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2015届高考数学(理)一轮专题复习特训:数列(人教A版)


2015 届高考数学(理)一轮专题复习特训:数列
一、选择题 错误!未指定书签。 1. (山东省单县第五中学 2014 届高三第二次阶段性检测 试题 ( 数理 ) )已知数列 { an } 的前 n 项和为 Sn, 且 Sn=2(an — 1), 则 a2 等于 ( ) A.4 B.2 C.1 D.-2 【答案】A 2 错误!未指定书签。 . (山东省莱芜四中 2014 届高三第二次月考数学理试题) 1 n 已知 an ? ( ) ,把数列 ?an ? 的各项排列成如下的三角形状, 3

10,12 ) 记 A(m, n) 表示第 m 行的第 n 个数,则 A( =





1 93 1 92 1 94 1 112 ( ) ( ) ( ) ( ) A. B. C. D. 3 3 3 3 【答案】A 3 错误!未指定书签。 . (山东省淄博第五中学 2014 届高三 10 月份第一次质检数

学(理)试题)设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 A.1 B.-1 C.2 D.
1 2

a5 5 S ? ,则 9 = ( a3 9 S5



【答案】A 4 错误!未指定书签。 . (山东省淄博一中 2014 届高三上学期 10 月阶段检测理科 数 学 ) 数 列

{an }



,

前 ,

n







Sn

,



a1 ? 1, a2 ? 2, an?2 ? an ? 1 ? (?1) n
则 S100 = ( )

A.2600 B.2601 C.2602 D.2603 【答案】A 5 错误!未指定书签。 . (山东省莱芜四中 2014 届高三第二次月考数学理试题) 设 等 比 数 列 ?an ? 中 , 前 n 项 和 为 Sn , 已 知 S3 ? 8,S6 ? 7 , 则 a7 ? a8 ? a9 ? ( )

第 1 页 共 14 页

1 1 57 55 B. ? C. D. 8 8 8 8 【答案】A

A.

6 错误!未指定书签。 . (山东省郯城一中 2014 届高三上学期第一次月考数学 (理) 试题) 已知{an}是由正数组成的等比数列,Sn 表示数列{an}的前 n 项的和, 若 a1=3,a2a4=144,则 S5 的值为 ( ) A.
69 2

B.69 C.93 D.189

【答案】C 7 错误!未指定书签。 . (山东省聊城市堂邑中学 2014 届高三上学期 9 月假期自

? ? 主学习反馈检测数学(理)试题)若数列 an 的通项为
和 Sn 为 (
1?

an ?

2 n(n ? 2) ,则其前 n 项



A.

1 3 1 1 ? ? n ? 2 B. 2 n n ? 1

3 1 1 3 1 1 ? ? ? ? C. 2 n n ? 2 D. 2 n ? 1 n ? 2

? ? 【 答 案 】 D 根 据 题 意 , 由 于 数 列 an 的 通 项 为
1 1 an ? 2( ? ) n n?2

an ?

2 n(n ? 2) 可 以 变 形 为

,















前 可

n 知

项 结

和 论

为 为

Sn ? a1 +a2 +

1 1 1 1 +an ? 2[( ? ) ? ( ? ) ? 1 3 2 4

1 1 +( ? )] n n?2

3 1 1 ? ? 2 n ? 1 n ? 2 ,故选 D

8 错误!未指定书签。 . (山东师大附中 2014 届高三第一次模拟考试数学试题)
a3 a10 a1 a2 等差数列 {an } 中 a5 ? a6 ? 4 ,则 log2 (2 ? 2 ? 2 ?…? 2 ) ? (



A. 10 B. 20 C. 40 D. 2+ log 2 5 【答案】B 二、填空题 1 错误!未指定书签。 . (山东师大附中 2014 届高三第一次模拟考试数学试题)
2 已知递增的等差数列 {an } 满足 a1 ? 1, a3 ? a2 ? 4 ,则 an ? _________ .

