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重庆一中2014级高三上期数学第一次月考试题(理)含答案


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2013 年重庆一中高 2014 级高三上期第一次月考 数 学 试 题 卷(理科)
2013.9.20

一、选择题.(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.已知集合 A ? {1,3,4,6,7,8}, B ? {1,2,4,5,6} ,则集合 A ? B 有( A. 3 B. 4 C. 7 D. 8

)个子集

ln( x 2 ? x ? 2) 2. (原创)函数 f ( x) ? 的定义域是( x ?x
A. (??,?1) B. (2,??)
2 2 3

) D. (0,2) )

C. (??,?1) ? (2,??)

3. (原创)函数 f ( x) ? a sin x ? bx ? 4, (a, b ? R) ,若 f (lg A. 2018 B. ? 2009 C. 2013

1 ) ? 2013 ,则 f (lg 2014 ) ? ( 2014

D. ? 2013

4. ( 原 创 ) 已 知 关 于 x 的 方 程 x 2 ? 2mx ? m ? 3 ? 0 的 两 个 实 数 根 x1 , x 2 满 足 x1 ? (?1,0) ,
x 2 ? (3,?? ) ,则实数 m 的取值范围是(



2 2 6 2 B. ( ,3) C. ( , ) D. (??, ) 3 3 5 3 1 5. (原创)已知条件 p : ? 1 ,则使得条件 p 成立的一个充分不必要条件是( ) x A. x ? 1 B. x ? 0 C. x ? 0 或 x ? 1 D. x ? 0 或 x ? 1
6 A. ( ,3) 5

6. (原创)若 x, y ? R 且 x 2 ? y 2 ? 3x ,则 x ? y 2 的取值范围是( A. [?1,0] B. [0,3] C. [?1,3]

) D. [?1,??)

?a x , x ? 1 ? 7. (原创)若函数 f ( x) ? ? 在实数集 R 上单调递增,且 f (a 2 ? 5) ? f (6a) ? 0 , a ?(4 ? ) x ? 2, x ? 1 2 ?
则实数 a 的取值范围是( A. [2,3] 8. (原创) 已知 f1 ( x) ? A.
1006 1007

) B. [4,5] C. (1,5] D. [4,8) )

x ?1 0 1 3 ) ?( , 对任意 n ? N * , 恒有 f n?1 ( x) ? f1[ f n ( x)] , 则 f 2014 (2 x ?1 1007 1 B. ? C. 2013 D. ? 1006 2013

9. (原创)将 y ? f ( x) 的图象先右移 1 个单位,再下移 2 个单位,然后再将横坐标缩短为原来

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1 (纵坐标不变)后所得的图象与 y ? log 2 x 的图象关于直线 x ? 1 对称,则 f ( x) ? ( 2



A. log 2 ( ?8 x)

B. log 2 (?8 x ? 8)

C. log 2 (?2 x ? 4)

D. log 2 (?2 x ? 6)

? ? x,x? P 10. f ( x) ? ? 2 , P, M 是非空数集且 P ? ?? x ? 2 x , x ? M

M ? ? ,记 ? P ? { y y ? f ( x), x ? P}

又记 ? M ? { y y ? f ( x), x ? M } ,若实数 a 满足 P M ? [?3, a] 且 ? P ? ? M ? [?3,2a ? 3] ,其中

a ? ?3 ,则实数 a 的取值范围是(
A. {3} B. [3,??)

) C. (0,6] D. [3,6]

二、填空题.(共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. (原创)已知幂函数 f ( x) ? (m2 ? m ? 1) x m
2

? m ?3

在 x ? 0 处有定义,则实数 m= ;



12. (原创) 设 a, b ? R ,且 3a ? 6 b ? 4 ,则

1 1 ? ? a b

13. (原创)已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ? x 2 ,则不等式 f ( x) ? 0 的解集是 ;

14 . ( 原 创 ) 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) 满 足 f ( x ? 2) 是 偶 函 数 , 且 对 任 意 x ? R 恒 有 ,又 f (4) ? 2013 ,则 f (2014 ) ? f (3 ? x) ? f ( x ? 1) ? 2 0 1 4 ;

