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第一章 空间几何体1.1空间几何体的结构


第一章

空间几何体

1.1 空间几何体的结构
教案 A
教学目标 一、知识与技能 1.通过直观感知实物, 能根据几何结构特征对空间物体进行分类; 2. 会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征,并依据 特征对一些简单的几何体进行分类; 3.理解由柱、锥、台、球组成的简单组合体的结构特征; 4.能运用简单组合体的结构特征描述现实生活中的实际模型. 二、过程与方法 1. 通过直观感受空间物体,从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征; 2. 观察、讨论、归纳、概括所学的知识; 3. 通过直观感觉空间物体,认识简单的组合体的结构特征,归纳简单组合体的基 本构成形式. 三、情感、态度与价值观 感受空间几何体存在于现实生活周围,增强学生学习的积极性,同时提高学生的观 察能力,提高空间想象能力和抽象概括能力. 教学重点、难点 教学重点:感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征,认识简 单组体的结构特征. 教学难点:柱、锥、台、球的结构特征的概括. 教学关键:认识棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球及其组合体的结构特征. 教学突破方法:通过观察大量的空间几何体的实例及图片,引导学生归纳总结空间 几何体的结构特征,并利用这些结构特征来判别空间几何体的类别. 教法与学法导航 教学方法:问题教学法,讨论法,练习法. 通过提出问题,学生观察空间实物及模 型,先独立思考空间几何体的结构特征,然后相 互讨论、交流,最后得出完整结论. 学习方法:自主学习,自主探究,互动学习,合作交流,动手实践,观察探究,归 纳总结.在学生观察大量空间几何体实例的基础上,通过老师的启发诱导,归纳总结出 得到各空间几何体及其组合体的结构特征. 教学准备 教师准备:多媒体课件(用于展示问题,引导讨论,出示答案) ,空间几何体的模 型或图片. 学生准备:初中所学的必备的平面几何的相关知识. 教学过程 1

教师备课系统──多媒体教案
教学 环节 创设 情境 导入 新课 教学内容 1 .小学与初中在平面上研究 过哪些几何图形?在空间范围上 研究过那些? 2 .你能根据某种标准对下列 几何体进行分类吗?(展示具有 柱、锥、台、球结构的空间物体) 1.观察教科书第 2 页中和图 (2) 、 (5) 、 ( 7) 、 (9) ,它们各自 的特点是什么? 师生互动 设计 意图

1.学生回忆,相互交流 教师对学生给予及时评价. 2.教师对学生分类进行 以旧 整理. 分类一: 按多面体和旋 导新. 转体分类; 分类二: 按柱、 锥、 台、球分类 在归纳的过程中, 可引导 学生从围成几何体的面的特 征去观察, 从而得出棱柱的主 要结构特征: 1. 有两个面互相平行; 2. 其余各面都是平行四 边形; 3. 每相邻两个四边形的 公共边互相平行. 引出棱柱概 念之前, 应注意对具体的棱柱 的特点进行充分分析, 让学生 能够经历共同特点的概括过 程. 在得到棱柱的结构特征 后教师归结棱柱定义, 并结合 图形认识棱柱有关概念. 从分析 具体棱 柱的特 点 出 发,通 过概括 共同特 点得出 棱柱的 结构特 征.

棱柱 的结 构特 征

2

续上表 例 1 如图, 过 BC 的截面截去长 方形的一角,所得的几何体是不是棱 柱? 教师投影例 1 并读 题. 有的学生可能会认为 不是棱柱,因为如果选择 上下两平面为底,则不符 合棱柱结构特征的第二 条. 引导学生讨论:如何 判定一个几何体是不是棱 柱? 教学时应当把学生的 注意力引导到用概念进行 判断上来,即看所给的几 何体是否符合棱柱定义的 三个条件. 教师投影例 2 并读 题. 教师引导学生分析得 出,平行平面共有四对, 但能作为棱柱底面的只有 一对,即上下两个平行平 面. 引导学生探究:棱柱 的哪些平行的面能作为底 面,此时侧面是什么?哪 些平行的平面不能作为底 面?

棱柱 的结 构特 征

【解析】 以 A′ABB′和 D′DCC′为底 即知所得几何体是棱柱. 例 2 观察螺杆头部模型, 有多少 对平行的平面?能作为棱柱底面的有 几对?

【解析】略

通过改 变棱柱 放置的 位 置 ( 变 式) , 引 导学生 应用概 念判别 几 何 体,加 深对棱 柱结构 特征的 认识.

