 1) ,由 a5 , a3 , a4 成等差数列,得 2a3 ? a5 ? a4 , 即 2a1q ? a1q ? a1q ,由 q ? 0, a1 ? 0 得 q +q ? 2 ? 0 ,解得 q1 ? ?2, q2 ? 1 (舍去) ,
2 4 3
2

所以 q ? ?2 ; (2)证明略。 21.解:连接 BD ,则四边形 ABCD 的面积

1 1 AB ? AD sin A ? BC ? CD sin C 2 2 ? ? A ? C ? 180 ,? sin A ? sin C 1 ? S ? ( AB ? AD ? BC ? CD ) sin A ? 16 sin A 2

S ? S?ABD ? S?CBD =

[来源:]

由余弦定理在 ?ABD 中, BD ? 2 ? 4 ? 2 ? 2 ? 4 cos A ? 20 ? 16 cos A
2 2 2

2 ? 20 ? 16 cos A ? 52 ? 48 c o s C, 在 ?CDB 中 , BD ? 52 ? 48cosC, 20 ? 16 cos A ? 52 ? 48 cos A , 又 cos C ? ? cos A ,

1 ? cos A ? ? , 2

? A ? 120?

S ? 16sin A ? 8 3

a n ?1 a 1 ? n ? n, n ?1 n 2 1 1 1 1 即 bn ?1 ? bn ? n ,? b2 ? b1 ? , b3 ? b2 ? 2 , ? bn ? bn ?1 ? n ?1 ( n ? 2) , 2 2 2 2 1 1 1 1 ? bn ? b1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? 2 ? n ?1 ( n ? 2) , 2 2 2 2 1 又 b1 ? 1 ,?所求数列 ? bn ?的通项公式为 bn ? 2 ? n ?1 ; 2 1 n (2)由(1)知 a n ? n ( 2 ? n ?1 ) ? 2n ? n ?1 , 2 2 1 1 1 ? S n ? 2(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? (1 ? 2 ? ? 3 ? 2 ? ? ? n ? n ?1 ) 2 2 2 1 1 1 ? n(n ? 1) ? (1 ? 2 ? ? 3 ? 2 ? ? ? n ? n?1 ) 2 2 2 1 1 1 令 Tn ? 1 ? 2 ? ? 3 ? 2 ? ? ? n ? n ?1 ① 2 2 2 1 1 1 1 1 则 Tn ? 1 ? ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? ? ? n ? n ② 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ①-②得 Tn ? 1 ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n ? n , 2 2 2 2 2 2 1 Tn ? 4 ? ( n ? 2) ? n ?1 , 2 n?2 ? S n ? n(n ? 1) ? n ?1 ? 4 2
22.解:(1)由已知得 b1 ? a1 ? 1, 且


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