15. (原创) 已知 f ( x) 是定义在 (0,??) 上的单调函数,且对任意 x ? (0,??) ,恒有

f [ f ( x) ? log 1 x] ? 3 ,则方程 f ( x ? 1 ) ? 2 ?
2

x 的实解的个数是



三、解答题.(共 6 小题,共 75 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 16. (13 分) (原创)已知函数 f ( x) ? e x ? a ? x, x ? R 的图像在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率为 0 . (1)求实数 a 的值; (2)求 f ( x) 的单调区间.

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17 . ( 13 分) (原创)已知条件 p : 函数 f ( x) ? log (10?a 2 ) x 在 (0,??) 上单调递增;条件 q : 存在
m ? [?1,2] 使得不等式 a 2 ? 2a ? 5 ? m 2 ? 5 成立.如果“ p 且 q ”为真命题,求实数 a 的取值范

围.

18. (13 分) (原创)已知函数 f ( x) ? log a

2? x , (a ? 0, a ? 1) . 2? x

(1)当 a ? 3 时,求函数 f ( x) 在 x ? [?1,1] 上的最大值和最小值; (2)求函数 f ( x) 的定义域,并求函数 g ( x) ? ?ax 2 ? (2 x ? 4)a f ( x ) ? 4 的值域(用 a 表示) .

19. (12 分)市场营销人员对最近一段时间内某商品的销售价格与销售量的关系作数据分析后 发现如下规律:当该商品的价格上涨 x %( x ? 0 )时,其日销售数量就减少 kx %(其中 k 为正数), 预测此规律将持续下去.目前该商品定价为每件 10 元,统计得到此时每日的销售量为 1000 件. 1 (1)当 k ? 时,问该商品该定价多少,才能使日销售总金额达到最大?并求出此最大值; 2 (2)如果在涨价过程中只要 x 不超过 100,其日销售总金额就不断增加,求 k 的取值范围.

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20 . ( 12 分 )( 原 创 ) 定 义 二 元 函 数 F ( x, y) ? (1 ? x) y , 其 中 x ? (0,??), y ? R , 如
F (2,?1) ? (1 ? 2) ?1 ?
1 2 1 . 已知二次函数 g ( x) 过点 (0,0) , 且满足 ( ) 3 x ?1 ? F (1, g ( x)) ? 4 3 x ?1 对 x ? R 2 3

恒成立. (1)求 g (?1) 的值,并求函数 g ( x) 的解析式; (2)若关于 x 的方程 g (e x ? 1) ? t (e x ? 1) ? 0 ( e 为自然对数的底数, t 为参数)在 [ln 2, ln 5] 上 有解,求实数 t 的取值范围; 1 (3)记函数 h(n) ? F ( , n) ,试证明: h(n) 是关于 n 的增函数,其中 n ? N * . n

21. (12 分) (原创) 定义 “ [ x] ” , 其中 [ x] 表示不超过 , 记函数 f ( x) ? ?x[ x]?, x ? R . ...x 的最大整数 ..... (1)若集合 A ? x ?x ? ? 2?x ? ? 3 ? 0 , B ? x f ( x) ? 1 ? 1 ,求集合 A, B ;
2

?

?

?

?

(2)当 x ? [0,2 n ), n ? N * 时,记函数 f ( x) 的值域中的元素个数为 an ,求证:

1 1 1 11 ? ??? ? ,n? N*. a1 ? 1 a 2 ? 1 an ? 1 9

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2013 年重庆一中高 2014 级高三上期第一次月考 数 学 试 题 参 考 答 案(理科) 2013.9 一、选择题.DBCAA CBDDA 二、填空题.11、2 三、解答题. 16. (13 分) 解: f ( x) ? e ? a . (1) 由题知 f (1) ? e ? a ? 0 ? a ? ?e ; (2) 由 f ( x) ? e ? e 在 (??,1)
/ x

12、 ?

1 2

13、 [?1,0] ? [1,??)