棱锥 的结 构特 征

1.观察教材第 2 页的图(14) 、 学生进行观察、 讨论、 (15) ,它们有什么共同特征? 然后归纳, 教师注意引导, 2.请类比棱柱、得出相关概念, 整理 . 得出棱锥的结构特 分类及表示. 征,有关概念分类及表示 方法. 棱锥的结构特征: 1 .有一个面是多边 形. 2. 其余各面都是有一 个公共点的三角形.

从分析 具体棱 锥 出 发,通 过概括 棱锥的 共同特 点,得 出棱锥 的结构 特征. 3

教师备课系统──多媒体教案
续上表 1.观察教材第 2 页中图(13) 、 教师在学生讨论中可 (16) ,思考它们可以怎样得到?有什 引导学生思考棱台可以怎 么共同特征? 样得到,从而迅速得出棱 2. 请仿照棱锥中关于侧面、 侧棱、 台的结构特征. 顶点的定义,给棱台相关概念下定义. 由一个平行于底面的 平面去截棱锥,底面与截 面之间的部分. 观察下面这个几何体(圆柱)及 得到这种几何体的方法,思考它与棱 柱的共同特点,给它定个名称并下定 义. 教师演示, 学生观察, 然后学生给出圆柱的名称 及定义, 教师给出侧面、 底 面、轴的定义. 以矩形一边所在直线 为旋转轴,其余三边旋转 而成的面所围成的旋转体 叫做圆柱. 圆柱和棱锥统称为柱 体. 突出棱 台的形 成 过 程,把 握棱台 的结构 特征.

棱台 的结 构特 征

圆柱 的结 构特 征

突出圆 柱的形 成 过 程,把 握圆柱 的结构 特征.

圆锥 的结 构特 征

1.观察下面这个几何体(圆锥) 以直角三角形的一条 及得到这种几何体的方法,思考它与 直 角 边 所 在 直 线 为 旋 转 棱锥的共同特点,给它定个名称并下 轴,其余两边旋转形成的 定义. 面所围成的旋转体. 圆锥与棱锥统称为锥 体.

突出圆 锥的形 成 过 程,把 握圆锥 的结构 特征.

2.能否将轴改为斜边?

4

续上表 学生 1:用平行于圆 锥底面的平面去截圆锥, 底面与截面之间的部分. 学生 2:以直角梯形, 垂直于底面的腰为旋转 轴,其余各边旋转形成的 面所围成的旋转体(教师 演示) 师:棱台与圆台统称 为台体. 开放性 设计, 学生推 理与教 师演示 结合, 培养学 生思维 发散性 与灵活 性,加 深学生 对概念 的 理 解. 开放性 设计, 学生推 理与教 师演示 结合, 培养学 生思维 发散性 与灵活 性,加 深学生 对概念 理解.

圆台 的结 构特 征

下面这种几何体称为圆台,请思 考圆台可以用什么办法得到?请在教 材图 1.1-9 上标上圆台的轴、底面、 侧面、母线.

观察球的模型,思考球可以用什 么办法得到?球上的点有什么共同特 点.

球的 结构 特征

学生 1:以半圆的直 径所在直线为旋转轴,半 圆面旋转一周形成的旋转 体叫做球体,简称球. (教 师演示) 学生 2:球上的点到 球心的距离等于定长. 教师讲解球的球心、 半径、直径、表示方法.

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教师备课系统──多媒体教案
续上表

观察教材下列各图,说出这些几 何体是由哪些简 单几何体构成的.

组合 体的 概念

学生回答,然后师生 共同讨论它们的联系与区 别. 学生归纳,总结后教 师予以适当修饰,补充. 1.简单组合体概念,由柱体、锥 体、台体和球体等简单几何体组合而 成的几何体. 2.简单组合体的构成有两种基本 形式: 一种是由简 单几何体拼接而成, 一种是由简单几何体截去或挖去一部 分而成.

通过问 题 解 决,学 生复习 了上课 时所学 知识, 同学又 为学习 新知识 作 准 备,培 养学生 总结概 括,表 述的能 力,加 强对概 念的理 解.

例 3 圆锥底面半径为 1cm, 高为
2 cm,其中有一个内接正方体,求

这个内接正方体的棱长. S 应用 举例 C D

教师出示简单组合 体,学生说出简单组合体 的结构特征,然后探索各 有关量的联系方法,找到 适当的轴截面,求解,教 师板书. F

通过观 察,加 强学生 对简单 组合体 结构特 征的认 识.