【答案】 2n ? 1
第 2 页 共 14 页

三、解答题 1、 (2014 山东理)19. (本小题满分 12 分)已知等差数列 {an } 的公差为 2,前 n 项和为 Sn ,且 S1 , S2 , S4 成等比数列. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ? (?1) n ?1
4n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . an an ?1

答案:19.解: (I) d ? 2, S1 ? a1 , S2 ? 2a1 ? d , S4 ? 4a1 ? 6d ,
2 ? S1, S2 , S4成等比? S2 ? S1S4

解得 a1 ? 1,? an ? 2n ?1 (II) bn ? (?1) n?1
4n 1 1 ? (?1) n?1 ( ? ) an an?1 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 当n为偶数时, Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ?? ? ( ? )?( ? ) 3 3 5 5 7 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 1 2n ?Tn ? 1 ? ? 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 当n为奇数时, Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ?? ? ( ? )?( ? ) 3 3 5 5 7 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 1 2n ? 2 ? Tn ? 1 ? ? 2n ? 1 2n ? 1

? 2n , n为偶数 ? ? 2n ? 1 ?Tn ? ? ? 2n ? 2 , n为奇数 ? ? 2n ? 1

a 2、 (2013 山东理)20. (本小题满分 12 分)设等差数列 ? n ? 的前 n 项和为 Sn ,
且 S4 ? 4S2 , a2n ? 2an ? 1.

a (Ⅰ)求数列 ? n ? 的通项公式; b (Ⅱ) 设数列 ? n ? 前 n 项和为 Tn , 且
Tn ? an ? 1 ?? * 2n ( ? 为常数) .令 cn ? b2n (n ? N ) .

第 3 页 共 14 页

c 求数列 ? n ? 的前 n 项和 Rn 。 a 答案:20.解: (Ⅰ)设等差数列 ? n ? 的首项为 a1 ,公差为 d ,
由 S4 ? 4S2 , a2n ? 2an ? 1得

4a1 ? 6d ? 8a1 ? 4d ? ? ?a1 ? (2n ? 1) ? 2a1 ? 2(n ? 1)d ? 1 ,
解得, a1 ? 1 , d ? 2
* 因此 an ? 2n ? 1 (n ? N )

(Ⅱ)由题意知:

Tn ? ? ?

n 2n ?1

所以 n ? 2 时,
cn ? b2 n ?

bn ? Tn ? Tn ?1 ? ?

n 2
n ?1

?

n ?1 2n ?2

故,

2n ? 2 1 ? (n ? 1)( ) n ?1 2 n ?1 2 4

(n ? N * )

1 1 1 1 1 Rn ? 0 ? ( )0 ? 1? ( )1 ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? ( )3 ? ??? ? ( n ? 1) ? ( ) n ?1 4 4 4 4 4 所以 ,
1 1 1 1 1 1 Rn ? 0 ? ( )1 ? 1? ( ) 2 ? 2 ? ( )3 ? ??? ? ( n ? 2) ? ( ) n ?1 ? ( n ? 1) ? ( ) n 4 4 4 4 4 则4 3 1 1 1 1 1 Rn ? ( )1 ? ( ) 2 ? ( )3 ? ??? ? ( ) n ?1 ? ( n ? 1) ? ( ) n 4 4 4 4 4 两式相减得 4

1 1 n ?( ) 4 4 ? (n ? 1)( 1 ) n ? 1 4 1? 4
1 3n ? 1 Rn ? (4 ? n ?1 ) 9 4 整理得 Rn ? (4 ? c 9 所以数列数列 ? n ? 的前 n 项和 1 3n ? 1 ) 4n ?1

3、 (2011 山东理数 20)等比数列
第 4 页 共 14 页

?an ? 中, a1, a2 , a3 分别是下表第一、二、三行

中的某一个数,且 a1 , a2 , a3 中的任何两个数不在下表的同一列. 第一行 第二行 第三行 第一列 3 6 9 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18

a (Ⅰ)求数列 ? n ? 的通项公式;
n b b (Ⅱ)若数列 ? n ? 满足: bn ? an ? ? ?1? ln an ,求数列 ? n ? 的前 n 项和 Sn .

答案:解: (I)当 a1 ? 3 时,不合题意; 当 a1 ? 2 时,当且仅当 a2 ? 6, a3 ? 18 时,符合题意; 当 a1 ? 10 时,不合题意。 因此 a1 ? 2, a2 ? 6, a3 ? 18, 所以公式 q=3,[] 故 an ? 2 ? 3n?1. (II)因为 bn ? an ? (?1)n ln an
? 2 ? 3n ?1 ? (?1) n (2 ? 3n ?1 ) ? 2 ? 3n ?1 ? (?1) n [ln 2 ? (n ? 1) ln 3] ? 2?3
n ?1

[]
n

? (?1) (ln 2 ? ln 3) ? (?1) n ln 3,
n

所以[来源:Z|xx|k.Com]

S2n ? 2(1 ? 3 ?
所以

? 32n?1 ) ? [?1 ?1 ?1 ?

? (?1)2n ](ln 2 ? ln3) ? [?1 ? 2 ? 5 ?

