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高中数学数列复习试题(含答案)


高中数学数列复习试题
重庆理 1 若等差数列{ an }的前三项和 S 3 ? 9 且 a1 ? 1 ,则 a2 等于( A.3 B.4 C.5 D.6 A )

安徽文 3 等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S x 若 a2 ? 1, a3 ? 3, 则S 4=( A.12 B.10 C.8 D.6 B )

辽宁文 5 等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S x 若 a2 ? 1, a3 ? 3, 则S 4=( A.12 B.10 C.8 D.6 B )

福建文 2 等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S x 若 a2 ? 1, a3 ? 3, 则S 4=( A.12 B.10 C.8 D.6

B )

广东理 5 已知数列{ an }的前 n 项和 Sn ? n2 ? 9n ,第 k 项满足 5 ? ak ? 8 ,则 k ? ( A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
1 ,则该数列的前 10 项和为( 8

B



在等比数列 {an } ( n ? N * )中,若 a1 ? 1 , a4 ? A. 2 ?
1 24

B )

B. 2 ?

1 22

C. 2 ?

1 210

D. 2 ?

1 211

湖北理 8 已知两个等差数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和分别为 A n 和 Bn ,且 整数的正整数 n 的个数是( D )
An 7n ? 45 a ? ,则使得 n 为 Bn n?3 bn

A.2

B.3

C.4

D.5

已知 a,b,c,d 成等比数列,且曲线 y ? x2 ? 2x ? 3 的顶点是 (b,c) ,则 ad 等于( A.3 B.2 C.1 D. ?2

B )

宁夏理 4 已知 ?an ? 是等差数列, a10 ? 10 ,其前 10 项和 S10 ? 70 ,则其公差 d ? ( A. ?
2 3

D )

B. ?

1 3

C.

1 3

D.

2 3

陕西文 5 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2 ? 2, S4 ? 10, 则S6等于 ( A.12 B.18 C.24 D.42 C )

四川文 7 等差数列{an}中,a1=1,a3+a5=14,其前 n 项和 Sn=100,则 n=( B )

A.9

B.10

C.11

D.12

上海文 14
?1 ? n 2 , 1 ≤ n ≤ 1000, ? 数列 ? an ?中, an ? ? 则数列 ? an ?的极限值( 2 ? n , ≥ 1001, n ? n 2 ? 2n ?

B )

A.等于 0

B.等于 1

C.等于 0 或 1

D.不存在

陕西理 5 各项均为正数的等比数列 ?a n ? 的前 n 项和为 Sn,若 Sn=2,S30=14,则 S40 等于( A.80 B.30 C.26 D.16 C )

天津理 8 设等差数列 ?an ? 的公差 d 不为 0, a1 ? 9d .若 ak 是 a1 与 a2k 的等比中项,则 k ? ( B )

A.2

B.4

C.6

D.8

重庆理 14 设 { an } 为 公 比 q>1 的 等 比 数 列 , 若 a2004 和 a2005 是 方 程 4 x 2 8x ? 3 ? 0 的 两 根 , 则

a2 0 0 6? a2 0 0 7? _____.18
n(5n ? 1) 2

已知数列的通项 an ? ?5n ? 2 ,则其前 n 项和 Sn ?

.?

全国 1 理 15 等 比 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 已 知 S1 , 2S 2 , 3S3 成 等 差 数 列 , 则 ?an ? 的 公 比 为 .
1 3

宁夏文 16 已知 ?an ? 是等差数列, a4 ? a6 ? 6 ,其前 5 项和 S5 ? 10 ,则其公差 d ? .
1 2

江西文 14 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S12 ? 21 ,则 a2 ? a5 ? a8 ? a11 ? .7

广东文 13 已知数列{ an }的前 n 项和 Sn ? n2 ? 9 n ,则其通项 an ? ;若它的第 k 项满足

5 ? ak ? 8 ,则 k ?