E

C1

O

D1 =1

6

续上表 【解析】锥的轴截面 SEF,正方 体对角面 CDD1C1,如图所示.设正方 体棱长 x,则 CC1 = x,C1D1 = 2 x. 作 SO⊥EF 于 O,则 SO = 2 , 应用 举例 OE = 1, ∵△ECC1~△EOS,∴
CC1 SO

=

EC1 x 1 ? ( 2 / 2) x ,即 = . EO 1 2

∴x= 长为

2 (cm) ,即内接正方体棱 2

2 cm. 2

小结

1. 简单几何体的结构特征及有关概 念. 2. 简单组合体定义,简单组合体构成 形式.

回顾、 归纳知 识,提 升学生 学生总结, 然后老师补充. 知识整 合 能 力.

课堂作业 1.下列命题中错误的是( ) . A.圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个 B.圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个 C.圆台的所有平行于底面的截面都是圆 D.圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形 【解析】圆锥的母线长相等,设为 l,若圆锥截面三角形顶角为 ? ,圆锥轴截面三 角形顶角为 ? ,则 0< ? ≤ ? . 当 ? ≤ 90° 时,截面面积 S =
1 2 1 l sin? ≤ l 2 sin? ; 当 90° 2 2

1 1 < ? <180° 时,截面面积 S≤ l 2 ? sin 90? ? l 2 ,故选 B. 2 2 2. 根据下列对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称. (1)由八个面围成,其中两个面是互相平行且全等的正六边形,其他各面都是矩 形; (2)一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转 180° 形成的封闭曲面所 围成的图形.

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教师备课系统──多媒体教案
【分析】要判断几何体的类型,首先应熟练掌握各类几何体的结构特征. 【解析】 (1)如图 1,该几何体满足有两个面平行,其余六个面都是矩形,可使每 相邻两个面的公共边都相互平行,故该几何体是六棱 柱. (2)如图 2,等腰梯形两底边中点的连线将梯 形平分为两个直角梯形,每个直角梯形旋转 180° 形成 半个圆台,故该几何体为圆台. 点评:对于不规则的平面图形绕轴旋转问题,要 图1 图2 对原平面图形作适当的分割,再根据圆柱、圆 锥、圆 台的结构特征进行判断. 3. 把一个圆锥截成圆台, 已知圆台的上、 下底面半径的比是 1:4, 母线长是 10cm, 求圆锥的母线长. 【分析】 画出圆锥的轴截面,转化为平面问题求解. 【解析】 设圆锥的母线长为 ycm,圆台上、下底面半径分 别是 xcm 、4xcm.作圆锥的轴截面如图. 在 Rt△SOA 中,O′A′ ∥ OA , ∴ SA′ ∶ SA= O′A′ ∶ OA , 即( y - 10 )∶ y=x ∶ 4x. ∴ y=13 . ∴圆锥的母线长为 13 cm. 4. 左下图是由右下图中的哪个平面图旋转得到的( ) .
1 3 1 3

【解析】 因为简单组合体为一个圆台和一个圆锥,因此平面图应由一个直角三角 形和一个直角梯形构成,可排除 B、D,再由圆台上、下底的大小比例关系可排除 C. 5.已知球的外切圆台上、下底面的半径分别为 r、R,求球的半径. 【解析】圆台轴截面为等腰梯形,与球的大圆相切,由此得梯形腰长为 R + r,梯 形的高即球的直径为 (r ? R) 2 ? ( R ? r ) 2 =2 rR ,所以,球的半径为 rR .

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教案 B
教学目标 1.通过观察实物、图片,使学生理解并能归纳出柱、锥、台、球的结构特征; 2.培养学生善于通过观察实物形状到归纳其性质的能力; 3.能够根据已学过的柱、锥、台、球的结构特征来描述简单的组合体的结构特征; 4.通过简单组合体观察、分析,培养学生的观察、概括的能力与空间想象能力. 教学重点、难点 教学重点:让学生通过观察实物及图片概括出棱柱、棱锥、棱台的结构特征;简单 组合体结构特征的分析. 教学难点:棱柱、棱锥、棱台的结构特征的概括;简单组合体结构特征的分析. 课时安排 3 课时

