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高考数学(文)名师讲义:第6章《不等式、推理与证明》(1)【含解析】


第六章 不等式、推理与证明

近三年广东高考中对本章考点考查的情况

年份

题号

赋分

所考查的知识点

4 5 18 2011 6

5 5 14 5

求函数定义域 求一元二次不等 式的解集 证明四点共面, 证明线面垂直 线性规划的最大 值问题 以数列为背景的 不等式证明

20(2)

8

(续上表) 5 2012 11 18(1) 21(1) 2013 2 13 19(3) 20(3) 21(3) 5 5 6 6 5 5 6 6 6 线性规划的最小值问题 求函数定义域 线面垂直的证明 一元二次不等式的解集 求函数的定义域 线性规划、目标函数的最大值 以数列为背景的不等式证明 求二次函数的最值 三次函数在指定区间上的最值

本章内容主要包括两个内容:不等式、推理与证明. 不等式主要包括:不等式的基本性质、一元二次不等式的解 法、基本不等式的应用、简单的线性规划问题、不等式简单应用. 推理与证明主要包括:合情推理和演绎推理、直接证明与间

接证明,其中合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知 识,代表研究性命题的发展趋势,选择题、填空题、解答题都可 能涉及,该部分命题的方向主要会在函数、三角、数列、立体几 何、解析几何等方面,在新的高考中都会涉及和渗透,但单独出 题的可能性较小. 广东高考在这一章的命题上呈现以下特点: 1.考查题型以选择题、填空题为主,偶以解答题形式出现, 但多数是解答题中的一部分,如与数列、函数、解析几何等结合 考查,分值约占 10%左右,既有中、低档题,也会有高档题出现. 2.重点考查不等式解法、不等式应用、线性规划以及不等式 与其他知识的结合,另在推理与证明中将会重点考查. 3.对合情推理与演绎推理及证明方法的考查,主要放在解答 题中,注重知识交汇处的命题. 预计高考中对本章内容的考查仍将以不等式的解法、基本不 等式应用、线性规划为重点,将推理与证明和其他知识相融合, 更加注重应用与能力的考查.

本章内容理论性强,知识覆盖面广,因此在复习过程中应注 意: 1.复习不等式的性质时,要克服“想当然”和“显然成立” 的思维定势,要以比较准则和实数的运算法则为依据. 2.不等式的证明方法除比较法、分析法、综合法外,还有反 证法、换元法、判别式法、构造法、几何法,这些方法可作适当 了解,但要控制量和度. 3.解(证)某些不等式时,要把函数的定义域、值域和单调性 结合起来. 4.注意重要不等式和常用思想方法在解题、证题中的作用. 在复习不等式的解法时, 加强等价转化思想的训练与复习. 解

不等式的过程是一个等价转化的过程,通过等价转化可简化不等 式(组),以快速、准确求解. 加强分类讨论思想的复习.在解不等式或证不等式的过程中, 如含参数等问题,一般要对参数进行分类讨论.复习时,学生要 学会分析引起分类讨论的原因,合理地分类,做到不重不漏. 加强函数与方程思想在不等式中的应用训练.不等式、函数、 方程三者密不可分,相互联系、互相转化.如求参数的取值范围 问题,函数与方程思想是解决这类问题的重要方法. 在不等式的证明中,加强化归思想的复习,证不等式的过程 是一个已知条件向要证结论转化的过程,既可考查学生的基础知 识,又可考查学生分析问题和解决问题的能力,正因为证不等式 是高考考查学生代数推理能力的重要素材,复习时应引起我们的 足够重视. 5.强化不等式的应用. 高考中除单独考查不等式的试题外,常在一些函数、数列、 立体几何、解析几何和实际应用问题的试题中涉及不等式的知识, 加强不等式应用能力,是提高解综合题能力的关键.因此,在复 习时应加强这方面的训练,提高应用意识,总结不等式的应用规 律,才能提高解决问题的能力. 如在实际问题应用中,主要有构造不等式求解或构造函数求 函数的最值等方法,求最值时要注意等号成立的条件,避免不必 要的错误. 6.利用平均值定理解决问题时,要注意满足定理成立的三个 条件:“一正、二定、三相等”. 7.要强化不等式的应用意识,同时要注意到不等式与函数、 方程的区别与联系. 对于类比型问题可以说是创新要求的体现,最常见的是二维 问题与三维问题的类比,同结构问题的类比(比如圆锥曲线内的类 比问题、 数列内的类比问题等), 较少对照不同结构的类比问题. 关 于归纳、猜想、证明是考得比较多、比较成熟的题型了,在复习 备考中要把握考试的特点,注重落实.

归纳、演绎和类比推理在数学思维中所占的分量非常重,事 实上,在高考中归纳、猜想、证明以及类比、证明这一类题目是 常考常新的. 推理与证明问题综合了函数、方程、不等式、解析几何与立 体几何等多个知识点,需要采用多种数学方法才能解决问题,如: 函数与方程思想、化归思想、分类讨论思想等,对学生的知识与 能力要求较高,是对学生思维品质和逻辑推理能力、表述能力的 全面考查,可以弥补选择题与填空题等客观题的不足,是提高区 分度、增强选拔功能的重要题型,因此在最近几年的高考试题中, 推理与证明问题正在成为一个热点题型,并且经常作为压轴题出 现.

第一节

不等关系与不等式

了解现实世界和日常生活中的不等关系, 了解不等式?组?的实 际背景.