. 2n-10

;

8

北京理 10 若数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ?10n(n ? 1 2,?) ,则此数列的通项公式为 ,3, ;数列 ?nan ? 中数值最小的项是第 项. 2n ? 11
3

浙江理 21

已知数列 ?an ? 中的相邻两项 a2k ?1,a2k 是关于 x 的方程 x2 ? (3k ? 2k )x ? 3 ? 2 ? 0 的两个 k k 根,且 a2k ?1 ≤ a2k (k ? 1 2,?) . ,3, (I)求 a1 , a2 , a3 , a7 ; (II)求数列 ?an ? 的前 2n 项和 S 2n ; (I)解:方程 x2 ? (3k ? 2k ) x ? 3k ? k ? 0 的两个根为 x1 ? 3k , x2 ? 2k , 2 当 k ? 1 时, x1 ? 3,x2 ? 2 , 所以 a1 ? 2 ; 当 k ? 2 时, x1 ? 6 , x2 ? 4 , 所以 a3 ? 4 ; 当 k ? 3 时, x1 ? 9 , x2 ? 8 , 所以 a5 ? 8 时; 当 k ? 4 时, x1 ? 12 , x2 ? 16 , 所以 a7 ? 12 . (II)解: S2n ? a1 ? a2 ? ? ? a2n

? (3 ? 6 ? ? ? 3n) ? (2 ? 22 ? ?? 2n )
3n2 ? 3n n?1 ? ?2 ?2. 2

19 已知数列{ an }中的相邻两项 a2k ?1 、 a2k 是关于 x 的方程 x2 ? (3k ? 2k ) x ? 3k ? 2k ? 0 的两个 根,且 a2k ?1 ≤ a2k (k =1,2,3,?).

(I)求 a1 , a3 , a5 , a7 及 a2n (n≥4)(不必证明); (Ⅱ)求数列{ an }的前 2n 项和 S2n. 本题主要考查等差、等比数列的基本知识,考查运算及推理能力.满分 14 分. (I)解:方程 x2 ? (3k ? 2k ) x ? 3k ? 2k ? 0 的两个根为 x1 ? 3k , x2 ? 2k . 当 k=1 时, x1 ? 3, x2 ? 2 ,所以 a1 ? 2 ; 当 k=2 时, x1 ? 6, x2 ? 4 ,所以 a3 ? 4 ; 当 k=3 时, x1 ? 9, x2 ? 8 ,所以 a5 ? 8 ; 当 k=4 时, x1 ? 12, x2 ? 16 ,所以 a7 ? 12 ;

因为 n≥4 时, 2n ? 3n ,所以 a2n ? 2n (n ? 4) (Ⅱ) S2n ? a1 ? a2 ? ?? a2n ? (3 ? 6 ? ?? 3n) ? (2 ? 22 ? ?? 2n ) =
3n2 ? 3n n?1 ?2 ?2. 2

在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? 4an ? 3n ? 1, n ? N* . (Ⅰ)证明数列 ?an ? n? 是等比数列; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ; (Ⅲ)证明不等式 Sn?1 ≤ 4Sn ,对任意 n ? N* 皆成立. 本小题以数列的递推关系式为载体,主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及 前 n 项和公式、不等式的证明等基础知识,考查运算能力和推理论证能力.满分 12 分. (Ⅰ)证明:由题设 an?1 ? 4an ? 3n ? 1,得

an?1 ? (n ? 1) ? 4(an ? n) , n ? N* .
又 a1 ? 1 ? 1,所以数列 ?an ? n? 是首项为 1 ,且公比为 4 的等比数列. (Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知 an ? n ? 4n?1 ,于是数列 ?an ? 的通项公式为

an ? 4n?1 ? n .
所以数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ?
4n ? 1 n(n ? 1) ? . 3 2

(Ⅲ)证明:对任意的 n ? N* ,

Sn ?1 ? 4Sn ?

? 4n ? 1 n(n ? 1) ? 4n ?1 ? 1 (n ? 1)(n ? 2) ? ? 4? ? ? 3 2 2 ? ? 3

1 ? ? (3n 2 ? n ? 4) ≤ 0 . 2

所以不等式 Sn?1 ≤ 4Sn ,对任意 n ? N* 皆成立.

上海理 20 若有穷数列 a1 , a2 ...an ( n 是正整数) ,满足 a1 ? an , a2 ? an?1....an ? a1 即 ai ? an?i ?1 ( i 是正整 数,且 1 ? i ? n ) ,就称该数列为“对称数列” 。 (1)已知数列 ?bn ? 是项数为 7 的对称数列,且 b1 , b2 , b3 , b4 成等差数列,b1 ? 2, b4 ? 11,试

写出 ?bn ? 的每一项 (2)已知 ?cn ? 是项数为 2k ? 1? k ? 1? 的对称数列,且 ck , ck ?1 ...c2k ?1 构成首项为 50,公差为
?4 的等差数列,数列 ?cn ? 的前 2k ? 1 项和为 S2 k ?1 ,则当 k 为何值时, S2 k ?1 取到最大值?

