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高中数学第一章推理与证明1归纳与类比同步练习北师大版选修2-2资料


高中数学 第一章 推理与证明 1 归纳与类比同步练习 北师大版选 修 2-2
高手支招 6 体验成功 基础巩固 1.根据给出的数塔猜测 123 456×9+7 等于( ) 1×9+2=11 12×9+3=111 123×9+4=1 111 1 234×9+5=11 111 12 345×9+6=111 111 A.1 111 110 B.1 111 111 C.1 111 112 答案:B 思路分析:由数塔猜测应是各位数字都是 1 的七位数,即 1 111 111. 2.在数列{an}中,a1=0,an+1=2an+2,则 an 是( ) A.2 ?
n-2

D.1 111 113

1 2

B.2 -2

n

C.2 +1

n-1

D.2 -4

n+1

答案:B n 思路分析:当 n=1,2,3 时,求得 a2=2,a3=6,a4=14,观察知 an=2 -2. 3.已知等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则 a 12 的值是( ) A.15 B.30 C.31 D.64 答案:A 思路分析: 用等差数列的性质:等差数列中项数之和相等的对应两项的和也相等.a7+a9=a4+a12, 故选 A 项. 4.已知 2 ?

2 3 4 a 2 3 4 a =2 , 3 ? =3 , 4? =4 ,…,若 6 ? =6 (a,b 均为实 3 8 15 b 3 8 15 b

数),请推测 a=________________,b=________________. 答案:6 35 思路分析:由前面三个等式,推测归纳被开方数的整数与分数的关系,发现规律. 由三个等式知 , 整数和这个分数的分子相同 , 而分母是这个分子的平方减 1, 由此推测

6?

a 2 中,a=6,b=6 -1=35. b
1 1 1 3 4 5 + + … + (n∈N+), 经 计算 :f(2)= ,f(4) > ,f(8) > ,f(16) > 2 3 n 2 2 2

即 a=6,b=35. 5. 已 知 f(n)=1+ 3,f(32)>

7 ,推测当 n≥2 时,有_______________. 2 n?2 n 答案:f(2 )> 2
思路分析:对问题进行归纳时,要尽可能将结论的形式统一,这样便于找到共性特征,看出其

1

3 5 6 7 2 3 4 5 ,f(2 )>2,f(2 )> ,f(2 )> ,f(2 )> ,从 2 2 2 2 n ? 2 n 而归纳出当 n≥2 时的一般结论为 n≥2 时,f(2 )> . 2
规律,故本题应将所给的式子写成 f(2 )=
1

6. 若从点 O 所作的两条射线 OM、 ON 上分别有点 M1 、 M2 与点 N1 、 N2, 则三角形面积之比 为:

S ?OM 1N1 S ?OM 2 N 2

?

OM1 ON1 · .若从点 O 所作的不在同一个平面内的三条射线 OP、OQ 和 OR OM 2 ON 2 OP OQ1 OR1 1 = · OP2 OQ2 OR2

上分别有点 P1、P2 与点 Q1、Q2 和 R1、R2,则类似的结论为:_______________. 答案:

VO ? P1Q1R1 VO ? P2Q2 R2

?

思路分析:在平面中是两三角形的面积之比 , 凭直觉可猜想在空间应是体积之比 , 所以有

VO ? P1Q1R1 VO ? P2Q2 R2

?

OP OQ1 OR1 1 = · OP2 OQ2 OR2
1 (n∈N+),f(n)=(1-a1)(1-a2)…(1-an), 试通过计算 (n ? 1) 2

7. 已知数列 {an} 的通项公式 an=

f(1),f(2),f(3)的值,推测出 f(n)的值. 答案:(1)f(1)=1-a1=1 ?

1 3 1 3 8 2 4 ? ,f(2)=(1-a1)(1-a2)=f(1)·(1 ? )= · = = , 4 4 9 4 9 3 6
1 2 15 5 n?2 )= · = ,由此猜想 f(n)= . 16 3 16 8 2(n ? 1)

f(3)=(1-a1)(1-a2)(1-a3)=f(2)·(1 ?

思路分析: 利用题目所给的关系式,可以计算出函数值,根据 f(1),f(2),f(3)的值,找到共性 特征,进而可得 f(n)的值. 8.已知:sin 30°+sin 90°+sin 150°=
2 2 2

3 3 2 2 2 ,sin 5°+sin 65°+sin 125°= . 2 2
2

观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题,并证明之. 答案:一般性的命题为 sin θ +sin (60°+θ )+sin (120°+θ )= 证明如下:sin θ +sin (60°+θ )+sin (120°+θ ) =
2 2 2 2 2

3 . 2

1 ? cos2? 1 ? cos(120? ? 2? ) 1 ? cos(240? ? 2? ) ? ? 2 2 2

3 1 ? [cos2θ +cos(120°+2θ )+cos(240°+2θ )] 2 2 3 1 = ? [2cos60°cos(60°+2θ )+cos(180°+60°+2θ )] 2 2 3 1 3 = ? [cos(60°+2θ )-cos(60°+2θ )]= . 2 2 2
= 思路分析:仔细分析两个式子中角的特点,就会发现角的度数成等差数列,从而找到了规律. 对角的观察是本题的突破口,若从两个式子中未能找到规律,可将两个式子中的三个角同时

2

变化较小的度数,即可发现角的关系,从而找到式子的规律. 综合应用

?1 a , n为偶数, ? 1 ?2 n 9.设数列{an}的首项 a1=a≠ ,且 an+1= ? 4 ?a ? 1 , n为奇数. n ? 4 ?
记 bn=a2n-1 ?