知识梳理 一、不等式的概念 在客观世界中,量与量之间的不等关系是普遍存在的,我们 用数学符号“<”,“>”,“≤”,“≥”,“≠”连接两个数 式或代数式以表示它们之间的不等的关系的式子,叫做不等式. 二、实数运算性质与大小顺序关系

1.a>b?a-b>0.2.a=b?a-b=0.3.a<b?a-b<0. 它是比较两实数大小的依据,也是作差比较法的依据. 三、不等式的基本性质 双向性: 1.定理 1(对称性):a>b?b<a. 单向性: 2.定理 2(传递性):a>b,b>c?a>c. 3.定理 3(同加性):a>b,c 为整式或实数?a+c>b+c. 4.定理 3 推论(叠加性): a>b? ??a+c>b+d. c>d ?

a>b? a>b? ? ??ac<bc. 5.定理 4(可乘性): ?ac>bc; c>0 ? c<0 ? 6.定理 4 推论 1(叠乘性): a>b>0? ??ac>bd. c>d>0 ?

7.定理 4 推论 2(可乘方性):a>b>0?an>bn(n∈N*且 n>1). n n 8.定理 5(可开方性):a>b>0? a> b(n∈N*且 n>1). 四、不等式性质成立的条件 1 1 例如,重要结论:a>b,ab>0?a<b,不能弱化条件得 a> 1 1 b?a<b. 五、正确处理带等号的情况 如由 a>b, b≥c 或 a≥b, b>c 均可得出 a>c; 而由 a≥b, b≥c 可能有 a>c,也可能有 a≥c,当且仅当 a=b 且 b=c 时,才会有 a=c. 注意:不等式的性质从形式上可分两类:一类是 “?”型; 另一类是“?”型.要注意二者的区别.

基础自测 1.已知 a<0,b<-1,则下列不等式成立的是( a a A.a>b>b2 a a B.b2>b>a a a C.b>b2>a a a D.b>a>b2 )

a a 解析: 特殊值法, 取 a=-1, b=-2, 验证知b>b2>a 成立. 也 可用作差比较法. 答案:C 2.(2012· 广东两校联考)若 0<a<b,且 a+b=1,则下列各式 中最大的是( ) A.-1 B.log2b C.log2a+log2b+1 D.log2(a3+a2b+ab2+b3) 1 2 2 解析: 特殊值法. 取 a=3, b=3, 则 log2b=log23=1-log23>1 -log24=-1; 1 log2b-(log2a+log2b+1)=-1-log23=-1+log23>0;

计算可知,b>a3+a2b+ab2+b3, ∴log2b>log2(a3+a2b+ab2+b3).故选 B. 答案:B 3.已知 a, b∈R 且 a> b,则下列不等式中一定成立的是 ________. a ①b>1 ②a2>b2 ③lg(a-b)>0
?1? ?1? ④?2?a<?2?b ? ? ? ?

a a 解析:令 a=2,b=-1,则 a>b,b=-2,故b>1 不成立; 令 a=1,b=-2,则 a2=1,b2=4,故 a2>b2 不成立;当 a-b 在 ?1? 区间(0,1)内时,lg(a-b)<0;f(x)=?2?x 在 R 上是减函数,∵a>b, ? ? ?1? ?1? ∴f(a)<f(b),即?2?a<?2?b.故④正确. ? ? ? ? 答案:④ b a b+m a+n 4.a>b>0,m>0,n>0,则a,b, , 由大到小的顺序 a+m b+n 是____________. b 1 a 解析:取特殊值.如 a=2,b=1,m=n=1,则a=2,b=2, b+m 2 a+n 3 a a+n b+m b = , = .∴ > > > . a+m 3 b+n 2 b b+n a+m a a a+n b+m b 答案:b> > > b+n a+m a

1.(2013· 北京卷)设 a,b,c∈R,且 a>b,则( A.ac>bc C.a2>b2 1 1 B.a<b D.a3>b3

)

解析:当 a>b 时,a3>b3 成立.A 项中对 c=0 不成立.B 项取 1 1 a=1,b=-1,则a<b不成立;C 项取 a=1,b=-2,则 a2>b2 不 成立. 答案:D 1 2. (2012· 大纲全国卷)已知 x=ln π, y=log52, z=e-2, 则( A.x<y<z C.z<y<x B.z<x<y D.y<z<x

)

1 1 1 1 解析:x=ln π>ln e=1,y=log52<log5 5=2,z=e-2= > e 4 1 1 =2, <1.综上可得,y<z<x.故选 D. e 答案:D

1.(2013· 江门一模)若 x>0,y>0,则 x+y>1 是 x2+y2>1 的( )

A.充分不必要条件 C.充要条件 解析:先看充分性,

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2 可取 x=y=3,使 x+y>1 成立,而 x2+y2>1 不能成立,故 充分性不能成立; 若 x2+y2>1,因为 x>0,y>0, 所以(x+y)2=x2+y2+2xy>x2+y2>1, ∴x+y>1 成立,故必要性成立. 综上所述,x+y>1 是 x2+y2>1 的必要不充分条件. 答案:B 2. (2013· 北京西城区期末)已知 a>b>0, 给出下列四个不等式: ①a2>b2 ②2a>2b
-1

③ a-b> a- b

④a3+b3>2a2b. 其中一定成立的不等式为________. 解析:由 a>b>0 可得 a2>b2,①成立; 由 a>b>0 可得 a>b-1,而函数 f(x)=2x 在 R 上是增函数; - ∴f(a)>f(b-1),即 2a>2b 1,②成立; ∵a>b>0,∴ a> b, ∴( a-b)2-( a- b)2=2 ab-2b=2 b( a- b)>0, ∴ a-b> a- b,③成立; 若 a=3,b=2,则 a3+b3=35,2a2b=36,a3+b3<2a2b,④不 成立. 答案:①②③


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