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山西省2015届高三年级第二次四校联考理数


2015 届 高 三 年 级 第 二 次 四 校 联 考

数学(理)试题
2014.12 命题:康杰中学 临汾一中 忻州一中 长治二中

【满分 150 分,考试时间为 120 分钟】 一、选择题(5×12=60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确 选项用 2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号) 1.已知集合 M ? ??1, 0,1? , N ? x x ? 2a, a ? M ,则集合 M A. ?0? B.

?

?

N?
D.

?0, ?2?

C.

??2, 0, 2?

?0, 2?

2. 复数 z 为纯虚数,若 (3 ? i) ? z ? a ? i ( i 为虚数单位),则实数 a 的值为 A. ?

1 3
x2 a
2

B. 3
y2 b
2

C. ?3

D.

1 3

3. 设双曲线
3 2 2 2 3 3

?

? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线方程为 y

??

3 x ,则该双曲线的离心率为 3
开始 输入 x 是 x>1? 否 否 x<1? 是 y=x

A. C.

B .2 D. 2

4. 如图所示的程序框图,若输入的 x 值为 0, 则输出的 y 值为

3 A. 2
C.1

B .0 D.

y=2x-3

y=1

3 或0 2

输出 y 结束 (第 4 题图)

5. 已知条件 p : | x ? 1|? 2 ,条件 q : x ? a ,且 p 是 q 的充分 不必要条件,则 a 的取值范围是 A. a ? 1 C. a ? ?1 B. a ? 1 D. a ? ?3

?2x ? y ? 0 ? 6. 已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?x ? y ? 1 ? 0 ?
A. - 2 B. - 1 C. 0 D. 4

7. 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? 1, an ?1 ? 3S n (n ? N ? ) ,则 S6 ?

1 1 D. ? (45 ? 1) 3 3 8. 在三棱锥 S ? ABC 中, AB ? BC ? 2 , SA ? SC ? AC ? 2 ,二面角 S ? AC ? B 的
A. 44 B. 45 C. ? (46 ? 1) 余弦值是

3 ,则 三棱锥 S ? ABC 外接球的表面积是 3
B. 2? C.

A.

3 ? 2

6?

D. 6? 2 1 2
正视图

9. 如图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积为 A. 10 ? 5 C. 6 ? 2 2 ? 6 B. 10 ? D. 6 ?
2

2
2? 6

侧视图

10. 设 A, B 为抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 上不同的两点,

2

O 为坐标原点,且 OA ? OB ,则 ?OAB 面积的最小值为
A. p
2 2

俯视图

(第 9 题图)

B. 2 p D. 6 p

2 2

C. 4 p

11. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知 P 是函数 f ( x) ? ln x( x ? 1) 的图象上的动点,该图像 在 点 P 处 的 切 线 l 交 x 轴 于 点 M . 过 点 P 作 l 的 垂 线 交 x 轴 于 点 N , 设 线 段 MN 的 中 点的横坐标为 t ,则 t 的最大值是 A.

1 e2

B.

e 1 ? 2 2e

C.

3 1 e? 4 4 e
2

D. 1

12.已知函数 f ( x) ? ? A.3

?| lg x | ?1 ? x
2

x?0 x?0

,则方程 f (2 x ? x) ? a (a ? 0) 的根的个数不可能为 C .5 D.6

B .4

二、填空题(4×5=20 分, 把答案填在答题纸的相应位置上) 13. 已知 a ? 1 , b ? 6 , a ? (b ? a ) ? 2 ,则向量 a 与 b 的夹角是___________. 14. 若函数 f ( x) ? sin(?x ? ? )(? ? 0且 ? ? 减小到 - 1 ,则 f ( ) ? ___________.

?

?? 2 ? ) 在区间 ? , ? ? 上是单调减函数,且函数值从 1 2 ?6 3 ?

?

4

15. 抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,点 P 为抛物线上的动点,若 A(?1, 0) ,则
2

PF PA

的最小

值为___________. 16. 已知数列 an ? n 2 sin

n? ,则 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? a100 ? ___________. 2

三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解答写在 答卷纸的相应位置上) 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,面积为 S.已知 2 S ? (a ? b) ? c
2 2

(1)求 sin C ; (2)若 a ? b ? 10 ,求 S 的最大值.

