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江苏省徐州市2012年9月高三摸底测试数学试题及详细解析


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江苏省徐州市 2012 年 9 月高三摸底测试 数学试题及详细解析
一、填空题:本大题共 14 题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案写在答题纸相应位置上. 1.已知集合 A ? ?1,3? , B ? ?1, 2, m? ,若 A ? B ,则实数 m ? 2.若 (1 ? 2i)i ? a ? bi ( a, b ? R, i 为虚数单位) ,则 ab ? . .

3.某工厂生产 A,B,C 三种不同型号的产品,产品数量之比依次为 2 : 3: 5 ,现用分层抽 样方法抽出一个容量为 n 的样本,样本中 A 种型号的产品有 16 件,那么此样本的容量 . n? 4.在大小相同的 4 个小球中, 2 个是红球, 2 个是白球,若从中随机抽取 2 个球,则所抽 取的球中至少有一个红球的概率是 . 5 . 已 知 某 算 法的 流 程 图如 图 所 示 , 则程 序 运 行结 束 输 出 的 结果 为 . 6.已知 cos(

? ??
2

)?

2 ,则 cos ? ? 3



7.已知一个正六棱锥的高为 10cm,底面边长为 6cm,则这个正六棱 锥的体积为

cm3

8 . 已 知 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 S n , 若

a3 ? 18, S3 ? 26 ,则 ?an ? 的公比 q ?



?x ? y ? 2 ? 9.已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 2 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值是 ?0 ? y ? 3 ?
3



10.在曲线 y ? x ? 3x ? 1 的所有切线中,斜率最小的切线的方程为
x x



11.已知直线 y ? a 与函数 f ( x) ? 2 及函数 g ( x ) ? 3?2 的图象分别相交于 A, B 两点,则

A, B 两点之间的距离为
2



12.已知二次函数 f ( x) ? ax ? 4 x ? c ? 1 的值域是 ?1, ?? ? ,则

1 9 ? 的最小值是 a c



13.如图, A, B 是半径为 1 的圆 O 上两点,且 ?AOB ? 点 C 是圆 O 上任意一点,则 OA?BC 的取值范围为

?
3

,若

??? ??? ? ?



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14.已知 a, b, c 是正实数,且 abc ? a ? c ? b ,设 p ? 值为 .

2 2 3 ,则 p 的最大 ? 2 ? 2 a ? 1 b ?1 c ?1
2

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 a cos C ? b cos C ? c cos B ? c cos A , 且 C ? 120
?

(1)求角 A; (2)若 a ? 2 ,求 c

16. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,四边形 ABCD 为正方形, PA ? 平 面 ABCD , E 为 PD 的中点,求证: (1) PB / / 平面 AEC (2)平面 PCD ? 平面 PAD

17. (本小题满分 14 分) 在一个矩形体育馆的一角 MAN 内(如图所示) ,用长为 a 的围栏设 置一个运动器材储存区域,已知 B 是墙角线 AM 上的一点,C 是墙 角线 AN 上的一点 (1)若 BC ? a ? 10 ,求储存区域三角形 ABC 面积的最大值, ( 2 ) 若 AB ? AC ? 10 , 在 折 现 M B C N内 选 一 点 D , 使 DB ? DC ? a ? 20 ,求储存区域四边形 DBAC 面积的最大值

18. (本小题满分 16 分) 已知椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 左 顶 点 为 A , 左 、 右 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , 且 圆 a 2 b2
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C : x 2 ? y 2 ? 3x ? 3 y ? 6 ? 0 过 A, F2 两点
(1)求椭圆 E 的方程; (2)设直线 PF2 的倾斜角为 ? ,直线 PF1 的倾斜角为 ? ,当 ? ? ? ? 一定圆上 19. (本小题满分 16 分)

2? 时,证明:点 P 在 3

2a 2 已知函数 f ( x) ? x ? ? a ln x(a ? R) x
(1)讨论函数 y ? f ( x) 的单调区间; (2)设 g (x) ? x ? 2bx ? 4 ? ln2 ,当 a ? 1 时,若对任意的 x1 , x2 ? ?1, e ?( e 为自然对数的
2

