高中数学选修1-2,1.1回归分析的基本思想及其初步应用

第一章 统计案例

a. 比《数学3》中“回归”增加的内 选修１-２——统计案例 容 数学３——统计
1. 画散点图 2. 了解最小二乘法 的思想 3. 求回归直线方程 y＝bx＋a 4. 用回归直线方程 解决应用问题 5. 引入线性回归模型 y＝bx＋a＋e 6. 了解模型中随机误差项e产 生的原因 7. 了解相关指数 R2 和模型拟 合的效果之间的关系 8. 了解残差图的作用 9. 利用线性回归模型解决一类 非线性回归问题 10. 正确理解分析方法与结果

复习:变量之间的两种关系
问题1：正方形的面积y与正方形的边长x之间 的函数关系是 确定性关系 y = x2 问题2：某水田水稻产量y与施肥量x之间是否 -------有一个确定性的关系？ 例如：在 7 块并排、形状大小相同的试验田 上 进行施肥量对水稻产量影响的试验，得到 如下所示的一组数据：
施化肥量x 15

20

25

30

35

40

45

水稻产量y 330 345 365

405 445

450 455

1、定义：

自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随
机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。 注 1）：相关关系是一种不确定性关系； 2）：对具有相关关系的两个变量进行 统计分析的方法叫回归分析。

2、现实生活中存在着大量的相关关系。
如：人的身高与年龄； 产品的成本与生产数量；

商品的销售额与广告费；
家庭的支出与收入。等等 探索：水稻产量y与施肥量x之间大致有何 规律？

施化肥量x 15

20

25

30

35

40

45

水稻产量y 330 345 365 y
500 450 400 350 300 10

405 445

450 455
散点图

水稻产量

··
20

·

·

·· ·
施化肥量

30

40

50

x

发现：图中各点，大致分布在某条直线附近。

探索2：在这些点附近可画直线不止一条， 哪条直线最能代表x与y之间的关系呢？

案例1：女大学生的身高与体重
例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。

1 2 3 4 5 6 7 8 编号 身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170 体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。 解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图： 2、由散点图知道身高和体重有比较好的 线性相关关系，因此可以用线性回归方程 刻画它们之间的关系。 产生随机误差项e 3、从散点图还看到，样本点散布在某一条 的原因是什么？ 直线的附近，而不是在一条直线上，所以 不能用一次函数y=bx+a描述它们关系。

思考P3

我们可以用下面的线性回归模型来表示： y=bx+a+e，其中a和b为模型的未知参数， e称为随机误差。

思考 产生随机误差项e的原因是什么？
随机误差e的来源(可以推广到一般）： 1、其它因素的影响：影响体重y 的因素不只 是身高 x，可能还包括遗传基因、饮食习惯、 生长环境等因素； 2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误 差； 3、身高 x 的观测误差。

函数模型与回归模型之间的差别
中国GDP散点图 120000

100000

80000

GDP

60000

40000

20000

0 1992

1993

1994

1995

1996

1997 年

1998

1999

2000

2001

2002

2003

函数模型： y ? bx ? a 回归模型： y ? bx ? a ? e

可以提供 选择模型的准则

例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。

1 2 3 4 5 6 7 8 编号 身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170 体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。

? ? 根据最小二乘法估计a 和b 就是未知参数a和b的最好估计，
b?
?

? (x
i ?1 n

n

i

? x )( yi ? y )

( xi ? x) 2 ?
i ?1 i i

a ? y ?b x

?

?

?

?x y
i ?1 n

n

? nx ? y ? nx
2

?x
i ?1

2

i

制表

i

1

2

3

4

5

6

7

8

合计

xi ? x
yi ? y
( xi ? x)( yi ? y)

( xi ? x)2

x?