18. (本小题满分 12 分) 如图 1,直角梯形 ABCD 中, AD ∥ BC , ?ABC ? 90 0 , AD ? AB ?

1 BC , E 是底边 BC 上 2

的一点,且 EC ? 3BE . 现将 ?CDE 沿 DE 折起到 ?C1 DE 的位置,得到如图 2 所示的四棱锥

C1 ? ABED, 且 C1 A ? AB .
(1)求证: C1 A ? 平面 ABED ;

(2)若 M 是棱 C1 E 的中点,求直线 BM 与平面 C1 DE 所成角的正弦值. C1

A

D
A

M D

B

E 图1

C B 图2

E

19. (本小题满分 12 分) 在等差数列 {a n } 中, S n 为其前 n 项和,已知 a 6 ? S 6 ? ?3 ;正项数列 {bn } 满足:
2 2 bn ?1 ? bn ?1bn ? 2bn ? 0 , b2 ? b4 ? 20 .

(1)求数列 {a n } 和 {bn } 的通项公式; (2)设 c n ?

an , 求数列 {c n } 的前 n 项和 Tn . bn

20. (本小题满分 12 分) 在平面 直角坐标系 xOy 中,F 1、F2 分别为椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, B 为 a2 b2
2 且 ?EF1 F2 的周长为 2( 2 ? 1) . OB , 2

短轴的一个端点,E 是椭圆 C 上的一点, 满足 OE ? OF1 ? (1)求椭圆 C 的方程;

(2)设点 M 是线段 OF2 上的一点,过点 F2 且与 x 轴不垂直的直线 l 交椭圆 C 于 P、Q 两点, 若 ?MPQ 是以 M 为顶点的等腰三角形,求点 M 到直线 l 距离的取值范围.

21. ( 本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ae ( x ? 1) (其中 e ? 2.718 28. . . ) , g ( x) ? x ? bx ? 2 ,已知它们在 x ? 0 处
x 2

有相同的切线. (1) 求函数 f ( x) , g ( x) 的解析式; (2) 求函数 f ( x) 在 ?t , t ? 1? (t ? ?3) 上的最小值; (3) 若对 ?x ? ?2 , kf ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 k 的取值范围. 请考生在(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答,如果多答,则按做的第一题记分.作答 时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑.

22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, CF 是?ABC 边 AB 上的高, FP ? BC , FQ ? AC. (1)证明:A、B、P、Q 四点共圆; (2)若 CQ=4,AQ=1,PF=

4 5 ,求 CB 的长. 3

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos? . 以极点为平面直角坐标系的原点,极 轴为 x 轴的正半 轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是 ?

? x ? 1 ? t cos ? (t 是参数 ) ? y ? t sin ?

(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A 、 B 两点,且 AB ? 14 ,求直线的倾斜角 ? 的值.

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 2 ? 2 x ? 2 (1)解不等式 f ( x) ? ?2 ; (2)设 g ( x) ? x ? a ,对任意 x ? [a,??) 都有 g ( x) ? f ( x) ,求 a 的取值范围.

2015 届高三年级第二次四校联考理科数学参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1-5:ADCBA 6-10:DBCDC 11-12:BA

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.

? 3

14.

3 15. 2

2 2

16. ? 5000

三、解答题: 17、 (本小题满分 12 分) 解: (1)条件可化为 2 ab sin C ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab 由余弦定理可得

1 2

?2 分

1 sin C ? cos C ? 1 , 5 cos 2 C ? 8 cos C ? 3 ? 0 ?6 分 2 3 cos C ? ? 或 cos C ? ?1(舍) (5 cos C ? 3)(cos C ? 1) ? 0 5 4 故 sinC ? ?8 分 5 1 2 2 a?b 2 (2) S ? ab sin C ? ab ? ( ) ? 10 2 5 5 2
当且仅当 a ? b ? 5 时“=”成立 ?12 分

18、 (本小题满分 12 分) 解: (1)设 AD ? AB ?