最大值为多少? (3)对于给定的正整数 m ? 1 ,试写出所有项数不超过 2m 的对称数列,使得 1, 2, 22...2m?1 成为数列中的连续项;当 m ? 1500 时,试求其中一个数列的前 2008 项和 S2008 解: (1)设 ?bn ?的公差为 d ,则 b4 ? b1 ? 3d ? 2 ? 3d ? 11,解得 d ? 3 ,
?
5 8 11 8 5 2 数列 ?bn ?为 2,,, ,,, .

(2) S 2k ?1 ? c1 ? c2 ? ? ? ck ?1 ? ck ? ck ?1 ? ? ? c2k ?1

? 2( ck ? ck ?1 ? ? ? c2k ?1 ) ? ck ,

S 2k ?1 ? ?4( k ? 13) 2 ? 4 ?132 ? 50,
?

当 k ? 13 时, S 2 k ?1 取得最大值.

S 2 k ?1 的最大值为 626.
(3)所有可能的“对称数列”是: ① 1,,2, ,m?2,m?1,m?2, ,2,,; 2 2 ? 2 2 2 ? 2 21 ② 1,,2, ,m?2,m?1,m?1,m?2, ,2,,; 2 2 ? 2 2 2 2 ? 2 21 ③ 2m?1,m?2, ,2,, 2 22, ,m?2,m?1 ; 2 ? 2 2 1,, ? 2 2 ④ 2m?1,m?2, ,2,, 1,,2, ,m?2,m?1 . 2 ? 2 2 1, 2 2 ? 2 2 对于①,当 m ≥ 2008 时, S 2008 ? 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 2007 ? 2 2008 ? 1. 当 1500 ? m ≤ 2007 时, S 2008 ? 1 ? 2 ? ? ? 2m?2 ? 2m?1 ? 2 m?2 ? ? ? 22m?2009
9 9 ? 2 m ? 1 ? 2 m?1 ? 2 2 m?2 0 0 ? 2 m ? 2 m?1 ? 2 2 m?2 0 0 ? 1 .

对于②,当 m ≥ 2008 时, S 2008 ? 2 2008 ? 1 . 当 1500 ? m ≤ 2007 时, S 2008 ? 2 m?1 ? 2 2 m?2008 ? 1 . 对于③,当 m ≥ 2008 时, S 2008 ? 2 m ? 2 m?2008 .



陕西文 20 已知实数列 {a n }是 等比数列,其中 a 7 ? 1, 且a4 ,45 ? 1, a5 成等差数列. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)数列 {an } 的前 n 项和记为 S n , 证明: S n , <128 (n ? 1,2,3, ?). 解: (Ⅰ)设等比数列 ?an ? 的公比为 q(q ? R ) , 由 a7 ? a1q6 ? 1,得 a1 ? q?6 ,从而 a4 ? a1q3 ? q?3 , a5 ? a1q4 ? q?2 , a6 ? a1q5 ? q?1 . 因为 a4,a5 ? 1,a6 成等差数列,所以 a4 ? a6 ? 2(a5 ? 1) , 即 q?3 ? q?1 ? 2(q?2 ? 1) , q?1 (q?2 ? 1) ? 2(q?2 ? 1) .
1 ?1? 所以 q ? .故 an ? a1q n?1 ? q ?6 ? n?1 ? 64 ? ? q 2 ?2?
n ?1



? ? 1 ?n ? 64 ?1 ? ? ? ? n a (1 ? q n ) ? ?2? ? ? ? 128 ?1 ? ? 1 ? ? ? 128 . (Ⅱ) Sn ? 1 ? ? ? ? ? ? 1 1? q ? ?2? ? ? ? 1? 2
山东理 17 设数列 ?an ? 满足 a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? … ? 3n ?1 an ? (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项; (Ⅱ)设 bn ?
n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . an
n , a ? N* . 3

n (I) a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? ...3n ?1 an ? , 3

a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? ...3n ? 2 an ?1 ?
3n ?1 an ? an ? n n ?1 1 ? ? (n ? 2). 3 3 3

n ?1 (n ? 2), 3

1 (n ? 2). 3n 1 (n ? N * ). n 3

验证 n ? 1 时也满足上式, an ? (II) bn ? n ? 3n ,

Sn ? 1? 3 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? ...n ? 3n
3Sn ?? 1? 32 ? 2 ? 33 ? 3 ? 34 ? ...n ? 3n?1
2 ?2Sn ? 3? 3? 3? 3 n

3 n? ?

n? 1

3

?2Sn ?
Sn ?