，? y

，

其中 1 1 x ? ? xi， ? ? yi y n i ?1 n i ?1
n n

例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。

1 2 3 4 5 6 7 8 编号 身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170 体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。

于是得到 b ? 0.849 a ? ?85.712 ，
^ ^

( x, y)称为 样本点的中心

探究P4： 身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？ 所以回归方程是 ? ? 0.849x ? 85.712 y 如果不是，你能解析一下原因吗？ 所以，对于身高为172cm的女大学生，由回归方程可以预报 其体重为

? ? 0.849 ? 72 ? 85.712 ? 60.316( kg) y

探究P4： 身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg 吗？如果不是，你能解析一下原因吗？

答：身高为172cm的女大学生的体重不一定是 60.316kg，但一般可以认为她的体重在60.316kg左右。

60.136kg不是每个身高为172cm的女大学生的体重 的预测值，而是所有身高为172cm的女大学生平均 体重的预测值。

函数模型与回归模型之间的差别

函数模型： y ? bx ? a 回归模型： y ? bx ? a ? e
线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项e，因变量y的值 由自变量x和随机误差项e共同确定，即自变量x只能解析部分y 的变化。 在统计中，我们也把自变量x称为解析变量，因变量y称为预 报变量。

求出线性相关方程后， ? 0.849 说明身高x每 b 增加一个单位,体重y就增加0.849个单位,这表 明体重与身高具有正的线性相关关系.如何描 述它们之间线性相关关系的强弱呢?
1.用相关系数 r 来衡量

?

2.公式：

r?

? ? x ? x ?? y ? y ?
n i ?1 i i

?? x ? x? ?? y ? y?
n 2 n i ?1 i i ?1 i

2

3.性质： ①、当 r ? 1 时，x与y为完全线性相关，它们之 间存在确定的函数关系。 ②、当 0 ? r ? 1 时，表示x与y存在着一定的线 性相关，r的绝对值越大，越接近于1，表示x 与y直线相关程度越高，反之越低。
当r ? 0时，表示x与y为正相关;当r ? 0时，表示x与y为负相关

当r ? [0.75， 表明两个变量正相关很强； 1], 当r ? [?1, ?0.75], 表明两个变量负相关很强；

当r ? [?0. 0.25], 表明两个变量相关性较弱。 25,

相关关系的测度
（相关系数取值及其意义）
完全负相关 无线性相关 完全正相关

-1.0

-0.5

0

+0.5
正相关程度增加

+1.0

r
负相关程度增加

对回归模型进行统计检验

假设身高和随机误差的不同不会对体重产生任何影响，那么所 有人的体重将相同。在体重不受任何变量影响的假设下，设8名女 大学生的体重都是她们的平均值， 即8个人的体重都为54.5kg。
编号 身高/cm 体重/kg 1 165 54.5 2 165 54.5 3 157 54.5 4 170 54.5 5 175 54.5 6 165 54.5 7 155 54.5 8 170 54.5

54.5kg

在散点图中，所有的点应该落 在同一条水平直线上，但是观 测到的数据并非如此。这就意 味着预报变量（体重）的值 受解析变量（身高）和随机误 差的影响。

思考P6：
如何刻画预报变量（体重）的变化？这个变化在多大程度上 与解析变量（身高）有关？在多大程度上与随机误差有关？

编号

1

2

3

4

5

6

7

8

身高/cm
体重/kg

165
48

165
57

157
50

170
54

175
64

165
61

155
43

170
59

54.5kg

例如，编号为6的 女大学生的体重并没有 落在水平直线上，她的 体重为61kg。解析变量 （身高）和随机误差共 同把这名学生的体重从 54.5kg“推”到了61kg， 相差6.5kg，所以6.5kg

是解析变量和随机误差 的组合效应。
编号为3的女大学生的体重并也没有落在水平直线上，她的 体重为50kg。解析变量（身高）和随机误差共同把这名学生的 体重从50kg“推”到了54.5kg，相差-4.5kg，这时解析变量和随 机误差的组合效应为-4.5kg。