1 ,n=1,2,3,… 4

(1)求 a2,a3; (2)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论.

1 1 1 1 1 =a+ ,a3= a2= a+ ; 4 4 2 2 8 1 1 3 1 1 3 (2)∵a4=a3+ = a+ ,所以 a 5= a4= a+ , 4 2 8 2 4 16 1 1 1 1 1 1 1 1 所以 b1=a1- =a- ,b2=a3- = (a- ),b3=a5- = (a- ), 4 4 4 2 4 4 4 4 1 猜想:{bn}是公比为 的等比数列. 2
答案: (1)a2=a1+ 证明如下:

1 1 1 1 1 1 * = a2n- = (a2n-1- )= bn,(n∈N ) 4 2 4 2 4 2 1 1 ∴{bn}是首项为 a- ,公比为 的等比数列. 4 2
∵bn+1=a2n+1思路分析:本题是考查猜想归纳能力及等比数列的定义. 10.如图,点 P 为斜三棱柱状 ABC-A1B1C1 的侧棱 BB1 上一点,PM⊥B1B 交 AA1 于点 M,PN⊥BB1 交 CC1 于点 N.

(1)求证:CC1⊥MN; 2 2 2 (2)在任意△DEF 中有余弦定理:DE =DF +EF -2DF·EFcos∠DFE.拓展到空间,类比三角形的余 弦定理,写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式 ,并予以 证明. 答案:(1)证明:∵PM⊥BB1,PN⊥BB1,∴BB1⊥平面 PMN. ∴BB1⊥MN.又 CC1∥BB1,∴CC1⊥MN. (2)解:在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,有 SaBB1A1 = S
2

BCC1B12

+S

ACC1 A12

-2 S BCC1B1 · S ACC1 A1 cosα .

其中 α 为平面 CC1B1B 与平面 CC1A1A 所成的二面角. ∵CC1⊥平面 PMN, ∴上述的二面角的平面角为∠MNP.

3

在△PMN 中, 2 2 2 PM =PN +MN -2PN·MN·cos∠MNP ?PM2·CC12=PN2·CC12+MN2·CC12-2(PN·CC1)·(MN·CC1)·cos∠MNP, 由于 S BCC1B1 =PN·CC1, S ACC1 A1 =MN·CC1, S ABB1 A1 =MP·BB1, ∴ S AAB1 A1 2 = SBCC1B1 2 + S
ACC1 A12

-2 S BCC1B1 · S ACC1 A1 cosα .

思路分析:考虑到三个侧面的面积需要作出三个侧面的高,由已知条件可得△PMN 为三棱柱 的直截面,选取三棱柱的直截面三角形作类比对象. 11.找出三角形和四面体的相似性质,并用三角形的下列性质类比四面体的有关性质. (1)三角形的两边之和大于第三边; (2)三角形的中位线等于第三边的一半且平行于第三边; (3)三角形的三条内角平分线交于一点,且这个点是三角形内切圆的圆心; (4)三角形的面积为 S=

1 (a+b+c)r(r 为内切圆的半径). 2

解:三角形与四面体有下列共同性质: (1)三角形是平面内由线段围成的最简单的封闭图形 ,四面体是空间中由平面三角形所围成 的最简单的封闭图形. (2)三角形可以看作平面上一条线段外一点与这条直线段上的各点连线所形成的图形 ,四面 体可以看作三角形外一点与这个三角形上各点连线所形成的图形.根据三角形的性质可以推 测空间四面体的性质如下: 三角形 三角形两边之和大于第三边 三角形的中位线等于第三边的一半且平行于 第三边 三角形的三条内角平分线交于一点 , 且这个 点是三角形内切圆的圆心 三角形的面积为 S= 内切圆的半径) 四面体 四面体任意三个面的面积之和大于第四个面 的面积 四面体的中位面的面积等于第四个面面积的

1 ,且平行于第四个面 4
四面体的四个面的二面角的平分面交于一 点,且这个点是四面的内切球的球心

1 1 (a+b+c)r(r 为三角形 四面体的体积为 V= (S1+S2+S3+S4)r(S1、S2、 2 3
S3、S4 为四面体四个面的面积,r 为内切球的 半径)

思路分析:根据三角形和四面体之间所具有的某些类似(或一致)的性质,推测其中一类事物 具有与另一类事物类似(或相同)的性质,充分分析出三角形和四面体之间所具有的共同性质, 再进行类比推理.

4


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