1 BC ? 1 ,则 C1 A ? 1, C1 D ? 2 2
z C1

? C1 A 2 ? AD 2 ? C1 D 2
∴ C1 A ? AD 又? BE ? ???2 分

1 3 , C1 E ? 2 2 5 ? AE 2 ? AB 2 ? BE 2 ? 4 9 ∴ C1 A 2 ? AE 2 ? ? C1 E 2 4
∴ C1 A ? AE ???4 分

M
A

D

y

B x

E

又 AD ∩ AE ? A ∴ C1 A ? 平面 ABED ???5 分

(2)由(1)知: C1 A ? 平面 ABED 且 AB ? AD ,分别以 AB、AD、AC1 为 x 轴、 y 轴、 z 轴 的正半轴建立空间直角坐标系,如图 则 B (1,0,0), ???6 分

1 C1 (0,0,1), E (1, ,0), D(0,1,0) 2 1 1 1 1 1 1 ∴ BM ? (? , , ) ???8 分 ? M 是 C1 E 的中点 ∴ M ( , , ) 2 4 2 2 4 2 1 设平面 C1 DE 的法向量为 n ? ( x, y, z ) DE ? (1,? ,0), C1 D ? (0,1,?1) 2 1 ? ? ?x ? y ? 0 ? n ? DE ? 0 由? 即? 令 y ? 2 得 n ? (1,2,2) ???10 分 2 ? ? ?n ? C1 D ? 0 y ? z ? 0 ?
设直线 BM 与平面 C1 DE 所成角为 ? ,则 sin ? ? ∴ 直线 BM 与平面 C1 DE 所成角的正弦值为

| BM ? n | | BM || n |

?

4 9
???12 分

4 . 9

19、(本小题满分 12 分) 解: (1)设等差数列 {a n } 的公差 为 d 。 则?

? a1 ? 5d ? ?3 ? a1 ? 2 解得 ? ?d ? ?1 ?6a1 ? 15d ? ?3
???3 分

∴ a n ? 2 ? (n ? 1) ? 3 ? n

又 (bn ?1 ? 2bn )(bn ?1 ? bn ) ? 0 ∵ bn ?1 ? bn ? 0 ∴ bn ?1 ? 2bn ? 0 即数列 {bn } 是公比为 2 的等比数列 ∵ b2 ? b4 ? 2b1 ? 8b1 ? 20 (2) c n ? 得: b1 ? 2 ∴ bn ? 2 ? 2 n ?1 ? 2 n ??6 分 ① ②

2 1 0 ?1 4? n 3? n 3?n Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ?1 ? n n 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 0 4? n 3? n Tn ? ? ? ? ? ? ? ? n ? n ?1 2 2 2 23 2 4 2 2

①- ②得:

1 1 1 1 1 n?3 ???9 分 Tn ? 1 ? ( 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ) ? n ?1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n?3 1 n?3 ∴ Tn ? 2 ? ( ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ?1 ) ? n ? 2 ? (1 ? n ?1 ) ? n 2 2 2 2 2 2 2 n ?1 ???12 分 ? 1? n 2
20、(本小题满分 12 分)解: (1)由已知 F1 (?c,0) ,设 B (0, b) ,即 OF1 ? (?c,0), OB ? (0, b) ∴ OE ? (?c,

2 2 b ) 即 E ( ? c, b) 2 2



2 c2 1 c 2 2b ①???2 分 ? ? 1 得: ? 2 2 a 2 a b

又 ?PF1 F2 的周长为 2( 2 ? 1) ∴ 2a ? 2c ? 2 ? 2 2 ② 又①②得: c ? 1, a ?

???4 分

2

∴b ? 1

∴所求椭圆 C 的方程为:

x2 ? y 2 ? 1 ?5 分 2

(2)设点 M (m,0)(o ? m ? 1) ,直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0) 由?

? y ? k ( x ? 1) 2 2 2 2 消去 y ,得: (1 ? 2k ) x ? 4k x ? 2k ? 2 ? 0 2 2 ?x ? 2 y ? 2

设 P ( x1 , y1 ), Q ( x 2 , y 2 ) , PQ 中点为 N ( x 0 , y 0 ) 则 x1 ? x 2 ?