3 ? 3n ?1 ? n ? 3n ?1 , 1? 3

n n ?1 1 n ?1 3 ?3 ? ?3 ? ? 2 4 4

山东文 18 设 {an } 是公比大于 1 的等比数列, Sn 为数列 {an } 的前 n 项和.已知 S3 ? 7 ,且

a1 ? 3,a2, a3 ? 4构成等差数列. 3
(1)求数列 {an } 的等差数列. (2)令 bn ? ln a3n?1,n ? 1 2, , ,? 求数列 {bn } 的前 n 项和 T .

?a1 ? a2 ? a3 ? 7, ? 解: (1)由已知得 : ? (a1 ? 3) ? (a3 ? 4) ? 3a2 . ? ? 2
解得 a2 ? 2 .
2 设数列 {an } 的公比为 q ,由 a2 ? 2 ,可得 a1 ? ,a3 ? 2q . q

又 S3 ? 7 ,可知

2 ? 2 ? 2q ? 7 , q

即 2q2 ? 5q ? 2 ? 0 , 解得 q1 ? 2,q2 ?
1 . 2

? 由题意得 q ? 1, q ? 2 .

?a1 ? 1 .
故数列 {an } 的通项为 an ? 2n?1 . (2)由于 bn ? ln a3n?1,n ? 1 2, , ,? 由(1)得 a3n?1 ? 23n

?bn ? ln 23n ? 3n ln 2

又 bn?1 ? bn ? 3ln 2n

?{bn } 是等差数列.
?Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn
n(b1 ? bn ) 2 n(3ln 2 ? 3ln 2) ? 2 3n(n ? 1) ? ln 2. 2 ?
故 Tn ?
3n(n ? 1) ln 2 . 2

全国 2 文 17 设等比数列 {an } 的公比 q ? 1 ,前 n 项和为 Sn .已知 a3 ? 2,S4 ? 5S2 ,求 {an } 的通项公式.

a1 (1 ? q n ) 解:由题设知 a1 ? 0,Sn ? , 1? q
? a1q 2 ? 2, a (1 ? q 2 ) ? 4 ? 5? 1 . 则 ? a1 (1 ? q ) 1? q ? 1? q ?



由②得 1 ? q4 ? 5(1 ? q2 ) , (q2 ? 4)(q2 ?1) ? 0 , (q ? 2)(q ? 2)(q ?1)(q ? 1) ? 0 , 因为 q ? 1 ,解得 q ? ?1 或 q ? ?2 . 当 q ? ?1 时,代入①得 a1 ? 2 ,通项公式 an ? 2 ? (?1)n?1 ; 当 q ? ?2 时,代入①得 a1 ?
1 1 ,通项公式 an ? ? (?2) n ?1 . 2 2

全国 1 文 21 设 {an } 是 等 差数列, {bn } 是各项都为正数的等比数列,且 a1 ? b1 ? 1 , a3 ? b5 ? 21 ,

a5 ? b3 ? 13
(Ⅰ)求 {an } , {bn } 的通项公式;
?a ? (Ⅱ)求数列 ? n ? 的前 n 项和 Sn . ? bn ?

?1 ? 2d ? q 4 ? 21, ? 解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d , ?bn ? 的公比为 q ,则依题意有 q ? 0 且 ? 2 ?1 ? 4d ? q ? 13, ?

解得 d ? 2 , q ? 2 . 所以 an ? 1 ? (n ?1)d ? 2n ?1 ,

bn ? qn?1 ? 2n?1 .
(Ⅱ)
Sn ? 1 ?

an 2n ? 1 ? n?1 . bn 2
3 5 2n ? 3 2n ? 1 ? 2 ? ? ? n ?2 ? n ?1 ,① 1 2 2 2 2 5 2n ? 3 2n ? 1 ? ? ? n ?3 ? n ? 2 ,② 2 2 2

2Sn ? 2 ? 3 ?