第 1 课时
教学内容:1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征(1) 教学过程 一、创设情境 引入新课 在我们周围存在着各种各样的物体,它们都占据着空间的一部分,如果我们只考虑 这些物体的形状和大小,而不考虑其他因素,那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫 做空间几何体.本节课我们主要从结构特征方面认识几种最基本的空间几何体. 观察自己书桌上和课本上的图片思考下面的问题: 1.这些图片中的物体具有怎样的形状? 2.日常生活中,我们把这些物体的形状叫做什么?如何描述它们的形状? 3.组成这些几何体的每个面有什么特点?面与面之间有什么关系? 二、讲授新课 1.两类几何体(见下页)

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教师备课系统──多媒体教案

图1 通过观察可以发现, (2 ) 、 (5) 、 (7 ) 、 ( 9) 、 (13) 、 (14) 、 (15) 、 (16)具有同样的 特点:组成几何体的每个面都是平面图形,并且都是平面多边形; (1) 、 (3) 、 (4) 、 (6) 、 (8) 、 (10) 、 (11) 、 (12)具有同样的特点:组成它们的面不全是平面图形(学生总结). 一般地,我们把有若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体(图 2) ;围成多面体
/ / 的各个多边形叫做多面体的面,如面 ABCD ,面 BCC B ;相邻两个面的公共边叫做

多边形的棱,如棱 AB ,棱 AA ;棱与棱的公共点叫做多面体的顶点,如顶点 A, D . 如(2) 、 (5) 、 (7) 、 (9) 、 (13) 、 (14) 、 (15) 、 (16)这些物体都具有多面体的形状. 我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫 做旋转体(图 3) .这条定直线叫做旋转体的轴. (1) 、 (3) 、 (4) 、 (6) 、 (8) 、 (10) 、 (11) 、 (12)这些物体都具有旋转体的形状.

/

/

D/
顶 点A/ 棱

C/

B/ A
/

O/


B/



D
A
图2 10

B

C
B

A

O
图3

2.棱柱的结构特征 现在我们来观察图 1 的(2) 、 (5)他们有什么共同的结构特征?(学生看图思考后, 师生共同完成) 棱柱:一般地,有两个面相互平行,其于各面都是四边形,并且每相邻两个四边形 的公共边都互相平行,由这些面组成的多面体. 棱柱的面:棱柱中两个相互平行的面叫做棱柱的底面,简称底;其余各面叫做棱柱 的侧面. 棱柱的侧棱:相邻侧面的公共边. 棱柱的顶点:侧面与底面的公共顶点. 棱柱的分类: 底面是三角形、 四边形、 五边形… 的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……. 棱柱的表示方法:我们用表示底面各顶点 的字母表示棱柱,如图 4 的六棱柱表示为棱柱

ABCDEF - A / B / C / D / E / F / .
图4 (可让学生观察周围的事物,找找哪些是棱柱) 3.棱锥和棱台的结构特征 再观察图 1 的(14) 、 (15)与(13) 、 (16) ,这两类物体之间有什么关系?它们有 哪些结构特征?

图5

图6

(学生观察图形自己归纳总结) (1)图 1 的(14) 、 (15)这样的多面体,均由平面图形围成,其中一个是多边形, 其余各面都是三角形,并且这些三角形有一个公共顶点. 棱锥:一般地,有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这 些面所围成的多面体. 棱锥的面:多边形是棱锥的底面,有一个公共顶点的三角形叫做棱锥的侧面. 棱锥的顶点:各侧面的公共顶点. 棱锥的侧棱:相邻侧面的公共边. 棱锥的分类:底面是三角形、四边形、五边形的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五 棱锥. 11

教师备课系统──多媒体教案
棱锥的表示方法:棱锥用表示顶点和底面各顶点的字母表示,图 5 的四棱锥可表示 为棱锥 S-ABCD. (可以师生共同完成) (2)图 1(13) 、 (16)这种几何结构的多面体,是用一个平行于棱锥底面的平面去 截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的多面体(图 6)叫做棱台. (让学生仿照棱锥中关于侧面、侧棱、顶点的定义说出棱台侧面、侧棱、顶点的定 义,并在图中标出它们,并注意棱台的分类和表示方法) 4.课堂练习 课本习题 1.1 的 1(1) 、 (2) .帮助学生理解几种几何体的结构特征. 四、课堂小结 本节课我们主要是通过观察实例,探究发现了棱柱、棱锥、棱台的结构特征,要能 准确地说出它们的结构特征. 五、课后思考题 棱柱、棱锥、棱台都是多面体,他们在结构上有哪些相同点和不同点?三者的关系 如何?当底面发生变化时,它们能否相互转化?