? (?1) n n]ln3,

当 n 为偶数时, Sn ? 2 ?
n ? 3n ? ln 3 ? 1; 2

1 ? 3n n ? ln 3 1? 3 2

当 n 为奇数时, Sn ? 2 ?
n ?1 ln 3 ? ln 2 ? 1. 2 综上所述, ? 3n ?

1 ? 3n n ?1 ? (ln 2 ? ln 3) ? ( ? n) ln 3 1? 3 2

第 5 页 共 14 页

? n n 3 ? ln 3 ? 1, n为偶数 ? ? 2 Sn ? ? ?3n - n ? 1 ln3-ln2-1,n为奇数 ? ? 2

4 错误!未指定书签。 . (山东省莱芜四中 2014 届高三第二次月考数学理试题) 1 已知各项均为正数的数列 ?an ? 前 n 项和为 Sn ,首项为 a1 ,且 , an , S n 等差数列. 2 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;
1 b 2 ? ( ) bn ,设 cn ? n ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . (Ⅱ)若 an 2 an

1 【答案】解(1)由题意知 2an ? S n ? , an ? 0 2 1 1 ? a1 ? 当 n ? 1 时, 2a1 ? a1 ? 2 2 1 1 当 n ? 2 时, S n ? 2an ? , S n ?1 ? 2an ?1 ? 2 2

[来源:学+科+网]

两式相减得 an ? Sn ? Sn?1 ? 2an ? 2an?1 整理得:
an ?2 an ?1

[来源:学,科,网]

∴数列 ?an ? 是以

1 为首项,2 为公比的等比数列. 2

1 an ? a1 ? 2 n ?1 ? ? 2 n?1 ? 2 n ?2 2
2 (2) an ? 2?bn ? 22n?4

∴ bn ? 4 ? 2n ,
Cn ?
Tn ?

bn 4 ? 2n 16 ? 8n ? n?2 ? an 2 2n

8 0 ?8 24 ? 8n 16 ? 8n ? 2 ? 3 ? ? n ?1 ? ① 2 2 2 2 2n 1 8 0 24 ? 8n 16 ? 8n Tn ? 2 ? 3 ? ? ? ? n ?1 ② 2 2 2 2n 2 1 1 1 1 16 ? 8n ①-②得 Tn ? 4 ? 8( 2 ? 3 ? ? ? n ) ? n?1 2 2 2 2 2

第 6 页 共 14 页

1 1 (1 ? n ?1 ) 2 16 ? 8n 2 ? 4 ? 8? 2 ? n ?1 1 2 1? 2 1 16 ? 8n ? 4?( 4 1 ? n ?1 ) ? n ?1 2 2 4n ? n 2 8n ? Tn ? n . 2

5 错误!未指定书签。 . (山东省烟台二中 2014 届高三 10 月月考理科数学试题) 设 曲 线 y ? xn?1 (n ? N ? ) 在 点 (1,1) 处 的 切 线 与 x 轴 的 定 点 的 横 坐 标 为 xn , 令

an ? lg xn .
(1)当 n ? 1时,求曲线在点(1,1) 处的切线方程; (2)求 a1 ? a2 ? … ? a99 的值. 【答案】

6 错误!未指定书签。 . (山东省济南外国语学校 2014 届高三上学期质量检测数 学(理)试题)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? a2 ? 1 , bn ? nSn ? (n ? 2)an , 数列 {bn } 是公差为 d 的等差数列, n ? N .
*

第 7 页 共 14 页

(1) 求 d 的值; (2) 求数列 {an } 的通项公式;

22 n?1 (a1a2 ??? an ) ? (S1S2 ??? Sn ) ? (n ? 1)(n ? 2) . (3) 求证:
【答案】

20.解: a1 ? a2 ? 1,bn ? nS n ? (n ? 2)an ? b1 ? S1 ? (1 ? 2)a1 ? 4a1 ? 4 b2 ? 2S2 ? (2 ? 2)a2 ? 2a1 ? 6a2 ? 8 ? d ? b2 ? b1 ? 4

第 8 页 共 14 页

7 错误!未指定书签。 . (山东省淄博第五中学 2014 届高三 10 月份第一次质检数 学 ( 理) 试题 ) ( 本小 题 满分 12 分 ) 设等 差 数列 {an } 的 前 n 项 和 为 S n , 且

1 Sn ? nan ? an ? c ( c 是常数, n ? N * ), a2 = 6 . 2
(Ⅰ)求 c 的值及数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)证明:
1 1 1 1 ? ??? ? . a1 a 2 a 2 a3 a n a n ?1 8