2 2 2 2n ? 1 ②-①得 Sn ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ? ? n ? 2 ? n ?1 , 2 2 2 2

1 ? 2n ? 1 ? 1 1 ? 2 ? 2 ? ?1 ? ? 2 ? ? ? n?2 ? ? n?1 2 ? 2 ? 2 2

1 n ?1 2n ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? n ?1 1 2 1? 2 1?
? 6? 2n ? 3 . 2n ?1

福建文 21 数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , an?1 ? 2Sn (n ?N* ) . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项 an ; (Ⅱ)求数列 ?nan ? 的前 n 项和 Tn . 本小题考查数列的基本知识,考查等比数列的概念、通项公式及数列的求和,考查分类 讨论及化归的数学思想方法,以及推理和运算能力.满分 12 分.

解: (Ⅰ)? an?1 ? 2Sn ,

? Sn?1 ? Sn ? 2Sn ,
? Sn ?1 ? 3. Sn

又? S1 ? a1 ? 1 ,

? 数列 ?Sn ? 是首项为 1 ,公比为 3 的等比数列, Sn ? 3n?1 (n ?N* ) .
当 n ≥ 2 时, an ? 2Sn?1 ? 2? n?2 (n ≥ 2) , 3
n ? 1, ?1, ? an ? ? n ? 2 3 ? ?? ,n ≥ 2.

(Ⅱ) Tn ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan , 当 n ? 1 时, T1 ? 1; 当 n ≥ 2 时, Tn ? 1 ? 4? 0 ? 6? 1 ? ?? 2n? n?2 ,????① 3 3 3

3Tn ? 3 ? 4? 1 ? 6? 2 ? ?? 2n? n?1 ,?????????② 3 3 3
① ? ② 得: ?2Tn ? ?2 ? 4 ? 2(31 ? 32 ? ?? 3n?2 ) ? 2n? n?1 3

3(1 ? 3n ? 2 ) ? 2 ? 2? ? 2n? n ?1 3 1? 3

? ?1 ? (1 ? 2n)? n?1 . 3
?Tn ? 1 ? 1? ? ? n ? ? 3n?1 (n ≥ 2) . 2 ? 2?

又?T1 ? a1 ? 1也满足上式,
?Tn ? 1 ? 1? ? ? n ? ? 3n ?1 (n ? N* ) . 2 ? 2?

北京理 15,文科 16
2,? ,且 数列 ?an ? 中,a1 ? 2 ,an?1 ? an ? cn( c 是常数,n ? 1, 3, ) a1,a2,a3 成公比不为 1 的

等比数列. (I)求 c 的值; (II)求 ?an ? 的通项公式. 解: (I) a1 ? 2 , a2 ? 2 ? c , a3 ? 2 ? 3c , 因为 a1 , a2 , a3 成等比数列,

所以 (2 ? c)2 ? 2(2 ? 3c) , 解得 c ? 0 或 c ? 2 . 当 c ? 0 时, a1 ? a2 ? a3 ,不符合题意舍去,故 c ? 2 . (II)当 n ≥ 2 时,由于

a2 ? a1 ? c , a3 ? a2 ? 2c ,
??

an ? an?1 ? (n ?1)c ,
所以 an ? a1 ? [1 ? 2 ? ? ? (n ? 1)]c ?
n(n ? 1) c. 2

又 a1 ? 2 , c ? 2 ,故 an ? 2 ? n(n ?1) ? n2 ? n ? 2(n ? 2,?) . 3, 当 n ? 1 时,上式也成立, 所以 an ? n2 ? n ? 2(n ? 1 2, ) . ,?

安徽理 21 某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金,数目为 a1,以后每年 交纳的数目均比上一年增加 d(d>0) ,因此,历年所交纳的储务金数目 a1,a2,?是一个 公差为 d 的等差数列,与此同时,国家给予优惠的计息政策,不仅采用固定利率,而且 计算复利.这就是说,如果固定年利率为 r(r>0) ,那么,在第 n 年末,第一年所交纳的 储备金就变为 a1(1+r)n-1,第二年所交纳的储备金就变为 a2(1+r)n-2,??,以 Tn 表示到第 n 年末所累计的储备金总额. (Ⅰ)写出 Tn 与 Tn-1(n≥2)的递推关系式; (Ⅱ)求证:Tn=An+Bn,其中{An}是一个等比数列, n}是一个等差数列. {B 本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法,考查学生阅读资料、提取 信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力.本小题满 分 14 分. 解: (Ⅰ)我们有 Tn ? Tn?1 (1 ? r ) ? an (n ≥ 2) . (Ⅱ) T1 ? a1 ,对 n ≥ 2 反复使用上述关系式,得

Tn ? Tn?1 (1 ? r ) ? an ? Tn?2 (1 ? r )2 ? an?1 (1 ? r ) ? an ??