底数) f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 b 的取值范围 ,

20. (本小题满分 16 分) 设 f k (n) ? c0 ? c1n ? c2 n ? ? ? ck n (k ? N ) ,其中 c0 , c1 , c2 ,? , ck 为非零常数,数列 ?an ?
2 k

的首项 a1 ? 1 ,前 n 项和为 S n ,对于任意的正整数 n , an ? Sn ? f k (n) (1)若 k ? 0 ,求证:数列 ?an ? 是等比数列; (2)试确定所有的自然数 k ,使得数列 ?an ? 能成等差数列

数学 II (附加题)
. 21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答 ....... 卷纸指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修 4-1:几何证明选讲](本小题满分 10 分) 已知 ?ABC 中, AB ? AC , D 是 ?ABC 外接圆劣弧 AC 上的 点(不与点 A, C 重合) ,延长 BD 至点 E 求证: AD 的延长线平分 ?CDE B.[选修 4-2:矩阵与变换](本小题满分 10 分)

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Http://www.fhedu.cn 已知矩阵 A ? ?

?1 ? ?1

2? 4? ?
?1

(1)求 A 的逆矩阵 A ; (2)求 A 的特征值和特征向量 C.[选修 4-4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,以极点为原点,极轴为 x 轴的非负半轴建立平面

1 ? ?x ? 2 t ? 直角坐标系,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,求直线 l 被曲线 C 截得的线段 ? y ? 3 t ?1 ? ? 2
长 D.[选修 4-5:不等式选讲](本小题满分 10 分) 设 a, b, c 均为正实数,求证:

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 2a 2b 2c b ? c c ? a a ? b

........ 【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答卷纸指定区域内作答.解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,O 是 AC 的中点,E 是线段 D1O 上一点,且 D1 E ? ? EO (1)若 ? ? 1 ,求异面直线 DE 与 CD1 所成角的余弦值; (2)若平面 CDE ? 平面 CD1O ,求 ? 的值 23. (本小题满分 10 分) 已知整数 n ? 4 ,集合 M ? ?1, 2,3,? , n? 的所有 3 个元素的子集记为 A1 , A2 ,? , AC 3
n

(1)当 n ? 5 时,求集合 A1 , A2 ,? , AC 3 中所有元素之和;
n

(2)设 mi 为 Ai 中的最小元素,设 Pn ? m1 ? m2 ? ? ? mC 3 ,试求 Pn (用 n 表示)
n

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Http://www.fhedu.cn 【解答部分】 1. 3 2. 2 3. 80 4.

5. (9, ?3) 6.

5 6

1 9

7. 180 3 8. 3 9. 7 10. y ? ?3x ? 1 11. log 2 3 12. 3

13. [? , ]

3 1 2 2

2013 届江苏省徐州市高三摸底考试第 13 题的解

http://blog.fhedu.cn/ZoneLogDetail.asp?Zone_ID=1037&Search=@Log_ID=:5 978;

10 2013 届江苏省徐州市高三摸底考试第 14 题的解 3 http://blog.fhedu.cn/ZoneLogDetail.asp?Zone_ID=1037&Search=@Log_ID=:5 976;

14.

15.【解析】 (1)由正弦定理, a cos C ? b cos C ? c cos B ? c cos A 化为 sin Acos C ? sin B cos C ? sin C cos B ? sin C cos A ,…………………………………2 分 所以 sin( A + C ) ? sin( B + C ) ,…………………………………………………………4 分 因为 A, B, C 是三角形的内角, 所以 A ? B ,因为 C ? 120? ,所以 A ? 30? .…………………………………………8 分 (2)由(1)知, a ? b ? 2 ,所以 c2 ? a2 + b2 ? 2ab cos C ? 4 + 4 ? 2 ? 2 ? 2cos120? ? 12 , 所以 c ? 2 3 .………………………………………………………………………14 分 16.【解析】 (1)证明:连结 BD 交 AC 于点 O ,连结 EO .