1 【答案】(Ⅰ)解:因为 Sn ? nan ? an ? c , 2 1 所以当 n = 1 时, S1 ? a1 ? a1 ? c ,解得 a1 = 2c , 2

当 n = 2 时, S2 ? a2 ? a2 ? c ,即 a1 ? a2 ? 2a2 ? c ,解得 a2 = 3c , 所以 3c ? 6 ,解得 c ? 2 ; 则 a1 ? 4 ,数列 {an } 的公差 d ? a2 ? a1 ? 2 , 所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 2n ? 2 . (Ⅱ)因为
= 1 1 ( 2 4 1 1 = [( 2 4

---

1 1 1 + +L + a1a2 a2a3 anan+ 1

1 1 1 1 1 1 1 )+ ( - )+ L + ( ) 6 2 6 8 2 2n + 2 2n + 4 1 1 1 1 1 )+ ( - )+ L + ( )] 6 6 8 2n + 2 2n + 4

=

1 1 1 1 1 . ( )= 2 4 2n + 4 8 4( n + 2)

因为 n ? N *

所以

1 1 1 1 + +L + < a1a2 a2a3 an an+ 1 8

第 9 页 共 14 页

8 错误!未指定书签。 . (山东省聊城市某重点高中 2014 届高三上学期期初分班 教学测试数学(理)试题)下面四个图案,都是由小正三角形构成,设第 n 个图 形中所有小正三角形边上黑点的总数为 f (n) .

图1

图2

图3

图4

(1)求出 f (2) , f (3) , f (4) , f (5) ; (2)找出 f (n) 与 f (n ? 1) 的关系,并求出 f (n) 的表达式; (3)求证:

1

1 1 f (1) ? 3 f (2) ? 5 3 3 【答案】(1)由题意有
f (1) ? 3 ,

?

1

?

1 1 f (3) ? 7 3

???

1 1 f (n) ? 2n ? 1 3

?

25 ( n? N* ) 36

f (2) ? f (1) ? 3 ? 3 ? 2 ? 12 , f (3) ? f (2) ? 3 ? 3 ? 4 ? 27 ,
f (4) ? f (3) ? 3 ? 3 ? 6 ? 48 , f (5) ? f (4) ? 3 ? 3 ? 8 ? 75

(2)由题意及(1)知, f (n ? 1) ? f (n) ? 3 ? 3 ? 2n ? f (n) ? 6n ? 3 , 即 f (n ? 1) ? f (n) ? 6n ? 3 , 所以 f (2) ? f (1) ? 6 ?1 ? 3 ,
f (3) ? f (2) ? 6 ? 2 ? 3 , f (4) ? f (3) ? 6 ? 3 ? 3 ,

f (n) ? f (n ? 1) ? 6(n ? 1) ? 3 ,

第 10 页 共 14 页

将上面 (n ? 1) 个式子相加,得:
f (n) ? f (1) ? 6[1 ? 2 ? 3 ? ??? ? (n ?1)] ? 3(n ?1)

? 6?

(1 ? n ? 1)(n ? 1) ? 3(n ? 1) 2

? 3n 2 ? 3
2 又 f ?1? ? 3 ,所以 f (n) ? 3n

(3) ∴

f (n) ? 3n 2

1

1 f (n) ? 2n ? 1 3 1 1 25 当 n ? 1 时, ? ? ,原不等式成立 1 f (1)+3 4 36 3 1 1 1 1 13 25 当 n ? 2 时, ? ? ? ? ? ,原不等式成立 1 1 f (1) ? 3 f (2) ? 5 4 9 36 36 3 3 当 n ? 3 时, 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 1 1 1 1 f (1) ? 3 f (2) ? 5 f (3) ? 7 f (n) ? 2n ? 1 3 3 3 3
2

?

1 1 1 1 1 ? ? ? ? 2 n ? 2n ? 1 (n ? 1) n(n ? 1) n n ? 1

?

1 1 ?3? 3 3

?

1 1 ? 12 ? 5 3

1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? ) 3 4 4 5 n n ?1

1 1 1 1 ? ? ? 4 9 3 n ?1 25 1 25 ? ? ? , 原不等式成立 36 n ? 1 36 综上所述,对于任意 n ? N * ,原不等式成立 9 错误! 未指定书签。 . (山东省郯城一中 2014 届高三上学期第一次月考数学 (理) 试题)已知等差数列{an}满足:an+1>an(n ? N*),a1=1,该数列的前三项分别加上 1,1,3 后顺次成为等比数列{bn}的前三项. (Ⅰ)求数列{an}.{bn}的通项公式 an.bn; ?