? a1 (1 ? r )n?1 ? a2 (1 ? r )n?2 ? ?? an?1 (1 ? r ) ? an ,
在①式两端同乘 1 ? r ,得



(1 ? r )Tn ? a1 (1 ? r)n ? a2 (1 ? r)n?1 ? ?? an?1 (1 ? r)2 ? an (1 ? r)
② ? ①,得 rTn ? a1 (1 ? r)n ? d[(1 ? r)n?1 ? (1 ? r)n?2 ? ?? (1 ? r)] ? an
? d [(1 ? r ) n ? 1 ? r ] ? a1 (1 ? r ) n ? an . r



即 Tn ?

a1r ? d ar?d d (1 ? r ) n ? n ? 1 2 . 2 r r r a1r ? d ar?d d (1 ? r ) n , Bn ? ? 1 2 ? n , 2 r r r

如果记 An ?

则 Tn ? An ? Bn . 其 中 ? An ? 是 以
?

a1 r ? d (1? r )为 首 项 , 以 1 ? r (r ? 0) 为 公 比 的 等 比 数 列 ; ?Bn ? 是 以 r2

a1 r ? d d d ? 为首项, ? 为公差的等差数列. 2 r r r

x ?1 2 .不等式: x ? 4 >0的解集为(C)
(A)( -2, 1) (C) ( -2, 1)∪ ( 2, +∞) (B) ( 2, +∞) (D) ( -∞, -2)∪ ( 1, +∞)

? x ? y ≥ ?, ?2 x ? y ≤ 2, ? 2. (北京理科 6) 若不等式组 ? 表示的平面区域是一个三角形, a 的取值范围是 则 ( D ) y ≥ 0, ? ?x ? y ≤ a ? 4 4 4 A. a ≥ B. 0 ? a ≤1 C. 1 ≤ a ≤ D. 0 ? a ≤1 或 a ≥ 3 3 3 2 4. (北京理科 12)已知集合 A ? ? x | x ? a ≤ 1? , B ? x x ? 5 x ? 4 ≥ 0 .若 A ? B ? ? ,则实数

?

?

a 的取值范围是

(2,3)



? x ? y ≥ ?1 , ? 8(天津理科 2)设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ≥1 则目标函数 z ? 4 x ? y 的最大值为( B ) , ?3x ? y ? 3. ?
A.4 B.11 C.12 D.14
b
c
a

?1? ?1? c 9(天津理科 9)设 a,b, 均为正数,且 2 ? log 1 a ,? ? ? log 1 b ,? ? ? log 2 c .则( A ) ?2? ?2? 2 2 A. a ? b ? c B. c ? b ? a C. c ? a ? b D. b ? a ? c 17. (福建理科 3)已知集合 A= {x | x ? a} ,B= {x |1 ? x ? 2} ,且 A ? (?R B) ? R ,则实数 a 的取
值范围是(C) A. a ? 2 B. a<1 C. a ? 2 D.a>2

18. (福建理科 7)已知 f ( x ) 为 R 上的减函数,则满足 f (| A. (-1,1) C. (-1,0) ? (0,1)

1 |) ? f (1) 的实数 x 的取值范围是(C) x

B. (0,1) D. (- ? ,-1) ? (1,+ ? )

?x ? y ? 2 ? 19. (福建理科 13)已知实数 x、y 满足 ? x ? y ? 2 ,则 Z ? 2 x ? y 的取值范围是 ?0 ? y ? 3 ?
29(全国 1 文科 1)设 S ? {x | 2 x ?1 ? 0} , T ? {x | 3x ? 5 ? 0} ,则 S ? T ? A. ? B. {x | x ? ? }

1 2

C. {x | x ? }

5 3

{x | ?

1 5 ?x? } 2 3


36.福建文科 7.已知 f ( x ) 是 R 上的减函数,则满足 f ( ) ? f (1) 的实数 x 的取值范围是(D 37. (重庆文科 5) “-1<x<1”是“x2<1”的(A) (A)充分必要条件 (B)充分但不必要条件 (C)必要但不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

1 x A. (??,1) B. (1, ??) C. (??, 0) ? (0,1) D. (??,0) ? (1, ??)