14、1

15、7

/

/

x

上为负,在 (1,??) 上为正,故 f ( x) 在 (??,1) ?, (1,??) ? . 17 . ( 13 分
2




max



? a 2 ? 2a ? 5 ?

? m ? 5?

p



? 10 ? a 2 ? 1 ? a 2 ? 9 ? a ? (?3,3)



q



“ p 且q ” 为真命题 ? p 为 , m ? [?1,2] ? a 2 ? 2a ? 5 ? 3 ? a ? [?2,4] ,

真且 q 为真 ? a ? (?3,3) ? [?2,4] ? a ? [?2,3) . 18 . ( 13 分) 解: ( 1 )令 u ?

1 2? x 4 ? ? 1 , 显然 u 在 x ? [?1,1] 上 单调递减,故 u ? [ ,3] , 故 2? x x?2 3

y ? lo g3 u ? [?1,1] ,即当 x ? [?1,1] 时, f ( x) max ? 1 , (在 u ? 3 即 x ? ?1 时取得) , f ( x ) min ? ?1 , (在
1 即 x ? 1 时取得) 3 2? x (2)由 ? 0 ? f ( x) 的 定 义 域 为 (?2,2) , 由 题 易 得 : g ( x) ? ?ax 2 ? 2 x, x ? (?2,2) , 因 为 2? x 1 1 1 a ? 0, a ? 1 ,故 g ( x) 的开口向下,且对称轴 x ? ? 0 ,于是:1? 当 ? (0,2) 即 a ? ( ,1) ? (1,??) 时, a a 2 1 1 1 1 g ( x) 的 值 域 为 ( ( g (?2), g ( )] ? (?4(a ? 1), ] ; 2 ? 当 ? 2 即 a ? (0, ] 时 , g ( x) 的 值 域 为 a a 2 a u?
( ( g (?2), g (2)) ? (?4(a ? 1),4(1 ? a)) 19. (12 分)解:销售总额 y ? 10(1 ? x % ) ? 1000(1 ? kx % ) ? ?kx ? 100(1 ? k ) x ? 10000 , (k ? 0)
2

1 1 2 1 2 时, y ? ? x ? 50 x ? 10000 ? ? ( x ? 50) ? 11250 ,故当 x ? 50 时,即商品价格上涨 2 2 2 50%时,即定价为每件 15 元时,销售总额达到最大,最大为 11250 ; 50(1 ? k ) 2 (2)y ? ?kx ? 100(1 ? k ) x ? 10000 , (k ? 0) , 开口向下, 对称轴为 x ? , 题意即 x ? (0,100] 时, k 50(1 ? k ) 1 1 ? 100 ,又 k ? 0 ,解得: 0 ? k ? ,即符合题意的 k 的范围是 (0, ] . 函数是增函数,于是 k 3 3
(1)当 k ?
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20. (12 分) 解: ( 1) ( ) 3 x

1 2

2

?1

? F (1, g ( x)) ? 4 3 x ?1 ? 2 ?3 x

2

?1

? 2 g ( x ) ? 2 6 x ? 2 ? ?3x 2 ? 1 ? g ( x) ? 6 x ? 2, x ? R ,发
2

现 , 在 令 x ? ?1 时 可 得 ? 4 ? g (?1) ? ?4 ? g (?1) ? ?4 , 设 g ( x) ? ax ? bx, (a ? 0) , 由

g (?1) ? ?4 ? a ? b



b?a?4







g ( x) ? ax 2 ? (a ? 4) x









g ( x) ? 6 x ? 2 ? ax 2 ? (a ? 2) x 2 ? 2 ? 0, x ? R ,

?a ? 0 ?? ? a ? ?2 ? 2 2 ?? ? (a ? 2) ? 8a ? (a ? 2) ? 0

g ( x) ? ?2 x 2 ? 2 x , 检 验 知 此 时 满 足

【或解:当没有发现 g (?1) ? ?4 时,下面给出一种解答: g ( x) ? ?3x 2 ? 1, x ? R ,故 g ( x) ? ?2 x 2 ? 2 x ; 设 g ( x) ? ax ? bx, (a ? 0) ,由题:
2
2 2 ? ? ?ax ? bx ? 6 x ? 2 ?ax ? (b ? 6) x ? 2 ? 0 ?? ? ? 3x 2 ? 1 ? g ( x) ? 6 x ? 2 ? ? 2 ? ? 2 2 ? ? ?ax ? bx ? ?3x ? 1 ?(a ? 3) x ? bx ? 1 ? 0?? ?