(Ⅱ)设 cn ?

an ,求数列{cn}的前 n 项和 Sn . bn

【答案】解(Ⅰ)设 d.q 分别为数列{an}.{bn}的公差与公比. 由题知,a1=1,a2=1+d,a3=1+2d,分别加上 1,1,3 后得 2,2+d,4+2d 是等比数列{bn} 的前三项,
第 11 页 共 14 页

∴(2+d)2=2(4+2 d) 得:d=±2.

an?1 ? an ,?d ? 0,?d ? 2,

?an ? 2n ? 1(n ? N* ).
由此可得 b1=2, b2=4,q=2,

?bn ? 2n (n ? N* ).
10 错误!未指定书签。 . (山东师大附中 2014 届高三第一次模拟考试数学试题) 已知递增的等比数列 {an } 满足: a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,且 a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差中项. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 bn ? an log2 an , Sn ? b1 ? b2 ? … ? bn ,求 Sn . 【答案】解:(1)设等比数列 {an } 首项为 a1 ,公比为 q . 由已知得 2(a3 ? 2) ? a2 ? a4 代入 a2 ? a3 ? a4 ? 28 可得 a3 ? 8 于是 a2 ? a4 ? 20 .

1 ? 3 q? ? ? a q ? a q ? 20 ? 1 ?q ? 2 ? 1 2 ? ? 2 ?a1 ? 32 ? a3 ? a1q ? 8 ,解得 ?a1 ? 2 或 ? 故?

?q ? 2 ? n a ?2 { a } n 又数列 为递增数列,故 ? 1 ,∴ an ? 2
n (2)∵ bn ? an log2 an ? n ? 2 2 3 n ∴ Sn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3? 2 ? …? n ? 2

2Sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3? 24 ? …? n ? 2n+1
2 3 n n?1 两式相减得 ?Sn ? 2 ? 2 ? 2 ? …? 2 ? n ? 2

2 ? (1 ? 2n ) ? ? n ? 2n?1 ? (1 ? n) ? 2n?1 ? 2 1? 2
n?1 ∴ Sn ? (n ?1) ? 2 ? 2

第 12 页 共 14 页

11 错误! 未指定书签。 (山东省郯城一中 2014 届高三上学期第一次月考数学 . (理) 试题)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+2Sn·Sn-1=0(n≥2), 1 a1= . 2 (Ⅰ) 求证:{ 1 }是等差数列; Sn

(Ⅱ)求 an 表达式; (Ⅲ)若 bn=2(1-n)an (n≥2),求证:b22+b32++bn2<1. 【答案】(Ⅰ)
1 1 ? ?2 Sn Sn?1

? 1 , (n ? 1) ? ? 2 (Ⅱ) an ? ? 1 ?? , (n ? 2) ? ? 2n(n ? 1)
(Ⅲ) bn ?
n

1 1 1 1 1 ( n ? 2) , bn 2 ? 2 ? ? ? n n n(n ? 1) n ? 1 n

(n ? 2)

? b ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? ... ? n ?1 ? n ? 1 ? n ? 1
i ?2 i

1

1 1

1

1

1

12 错误!未指定书签。 . (山东师大附中 2014 届高三第一次模拟考试数学试题)
* 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 4an ? 3(n ? N ) .

(1)证明:数列 {an } 为等比数列;
* (2)若数列 {bn } 满足 bn?1 ? an ? bn (n ? N ) ,且 b1 ? 2 ,求数列 {bn } 的通项公式. * 【答案】解:(1)由已知 Sn ? 4an ? 3(n ? N )

当 n ? 2 时,有 Sn?1 ? 4an?1 ? 3 两式相减得 an ? 4an ? 4an?1
an ? 4 an ?1 3

整理得

当 n ? 1 时, a1 ? 1 ? 0
4 { a } 故数列 n 是首项为 1 ,公比为 3 等比数列
第 13 页 共 14 页

4 4 an ? ( ) n ?1 S n ? 4 ? ( ) n ?1 ? 3 3 3 (2)由(1)可知 ,
* 由 bn?1 ? an ? bn (n ? N ) 可得

b2 ? a1 ? b1 b3 ? a2 ? b2 bn ? an?1 ? bn?1
累加得 bn ? a1 ? a2 ? …? an?1 ? b1 ? Sn?1 ? b1 又 b1 ? 2 ,于是
4 bn ? 4 ? ( ) n ? 2 ? 1 3

第 14 页 共 14 页



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