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Http://www.fhedu.cn 因为 O 为 BD 中点, E 为 PD 中点, 所以 EO ? PB ,………………………………………………………………………4 分 因为 EO ? 平面 AEC , PB ? 平面 AEC , 所以 PB ? 平面 AEC .………………………………………………………………7 分 (2)证明:因为 PA ? 平面 ABCD , CD ? 平面 ABCD ,所以 PA ? CD .………9 分 因为在正方形 ABCD 中 CD ? AD 且 PA ? AD ? A , 所以 CD ? 平面 PAD . ……………………………………………………………12 分 又因为 CD ? 平面 PCD ,所以平面 PCD ? 平面 PAD .………………………14 分 17.【解析】 (1)设 AB ? x ,则 AC ? 102 ? x 2 ,…………………………………………2 分 所以 S△ ABC ?

1 x 100 ? x 2 ……………………………………………………………4 分 2

?

1 2 1 x 2 + 100 ? x 2 2 1 x (100 ? x 2 ) ≤ ( ) ? ? 50 ? 25 , 2 2 2 2

当且仅当 x2 ? 100 ? x2 ,即 x ? 5 2 时, S△ ABC 取得最大值 25 .…………………7 分 (2)由 DB + DC ? 20 ,知点 D 在以 B, C 为焦点的椭圆上, ………………………10 分 因为 S△ ABC ?

1 ?10 ?10 ? 50 ,所以要使四边形 DBAC 面积最大,只需 △DBC 的面积 2

最大,此时点 D 到 BC 的距离最大,即 D 必为椭圆短轴顶点.由 BC ? 10 2 ,得短半 轴长为 5 2 ,

1 所以 S△DBC 的最大值为 ?10 2 ? 5 2 ? 50 .……………………………………13 分 2
因此,四边形 DBAC 面积的最大值为 100 .………………………………………14 分 18.【解析】 (1)圆 x ? y ? 3x ? 3 y ? 6 ? 0 与 x 轴交点坐标为 A(?2 3, 0) , F2 ( 3,0)
2 2

……………………2 分 故 a ? 2 3, c ? 3 ,所以 b ? 3 ,所以椭圆方程是 (2)设点 P ? x, y ? , F1 (? 3,0) , F2 ( 3,0) , 因为 ? , ? 是直线的倾斜角,且 ? ? ? ? 所以 kPF1 ? tan ? ? 因为 ? ? ? ?
y x+ 3

x2 y 2 ? ? 1 .…………………6 分 12 9

?? ? ,所以 ? , ? 均不可能为 , 2 3
y x? 3

, kPF2 ? tan ? ?

,…………………………………10 分

?? ,所以 tan( ? ? ? ) ? ? 3 . 3
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Http://www.fhedu.cn 因为 tan( ? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? ?2 3 y , ? 2 1 + tan ? tan ? x + y 2 ? 3

所以

?2 3 y ? ? 3 .……………………………………………………………14 分 x + y2 ? 3
2

化简得 x 2 + y 2 ? 2 y ? 3 .所以点 P 在定圆 x 2 + y 2 ? 2 y ? 3 ? 0 上.……………16 分 19.【解析】 (1)因为 f ? x ? ? x ? 所以 f ?( x) ? 1 ?

