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2016-2017年数学·必修5(苏教版)练习:第1章1.2余弦定理 Word版含解析


第1章 1.2

解三角形 余弦定理

A级 一、选择题

基础巩固

c2-a2-b2 1. 在△ABC 中, A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 若 >0, 2ab 则△ABC( ) B.一定是直角三角形 D.是锐角或直角三角形

A.一定是锐角三角形 C.一定是钝角三角形

a2+b2-c2 解析:由题意知 <0,即 cos C<0, 2ab 所以△ABC 为钝角三角形. 答案:C 2.在△ABC 中,a=1,b= 3,c=2,则 B 等于( A.30° B.45° C.60° D.120° )

c2+a2-b2 4+1-3 1 解析:cos B= = = , 2ac 4 2 所以 B=60°. 答案:C 3.边长为 5,7,8 的三角形的最大角与最小角的和是( A.90° B.120° C.135° D.150° )

解析:设边长为 7 的边所对的角为 θ,则由余弦定理得: 52+82-72 1 cos θ= = ,所以 θ=60°. 2×5×8 2

所以最大角与最小角的和为 180°-60°=120°. 答案:B 4.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a2 =b2-c2+ 2ac,则角 B 的大小是( A.45° B.60° C.90° ) D.135°

解析:因为 a2=b2-c2+ 2ac, 所以 a2+c2-b2= 2ac, a2+c2-b2 2ac 2 由余弦定理得 cos B= = = , 2ac 2ac 2 又 0°<B<180°,所以 B=45°. 答案:A → → 5.△ABC 的三边长分别为 AB=7,BC=5,CA=6,则AB·BC 的值为( )

A.19 B.14 C.-18 D.-19 解析:由余弦定理的推论知 AB2+BC2-AC2 19 cos B= = , 35 2AB·BC → → → → ? 19? 所以AB·BC=|AB|·|BC|·cos(π-B)=7×5×?-35?=-19.
? ?

答案:D 二、填空题 6.已知△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 3a2+2ab+3b2-3c2=0, 则 cos C=_____________________________. 2 解析: 由 3a2+2ab+3b2-3c2=0 得 a2+b2-c2=- ab, 从而 cos 3 a2+b2-c2 1 C= =- . 2ab 3

答案:-

1 3

7.(2014· 福建卷)在△ABC 中,A=60°,AC=2,BC= 3,则 AB 等于________. AC2+AB2-BC2 4+AB2-3 解析:由余弦定理可知:cos A= = = 2AC·AB 2×2AB 1 ,所以 AB=1. 2 答案:1 8.设 2a+1,a,2a-1 为钝角三角形的三边,那么 a 的取值范 围是________. 解析:由题意知 2a+1 是三角形的最大边,则 a>0, ? ?a+2a-1>2a+1, ?a +(2a-1) -(2a+1) <0, ? ? 2a(2a-1)
2 2 2

所以 2<a<8. 答案:(2,8) 三、解答题 9.在△ABC 中,B=120°,若 b= 13,a+c=4,求△ABC 的面积. 解:由余弦定理得:b2=a2+c2-2ac· cos B,
? 1? ?- ?, 即 b2=(a+c)2-2ac-2ac· 2 ? ?

所以 ac=3. 1 1 3 3 3 故 S△ABC= acsin B= ×3× = . 2 2 2 4 10.在△ABC 中,∠C=90°,现以 a+m,b+m,c+m(m>0)

为边长作一个△A′B′C′,试判断△A′B′C′的形状. 解:最大边长 c+m 所对角为 C′,则 (a+m)2+(b+m)2-(c+m)2 cos C′= 2(a+m)(b+m) (a2+b2-c2)+2m(a+b-c)+m2 = 2(a+m)(b+m) 2m(a+b-c)+m2 = >0, 2(a+m)(b+m) 所以 C′为锐角,而 C′为△A′B′C′的最大角,故△A′B′C′为锐 角三角形. B级 一、选择题 11.三角形的两边分别为 5 和 3,它们夹角的余弦是方程 5x2- 7x-6=0 的根,则三角形的另一边长为( A.52 B.2 13 C.16 ) D.4 能力提升

解析:设夹角为 α,所对的边长为 m,则由 5x2-7x-6=0,得 3 3 (5x+3)(x-2)=0,故得 x=- 或 x=2,因此 cos α=- ,于是 m2 5 5
? 3? =52+32-2×5×3×?-5?=52,所以 m=2 13. ? ?

答案:B 12.在不等边三角形中,a 为最大边,如果 a2<b2+c2,则 A 的 取值范围是( ) B.45°<A<90° D.0°<A<90°

A.90°<A<180° C.60°<A<90°

解析:由余弦定理可知,cos A>0,故知 A 为锐角,又 A 是不等 边三角形的最大角,故 A>60°,所以 60°<A<90°.

答案:C 13.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若(a2+ c2-b2)tan B= 3ac,则 B=( π A. 6 π 5π C. 或 6 6 ) π 2π B. 或 3 3 π D. 3

3ac 解析:由(a2+c2-b2)tan B= 3ac 得 a2+c2-b2= ,再由余 tan B a2+c2-b2 3 弦定理得:cos B= = , 2ac 2tan B 即 tan Bcos B= 答案:B 二、填空题 14.(2014· 天津卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 1 a,b,c.已知 b-c= a,2sin B=3sin C,则 cos A 的值为________. 4 3 解析:由 2sin B=3sin C 及正弦定理得 2b=3c,即 b= c. 2 9 2 2 c +c -4c2 b +c -a 4 1 代入 b-c= a, 整理得 a=2c.故 cos A= = 4 2bc 3 2× c·c 2
2 2 2

3 3 π 2π ,即 sin B= ,所以 B= 或 . 2 2 3 3

1 =- . 4 答案:- 1 4

a2+b2-c2 15.已知△ABC 的三边 a,b,c,且面积 S= ,则 C 4 =________.

a2+b2-c2 1 解析:由 absin C= 得 a2+b2-c2=2absin C,再由余 2 4 a2+b2-c2 弦定理 cos C= 得 sin C=cos C, 2ab π 所以 C= . 4 答案: π 4

三、解答题 16.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 1 a=1,b=2,cos C= . 4 (1)求△ABC 的周长; (2)求 cos(A-C)的值. 1 解:(1)因为 c2=a2+b2-2abcos C=1+4-4× =4,所以 c=2. 4 所以△ABC 的周长为 1+2+2=5. 1 15 (2)因为 cos C= ,所以 sin C= 1-cos2C= , 4 4 b2+c2-a2 22+22-12 7 cos A= = = . 2bc 2×2×2 8 所以 sin A=
?7? 15 1-?8? = . 8 ? ?
2

7 1 15 15 所以 cos(A-C)=cos Acos C+sin Asin C= × + × = 8 4 8 4 11 . 16


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