4k 2 1 ? 2k 2

∴ y1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ? 2) ?

? 2k 1 ? 2k 2

∴ x0 ?

x1 ? x 2 2k 2 ? 2 1 ? 2k 2 2k 2 ?k , ) 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

y0 ?

y1 ? y 2 ?k ? 2 1 ? 2k 2
???8 分

即 N(

∵ ?MPQ 是以 M 为顶点的等腰三角形

∴ MN ? PQ



k2 ? ?1 m(1 ? 2k 2 ) ? 2k 2
???10 分

∴m ?

k2 ? 1 ? 2k 2

1 ? (0, ) 1 2 2? 2 k

1

设点 M 到直线 l : kx ? y ? k ? 0 距离为 d ,

则d2 ?

2 2 2 k 2 (m ? 1) 2 k 2 (k 2 ? 1) 1 1 1 4 ( k ? k ? 1) ∴ d ? (0, ) ? ? ? 2 2 2 2 2 2 4 k ?1 (1 ? 2k ) (1 ? 2k )

即点 M 到直线距离的取值范围是 (0, ) 。 另解: k 2 ?

1 2

???12 分

k 2 (m ? 1) 2 1 m 2 ∴d ? ? m(1 ? m) ? 2 4 1 ? 2m k ?1

法 2:∵ ?MPQ 是以 M 为顶点的等腰三角形 ∴ ( MP ? MQ) ? PQ ? 0 ∵

MP ? ( x1 ? m, y1 ), MQ ? ( x 2 ? m, y 2 ), PQ ? ( x 2 ? x1 , y 2 ? y1 )
???8 分

∴ ( x1 ? x 2 ? 2m)( x 2 ? x1 ) ? ( y1 ? y 2 )( y 2 ? y1 ) ? 0 又 y 2 ? y1 ? k ( x 2 ? x1 ? 2), y 2 ? y1 ? k ( x 2 ? x1 ) ∴ ( x 2 ? x1 ? 2m) ? k ( x1 ? x 2 ? 2) ? 0
2

4k 2 4k 2 2 ∴( ? 2m) ? k ( ? 2) ? 0 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
以下同解法一。

k2 ∴m ? 1 ? 2k 2

??10 分

x 21、 (本小题满分 12 分)解: (1) f ?( x) ? ae ( x ? 2) , g ?( x) ? 2 x ? b .由题意两函数在 x ? 0 处

有相同的切线.

? f ?(0) ? 2a , g ?(0) ? b ,? 2a ? b . f (0) ? a ? g (0) ? 2 ,? a ? 2, b ? 4 . ? f ( x) ? 2e x ( x ? 1) , g ( x) ? x 2 ? 4 x ? 2
x

??3 分

(2) f ?( x) ? 2e ( x ? 2) ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? ?2 ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? ?2 ,

? f ( x) 在 (?2,??) 单调递增,在 (??,?2) 单调递减.

? t ? ?3

? t ? 1 ? ?2

?当 ? 3 ? t ? ?2 时, f ( x) 在 ?t ,?2? 单调递减,在 ?? 2,t ? 1? 单调递增,

? f ( x) min ? f (?2) ? ?2e ?2

?当 t ? ?2 时, f ( x) 在 ?t , t ? 1? 单调递增,

? f ( x) min ? f (t ) ? 2e t (t ? 1) ;

?? 2e ?2 (?3 ? t ? ?2) f ( x) min ? ? t ? 2e (t ? 1), t ? ?2

??7 分

(3)令 F ( x) ? kf ( x) ? g ( x) ? 2ke x ( x ? 1) ? x 2 ? 4 x ? 2 , 由题意 ,当 x ? ?2 , F ( x) min ? 0 .

? ?x ? ?2 , kf ( x) ? g ( x) 恒成立, ? F (0) ? 2k ? 2 ? 0 ,? k ? 1 .

[来源:Zxxk.Com]

F ?( x) ? 2ke x ( x ? 1) ? 2ke x ? 2 x ? 4 ? 2( x ? 2)(ke x ? 1) ,
? x ? ?2 ,由 F ?( x) ? 0 得 e x ?