2a 2 ? a ln x( x ? 0) , x

2a 2 a x 2 ? ax ? 2a 2 ? x ? a ?? x ? 2a ? .………………………2 分 ? ? ? x2 x x2 x2

①若 a ? 0 , f ?x ? ? x , f ? x ? 在 ?0,??? 上单调递增. ②若 a ? 0 ,当 x ? ? 0, 2a ? 时, f ?( x) ? 0 , f ? x ? 在 ?0,2a ? 上单调递减; 当 x ? ? 2a, ?? ? 时, f ?( x) ? 0 , f ? x ? 在 ?2a,?? ? 上单调递增. ③若 a ? 0 ,当 x ? ? 0, ?a ? 时, f ?( x) ? 0 , f ? x ? 在 ?0,?a ? 上单调递减; 当 x ? ? ?a, ?? ? 时, f ?( x) ? 0 , f ? x ? 在 ?? a,?? ? 上单调递增.………7 分 综上:①当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ?0,??? 上单调递增. ②当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ?0,2a ? 上单调递减, f ? x ? 在 ?2a,?? ? 上单调递增. ③当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ?0,?a ? 上单调递减, f ? x ? 在 ?? a,?? ? 上单调递增. (2)当 a ? 1 时, f ?x ? ? x ?

2 ? ln x?x ? 0? . x

由(1)知,若 a ? 1 ,当 x ? ? 0, 2 ? 时, f ?( x) ? 0 , f ? x ? 单调递减, 当 x ? ? 2, ?? ? 时, f ?( x) ? 0 , f ? x ? 单调递增, 所以 f ?x ?min ? f ?2? ? 3 ? ln 2 .…………………………………………………9 分 因为对任意的 x1 , x2 ? [1, e] ,都有 f ( x1 ) ≥ g ( x2 ) 成立, 问题等价于对于任意 x ? ?1,e ? , f ? x ?min ≥ g ? x ? 恒成立,……………………11 分 即 3 ? ln 2 ≥ x2 ? 2bx ? 4 ? ln 2 对于任意 x ? ?1,e ? 恒成立, 即 2b ≥ x ?

1 对于任意 x ? ?1,e ? 恒成立, x

因为函数 y ? x ?

1 1 的导数 y ' ? 1 ? 2 ? 0 在 ?1, e ? 上恒成立, x x

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1 1? 1 ? 所以函数 y ? x ? 在 ?1, e ? 上单调递增,所以 ? x ? ? ? e ? ,……………14 分 x ? max e x ?
所以 2b ≥ e ?

1 e 1 ,所以 b ≥ ? .………………………………………………16 分 e 2 2e

20.【解析】 (1)若 k ? 0 , f0 (n) ? c0 ,即 an ? Sn ? f0 (n) ? c0 . 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? c0 ,即 c0 ? 2a1 ? 2 . 当 n≥2 时, an ? Sn ? 2 , ①

an?1 ? Sn?1 ? 2 , ②

① ? ②得, 2an ? an?1 ? 0(n ? N* , n ≥ 2) . 若 an ? 0 ,则 an ?1 ? 0 ,…, a1 ? 0 ,与已知矛盾,所以 an ? 0 . 故数列 ?an ? 是首项为 1,公比为 1 的等比数列.…………………………………6 分 2 (2) (ⅰ)若 k ? 0 ,由(1)知,不符题意,舍去.………………………………7 分 (ⅱ)若 k ? 1 ,因为 f1 (n) ? c1n ? c0 , 当 n ? 1 时, c1 ? c0 ? 2a1 ? 2 , 当 n≥2 时, an ? Sn ? c1n ? c0 ,
an?1 ? Sn?1 ? c1 (n ? 1) ? c0 ,

③ ④

③-④得 2an ? an?1 ? c1 (n ?N, ≥2) . n 要使数列{an}是公差为 d(d 为常数)的等差数列,必须有 an ? c1 ? d (常数) , 而 a1 ? 1 ,故 ?an ? 只能是常数数列,通项公式为 an ? 1(n ?N* ) , 故 当 k ? 1 时 , 数 列 ?an ? 能 成 等 差 数 列 , 其 通 项 公 式 为 an ? 1 n ? N* , 此 时 .…………………………………………………………………………11 分 f1 ( n) ? n? 1 (ⅲ) 若 k ? 2 ,设 f 2 (n) ? c2 n2 ? c1n ? c0 , 当 n≥2 时, an ? Sn ? c2 n2 ? c1n ? c0 , ⑤

?

