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空间两直线位置关系


问题提出 1.同一平面内的两条直线有哪几种位置 关系?

2.空间中的两条不同直线除了平行和相交 这两种位置关系外,还有什么位置关系呢?

立交桥

思考2:如图, 长方体ABCD-A′B′C′D′中, 线段A′B所在直线分别与线段CD′所在直线, 线段BC所在直线,线段CD所在直线的位置关 D' 系如何? C'
A'
D A B'

C B

1.异面直线的定义

不同在任何一个平面内的两 条直线叫做异面直线。
位置关系 公共点个数 是否共面

相交

只有一个 没有

共面 共面

平行
异面

没有

不共面

2.异面直线的画法
说明: 画异面直线时 , 为了体现

b

A

它们不共面的特点。常借
助一个或两个平面来衬托.

a

?

(1)

如图:
a

?
b

a

?
(2)

b

?
(3)

思考
分别在两个平面内的两条直线是否一定异面?
答:不一定:它们可能异面,可能相交,也可能平行。
b a a

M

b a b

?

?

?

?

?

?

a与b是异面直线

a与b是相交直线

a与b是平行直线

练习1、 如图所示:正方体的棱所在的直线 中,与直线A1B1异面的有哪些? D1 A1 B1

C1

D A B

C

练习1、 如图所示:正方体的棱所在的直线 中,与直线A1B异面的有哪些? D1 A1 B1

C1

D A B

C

练习1、 如图所示:正方体的棱所在的直线 中,与直线A1B异面的有哪些? D1 A1 D B1 C B C1

答案: D1C1、C1C、CD、

D1D、AD、B1C1

A

我们知道,在同一平面内, 如果两条直线都和第三条 直线平行,那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是 否还成立呢? 观察 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, … 之间有何关系?
b c d e

a

a∥b ∥c ∥d ∥e ∥ …

平行公理 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行.

a//b ? 即:a、b、c为直线,则 ? ? a // c c//b ? 注:
1.直线a,b,c 两两平行,可记为a // b // c . 2.公理4所表述的性质,叫做空间平行线的传递性. 3.证明空间两直线平行 的方法:
(1) 定义法:一要证两直线在同一平面内;二要证 两直线没有公共点(反证法) (2) 公理法

在平面内, 我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的

两边分别平行,那么这两个角相等或互补 ”.空间中这一结
论是否仍然成立呢?

B'

B

A'
A

C' C

AB // A' B' , AC // A' C ' ? ?BAC ? ?B' A' C '

?BAC ? ?B A C ? 180
' ' '

?

等角定理
等角定理1:如果一个角的两边和另一 个角的两边分别对应平行,那么这两 个角相等或互补.
D
A B

E
B1

C

A1

D1 E1 C1

推论:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平 行且方向相同,那么这两个角相等.

例2 如图,空间四边行ABCD中,E,F,G,H分 别是AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边形 A EFGH是平行四边形.
证明: 连结BD
∵ EH是△ABD的中位线 ∴EH ∥BD且EH =
同理,FG ∥BD且FG = ∴EH ∥FG且EH =FG ∴EFGH是一个平行四边形

H
1 2

BD
BD

E

1 2
B

D G F C

立体问题平面化是解立体几何时最主要、最常用的一种方法。

变式:如果再加上条件AC=BD,那么四边形EFGH是什么图形?

4.两条异面直线所成的角
在空间中任选一点 任选 O, 如图所示,a,b是两条异面直线,
过O点分别作 a,b的平行线 a′和 b′, b a′ ? O P 则这两条线所成 b′ θ a′ 的锐角θ (或直角), 称为异面直线a,b所成的角.

a

O

平 移

为了简便,点O常取在两条异面直线中的一条上。

b

a ?b
a
?

a'

O

?
如果两条异面直线所成的角为直角, 那么就称这两条异面直线垂直。 异面直线a和b所成的角的范围 0 ? ? ? 90
o

注1:异面直线a、b所成角,只与a、b的相互位置有关, 而与点O位置无关.一般常把点O取在直线a或b上.

注2:异面直线所成角的取值范围: 0? ? ? ? 90? 注3:求异面直线所所成角的步骤: 一作、二证、三求解
O a’ a b

α

典例剖析

例1 如图表示一个正方体: (1)求直线BA1与CC1的夹角的度数. (2)哪些棱所在的直线与直线AA1垂直?
D1 A1 B1 C1

D A B

C

例3:在正方体ABCD-A’B’C’D’中,棱长为a, E、F分别是棱A’B’,B’C’的中点,求: ①异面直线 AD与 EF所成角的大小; ②异面直线 B’C与 EF所成角的大小;
D1 A1 F E B1 C1

D A B

C



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