?a ? 3 ? 0 ?a ? 0 ?a ? ?3 ??? ?? 2 ,? ? ? 2 2 ?b ? 12 ? 4a ?? 2 ? b ? 4(a ? 3) ? 0 ??1 ? (b ? 6) ? 8a ? 0
于是 (b ? 6) ? 2(b ? 12) ? ?1 ? (b ? 6) ? 8a ? 0 可得 3b ? 12b ? 12 ? 0 ? (b ? 2) ? 0 ? b ? 2
2 2 2

2

2

代回 ?1 ? (b ? 6) ? 8a ? 0 及 ? 2 ? b ? 4(a ? 3) ? 0 中可得 a ? ?2且a ? ?2 ,于是得到 a ? ?2 ; 】
2

2

(2)令 u ? e x ? 1 ,因为 x ? [ln 2, ln 5] ,故 u ? [3,6] ,题意 ? 关于 u 的方程 g (u) ? t (u ? 2) ? 0

2u 2 ? 2u , u ? [3,6] ,t 的范围即为右式的 ? ?2u ? 2u ? t (u ? 2) ? 0 在 [3,6] 上有解,分离参数,得到 t ? u?2
2

值域,令 u ? 2 ? m, m ? [1,4] ,则右式 ?

2(m ? 2) 2 ? 2(m ? 2) 2 ? 2(m ? ) ? 6, m ? [1,4] ,由双勾函数知 m m

其值域为 [6 ? 4 2 ,15] ,也即满足题意的 t 的范围为 t ? [4 2 ? 6,15] ;

1 1 1 n ?1 , n ? 1) ? (1 ? ) n ? (1 ? ) ,n? N*. n ?1 n n ?1 1 1 ), 法一: (导数法)所证 ? n ln(1 ? ) ? (n ? 1) ln(1 ? n n ?1 x ? ln(1 ? x) ln(1 ? x) x / 1 ? x , x ? (0,1] ,则 h ( x) ? ? ln(1 ? x), x ? (0,1] , 考查函数 h( x) ? ,令 ? ( x) ? 2 x 1? x x
(3)即证 h(n) ? h(n ? 1) ,等价于证 F ( , n) ? F (
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1 n

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因 为 ? / ( x) ?

1 1 ?x ? ? ? 0 , 所 以 ? ( x) 在 (0,1] ? , 所 以 x ? (0,1] 时 , 2 (1 ? x) (1 ? x) 2 (1 ? x)
1 1 1 1 则 h( ) ? h( ? ? x2 , ), n n n ?1 n ?1

故 h( x) 在 (0,1] ? , 令 x1 ? ? ( x) ? ? (0) ? 0 ? x ? (0,1] 时 h / ( x) ? 0 , 即 n ln(1 ?

1 1 ) ? (n ? 1) ln(1 ? ) ,证毕; n n ?1 法二: (用 n ? 1 阶均值不等式)

1 1 1 ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? ? (1 ? ) ? 1 ? ? 1 1 1 n n n ? (1 ? ) n ? (1 ? ) ? ? ? (1 ? ) ? 1 ? ? n n n n ? 1 ? ? ??? ? ???? ? ? ? 1 ? ? n个1?
n

n ?1

? n ?1 ? 1? ?? ? ? n ?1 ?

n ?1

? 右.