?

an?1 ? Sn?1 ? c2 (n ? 1)2 ? c1 (n ? 1) ? c0 , ⑥

n ⑤-⑥得 2an ? an ?1 ? 2c2 n ? c1 ? c2 (n ? N*, ≥2) ,

要使数列 ?an ? 是公差为 d ( d 为常数)的等差数列,必须有 an ? 2c2 n + c1 ? c2 ? d , 且 d ? 2c2 , 考虑到 a1=1,所以 an ? 1 ? (n ? 1) ? 2c2 ? 2c2 n ? 2c2 ? 1 n ? N* .

?

?

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Http://www.fhedu.cn 故当 k ? 2 时,数列{an}能成等差数列,其通项公式为 an ? 2c2 n ? 2c2 ? 1 n ? N* , 此时 f 2 (n) ? c2 n2 ? (c2 ? 1)n ? 1 ? 2c2 .………………………………………………14 分 (ⅳ)当 k ≥ 3 时, an ? Sn ? f k (n) ? ck nk + ? + c2 n2 ? c1n ? c0 (ck ? 0) , n 的最高次的 次数 k ≥ 3 ,但如果数列 ?an ? 能成等差数列,则 an ? Sn 的表达式中 n 的最高次的次数至 多为 2 ,矛盾. 综上得,当且仅当 k ? 1 或 k ? 2 时,数列 ?an ? 能成等差数列.…………………16 分 21【解析】A.设 F 为 AD 延长线上一点,因为 A, B, C, D 四点共圆,所以 ?ABC ? ?CDF , 又 AB ? AC ,所以 ?ABC ? ?ACB , …………………………………………………5 分 因为 ?ADB ? ?ACB , 所以 ?ADB ? ?CDF ,又对顶角 ?EDF ? ?ADB , 故 ?EDF ? ?CDF , 所以 AD 的延长线平分 ?CDE . ……………………………10 分 1? ?2 ? 3 ? 3? B. (1)矩阵 A 的逆矩阵为 A?1 ? ? ? .………………………………………………4 分 ?1 1 ? ?6 6 ? ? ? (2)矩阵 A 的特征多项式为 f (? ) ?

?

?

? ?1
1

?2

? ?4

? (? ? 1)(? ? 4) + 2 ? ? 2 ? 5? + 6 ,

由 f (? ) ? 0 ,得 ?1 ? 2 , ?2 ? 3 ,…………………………………………………6 分

? x ? 2 y ? 0, 当 ?1 ? 2 时,对应的方程组为 ? ,令 y ? 1 ,则 x ? 2 , ?x ? 2 y ? 0 ?2? 所以特征值 ?1 ? 2 对应的特征向量为 ? ? ;………………………………………8 分 ?1 ? ?1? 当 ?2 ? 3 时,同理可得特征值 ?2 ? 3 对应的特征向量为 ? ? . …………………10 分 ?1? C.将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 0 ,
即 x 2 ? ( y ? 2)2 ? 4 ,它表示以 (0, 2) 为圆心,2 为半径的圆,……………………4 分 直线方程 l 的普通方程为 y ? 3 x ? 1 , ………………………………………………7 分 1 因为圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d ? , 2 1 故直线 l 被曲线 C 截得的线段长度为 2 2 2 ? ( ) 2 ? 15 .………………………10 分 2 1? 1 1 ? 1 1 ? ?≥ ≥ D.因为 a , ,c ? 0 ,所以 ? ,当且仅当 a ? b 时等号成立; b 2 ? 2a 2b ? 2 ab a ? b

1? 1 1 ? 1 1 ≥ ,当且仅当 b ? c 时等号成立; ? ? ?≥ 2 ? 2b 2c ? 2 bc b ? c

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1? 1 1 ? 1 1 ,当且仅当 a ? c 时等号成立; ≥ ? ? ?≥ 2 ? 2c 2a ? 2 ca c ? a
三个不等式相加得