? x ? y ≥ 2, ? 2、 (2007 福建)已知实数 x, y 满足 ? x ? y ≤ 2,则 z ? 2 x ? y 的取值范围是________. ?0 ≤ y ≤ 3, ?

7 ??5,?

? x ? y ≥ ?1 ? 3、 (2007 年天津文)设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ≤ 4 ,则目 ?y≥ 2 ? 标函数 z =2 x +4 y 的最大值为( )
(A)10 C (B)12 (C)13 (D)14

x-y=-1 y=2

4、 (2007 全国 I)下面给出四个点中,位于 ? 面区域内的点是( ) A. (0, B. (?2, 2) 0) C

? x ? y ? 1 ? 0, 表示的平 ?x ? y ?1 ? 0
D. (2, 0)

x+y=4 图1

C. (0, 2) ?

? x ? 2 y ? 4 ? 0, ? 5、 (2007 陕西)已知实数 x 、 y 满足条件 ?3 x ? y ? 3 ? 0, 则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ? x ? 0, y ? 0, ?
8

.

?2 x ? 3 y ≤ 0 ? 6、 (2007 重庆)已知 ? x ? y ≥ 0, 则 z ? 3x ? y 的最小值为 ? y ≥ 0. ?



9 7、 (2007 四川)某公司有 60 万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小于对 项目乙投资的

2 倍,且对每个项目的投资不能低于 5 万元,对项目甲每投资 1 万元可获得 0.4 万元的 3

利润,对项目乙每投资 1 万元可获得 0.6 万元的利润,该公司正确提财投资后,在两个项目上共可获

得的最大利润为 A.36 万元 B

B.31.2 万元

C.30.4 万元

D.24 万元

? x ? 2 y ? 5 ? 0, ? 8、 (2007 浙江) z ? 2 x ? y 中的 x, y 满足约束条件 ?3 ? x ≥ 0, 则 z 的最小值是 ? x ? y ≥ 0, ?
? 5 3



9、 (2007 山东)本公司计划 2008 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告,广告总费 用不超过 9 万元,甲、乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/分钟,规定甲、乙两个 电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司事来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元.问该公司如何 分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元? 解:设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟,总收益为 z 元,由题意得 y

? x ? y ≤ 300, ? ?500 x ? 200 y ≤ 90000, ? x ≥ 0,y ≥ 0. ? 目标函数为 z ? 3000 x ? 2000 y .

500

400

? x ? y ≤ 300, ? 二元一次不等式组等价于 ?5 x ? 2 y ≤ 900, ? x ≥ 0,y ≥ 0. ?
作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域. 如图: 作直线 l : 3000 x ? 2000 y ? 0 , 即 3x ? 2 y ? 0 .

300 l 200 100 M

0 平移直线 l ,从图中可知,当直线 l 过 M 点时,目标函数取得最大值.

100

200 300

x

? x ? y ? 300, 解得 x ? 100,y ? 200 . ?5 x ? 2 y ? 900. 200) ? 点 M 的坐标为 (100, . ? zmax ? 3000x ? 2000 y ? 700000 (元)
联立 ? 答:该公司在甲电视台做 100 分钟广告,在乙电视台做 200 分钟广告,公司的收益最大,最大收益是 70 万元.

? x ? y ? 5 ≥ ?, ? 10、 (2007 北京) 若不等式组 ? y ≥ a, 表示的平面区域是一个三角形, a 的取值范围是 则 ( ?0 ≤ x ≤ 2 ?
A. a ? 5 C B. a ≥ 7 C. 5 ≤ a ? 7 D. a ? 5 或 a ≥ 7



?2 x ? y ? 2 ≥ 0 ? 2 2 11、 (2007 安徽) 如果点 P 在平面区域 ? x ? y ? 2 ≤ 0 上, Q 在曲线 x ? ( y ? 2) ? 1上, 点 那么 PQ ? 2 y ? 1≥ 0 ?
的最小值为( ) B.

3 A. 2
A

4 ?1 5

C. 2 2 ?1

D. 2 ? 1

12、 (2007 江苏)在平面直角坐标系 xOy ,已知平面区域 A ? {( x, y) | x ? y ? 1, 且 x ? 0, y ? 0} ,则 平面区域 B ? {( x ? y, x ? y) | ( x, y) ? A} 的面积为 A. 2 B B. 1 C.

1 2

D.

1 4


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