用这种方法可以对所有预报变量计算组合效应。

数学上，把每个效应（观测值减去总的平均
值）的平方加起来，即用

? ( y ? y)
i ?1 i

n

2

表示总的效应，称为总偏差平方和。
在例1中，总偏差平方和为354。

编号 身高/cm 体重/kg

1
165 48

2
165 57

3
157 50

4
170 54

5
175 64

6
165 61

7
155 43

8
170 59

那么，在这个总的效应（总偏差平方和）中，有 多少来自于解析变量（身高）？有多少来自于随机 误差？
假设随机误差对体重没有影响，也就是说，体重仅受身高 的影响，那么散点图中所有的点将完全落在回归直线上。但 是，在图中，数据点并没有完全落在回归直线上。这些点散 布在回归直线附近，所以一定是随机误差把这些点从回归直 线上“推”开了。

因此，数据点和它在回归直线上相应位置的差异

? (yi ? ? i ) 是随机误差的效应，称 ei =yi ? ? i 为残差。 y y

例如，编号为6的女大学生，计算随机误差的效应（残差）为：

61 ? (0.849 ?165 ? 85.712) ? 6.627
对每名女大学生计算这个差异，然后分别将所得的值平方后

? )2 加起来，用数学符号表示为：? ( yi ? y i
i ?1

n

称为残差平方和，它代表了随机误差的效应。

在例1中，残差平方和约为128.361。
由于解析变量和随机误差的总效应（总偏差平方和）为354， 而随机误差的效应为128.361，所以解析变量的效应为 354-128.361=225.639，这个值称为回归平方和。
解析变量和随机误差的总效应（总偏差平方和） =解析变量的效应（回归平方和）+随机误差的效应（残差平方和）

我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是

R ? 1?
2

( yi ? ? i ) 2 y ? ( yi ? y ) 2 ?
i ?1 i ?1 n

n

残差平方和 ? 1? 。 总偏差平方和

显然，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是 说模型拟合效果越好。

在线性回归模型中，R2表示解析变量对预报变量变 化的贡献率。
R2越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1， 表示解析变量和预报变量的线性相关性越强）。

如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分 析，则可以通过比较R2的值来做出选择，即选取R2较大 的模型作为这组数据的模型。

总的来说： 相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。 在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的 能力。

我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是

R ? 1?
2

( yi ? ? i ) 2 y ? ( yi ? y ) 2 ?
i ?1 i ?1 n

n

残差平方和 ? 1? 。 总偏差平方和

表1-3
来源 解释变量(身高) 随机误差(e) 平方和 225.639 128.361 比例 0.64 0.36

总计

354

1

从表3-1中可以看出，解析变量对总效应约贡献了64%，即 R2≈0.64，可以叙述为“身高解析了64%的体重变化”，而随 机误差贡献了剩余的36%。所以，身高对体重的效应比随机误 差的效应大得多。

r与R 的区别：
相关系数r：衡量两个变量之间线性相关的强弱
R 表示解释变量（x）对预报变量(y)的贡献率。
2

2

在数值上：R ? r
2

2

1、先算相关系数r ; 2、再算相关指数R 2 ? r 2 ; 3、算总偏差平方和; 4、残差平方和=总偏差平方和－总偏差平方和 ? R 2

残差分析与残差图的定义：
在研究两个变量间的关系时，首先要根据散 点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用 回归模型来拟合数据。

? ? ? 然后，我们可以通过残差 e1 , e2 ,?, en 来 判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在 可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析。

表1-4列出了女大学生身高和体重的原始数据以及 相应的残差数据。
编号
身高/cm 体重/kg 残差

1
165 48
-6.373

2
165 57
2.627

3
157 50
2.419

4
170 54
-4.618

5
175 64
1.137

6
165 61
6.627

7
155 43
-2.883

8
170 59
0.382

使用公式

? ei =yi ? ? i 计算残差 y

我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵 坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数 据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图。

残差图的制作及作用。 ? 坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择； 几点说明： 第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为 ? 若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以 的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数 据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。 横轴为心的带形区域； 另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这 ? 对于远离横轴的点，要特别注意。 样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。

身 高 与 体 重 残 差 图

异 常 点
? 错误数据 ? 模型问题

用身高预报体重时，需要注意下列问题：
——这些问题也使用于其他问题。
1、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体； 2、我们所建立的回归方程一般都有时间性； 3、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围； 4、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。 事实上，它是预报变量的可能取值的平均值。

一般地，建立回归模型的基本步骤为：
（1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量 是预报变量。 （2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它 们之间的关系（如是否存在线性关系等）。 （3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线 性关系，则选用线性回归方程y=bx+a）. （4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。 （5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应 残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在 异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。

什么是回归分析？
（内容）
1.