1 1 1 1 1 1 , ? ? ≥ ? ? 2a 2b 2c b ? c c ? a a ? b

当且仅当 a ? b ? c 时等号成立.…………………………………………………10 分 ??? ???? ???? ? ? 22.【解析】 (1)不妨设正方体的棱长为 1,以 DA, DC , DD1 分别为 x, y, z 轴,建立空间直角

1 1 1 1 1 坐标系,则 A(1,0,0), O( , ,0), C (0,1,0), D1 (0,0,1) ,因为 ? ? 1 ,则 E ( , , ) , 2 2 ???? ???? 4 4 2 ? ???? ???? ? ???? 1 1 1 ???? ? DE ? 1 CD 3 所以 DE ? ( , , ), CD1 ? (0, ?1,1) ,因为 cos ? DE , CD1 ?? ???? ???? ? , ? 6 4 4 2 DE CD1
3 .…………………………………5分 6 ???? ? ??? ? CD (2)设平面 CD1O 的法向量为 m ? ( x1 , y1 , z1 ) ,由 m? ? 0 , m ? 1 ? 0 , CO 1 ?1 ? x ? y ? 0, 得 ?2 1 2 1 取 x1 ? 1 ,得 y1 ? z1 ? 1 ,即 m ? (1,1,1) , ?? y1 ? z1 ? 0, ?
所以异面直线 DE 与 CD1 所成的角的余弦值为

???? 1 ? ? 1 ) , DE ? ( , , ), 2(1 ? ? ) 2(1 ? ? ) 1 ? ? 2(1 ? ? ) 2(1 ? ? ) 1 ? ? ??? ? ???? 又设平面 CDE 的法向量为 n ? ( x2 , y2 , z2 ) ,由 n? ? 0 , n?DE ? 0 , CD
???? ? ??? ? 由 D1 E ? ? EO ,则 E (

?

,

?

,

? y2 ? 0, ? 得 ? ? x2 ? y2 z2 ? 2(1 ? ? ) ? 2(1 ? ? ) ? 1 ? ? ? 0, ?

取 x2 ? 2 ,得 z2 ? ?? ,即 n ? (2,0, ?? ) ,

因为平面 CDE ? 平面 CD1O ,所以 m? ? 0 ,得 ? ? 2 .…………………………10 分 n 23.【解析】 (1)当 n ? 5 时,含元素 1 的子集有 C2 ? 6 个,同理含 2,3,4,5 的子集也各有 6 个, 4 于是所求元素之和为 (1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5) ? C2 ? 6 ?15 ? 90 . ……………………………4 分 4 (2)不难得到 1≤ mi ≤ n ? 2, mi ?Z ,并且以 1 为最小元素的子集有 C2 1 个,以 2 为最小元 n? 素的子集有 C 2 2 个, 3 为最小元素的子集有 C 2 3 , 以 n ? 2 为最小元素的子集有 C 2 以 …, n? n? 2
2 2 2 个,则 Pn ? m1 ? m2 ? ? ? mC 3 ? 1? Cn ?1 ? 2Cn ? 2 ? 3Cn ?3 ? ? ? (n ? 2)C2 2
n

2 ? (n ? 2)C2 ? (n ? 3)C3 ? (n ? 4)C2 ? ? ? C2?1 2 4 n 2 2 ? C2 ? (n ? 3)(C2 ? C3 ) ? (n ? 4)C4 ? ? ? C2?1 2 2 n 2 2 ? C2 ? (n ? 3)(C3 ? C3 ) ? (n ? 4)C4 ? ? ? C2 ?1 2 3 n

? C2 ? (n ? 3)C3 ? (n ? 4)C2 ? ? ? C2?1 2 4 4 n
2 ? C2 ? C3 ? (n ? 4)(C3 ? C2 ) ? ? ? Cn ?1 2 4 4 4

? C2 ? C3 ? (n ? 4)C3 ? ? ? C2 ?1 2 4 5 n ? C4 ? C3 ? C3 ? ? ? C3 ? C4 1 .…………………………………10 分 4 4 5 n n?

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