1 1 ,? x ? ln . k k 1 由 F ?( x) ? 0 得 x ? ln k

1? ? ? 1 ? ? F ( x) 在 ? ? ?, ln ? 单调递减,在 ?ln ,?? ? 单调递增.??10 分 k? ? ? k ?
?当 ln

1 ? ?2 ,即 k ? e 2 时, F ( x) 在 ?? 2,?? ? 单调递增, k 2 F ( x) min ? F (?2) ? ?2ke ? 2 ? 2 ? 2 (e 2 ? k ) ? 0 ,不满足 F ( x) min ? 0 . e

2 1 F ( x) min ? F (?2) ? 2 (e 2 ? k ) ? 0 2 ?当 ln ? ?2 ,即 k ? e 时,由?知 满足 F ( x) min ? 0 . e k
? 当 ln

1 1? ? ? 1 ? ? ?2 , 即 1 ? k ? e 2 时 , F ( x) 在 ?? 2, ln ? 单 调 递 减 , 在 ?ln ,?? ? 单 调 递 增 , k k? ? ? k ?

1 F ( x) min ? F (ln ) ? ln k (2 ? ln k ) ? 0 ,满足 F ( x) min ? 0 . k
综上所述,满足题意的 k 的取值范围为 [1, e ] .
2

??12 分

22、(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 (1) 证明:连接 QP,由已知 C、P、F、Q 四点共圆,

??QCF ? ?QPF , ?A ? ?QCF ? ?CPQ ? ?QPF ? 90 ??A ? ?CPQ.

则四点 A、B、P、Q 共圆. (2) 解: CF ? CQ ? CA ? 4 ? 5 ? 20,
2
[来源:Z+xx+k.Com]

??5 分

直角三角形CPF中,CP ? CF 2 ? PF 2 ? 20 ? ( 又CP ? CB ? CF 2,CB ? CF 2 ?6 CP

4 5 2 10 ) ? 3 3

??10 分

23、(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 解:(1) ( x ? 2) ? y ? 4
2 2

??4 分

(2)将 ?

? x ? 1 ? t cos ? 代入圆的方程得 (t cos ? ? 1) 2 ? (t sin ? ) 2 ? 4 , y ? t sin ? ?

化简得 t 2 ? 2t cos ? ? 3 ? 0 . 设 A 、 B 两点对应的参数分别为 t1 、 t 2 ,则 ?

?t1 ? t 2 ? 2 cos ? , ??6 分 ? t1t 2 ? ?3

? AB ? t1 ? t 2 ?

?t1 ? t 2 ?2 ? 4t1t 2

? 4 cos 2 ? ? 12 ? 14 ,
??10 分

? 4 cos 2 ? ? 2 , cos ? ? ?

2 ? 3? ,? ? 或 . 2 4 4

24、(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 解: (1) f ( x)

? -2

当 x ? ?2 时, x ? 4 ? ?2 , 即 x ? 2 ,∴ x ? ? ;

当 ? 2 ? x ? 1 时, 3 x ? ?2 ,即 x ? ?

2 2 ,∴ ? ? x ? 1 3 3

y 3

当 x ? 1 时, ? x ? 4 ? ?2 , 即 x ? 6 , ∴1 ? x 综上,{ x | ?

?6
4 x

2 3

? x ? 6}

……5 分

? x ? 4, x ? ?2 ? (2) f ( x) ? ?3 x,?2 ? x ? 1 ? ? x ? 4, x ? 1 ?

[来源:Zxxk.Com]

函数 f ( x) 的图像如图所示: ∵ g ( x) ? x ? a , ? a 表示直线的纵截距,当直线过(1,3)点时, ? a ? 2 ; ∴当- a

? 2,即 a ? -2 时成立;
a , 2

……8 分

当 ? a ? 2 ,即 a ? ?2 时,令 ? x ? 4 ? x ? a , 得 x ? 2 ? ∴a

? 2+ a ,即 a ? 4 时成立,综上 a ? -2 或 a ? 4。
2

……10 分


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