2.

3.

从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关 系式 对这些关系式的可信程度进行各种统计检验， 并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些 变量的影响显著，哪些不显著 利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取 值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给 出这种预测或控制的精确程度

回归分析与相关分析的区别
1.

2.

3.

相关分析中，变量 x 变量 y 处于平等的地位；回归 分析中，变量 y 称为因变量，处在被解释的地位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化 相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变量；回 归分析中，因变量 y 是随机变量，自变量 x 可以是 随机变量，也可以是非随机的确定变量 相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切 程度；回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影 响大小，还可以由回归方程进行预测和控制

练:某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如表 所示数据:
零件数X 加工时间y(分 钟)

2 30

4 40

5 60

6 50

8 70

(1)求x,y之间的相关系数; (1)r ? 0.9192

? (2)求线性回归方程; (2) y ? 6.5x ? 17.5

离差平方和的分解
（三个平方和的意义）
1.

总偏差平方和(SST)
?

反映因变量的 n 个观察值与其均值的总离差 反映自变量 x 的变化对因变量 y 取值变化的影响， 或者说，是由于 x 与 y 之间的线性关系引起的 y 的 取值变化，也称为可解释的平方和

2.

回归平方和(SSR)
?

3.

残差平方和(SSE)
?

反映除 x 以外的其他因素对 y 取值的影响，也称为 不可解释的平方和或剩余平方和

样本决定系数 （判定系数 r2 ）
1.

回归平方和占总离差平方和的比例

2. 反映回归直线的拟合程度 3. 取值范围在 [ 0 , 1 ] 之间 4. r2 ?1，说明回归方程拟合的越好；r2?0， 说明回归方程拟合的越差 5. 判定系数等于相关系数的平方，即r2＝(r)2

2、现实生活中存在着大量的相关关系。
如：人的身高与年龄； 产品的成本与生产数量；

商品的销售额与广告费；
家庭的支出与收入。等等 探索：水稻产量y与施肥量x之间大致有何 规律？

施化肥量x 15

20

25

30

35

40

45

水稻产量y 330 345 365 y
500 450 400 350 300 10

405 445

450 455
散点图

水稻产量

··
20

·

·

·· ·
施化肥量

30

40

50

x

发现：图中各点，大致分布在某条直线附近。

探索2：在这些点附近可画直线不止一条， 哪条直线最能代表x与y之间的关系呢？

什么是回归分析：
“回归”一词是由英国生物学家F.Galton在研究人体身高的遗传问题时首先提出的。 根据遗传学的观点，子辈的身高受父辈影响，以X记父辈身高，Y记子辈身高。 虽然子辈身高一般受父辈影响，但同样身高的父亲，其子身高并不一致，因此， X和Y之间存在一种相关关系。 一般而言，父辈身高者，其子辈身高也高，依此推论，祖祖辈辈遗传下来，身 高必然向两极分化，而事实上并非如此，显然有一种力量将身高拉向中心，即子辈 的身高有向中心回归的特点。“回归”一词即源于此。

虽然这种向中心回归的现象只是特定领域里的结论，并不具有普遍性，但从它 所描述的关于X为自变量，Y为不确定的因变量这种变量间的关系看，和我们现在的 回归含义是相同的。
不过，现代回归分析虽然沿用了“回归”一词，但内容已有很大变化，它是一种应用 于许多领域的广泛的分析研究方法，在经济理论研究和实证研究中也发挥着重要作用。

作业:某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如 表所示数据:
广告费用X（万元） 销售额y (万元)

2 30

4 40

5 60

6 50

8 70

(1)求x,y之间的相关系数;

(2)求线性回归方程;
(3)求总偏差平方和及残差平方和;

(4)求R2,说明模型的拟合效果,残差变量对销售额的 影响百分比.（看看课本第6页表1－3）