第 2 课时
教学内容:1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征(2) 教学过程 一、复习引入 上节课我们学习了两类几何体: 多面体、 旋转体. 也 研究了几种具体的多面体的结构特征,本节课我们再来 研究几种旋转体的结构特征. 二、讲授新课 1.圆柱的结构特征 如图 1 的(1) ,让学生思考它是由什么旋转而得到 的.它的平面图如右 (图 7) , 我们可以发现这个旋转体是 以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成 的面所围成的旋转体,而此类旋转体我们称它为圆柱. 图7 圆柱的轴:旋转轴. 圆柱的面:垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面;平行于轴的边旋转而成 的曲面叫做圆柱的侧面. 圆柱侧面的母线:无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做母线.
/ 圆柱的表示方法:圆柱用表示它的轴的字母表示,如图 7 可表示为圆柱 O O .

(让学生举一些生活中的实例,帮助理解) 注:1. 圆柱和棱柱统称为柱体;2.圆锥和圆台的结构特征 12

观察图 1 的(6) ,思考它应该是由什么旋转而成的,那(10)又是由什么旋转而成 的呢?它们之间有什么关系呢? (让学生借助上节课学习的棱柱和棱台的方法来学习圆 锥和圆台,学生说,老师纠正) 圆锥:以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所 围成旋转体.如图 8. 圆台:与棱台类似,用平行于圆锥底面 的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫 做圆台.如图 9. 圆锥、圆台都和圆柱一样有轴、底面、 侧面和母线,让学生自己在两个图上标示出 来.同时注意它们的表示方法. 注:1.棱锥和圆锥统称为椎体;2.棱 台和圆台统称为台体. (回答前面的问题) 图8 图9 2.球的结构特征 观察课本第 2 页的图 1-1 的 (11) 、 (12) , 日常生活中我们叫它为球,那用数学语言怎么描述呢?它是由什么旋转而得到的呢? 球体: 以半圆的直径所在的直线为旋转轴, 半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体. 简称球. 球心:半圆的圆心. 半径:半圆的半径. 直径:半圆的直径. 球体的表示方法:常用表示球心的字母

O 表示,如图 10 可表示为球 O .
3.课堂练习 课本习题 1.1A 组 2. 四、课堂小结 图 10 本节课我们主要学习了圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征,要注意这四种几何体的 定义.要能识别这几种几何体.多观察生活中的实物. 五、课后思考题 仿照上节课的课后思考题,思考一下圆柱、圆锥、圆台三者之间的关系.

第 3 课时
教学内容:1.1.2 简单组合体的结构特征 教学过程 一、 创设情景 引入新课 前两节课我们学习了柱、锥、台、球的结构特征,但现实生活中往往出现的都不是 13

教师备课系统──多媒体教案
简单的柱、锥、台、球,那我们如何来描述它们的几何特征呢?为此我们先学习一些简 单组合体的结构特征.那什么是简单组合体? 定义:由一些简单的几何体组合而成的几何体叫做简单组合体. 简单组合体的构成有两种基本形式:一种是由简单几何体拼接而成,如图 11 中的 (1) 、 (2)物体表示的几何体;一种是由简单的几何体截去或挖去一部分而成,如图 11 中的(3) 、 (4)物体表示的几何体. 思考题:你能说出图 11 中的四个图所示的几何体是由哪些简单几何体组合而成的 吗?(下面由师生共同完成)

( 1)

(2)

(3)

(4)

图 11 二、新课讲解 1.图 11(1)所示的几何体由两个圆柱和两个圆台组合而成,如图 12;图 11(2) 所示的几何体是由一个球和一个圆柱组合而成;图 11(3)所示的几何体是由一个长方 体截去一个三棱锥而得到的,如图 13;图 11(4)所示的几何体是由一个长方体截去两 个小长方体而得到的.

图 12

图 13

观察我们周围的物体, 让学生说说这些物体所示几何体的主要结构特征. 一方面帮 助学生复习巩固所学到的几何体的结构特征,一方面锻炼学生的观察分析能力. 2.课堂练习:习题 1.1A 组 3、4 题. 四、课堂小结 生活中有很多复杂的物体,但他们都可以看成是基本几何体的组合.因此,在解决 组合体的问题的时候,我们可将复杂的组合体分解,再利用我们学过的简单几何体的结 构特征来分析复杂的组合体,化繁为简、化难为易. 五、布置作业:习题 1.1B组习题 1、2 题. 14


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