21. (12 分)解: (1) [ x] ? 2[ x] ? 3 ? 0 ? ?1 ? [ x] ? 3 ? x ?[?1,4) ? A ? [?1,4)
2

f ( x) ? 1 ? 1 ? 0 ? ?x[ x]? ? 2 ……………………☆,下面分区间进行分析:
当 x ? [0,1) 时, [ x] ? 0 ? x[ x] ? 0 ? ?x[ x ]? ? 0 ,满足☆,故 x ? [0,1) 可以; 当 x ? [1,2) 时, [ x] ? 1 ? x[ x] ? x ? [1,2) ? ?x[ x]? ? 1 ,满足☆,故 x ? [1,2) 可以; 当 x ? [2,??) 时, [ x] ? 2 ? x[ x] ? 2 x ? 4 ? ?x[ x]? ? 4 ,不满足☆,故此时无解; 当 x ? [?1,0) 时, [ x] ? ?1 ? x[ x] ? ? x ? (0,1] ? ?x[ x ]? ? 0 ,满足☆,故 x ? [?1,0) 可以; 当 x ? [?2,?1) 时 , [ x] ? ?2 ? x[ x] ? ?2 x ? (2,4] , 为使 ?x[ x ]? ? 2 , 则 必须且 只需 ? 2 x ? (2,3) , 即

3 3 x ? (? ,?1) ,即此时解集为 x ? (? ,?1) ; 2 2
当 x ? (??,?2) 时, [ x] ? ?3 ? x[ x] ? 6 ? ?x[ x]? ? 6 ,不满足☆,故此时无解; 上述各种情况取并得到 B ? ( ?

3 , 2) ; 2

(2)先研究 x ? [0, n) 时函数 f ( x) 的值域中的元素个数,记为 bn ,下研究 bn 的递推关系: 因为 x ? [n, n ? 1) 时, [ x] ? n , x[ x] ? nx ? [n , n ? n) ,其含有 n 2 ? n ? n 2 ? n 个正整数,
2 2

故 bn ?1

n2 ? n ? 2 ? bn ? n ,由(1)知 b1 ? 1 ,叠加可得 bn ? (n ? 1) ? ? ? 2 ? 1 ? 1 ? 2 n2 ? n ? 2 2

即当 x ? [0, n) 时函数 f ( x) 的值域中的元素个数为

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于是当 x ? [0,2 ) 时函数 f ( x) 的值域中的元素个数为
n

(2 n ) 2 ? 2 n ? 2 ? 2 2 n ?1 ? 2 n ?1 ? 1 ? a n (说明:也可 2

直接研究 a n ?1 与 a n 的关系)于是:

1 1 1 1 1 8 1 ? 2 n?1 ? n ?1 ? n ?1 ? n ?1 ? ? n , (n ? 2) n ?1 n n ?1 n ?1 n ?1 n?2 an ? 1 2 ?2 2 ? (2 ? 1) 2 ? (2 ? 2 ? 1) 2 ? (2 ? 2 ) 3 4
第一项保留不动,从第二项起,利用上式放缩,得:

2 11 1 1 1 8 1 1 1 2 1 ? ??? ? 1 ? ? ( 2 ? 3 ? ? ? n ) ? 1 ? (1 ? n?1 ) ? 1 ? ? ,证毕. 9 9 a1 ? 1 a 2 ? 1 an ? 1 3 4 9 4 4 4
附加说明: 下面这种放缩方法:

1 1 1 1 1 ? 2 n ?1 ? n ?1 ? n?1 n ?1 ? n?1 n ?1 n an ? 1 2 ?2 2 ? (2 ? 1) 2 ? 2 4

在保留前三个项(或更少项)时是证不出来的,需要至少保留前四项才可以证得出来,下面给出证明:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , ? ??? ? 1? ? ? ? ( 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ) ? 1 ? ? ? ? a1 ? 1 a 2 ? 1 an ? 1 6 28 120 4 6 28 120 192 4 4
利用分析法得:

1?

1 1 1 1 11 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6 28 120 192 9 6 28 120 192 9 28 120 192 18 14 60 96 9 1 1 1 1 5 1 1 5 78 5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 78 ? 63 ? 150 ? 48 ? 4914 ? 7200 , 60 96 9 14 126 30 48 63 30 ? 48 63

此式成立,证毕.

第 8 页(共 8 页)


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