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直线的点斜式方程


8.3.1 直线的点斜式方程

复习引入:
一、直线斜率的求解公式:

1)k ? tan? y2 ? y1 2)k ? x2 ? x1
注意:

(? ? 90 )
0

( x2 ? x1 )

不是所有的直线都有斜率, 斜率不存在的直线为与 x 轴垂直的直线

建构数学:
若直线 l 经过点P ,斜率为k, 则此直线 的方 0 ( x0 , y0 ) 程是?
y

l
P( x, y)
P0 ( x0 , y0 )
y ? y0

y ? y0 k? x ? x0
故:
x

( x ? x0 )

x ? x0

o

y ? y0 ? k ( x ? x0 )

建构数学:

经过点 P0 ( x0 , y0 ) 斜率为k的直线 l 的方程 为:

y ? y0 ? k ( x ? x0 )

这个方程是由直线上一定点及其斜率确定, 所以我们把它叫做直线的点斜式方程.
注意:

点斜式方程的形式特点.

小结:经过点 P0 ( x0 , y0 ) 的直线有无数条:

1)斜率存在,直线方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ); 2)斜率不存在,直线方程 为x ? x0 .
l
y
P 0 ( x0 , y0 )

o

x

0

x

数学运用: 例、已知直线经过点 P??1,3? ,求

(1)倾斜角为 0? 时的直线方程;
y?3

(2)斜率为2时的直线方程;
y ? 3 ? 2( x ? 1)

(3)倾斜角为 90 ? 时的直线方程.
.

x ? ?1

建构数学:

问题2:已知直线 l 的斜率为k,与y轴的交点 是点P(0,b),求直线 l 的方程. y
解: 由直线的点斜式方程,得:
(0,b)

y ? b ? k ( x ? 0)
即:

o

x

y ? kx ? b

l

式中:b ---直线l 在y轴上的截距(直线与y轴交点的 纵坐标) k ---直线 l 的斜率 所以这个方程也叫做直线的斜截式方程.
注意:斜截式方程的形式特点并对比一次函数形式

例二:
写出下列直线的斜率和在y轴上的截距:
(1)y ? 3 x ? 2 ( 2) y ? 3 x (3) y ? 3 ( 4) x ? 3 y ? 2

1 2 y ? x? 3 3

思:一)截距是距离吗?
二)如何求直线在坐标轴上的截距?

思考1:若直线l的斜率为k,在x轴上 的截距为a,则直线l的方程是什么?
l

y=k(x-a)

思考2:已知直线l1:y=k1x+b1, l2:y=k2x+b2,分别在什么条件下l1与 l2平行?垂直?

l1 // l2 ? k1 ? k2 , b1 ? b2 l1 ? l2 ? k1 ? k2 ? ?1

数学运用:

例3、 求下列直线的斜截式方程: (1)经过点A(-1,2),且与直线 y=3x+1垂直; (2)斜率为-2,且在x轴上的截距为5.

课堂小结:

直线过点 P0 ?x0 , y0 ? (1)斜率为K, 点斜式方程: y ? y0 ? k ?x ? x0 ?
P0取?0, b?

斜截式方程: y ? kx ? b (对比:一次函数 ) (2)斜率不存在时,即直线与x轴垂直,

x ? x0 则直线方程为:

当堂反馈:
1.写出下列直线的点斜式方程 (1)经过点A(3,-1),斜率是
y ? 1 ? 2 ( x ? 3)
2

(2)经过点B (? 2,2) ,倾斜角是30°
3 y?2? (x ? 3 2)

(3)经过点C(0,3),倾斜角是0°

y?3
(4)经过点D(4,-2),倾斜角是120°

y ? 2 ? ? 3( x ? 4)

当堂反馈:
2.填空题: (1)已知直线的点斜式方程是y-2=x-1,那么,直线 45 ? 的斜率为 ____, 1 倾斜角为_____________.

3 (2)已知直线的点斜式方程是 y ? 2 ? ( x ? 1) 那么,直 3
3 30 ? 线的斜率为___________, 倾斜角为_______. 3

3.写出斜率为

3 2

,在y轴上的截距是-2的直线方程.
3 y? x?2 2

数学之美: k为常数时,下列方程所表示的直线过定点 吗? ?1?y ? kx ? 2 ? ?0,2?
?2?y ? kx ? 3k ? 2
y
? y ? 2 ? k ?x ? 3? ? ?? 3,2?

y ? x?2

y?2

直线 y ? kx ? 2 是过定点 (0,2)的直线束;

o
y ? 3x ? 2

x y ? ?x ? 2
y ? ?3x ? 2

数学之美:
y
y ? x?2

y ? 2x ? 4

y

y ? 2x

y?2

y ? 2x ? 4

o
y ? 3x ? 2

x y ? ?x ? 2
y ? ?3x ? 2
y ? 2x ?1

o

x

y ? 2x ?1

直线 y ? kx ? 2 是过定点

(0,2)的直线束;

直线 y ? 2 x ? b 表示斜率为2的 一系列平行直线.

思考题
一直线过点 A??1,3? ,其倾斜角等于
3 x 的倾斜角的2倍,求直线 l 直线 y ? 3

的方程.

分析:只要利用已知直线,求出所求直线的斜率 即可.
3 ? ? ? 30? 则: tan? ? 3 ?k ? tan2? ? tan60? ? 3

3 解: 设所求直线的斜率为k,直线 y ?倾斜角为 x 3

?

由直线的点斜式方程,得: y ? 3 ? 3[ x ? (?1)]


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