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高中数学必修1公开课课件1.2.1 函数的概念 第2课时 函数概念的综合应用


第2课时 函数概念的综合应用

学 习 不 可 浅 尝 辄 止 哦 !
上节课我们学习了函数,都学习了哪些知识?你都理 解了吗?

1.构成函数的三要素. 2.函数的定义域、值域的概念. 3.函数的对应关系. 4.相等函数的判断.

5.区间的概念.

1.掌握简单函数的定义域的求法.(重点) 2.会求简单函数的值域.(难点) 3.掌握换元法求函数的对应关系.(难点)

探究点1 函数的定义域的求法

(一)简单函数的定义域
例1 求下列函数的定义域:
1 (1) f (x) ? x?2

解:要使函数有意义,则 x ? 2 ? 0, 即 x

?2,

所以函数的定义域为 ?x x ? 2? .

(2) f (x) ?

5x ? 3

解:要使函数有意义,则 5x ? 3 ? 0 , 3 即x?? , 5 ? . 所以函数的定义域为 ? ? 3, ? ?? ? ? 5 ?

注意

定义域的表示方法:集合、区间.

【提升总结】 求函数的定义域时常有的几种情况: ①若f(x)是整式,则函数的定义域是: 实数集R; ②若f(x)是分式,则函数的定义域是:

使分母不等于0的实数集;
③若f(x)是偶次根式,则函数的定义域是: 使根号内的式子大于等于0的实数集.

④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的,
则函数的定义域是使各部分式子都有意义的

实数集合.
⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数,则函 数的定义域应符合实际问题.

使各个式子都有意义 的实数集合.

(二)复杂函数的定义域 例2 求函数 f (x) ? 3x ? 2 ? 1
x?2

的定义域.
定义域是一个集合,要 用集合或区间表示.

解:要使函数有意义,

?3x ? 2 ? 0 则? ,即 x ? ? 2 且x ? 2 3 ?x ? 2 ? 0
? ? 3

.
? ?

所以函数的定义域为 ? x x ? ? 2 ,且x ? 2 ?.

【变式练习】
求下列函数的定义域:

x+ 1 (1) y= x-1+ 1-x.(2) y= 2 . x -1
[分析] 求函数的定义域,即是求使函数有意义的那

些自变量 x 的取值集合.

[解析]

? ? x- 1 ≥0 (1)要使函数有意义,则? ? ? 1- x ≥0

? ? x≥ 1 ,即? ? ? x≤ 1



所以 x=1,从而函数的定义域为{x|x=1}.

x+ 1 (2)因为当 x -1≠0,即 x≠±1 时, 2 有意义,所以 x -1
2

原函数的定义域是{x|x≠±1,x∈R}.
[易错警示] 求函数的定义域时,不能对解析式变形.题(2)

x+ 1 1 易出现这样的错误:y= 2 = ,使得函数有意义的 x 满足 x x -1 x - 1
-1≠0,即 x≠1,故函数的定义域为{x|x≠1,x∈R}.

(三)复合函数的定义域 例3 已知f ? x ?的定义域为 ? 0, 2? , 求f (2x ? 1)的定义域.

解: 由题意知: 0 ? 2x ?1 ? 2
1 3 ? ?x? 2 2

1 3 故 : f (2x ? 1)的定义域是{x ? x ? }. 2 2 特别提醒:对于抽象函数的定义域,在同一对应关

系f下,括号内整体的取值范围相同.

【变式练习】
已知f ? 2 x ? 1?的定义域为(?1, 5], 求f ( x)的定义域.

解:由题意知: ?1 ? x ? 5,

??3 ? 2x ? 1 ? 9,
? f (x)的定义域为 ? ?3,9?.

探究点2 函数的值域 例4 求下列函数的值域.

(1)y ? x ? 1
解: ? x ? 0 ? x ?1 ? 1 ? y ? x ? 1的值域 是[1, ??).
观察 法

(2)y ? x ? 4x ? 6, x ?[1,5]
2

解:配方,得y ? (x ? 2) 2 ? 2 ? x ? ?1,5? ? 2 ? y ? 11

配方法

?函数的值域是{y | 2 ? y ? 11}

注意

求函数的值域,应先确定定义域,遵循定义域 优先原则,再根据具体情况求y的取值范围.

你能求出下列函数的值域吗?
x (1)y ? x ?3
(x ? 3) ? 3 3 解: y? ? 1? x ?3 x ?3

(2)y ? x ? 2x ?1
解:设u ? 2x ? 1, 则u ? 0,

1? u2 1? u2 且x ? , 于是 y ? ? u, 3 2 2 ? ? 0,? y ? 1. x ?3 1 2 即y ? ? u ? 1? . 2 ∴函数的值域为 y y ? 1 . 故函数y ? x ? 2x ? 1的值域 1 为[ , ??). 2

?

?

分离常数 法

换元法

探究点3 函数对应关系 例5 已知f(x+1)=2x+3,你能求出f(-1)吗? 解: 令t ? x ? 1, 则x ? t ? 1,
f (t) ? 2(t ? 1) ? 3 ? 2t ? 1.

∴f(x)=2x+1 ? f (?1) ? 2 ? (?1) ? 1 ? ?1.
注意

换元法求 解析式

换元的等价性,即要求出t的取值范围

1.(2012·广东高考)函数 {x|x≥-1,且x≠0} ____________________

y?

x ?1 x

的定义域为

x ? 1 ? 0, 【解析】由 ? 得函数的定义域为{x|x≥-1, ? ?x ? 0

且x≠0}.

5 ,若f(x)=5, 2.已知函数f(x)=x2+x-1.则f(2)=__
2或-3 则x=______. 3.函数f(x)的定义域为{-1,2},则y=f(x)的图 1 象与直线x=2的交点个数为_____. 【解析】根据函数的定义,给x一个值,y有唯一 的值与之对应,由于2∈{-1,2},所以交点个数 只有一个.

4.求下列函数的值域

(1)y ? x 2 ? 2x ? 3, x ? R ? 2, ?? ?
5x ? 4 (2)y ? x ?1

?y y ? 5?

?15 ? (3)y ? 2x ? x ? 1 ? , ?? ? ?8 ?

回顾本节课你有什么收获? 1.求函数的定义域 (1)简单函数的定义域. (2)复杂函数的定义域. (3)复合函数的定义域. 2.简单函数的值域.

人生就是攀登!让我们背负着命运给予的 重载,艰苦跋涉,攀登上一个又一个品德、情 操、知识的高峰吧!


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